UBND HUYỆN YÊN DŨNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) Câu (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x 2014 x 2013 2) x( x 2)( x x 2) Câu (4 điểm) 1) Tìm a, b biết 2a 3b 3a 15 23 a 20 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x y xy x y 2013 Câu (4 điểm) 1) Cho a1 , a2 , a2013 số tự nhiên có tổng 20132014 Chứng minh rằng: B a13 a23 a2013 chia hết cho 2) Cho a b số tự nhiên thoả mãn 2a a 3b b Chứng minh rằng: a b 3a 3b số phương Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC Gọi I điểm di chuyển cạnh BC Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB M Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC N 1) Gọi O trung điểm AI Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng 2) Kẻ MH, NK, AD vng góc với BC H, K, D Chứng minh MH + NK = AD 3) Tìm vị trí điểm I để MN song song với BC Câu (2 điểm) Cho a b c d x (a b)(c d ), y (a c)(b d ), z (a d )(b c) Sắp xếp theo thứ tự giảm dần x, y, z Hết Họ tên thí sinh: , Số báo danh: ThuVienDeThi.com UBND HUYỆN YÊN DŨNG ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN LỚP (Đáp án - thang điểm gồm trang) Chú ý: Dưới hướng dẫn bản, làm học sinh phải trình bày chi tiết HS giải nhiều cách khác cho điểm phần tương ứng Câu Ý Nội Dung Điểm x 2014 x 2013 = x 2013 x x 2013 1 = x( x 2013) ( x 2013) = ( x 1)( x 2013) 0.5 x( x 2)( x x 2) ( x x)( x x 2) 0.5 ( x x) 2( x x) 0.5 = ( x x 1) 0.5 ( x 1) 0.5 Từ 0.5 2a 3a có 20(1 2a) 15(7 3a) 15 20 => a Thay a vào tỉ lệ thức 0.5 0.5 2a 3b 2.1 3b ta Suy b 15 23 a 15 23 7.1 Vậy a , b 0.5 0.5 Ta có A x y xy x y 2013 x x( y 1) y y y y 2003 0.5 ( x y 1) ( y 3) 2003 0.5 Nhận thấy với x,y ta có ( x y 1) 0;( y 3) Suy A 2003 0.5 Dấu “=” xảy x 4, y Vậy Giá trị nhỏ A 2003 đạt x 4, y Dễ thấy a a a(a 1)(a 1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 0.5 0.5 Xét hiệu B (a1 a2 a2013 ) (a13 a23 a2013 ) (a1 a2 a2013 ) 3 (a13 a1 ) (a23 a2 ) (a2013 a2013 ) chia hết cho 0.5 Mà a1 , a2 , a2013 số tự nhiên có tổng 20132014 0.5 Do B chia hết cho 0.5 Từ 2a a 3b b có (a b)(3a 3b 1) a 0.5 Cũng có (a b)(2a 2b 1) b Suy (a b) (2a 2b 1)(3a 3b 1) (ab) 0.5 ThuVienDeThi.com Gọi (2a 2b 1,3a 3b 1) d Chứng minh d=1 0.5 => 3a 3b số phương => a b số phương (đpcm) 0.5 A M O N B H D I E K C Ta có IM//AC, IN//AB => AMIN hình bình hành => MN cắt AI trung điểm đường Mà O trung điểm AI 0.5 Kẻ OE vng góc với BC Chứng minh MHKN hình thang vng 0.5 hình thang vuông MNKH nên MH + NK = 2OE (1) Xét ΔADI có O trung điểm AI OE//AD Suy OE đường trung bình ΔADI nên AD = 2OE (2) Từ (1) (2) ta có MH + NK = AD (đpcm) Ta có MN // BC MN đường trung bình ABC (Do O trung 0.5 => M, O, N thẳng hàng (đpcm) Ta có O trung điểm MN mà OE//MH//NK Suy OE đường trung bình điểm AI) I trung điểm BC (Vì MI // AC, MA=MB) 0.5 0.5 0.5 0.5 Vậy để MN song song với BC I trung điểm BC 0.5 Xét hiệu x y (a b)(c d ) (a c)(b d ) (d a)(b c) 0.5 Vì d a, b c nên (d a)(b c) Suy x y (1) 0.5 Xét hiệu y z (a c)(b d ) (a d )(b c) (a b)(d c) 0.5 Vì b a, c d nên (a a)(d c) Suy y z (2) Từ (1) (2) ta xếp theo thứ tự giảm dần z y x ThuVienDeThi.com 0.5 ThuVienDeThi.com ...UBND HUYỆN YÊN DŨNG ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN LỚP (Đáp án - thang điểm gồm trang)... học sinh phải trình bày chi tiết HS giải nhiều cách khác cho điểm phần tương ứng Câu Ý Nội Dung Điểm x 2014 x 2013 = x 2013 x x 2013 1 = x( x 2013) ( x 2013) = ( x 1)( x 2013) ... a2 a2013 ) (a13 a23 a2013 ) (a1 a2 a2013 ) 3 (a13 a1 ) (a23 a2 ) (a2013 a2013 ) chia hết cho 0.5 Mà a1 , a2 , a2013 số tự nhiên có tổng 20132 014 0.5