Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện thủy nguyên năm học 2013 – 2014 môn: toán 9

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Thủy Nguyên năm học 2013 – 2014 môn Toán 9 UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN TOÁN 9 Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1 (1,75 điểm) 1 Rút gọn các biểu thức a) A = 5 3 29 12 5   b) 2 a a b b a b b a a b B a b b a a b                với a, b  0 và a  b 2 Cho các số dương a, b thỏa mãn 2 2a b 2014 a 2014 b     Chứng minh rằng a 2 + b.

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài (1,75 điểm) Rút gọn biểu thức a) A =   29  12 a a b b a b b a   ab  b) B    :  với a, b  a  b b a   a b  a b Cho số dương a, b thỏa mãn: a  b  2014  a  2014  b Chứng minh a2 + b2 = 2014 Bài (2,0 điểm) x2   x   Cho ba đường thẳng (d1): y  x ; (d2): y = x + (d3): y = (2m + 3)x + - m Tìm giá Giải phương trình sau: trị m để ba đường thẳng (d1); (d2) (d3) đồng quy Bài (1,5 điểm) Cho số gồm ba chữ số abc Chứng minh số abc chia hết cho 37 số gồm ba chữ số bca chia hết cho 37 Giải phương trình nghiệm nguyên: x  xy  2012 x  2013 y  2014  Bài (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi P giao điểm ba đường phân giác tam giác Đường thẳng qua P vng góc với CP, cắt CA CB theo thứ tự M N Chứng minh rằng:   APB   BNP  a) AMP AM AP b)  NB PB2 Bài (2,0 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M điểm thuộc đường tròn (O) khác A B Các tiếp tuyến (O) A M cắt E Vẽ MP vng góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vng góc với AE (Q thuộc AE) Gọi I trung điểm PQ a) Chứng minh O, I, E thẳng hàng b) Gọi K giao điểm EB MP Chứng minh IK song song với AB Bài (0,75 điểm) Cho x, y số không âm thỏa mãn x  y  Chứng minh : S   2x   2y  =====hết===== DeThiMau.vn UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI Môn thi: Toán Bài Đáp án 1a) A = =  32 3 = =  1 =  1b) B     Bài (1,75 điểm)   29  12 =  0,25  a b  0,25   (2  3)  (  1) a  b a  ab  b = a  ab  b  : Điểm a b   ab    a b   : a b       a b    a b  a b     0,25 0,25 2) a  b  2014  a  2014  b  a  2014  b  2014  a  b   a   2014  b  a  2014  b a  b  2014 a  2014  b  2014  a   b   2014  a  b a  b  2014  a  b  2014 a  2014  b  2014  a  b 2014  a  b 2014  a  b   1   a  b  2014    0 2 2014  a  b   a  2014  b  a  b  2014   a  b  2014 x   x    x  (2,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 1) ĐK : x  Bài 0,25   x 3 3 0  x 3 0 x  (TMDK)   x   x     0,25 0,5 2) Tọa độ giao điểm A đường thẳng (d1) (d2) nghiệm hệ :   x  3 y  x  nên A(- ; - 1)  y     y  x  Ba đường thẳng (d1); (d2) (d3) đồng quy A(- ; - 3) thuộc (d3) DeThiMau.vn 0,5 Nên ta có :  2m  3   3   m  1  7 m   m  0,5 4 0,25 1) Theo đề abc  37 nên 10 abc  37 0,25 hay 1000a  100b  10   37   999a  100b  10c  a   37    999a  bca  37 (1) 0,25 Do 999a  37 nên từ (1) suy bca  37 Bài (1,5 điểm) 2) x  xy  2012 x  2013 y  2014  0,25  x  xy  x  2013x  2013 y  2013  0,25  x( x  y  1)  2013( x  y  1)   ( x  2013)( x  y  1)    x  2013    x  2014   y  2014  x  y 1        x  2013  1   x  2012   x  y   1   y  2014 0,25 Hình vẽ 0,25 C 12 M A Bài (2,0 điểm) P N B   900  C ; BNP   900  C ; a)Chứng minh được: AMP 0,5   900  APB 0,25    C 2    AMP  BNP APB AM AP  MP PB PN AP  - Chứng minh được: ∆APB ∽ ∆PNB (g.g)  NB PB AM PN AP Từ (1) (2) suy    MP NB PB2 AM AP (do MP = NP)   NB PB2 b) - Chứng minh được: ∆AMP ∽ ∆ APB (g.g)  DeThiMau.vn (1) (2) 0,25 0,25 0,25 0,25 Hình vẽ 0,25 E M Q K I A Bài (2,0 điểm) O P B   APM   PMQ   90o a) Tứ giác APMQ có: EAO 0,25 Do tứ giác APMQ hình chữ nhật Suy I trung điểm AM Có: OM = OA (Bán kính); EM = EA (định lí t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) nên OE trung trực AM suy OE qua I Vậy O, I, E thẳng hàng b) Ta có OI  AM      OI // BM suy AOE  ABM (hai góc đồng vị) BM  AM  AO AE  BP MP KP BP  Mặt khác, KP//AE suy AE AB  AOE ∽ PBM (g.g)  0,25 0,25 0,25 0,25 (1) (2) Từ (1) (2) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB mà AB = 2.OA Suy MP = 2.KP hay K trung điểm MP Do IK đường trung bình AMP nên IK // AB 0,25 0,25 Ta thấy : 1  2x  Bài (0,75 điểm)  2y  2x  x   (BĐT Cô si) 1  2x   3 1  2y   0,25 2y  y   3 x  y  10 2 Suy ra: S  0,25 Dấu “=” xảy x = y = 0,25 Chú ý: - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa DeThiMau.vn ...  2014  a  2014  b  a  2014  b  2014  a  b   a   2014  b  a  2014  b a  b  2014 a  2014  b  2014  a   b   2014  a  b a  b  2014  a  b  2014 a  2014  b  2014. ..    99 9a  bca  37 (1) 0,25 Do 99 9a  37 nên từ (1) suy bca  37 Bài (1,5 điểm) 2) x  xy  2012 x  2013 y  2014  0,25  x  xy  x  2013x  2013 y  2013  0,25  x( x  y  1)  2013( ...UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI Mơn thi: Tốn Bài Đáp án 1a) A = =  32 3 = =  1 =  1b) B     Bài (1,75 điểm)   29  12 =  0,25