CHUN ĐỀ:SỐ CHÍNH PHƯƠNG I ĐỊNH NGHĨA: Số phương số bình phương số tự nhiên II TÍNH CHẤT: Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, ; khơng thể có chữ số tận 2, 3, 7, Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Số lượng ước cửa số phương số lẻ Đảo lại, số có số lượng ước số lẻ số số phương A.Chøng minh mét sè Lµ Sè CHíNH PHƯƠNG, số phương Phương pháp: Viết số dạng bình phương số tự nhiên khác Bài 1: Chứng minh tổng sau số phương a) 13+23+33+43+53 b) 1+3+5+7+ +2n-1 (nN*) B.Chứng minh số số phương Phương pháp Nhìn chữ số tận cùng: - Vì số phương bình phương số nên suy ra.Số phương phải có chữ số tận chữ số: 0,1,4,5,6,9 Từ ta giải toán dạng sau đây: Bài toán Chứng minh số: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 Không số phương LG - Ta thấy chữ số tận số: 20042,20032,20022,20012lần lượt 6,9,4,1 Do n có chữ số tận Nên n số phương ThuVienDeThi.com Phương pháp Dùng tính chất số dư Bài toán Chứng minh số: 1234567890 số phương LG - Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tËn cïng b»ng 0), nhng kh«ng chia hÕt cho 25 (vì hai chữ số tận 90) Do số 1234567890 số phương Chú ý: - Cã thÓ luËn r»ng: Sè 1234567890 chia hÕt cho không chia hết cho (vì hai chữ số tận 90).Nên 1234567890 số phương Bài toán Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số số phương LG Ta thấy tổng chữ số 2004 nên 2004 chia hết cho mà lại không chia hết cho Nên số có tổng chữ số 2004 chia hết cho mà không chia hết cho Do số số phương Phương pháp Phương pháp kẹp hai số phương liên tiếp: n2 (n+1)2 Ta thấy: Nếu n k N thỏa mÃn điều kiện: n2 < k < (n+1)2 lúc k số phương Bài toán Chứng minh số 4014025 số phương Nhận xét: Số có hai chữ số tận 25 nên chia cho dư chia cho dư 1, nên áp dụng cách LG Ta thấy: 20032 = 401209; 20042= 4016016 Nên 20032< 4014025 < 20042 Chứng tỏ số 4014025 số phương Bài toán 5* Chứng minh: A = n(n+1)(n +2)(n+3) không số phương với mäi n N, n LG Ta cã: A+1 = n(n + 1)(n +2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + ThuVienDeThi.com = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2+3n +1)2 Mặt khác (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A §iỊu hiển nhiên vì: n > Chứng tỏ (n2 + 3n)2 < A < A+1= (n2+3n +1)2 Suy A số phương c tìm số để kết số phương Bi 1: Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống Gọi số phương phải tìm aabb = n2 với a, b N, ≤ a ≤ 9; ≤ b≤9 Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1) Nhận xét thấy aabb 11 a + b 11 Mà ≤ a ≤ ; ≤ b ≤ nên ≤ a+b ≤ 18 a+b = 11 Thay a+b = 11 vào (1) n2 = 112(9a+1) 9a+1 số phương Bằng phép thử với a = 1; 2; …; ta thấy có a = thỏa mãn b = Số cần tìm 7744 Bài 2: Tìm số có chữ số vừa số phương vừa lập phương Gọi số phương abcd Vì abcd vừa số phương vừa lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y N Vì y3 = x2 nên y số phương Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999 10 ≤ y ≤ 21 y phương y = 16 abcd = 4096 Bài 3: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số Gọi số phải tìm ab với a,b N ≤ a ≤ , ≤ b ≤ Theo giả thiết ta có : ab 2= ( a + b )3 (10a+b)2 = ( a + b )3 ab lập phương a+b số phương Đặt ab = t3 ( t N ) , a + b = l ( l N ) Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ab = 27 ab = 64 Nếu ab = 27 a + b = số phương Nếu ab = 64 a + b = 10 không số phương loại Vậy số cần tìm ab = 27 Bài 4: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n+1 3n+1 số phương ThuVienDeThi.com Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n+1 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n = 40 Bài 5: Biết x N x>2 Tìm x cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Từ đề ta viết lại sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Do vế trái số phương nên vế phải số phương Một số phương tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) Do x chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề ta có x N < x ≤ (2) Từ (1) (2) x nhận giá trị 5; 6; Bằng phép thử ta thấy có x = thỏa mãn đề bài, ú 762 = 5776 Bài Tìm số phương có bốn chữ số, viết chữ số 3, 6, 8, Giải: Gọi n2 số phương phải tìm Số phương không tận 3, n2 phải tận Sè cã tËn cïng b»ng 86 th× chia hÕt cho không chia hết không số chÝnh ph¬ng VËy n2 cã tËn cïng b»ng 36 Sè phương là: 8836 = 942 Bài Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết nhân với 135 ta số số phương Giải: Gọi số phải tìm n, ta cã 135n= a2(aN) hay 33.5.n= a2 Sè chÝnh ph¬ng thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n=3.5.k2(kN) Với k = n =15, với k= th× n=60, víi k3 th× n135, cã nhiỊu hai chữ số nên loại Vậy số phải tìm 15 60 D tập vận dụng HÃy khẳng định số sau số phương hay không số phương.( Từ đến 4) Bµi 1: a) A= + 32+ 33+ + 320 b) B= 11+112+113 c) 1010+8 d) 100! +7 e) 1010 +5 g) 10100+1050+1 Bµi a) 2004000 b) 20012001 ThuVienDeThi.com Bµi3 a)abab b) abcabc c*) ababab Bµi 4: A= abc bca cab Bµi Cho sè 0, 2, 3, Tìm số phương có bốn chữ số gồm bốn chữ số Bài Tìm số phương có bốn chữ số gồm bốn chữ số 7, 4, 2, Bài Tìm số phương có bốn chữ số gồm bốn chữ số 2, 3, 5, Bài Cho số tự nhiên gồm 15 chữ số Có cách viết thêm chữ số vào vị trí tuỳ ý để số tạo thành số phương hay không? Bài Một số tự nhiên gåm mét ch÷ sè 1, hai ch÷ sè 2, ba chữ số 3, bốn chữ số số phương hay không? Bài 10 Viết dÃy số tự nhiên từ đến 101 thành số A a) A có hợp số hay không? b) A có số phương hay không? c) A có 35 ước hay không? Bài 11 Từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, lập tất số tự nhiên có năm chữ số gồm năm chữ số Trong số đó, có số số phương hay không? Có số chia hết cho 11 không? Bài 12 Tìm số dạng ab cho ab +1 ab +1 số phương Bài 13 Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết nhân với 45 ta số phương Bài 14 a) Các số tự nhiên n 2n có tổng chữ số Chứng minh r»ng n chia hÕt cho b*) T×m sè chÝnh phương n có ba chữ số, biết n chia hết cho nhân n với tổng chữ số không đổi Bài 15 Tìm số dạng ab cho ab + ba số phương Bài 16 Tìm chữ số a để a a 1a a 3 lµ số phương Bài 17 Tìm số phương có bốn chữ số, biết chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị số phương viết dạng (5n +4)2 với nN Bài 18* Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số Chứng minh A- B số phương ThuVienDeThi.com ... Cho bốn số 0, 2, 3, Tìm số phương có bốn chữ số gồm bốn chữ số Bài Tìm số phương có bốn chữ số gồm bốn chữ số 7, 4, 2, Bài Tìm số phương có bốn chữ số gồm bốn chữ số 2, 3, 5, Bài Cho số tự nhiên... r»ng: Sè 1234 567 890 chia hÕt cho nhng kh«ng chia hÕt cho (vì hai chữ số tận 90).Nên 1234 567 890 số phương Bài toán Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số số phương LG Ta thấy tổng chữ số 2004 nên... không số phương Vậy n2 có tận 36 Số phương là: 88 36 = 942 Bài Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết nhân với 135 ta số số phương Giải: Gọi số phải tìm n, ta có 135n= a2(aN) hay 33.5.n= a2 Số phương