Thuvienhoclieu com so hoc 6 chuyen de 5 chu de 3 mot so bai toan ve hop so

thuvienhoclieu.com ĐS6.CHUYÊN ĐỀ - SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ CHỦ ĐỀ 3:CÁC BÀI TỐN VỀ HỢP SỐ PHẦN I.TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.SỐ NGUYÊN TỐ -Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1,chỉ có ước -Số ngun tố nhỏ vừa số nguyên tố chẵn số -Không thể giới hạn số nguyên tố tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố vô hạn -Khi số nguyên tố nhân với tích chúng khơng số phương -Ước tự nhiên nhỏ khác số tự nhiên coi số nguyên tố -Để kết luận số tự nhiên a số nguyên tố ( ),chỉ cần chứng minh a không chia hết cho số ngun tố mà bình phương khơng vượt a -Nếu tích -Đặc biệt (p số nguyên tố) (p số nguyên tố) -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: -Hai số nguyên tố sinh đôi hai số nguyên tố đơn vị 2.HỢP SỐ -Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ước nguyên dương -Để chứng tỏ số tự nhiên a ( ) hợp số,chỉ cần ước khác a -Ước số nhỏ khác hợp số số nguyên tố bình phương lên khơng vượt q -Một hợp số tổng ước (khơng kể nó) gọi là: Số hồn chỉnh -Mọi số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố cách nhất(không kể thứ tự thừa số) 3.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU -Hai số tự nhiên gọi nguyên tố chúng có ước chung lớn a,b nguyên tố với - Hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố - Hai sô nguyên tố khác nguyên tố - Các số nguyên tố khác nguyên tố thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com - Các số - nguyên tố nguyên tố sánh chúng đôi nguyên tố nguyên tố sánh đơi 4.MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐẶC BIỆT - Định lí Đirichlet: Tồn tai vơ số số ngun tổ p có dạng: - Định lí Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có số nguyên tố - Định lí Vinogradow: Mọi số lẻ lớn tổng số nguyên tố PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Phương pháp kiểm tra số hợp số I.Phương pháp giải Cách Sử dụng định nghĩa -Hợp số số tự nhiên lớn lơn có nhiều ước nguyên dương -Để chứng tỏ số tự nhiên a ( Cách Với ) hợp số,chỉ cần ước khác a ta kiểm tra theo bước sau  - Tìm số nguyên tố k cho: - Kiểm tra xem n có chia hết cho số nguyên tố nhỏ k khơng ? +) Nếu có chia hết n số hợp số +) Nếu khơng chia hết n số nguyên tố II.Bài toán Bài 1: Tổng, hiệu sau số nguyên tố hay hợp số a) b) c) Lời giải a) Ta có: tổng hợp số b) Ta có: c) Ta có: tổng hợp số có chữ số tận nên chia hết cho 5, Vậy tổng hợp số Bài 2: Tổng, hiệu sau số nguyên tố hay hợp số a) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com b) c) d) Lời giải a) Ta có : tổng hợp số b) Ta có : c) Ta có: tổng hợp số số lẻ d) Ta có: số lẻ, nên tổng số chẵn Là hợp số có chữ số tận nên chia hết cho Vậy tổng hợp số Bài 3: Tổng, hiệu sau số nguyên tố hay hợp số a) b) c) Lời giải a) Ta có: hợp số b) Ta có: số lẻ, nên số lẻ, nên số chẵn hợp số c) Ta có: có chữ số tận nên chia hết tổng hợp số Bài 4: Các số tự nhiên số nguyên tố hay hợp số Lời giải Ta có có nhiều hai ước số có nhiều hai ước số có nhiều hai ước số Vậy số tự nhiên Bài 5: Nếu a b hợp số số nguyên tố số nguyên tố hay hợp số số nguyên tố hay hợp số Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com a) Ta có: Vì hai số liên tiếp nên Nên số chẵn số chẵn lớn nên hợp số b) - Với số chẵn lớn hợp số - Với hợp số - Với dư 1; Vậy dư hợp số hợp số Bài 6: Cho thỏa mãn Chứng minh rằng: hợp số với Lời giải Ta có Hay Đặt Khi đó: Vì nên A hợp số Dạng 2: Một số toán hợp số I.Phương pháp giải -Dựa vào tính chất đặc trưng hợp số để giải toán chứng minh hợp số II.Bài toán Bài 7: a) Cho số nguyên tố Hỏi b) Cho số nguyên tố hay hợp số số nguyên tố Chứng minh thuvienhoclieu.com hợp số Trang thuvienhoclieu.com Lời giải: a Nếu số nguyên tố - Nếu Vì số nguyên tố nên  là số lẻ số lẻ số chẵn lớn hợp số Vậy hợp số b dãy số cách đơn vị Vì và Bài 8: Cho có số chia hết cho số nguyên tố nên không chia hết cho hợp số hai số nguyên tố lớn Hỏi số nguyên tố hợp số? Lời giải: số nguyên tố lớn nên Ta thấy có dạng TH1: Mà số lớn nên hợp số ( Vơ lí số ngun tố ) TH2: Khi Mà số lớn nên Bài 9: Cho hợp số số nguyên tố Chứng minh hợp số Lời giải: Vì số nguyên tố lớn nên chia dư dư Nếu hợp số ( Vơ lí Vậy Vậy có dạng Bài 10 : Cho số nguyên tố số nguyên tố số nguyên tố) nên hợp số hợp số Chứng minh hợp số Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Vì p số nguyên tố lớn nên +) Nếu chia dư dư có dạng nên hợp số ( mâu thuẫn với giả thiết số nguyên tố) Vậy Khi Vậy và nên hợp số số nguyên tố hợp số.(đpcm) Bài 11: a) Cho b) Cho số nguyên tố Chứng minh hợp số số nguyên tố Chứng minh hợp số Lời giải: a) Với , ta có số tự nhiên liên tiếp Do số có số chia hết cho Mà số nguyên tố nên hợp số Lại có số nguyên tố Nên số chẵn Từ b) Ta có: Xét dãy Với hợp số (loại) Với Với +) Nếu Vậy hợp số chia dư dư Khi có dạng và nên hợp số nên hợp số( mâu thuẫn với giả thiết số nguyên tố) Bài 12: Cho 10p + số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: 5p + hợp số Lời giải Vì p số nguyên tố lớn nên +) Nếu giả thiết chia dư dư có dạng nên hợp số ( mâu thuẫn với số nguyên tố) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Vậy Vậy Khi và nên hợp số số nguyên tố Bài 13: Cho p số nguyên tố hợp số.(đpcm) Chứng minh hợp số Lời giải: Vì số nguyên tố lớn nên khơng chia hết cho Khi ta có : số nguyên liên tiếp nên phải có số chia hết cho Mà Bài 14: Cho Vậy hợp số số nguyên tố Tìm số nguyên tố để hợp số Lời giải: Với số nguyên tố lớn nên khơng chia hết cho Khi ta có : Mà số nguyên liên tiếp nên phải có số chia hết cho Vậy hợp số Bài 15: Chứng minh dãy số sau hợp số : Lời giải: Ta có: hợp số Bài 16: Chứng minh hợp số Lời giải: Ta có: hợp số Bài 17: Một số nguyên tố chia cho có số dư hợp số Tìm số dư thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải: Gọi Vì số nguyên tố theo đầu bài, đó: hợp số Vì p số ngun tố không chia hết cho Mà hợp số nên giá trị cần tìm Vậy Bài 18: Một số ngun tố chia cho có số dư Tìm số dư, biết hợp số số nguyên tố không? Lời giải: Giả sử p số nguyên tố: số nguyên tố hợp số không chia hết cho 2, 3, số nguyên tố khác 2, 3, r = 49 Bài 19: Cho hết cho số nguyên tố ( ).Chứng minh tổng hai số nguyên tố chia Lời giải: Đặt Và Xét số liên tiếp Vì phải có số chia hết cho số nguyên tố lớn 3, nên Mặt khác Lại có khơng chia hết cho 3, chia hết cho số nguyên tố >3 nên lẻ chia hết cho 3, số chẵn Vậy Bài 20: Cho số nguyên tố lớn Chứng minh chia hết cho 24 Lời giải: Vì số nguyên tố lớn nên Với không chia hết cho số lẻ không chia hết cho hai số chẵn liên tiếp Mặt khác p không chia hết thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com - Nếu - Nếu Bài 16: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100, hỏi tổng 25 số nguyên tố có hợp số không? Lời giải Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100, có số nguyên tố chẵn số Còn lại 24 số nguyên tố lại số lẻ => tổng 24 số lẻ cho ta số chẵn Vậy xét tổng 25 số nguyên tố cho ta số chẵn nên tổng 25 số nguyên tố có hợp số Bài 17: Chứng minh rẳng với số nguyên hợp số Lời giải Ta có Mà Do Vậy với số nguyên Bài 18: Cho hợp số Có phải 1986 số tự nhiên liên tiếp sau hợp số không? Lời giải Do a tích số từ đến 1987 có ngĩa tích a có 1996 số và nên nên hợp số hợp số Chứng minh tương tự cho trường hợp lại Vậy 1986 số tự nhiên liên tiếp Bài 19: Cho hợp số , biết Chứng minh rằng: hợp số Lời giải Ta có thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Vì a nguyên dương nên Vậy hợp số Bài 20: Chứng minh p số nguyên tố lớn 3, cho 14p + số nguyên tố 7p + bội số Lời giải Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ không chia hết cho Khi số chẵn nên chia hết cho Mặt khác khơng chia hết p có dạng Với giả sử số nguyên tố, Với nên giả sử số nguyên tố, đó: Như Bài 21: Chứng minh p tích n số nguyên tố khơng thể số phương Lời giải Vì p tích n số nguyên tố nên p chia hết cho (1) - Giả sử p + số phương, đặt Vì p chẵn nên lẻ Đặt lẻ => m lẻ , ta có: Mâu thuẫn với (1) => p + số phương - Giả sử Vậy p tích có dạng 3k+2 khơng số phương số nguyên tố p – p + khơng số phương Bài 22: Cho p là số nguyên tố lớn thỏa mãn : số nguyên tố CMR : Lời giải Vì p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho 3, nên 10p không chia hết cho (1) Lại có Ta có số nguyên tố (2) tích số tự nhiên liên tiếp nên phải có số chia hết cho thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com Lại có p số nguyên tố lớn nên p lẻ => Bài 23: Cho số chẵn nên chia hết cho 2, số nguyên dương thỏa mãn: Chứng minh rằng: hợp số Lời giải Ta có: => mà Do Vì Cho số ngun dương nên hợp số Bài 24: Chứng minh số sau hợp số a) b) c) d) Lời giải a) Ta có: có chữ số tận có chữ số tận có chữ số tận có chữ số tận là số chẵn hợp số b) Ta có : có chữ số tận có chữ số tận có chữ số tận có chữ số tận là số chẵn hợp số c) Ta có : có chữ số tận thuvienhoclieu.com Trang 11 thuvienhoclieu.com có chữ số tận có chữ số tận là số chẵn hợp số d) Ta có có chữ số tận có chữ số tận có chữ số tận là số chẵn hợp số Bài 25: Chứng minh số sau hợp số a) b) c) Lời giải a)Ta có : b) Ta có : c) có tổng chữ số chia hết hợp số số chẵn nên hợp số số chẵn nên hợp số Bài 26: Chứng minh số sau hợp số a) b) c) d) Lời giải a) số chẵn nên hợp số b) Ta có: số chẵn nên hợp số c) Ta có : Ta có : có chữ số tận có chữ số tận có chữ số tận là hợp số d) Ta có : thuvienhoclieu.com Trang 12 thuvienhoclieu.com Ta có : có chữ số tận có chữ số tận có chữ số tận nên hợp số Bài 27: Chứng minh với số tự nhiên lớn hợp số Lời giải: nên Với Hay Tức Mà nên hợp số ( đpcm ) Bài 28: Chứng minh với số tự nhiên lớn hợp số Lời giải: + Nếu + Nếu + Nếu Như với giá trị số hợp số Bài 29: Chứng minh số sau hợp số: a) b) c) Lời giải a) Ta có: Vì 1001 chia hết hợp số thuvienhoclieu.com Trang 13 thuvienhoclieu.com nên hợp số b) Tách tương tự, c) Tách tương tự, 1001 13 nên hợp số Bài 30: Hãy chứng minh số sau hợp số: a) ( 2022 chữ số ); b) c) d) Lời giải: a) Tổng chữ số A là: mà nên A hợp số ( đpcm ) b) hợp số ( đpcm ) c) Vì Mà chia hết nên C hợp số (đpcm ) d) D hợp số (đpcm ) Bài 31: Chứng minh số hợp số Lời giải: Đặt , N tích hai số nguyên lớn nên N hợp số ( đpcm ) Bài 32: Cho số nguyên dương thỏa mãn Chứng minh hợp số Lời giải: Giả sử thuvienhoclieu.com Trang 14 thuvienhoclieu.com Đặt Mà Đặt , Ta có số ngun dương nên Vì Bài 33: Hai số không ? hợp số đồng thời số nguyên tố hay đồng thời hợp số Lời giải: Trong ba số nguyên liên tiếp , có số chia hết cho 3, chia hết cho lớn nên Với , , khơng đồng thời số nguyên tố đồng thời hợp số Bài 34: Hai số nguyên tố lẻ liên tiếp , chứng tỏ hợp số Lời giải: Vì hai số nguyên tố lẻ liên tiếp nên Mặt khác nên số chẵn và Vậy hợp số Dạng 3:Áp dụng định lí Fermat chứng minh biểu thức hợp số I.Phương pháp giải -Định lí Fermat nhỏ: với p số nguyên tố -Bằng cách sử dụng định lí Fermat để giải tốn số nguyên tố II.Bài toán Bài 33: Cho , chứng minh rằng: hợp số Lời giải: Ta chứng minh với thuvienhoclieu.com Trang 15 thuvienhoclieu.com Ta có: Theo định lý Fermat: Mà nên hợp số ( đpcm ) Bài 34: Cho , chứng minh rằng: hợp số Lời giải: Theo định lí Fermat nhỏ ta có Ta tìm số dư phép chia Mà và Mà cho 10, tức tìm chữ số tận chúng nên với số tự nhiên n khác Vậy hợp số với số tự nhiên n khác Bài 35: Giả sử số nguyên tố lẻ và Chứng minh hợp số lẻ không chia hết cho Lời giải: Ta có Vì với số ngun lớn nên Mà Theo định lí Fermat ta có Vì nên Bài 36: Cho hợp số số nguyên tố lẻ nên nên , chứng minh rằng: lẻ (đpcm) hợp số Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang 16 thuvienhoclieu.com Với ta có Mặt khác Vậy hợp số PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG ( Khoảng 15 ) Bài 1: (HUYỆN BẠCH THÔNG NĂM 2018-2019) Tổng hai số ngun tố hay khơng ? Vì ? Lời giải: Tổng hai số nguyên tố 2015 số lẻ, nên hai số nguyên tố phải Khi số 2013, số hợp số Vậy không tồn hai số nguyên tố có tổng 2015 Bài 2: (HUYỆN TAM DƯƠNG NĂM 2017-2018) Cho số nguyên tố lớn Hỏi số nguyên tố hay hợp số Lời giải: Vì số nguyên tố lớn nên Mà nên Mặt khác: chia cho dư chia cho chia cho dư chia cho dư dư chia cho dư 2, đó: Vì nên hợp số Bài 3: (HUYỆN SƠN TÂY NĂM 2017-2018) Với số nguyên tố lớn 5, chứng minh rằng: Lời giải: Ta có: Chứng minh Do nên số lẻ Mặt khác Do số lẻ nên hai số chẵn liên tiếp số lẻ thuvienhoclieu.com Trang 17 thuvienhoclieu.com nên p có dạng: Mặt khác p dạng : Vậy hay Tương tự ta có: Vậy Bài 4: (HUYỆN QUẢNG TIẾN) Nếu số nguyên tố số nguyên tố hay hợp số Lời giải: Xét số tự nhiên liên tiếp Mà , số có số bội p số nguyên tố nên p có dạng Nếu Mặt khác mà nên Nếu Vậy (trái với giả thiết) hợp số số nguyên tố hợp số Bài 5: (HUYỆN THANH OAI NĂM 2017-2018) Tìm số nguyên tố cho: Lời giải: số nguyên tố lẻ Suy số nguyên tố chẵn nên từ ta có: Bài 6: (HSG NĂM 2018-2019) Cho n số nguyên tố lớn Hỏi số nguyên tố hay hợp số Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang 18 thuvienhoclieu.com số nguyên tố nên Vậy không chia hết cho Vậy chia cho dư hợp số Bài 7: (HUYỆN HỒNG HOÁ NĂM 2018-2019) Chứng tỏ số nguyên tố lớn chia hết cho Lời giải: Xét số nguyên tố p chia cho Ta có: Nếu Nếu Vậy Bài 8: (TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC – KIM BÀI- NĂM 2017-2018) Cho P số nguyên tố với Chứng minh hợp số Lời giải: Từ giả thiết ta có Nếu (loại) Nếu (loại) Vậy hợp số Bài 9: (PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH BA) Cho số nguyên tố Chứng minh hợp số Lời giải: số nguyên tố lớn Nếu có dạng nên có dạng mà nên hợp số, trái với đề Vậy Khi đó: Lại có Vậy nên hợp số số nguyên tố ( ) hợp số Bài 10: (PHỊNG GD VÀ ĐT HOẰNG HOÁ) Cho ba số nguyên tố lớn , số sau lớn số trước đơn vị Chứng minh: cho thuvienhoclieu.com Trang 19 chia hết thuvienhoclieu.com Lời giải: Gọi ba số nguyên tố lớn Vì Giả sử ba số nguyên tố lớn Vì số sau lớn số trước Vì đơn vị nên ba số nguyên tố lớn Do ba số chia hết cho số số chẵn nên không chia hết hiệu hai số ) số chẵn nên Vậy ba số nguyên tố lẻ ln tồn hai số có số dư chia cho (vì Mà nên Bài 11: (PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐƠ LƯƠNG) Cho số nguyên tố thỏa mãn số nguyên tố Tìm số nguyên cho Lời giải: Với số nguyên tố Xét ; hợp số (loại) Xét ; số nguyên tố (nhận) Xét - Với - Với có dạng thì chia hết cho 3, , số nguyên dương nên hợp số hợp số Vậy Khi đó: thuvienhoclieu.com Trang 20 ... p không chia hết thuvienhoclieu. com Trang thuvienhoclieu. com - Nếu - Nếu Bài 16: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100, hỏi tổng 25 số nguyên tố có hợp số không? Lời giải Trong 25 số nguyên tố nhỏ... II.Bài toán Bài 33 : Cho , chứng minh rằng: hợp số Lời giải: Ta chứng minh với thuvienhoclieu. com Trang 15 thuvienhoclieu. com Ta có: Theo định lý Fermat: Mà nên hợp số ( đpcm ) Bài 34 : Cho , chứng... giải a) Ta có: Vì 1001 chia hết hợp số thuvienhoclieu. com Trang 13 thuvienhoclieu. com nên hợp số b) Tách tương tự, c) Tách tương tự, 1001 13 nên hợp số Bài 30 : Hãy chứng minh số sau hợp số: a)