Thuvienhoclieu com so hoc 6 chuyen de 4 chu de 1 cac tinh chat co ban va bai toan ucln bcnn

thuvienhoclieu.com ĐS6 CHUYÊN ĐỀ - ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 1: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ BÀI TOÁN ƯCLN VÀ BCNN PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA VỀ ƯỚC VÀ BỘI Ước: Số tự nhiên d 0 gọi ước số tự nhiên a a chia hết cho d Ta nói d ước a Nhận xét: Tập hợp ước a Ư Bội: Số tự nhiên m gọi bội a 0 m chia hết cho a hay a ước số m Nhận xét: Tập hợp bội a a 0  B a   0; a; 2a; ; ka , k  Z 2) Tính chất: - Số bội số nguyên khác Số khơng phải ước số nguyên - Các số - Nếu Ư  ước số nguyên a  1; a a số ngun tố - Sớ lượng các ước của một số : Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là a x b y c z … thì số lượng các ước của A bằng  x  1 y 1 z 1 … Thật vậy ước của A là số có dạng mnp …trong đó: x m có x  cách chọn (là1, a, a , , a ) y n có y  cách chọn (là1, b, b , , b ) z p có z  cách chọn (là 1, c, c , , c ),…  x 1 y 1 z 1 Do đó, số lượng các ước của A bằng II Ước chung bội chung 1) Định nghĩa Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư Ư ước số chung a b Kí hiệu: ƯC có phần tử chung phần tử gọi thuvienhoclieu.com Trang Nhận xét: Nếu ƯC thuvienhoclieu.com a; b  1 a b nguyên tố Ước chung lớn (ƯCLN): Số gọi ước số chung lớn a b d phần tử lớn tập hợp ƯC hoặc gcd Kí hiệu ước chung lớn a b ƯCLN Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B số chung a b Kí hiệu BC B có phần tử chung phần tử gọi bội Bội chung nhỏ (BCNN): Số gọi bội chung nhỏ a b m số nhỏ khác tập hợp BC Kí hiệu bội chung nhỏ a b BCNN  a; b  lcm 2) Tính chất Một số tính chất ước chung lớn nhất: ● Nếu a1 ; a2 ; ; an  1 ta nói số a1 ; a2 ; ; an ● Nếu am ; ak  1, m k , m, k   1;2; ; n ngun tố ta nói số a1 ; a2 ; ; an đôi nguyên tố ● c  ƯC  a b  a ; b   ;  c c c   a b d a; b    ;  1 d d ● ● ca; cb  c a; b  ● a; b  1 a; c  1 a; bc  1 ● a; b; c  a; b ; c  ● Cho a  b  a; b  b - Nếu a b.q - Nếu a bq  r r 0  a; b  b; r  thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Một số tính chất bội chung nhỏ nhất: M M  ;  1 a ; b  M  ● Nếu  a b  ● ● ●  a; b; c    a; b  ; c   ka, kb k  a, b  ;  a; b a; b  a.b PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Các tính chất toán ƯCLN BCNN I Phương pháp giải x y z Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là a b c … thì số lượng các ước của A bằng  x 1 y 1 z 1 … Thật vậy ước của A là số có dạng mnp …trong đó: x m có x  cách chọn (là1, a, a , , a ) y n có y  cách chọn (là1, b, b , , b ) z p có z  cách chọn (là 1, c, c , , c ),…  x 1 y 1 z 1 Do đó, sớ lượng các ước của A bằng II Bài tốn 96 Bài 1: Tìm số ước số 18 Lời giải: 1896 32.2  3192.296 96 Ta có : Vậy số ước số 1896 96  1192  1 97.193 18721 Bài 2: Chứng minh số tự nhiên lớn số phương số ước số số lẻ Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang Giả sử a1 a2 ak k n  p p p thuvienhoclieu.com với pi nguyên tố n số phương Mặt khác  N * a1 , a2 , , ak số chẵn a1  1a2  1 ak  1 số lẻ a1  1a2  1 ak  1 số số ước n, tốn chứng minh Bài 3: Một số tự nhiên n tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp Chứng minh n khơng thể có 17 ước số Lời giải Tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp có dạng : n m  1  m  m  1 3m  2 số phương Nếu n có 17 ước số n số phương (bài tốn 1), vơ lí Từ suy điều phải chứng minh Bài 3: Cho Chứng minh rằng: a) c) b) d) Lời giải a) Đặt c) Giả sử Gọi p số ước nguyên tố d (1 số tự nhiên khác bào tồn ước ngun tố) Ta có: (vơ lý) Vậy thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com d) Bài 3: Biết a) bội chung bội Chứng minh rằng: b) bội Lời giải a) (do c có chữ số, có hai chữ số) Đặt - Vì b) đpcm đpcm Bài 4: Biết a nhỏ 10 lần (a, b) Số thứ 120, tìm số thứ hai b (a, b) = 12, [a, b] lớn gấp lần (a, b) Số thứ 24, tìm số thứ hai c Tổng cuả hai số 60, tổng UCLN BCNN chúng 84 Tìm hai số Lời giải a Ta có: b Số thứ hai 36 c Gọi hai số phải tìm là: a b thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com đặt ; Có: Vì tổng hai 60 nên Từ (1)(2) Hoặc Dạng 2: Tìm số nguyên để thỏa mãn điều kiện chia hết I Phương pháp giải Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia phần nguyên dư, sau để thỏa mãn chia hết số chia phải ước phần số ngun dư, từ ta tìm số nguyên n thỏa mãn điều kiện II Bài toán Bài 1: Tìm số tự nhiên để chia hết cho Lời giải: Ta có: Mà Do  chia hết cho chia hết cho  chia hết cho ước 1 ; ; 4 Do Vậy với Bài 2: Tìm số tự nhiên chia hết cho n  15 để n  số tự nhiên Lời giải: n  15 Để n  số tự nhiên chia hết cho thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com chia hết cho  12 chia hết cho  Ư  n  15 n  số tự nhiên Vậy với Bài 3: Tìm số tự nhiên để Lời giải: Ta có:  Suy ra: Do Vậy Ư Bài 4: Tìm số nguyên để phân số có giá trị số ngun Lời giải: Ta có: Vì số ngun nên để Suy  số nguyên số nguyên Ư  Vậy với Bài 5: Tìm số tự nhiên có giá trị số ngun để biểu thức sau số tự nhiên: B 2n  5n  17 3n   n2 n2 n2 Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Ta có: B 2n  5n  17 3n 2n   5n  17  3n 4n  19 4(n  2)  11 11      4  n2 n2 n2 n2 n2 n2 n2 Để 11 số tự nhiên n  số tự nhiên   Do nên Vậy Ư số tự nhiên k  1 Bài 6: Tìm k ngun dương lớn để ta có số n k  23 số nguyên dương Lời giải k  1 Ta có: n k  23  k  2k  k  23k  21  484 484  k   ,k  Z  k  23 k  23 k  23 n số nguyên dương k  23 | 484, k  23  23  k  23 121    k  23 44  Ta có 484 = 22 = 4.121= 44.21 Với , ta có Với , ta có Vậy giá trị  k 98  k 21  lớn thỏa mãn yêu cầu tốn 98 Dạng 3: Tìm số tự nhiên biết điều kiện tổng, tích, thương số kiện ƯCLN, BNCC I Phương pháp giải - Biết ƯCLN(a, b) = k với ƯCLN(m, n) = (là điều kiện số m, n cần tìm), từ tìm a b - Biết BCNN(a, b) = k ta gọi ƯCLN(a, b) = d với ƯCLN(m, n) = (là điều kiện số m, n cần tìm), từ tìm a b II Bài tốn Bài 1: Tìm hai số nguyên dương biết ƯCLN(a, b) = 16 Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Điều kiện: Giả sử Ta có ƯCLN(a, b) = 16 với ; ƯCLN Biết Vì ƯCLN nên ta có hai trường hợp m n Trường hợp 1: Trường hợp 2: Bài 2: Tìm hai số tự nhiên a, b, biết rằng: ƯCLN Lời giải: Giả sử a b Điều kiện: Ta có: a  b 162, a, b  18  a 18m   b 18n với m, n  1, m n Đặt  Từ a  b 162  18 m  n  162  m  n 9 Do , lập bảng: Kết luận: Các số cần tìm là: 18 36 loai 72 144 126 90 18;144 ; 36;126 ; 72;90  Bài 3: Tìm hai số nhỏ 200, biết hiệu chúng 90 ƯCLN 15 Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Gọi hai số cần tìm Ta có: Đặt a  b 90; a, b  15  m, n  1    15 m  n  90       a 15m    b 15n  15m  200  a, b  200    15 n  200   Lại có: Vậy: m, n  1    m  n 6   m 13     n 13 13 195 105 11 65 75 85 15 a, b  195;105 , 65;75 , 85;15  Bài 4: Tìm hai số tự nhiên có tích 432 ƯCLN Lời giải: Gọi hai số tự nhiên cần tìm Ta có: Điều kiện: ab 432; a, b  6 a b  Đặt a 6m, b 6n với (m, n) = m ≤ n  36mn 432  mn 12 Ta được: Vậy m n a b 12 72 18 24 a, b  6;72 , 18, 24  Bài 5: Tìm hai số biết ƯCLN Lời giải Từ Từ ƯCLN suy a 45a1   b 45b1 a1 ; b1  1, a1 b1  thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com Bài 12: Tìm biết Lời giải Đặt ƯCLN Vì , mặt khác Mà , nên Từ tốn biết Bài 13: Tìm hai số tự nhiên biết Lời giải Điều kiện: Gọi ƯCLN ƯCLN Biết Biết ước chung 140 Thay giá trị d vào (1) (2) để tính m, n ta kết (thỏa mãn Vậy ) thuvienhoclieu.com Trang 15 thuvienhoclieu.com Bài 14: Tìm hai số tự nhiên biết ƯCLN Lời giải Điều kiện: Giả sử Biết ƯCLN Mà ƯCLN nên Mà ƯCLN nên có trường hợp số m, n sau Trường hợp 1: Trường hợp 2: Trường hợp 3: Vậy hai số cần tìm Bài 15: Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 504 ƯCLN chúng 42 Lời giải Gọi số phải tìm a b Điều kiện: Giả sử Biết ƯCLN ƯCLN Mà Vì ƯCLN nên có trường hợp số m, n sau Trường hợp 1: Trường hợp 2: Vậy hai số cần tìm Bài 16: Cho , tìm số nguyên tố có chữ số cho thuvienhoclieu.com ƯC Trang 16 thuvienhoclieu.com Lời giải Vì số ƯC ước hiệu Mà số nguyên tố có hai chữ số nên Vậy số nguyên tố cần tìm Bài 17: Tìm hai số tự nhiên có tích 300 ƯCLN Lời giải Gọi số phải tìm Điều kiện: Giả sử Biết ƯCLN Mà ƯCLN nên Mà ƯCLN nên có trường hợp số m, n sau Trường hợp 1: Trường hợp 2: Vậy hai số cần tìm Bài 18: Tìm hai số tự nhiên , biết: ƯCLN Lời giải Điều kiện: Vì ƯCLN ƯCLN Mà nên Khi có trường hợp số m, n sau thuvienhoclieu.com Trang 17 thuvienhoclieu.com Trường hợp 1: (thỏa mãn) Trường hợp 2: (thỏa mãn) Vậy hai số cần tìm Bài 19: Tìm hai số tự nhiên , biết: ƯCLN Lời giải Điều kiện: Vì ƯCLN nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: Vì nên theo ta suy Vì Trong trường hợp thỏa mãn điều kiện (2) (3) có trường hợp thỏa mãn điều kiện (4) Vậy ta số phải tìm Bài 20: Tìm hai số tự nhiên , biết: ƯCLN Lời giải Điều kiện: Vì ƯCLN nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: Vì Vì thuvienhoclieu.com Trang 18 thuvienhoclieu.com Trong trường hợp thỏa mãn điều kiện (2) (3) có trường hợp thỏa mãn điều kiện (4) Vậy Bài 21: Tìm hai số tự nhiên ta số phải tìm là: , biết: ƯCLN Lời giải Điều kiện: Giả sử Biết ƯCLN ƯCLN Mà Vì ƯCLN nên ta có trường hợp số m, n sau Trường hợp 1: Trường hợp 2: Trường hợp 3: Vậy hai số cần tìm Bài 22: Tìm hai số tự nhiên , biết: Lời giải Điều kiện: Biết ƯCLN Giả sử ƯCLN Mà thuvienhoclieu.com Trang 19 thuvienhoclieu.com Vì ƯCLN nên ta có trường hợp số sau Trường hợp 1: Trường hợp 2: Trường hợp 3: Vậy hai số cần tìm Bài 23: Tìm hai số tự nhiên biết tổng ƯCLN BCNN chúng 23 Lời giải Gọi hai số tự nhiên cần tìm Đặt ƯCLN với Mà ƯCLN Xét giả sử ƯCLN nên ta có ước 23 hay với nên ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: Trường hợp 2: Xét ta có (khơng thỏa mãn) Vậy hai số cần tìm Bài 24: Tìm hai số tự nhiên biết hiệu chúng 84, ƯCLN chúng 28 số khoảng từ 300 đến 400 Lời giải Gọi số phải tìm Ta có ƯCLN Điều kiện: với thuvienhoclieu.com nguyên tố Trang 20 ... thuvienhoclieu. com Trang 12 Nên BCNN( a; b) = Theo ta có: thuvienhoclieu. com a1.b1.d d  a1.b1d ? ?15  d ? ?1  a1.b1  ? ?15  d  U ? ?15  ? ?1; 3;5 ;15  a ? ?1  a ? ?1 d ? ?1  a1 b1  14   b1  14  b  14 . .. thuvienhoclieu. com Trang 10 thuvienhoclieu. com a ? ?11 a ? ?45 .11 ? ?49 5 a 11 a 11       b b1 b1 7 a1 ; b1  ? ?1 => b ? ?45 .7  315 Mà: Vậy hai số cần tìm Bài 6: Cho a ? ?19 80, b  210 0 a) Tìm a,... b  16 2 , a, b  ? ?18  a ? ?18 m   b ? ?18 n với m, n  ? ?1, m n Đặt  Từ a  b  16 2  18 m  n   16 2  m  n 9 Do , lập bảng: Kết luận: Các số cần tìm là: 18 36 loai 72 14 4 1 26 90 ? ?18 ; 14 4 ;