Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai CHUYÊN ĐỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG I Một số kiến thức Số chính phương số bằng bình phương của một số khác Ví dụ 4 = 22; 9 = 32 A = 4n2 + 4n + 1 = (2n + 1)2 = B2 + Số chí[.]
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CHUYÊN ĐỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG I Một số kiến thức: Số phương: số bình phương số khác Ví dụ: = 22; = 32 A = 4n2 + 4n + = (2n + 1)2 = B2 + Số phương khơng tận chữ số: 2, 3, 7, + Số phương chia hết cho chia hết cho 4, chia hết cho chia hết cho 9, chia hết cho chia hết cho 25, chia hết cho 23 chia hết cho 24,… + Số = a = 9a 9a + = + = 10n II Một số toán: Bài 1: Chứng minh rằng: Một số phương chia cho 3, cho dư Giải Gọi A = n2 (n N) a) xét n = 3k (k n = 3k (k N) N) A = 9k2 nên chia hết cho A = 9k2 6k + 1, chia cho dư Vậy: số phương chia cho dư b) n = 2k (k N) A = 4k2 chia hết cho n = 2k +1 (k N) A = 4k2 + 4k + chia cho dư Vậy: số phương chia cho dư Chú ý: + Số phương chẵn chia hết cho + Số phương lẻ chia cho dư 1( Chia củng dư 1) Bài 2: Số số sau số phương a) M = 19922 + 19932 + 19942 b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 c) P = + 9100 + 94100 + 1994100 d) Q = 12 + 22 + + 1002 e) R = 13 + 23 + + 1003 Giải a) số 19932, 19942 chia cho dư 1, cịn 19922 chia hết cho số phương M chia cho dư M khơng b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 gồm tổng hai số phương chẵn chia hết cho 4, hai số phương lẻ nên chia dư suy N khơng số phương c) P = + 9100 + 94100 + 1994100 chia dư nên khơng số phương d) Q = 12 + 22 + + 1002 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Số Q gồm 50 số phương chẵn chia hết cho 4, 50 số phương lẻ, số chia dư nên tổng 50 số lẻ chia dư Q chia dư nên Q khơng số phương e) R = 13 + 23 + + 1003 Gọi Ak = + + + k = , Ak – = + + + k = Ta có: Ak2 – Ak -12 = k3 đó: 13 = A12 23 = A22 – A12 n3 = An2 = An - 12 Cộng vế theo vế đẳng thức ta có: 13 + 23 + +n3 = An2 = số phương Bài 3: CMR: Với n Ỵ N số sau số phương a) A = (10n +10n-1 + +.10 +1)(10 n+1 + 5) + A= ( )(10 n+1 + 5) + Đặt a = 10n+1 A = (a + 5) + = b) B = ( cĩ n số n-1 số 5) B= Đặt +1= 10n + +1= 10n + +1 = a 10n = 9a + nên B = a(9a + 1) + 5a + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2 = c) C = + Đặt a = +1 Thì C = + + = a 10n + a + a + = a(9a + 1) + 5a + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2 d) D = D= Đặt =a 10n = a + 10n + + 10n + + = a 100 10n + 80 10n + W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai = 100a(a + 1) + 80(a + 1) + = 100a2 + 180a + 81 = (10a + 9)2 = ( e) E = 5= 00 + 25 = 10n + + = [a(9a + 1) + 2a]100 + 25 = 900a2 + 300a + 25 = (30a + 5)2 = ( f) F = = Số )2 số phương 00 + 25 5)2 số phương số lẻ nên số phương chia cho phải dư Thật vậy: (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + chia dư có hai chữ số tận 11 nên chia cho dư khơng số phương nên F = khơng số phương Bài 4: a) Cho số A = ; B= ; C= CMR: A + B + C + số phương Ta có: A ;B= A+B+C+8 = + = ;C= Nên: + +8= = b) CMR: Với x,y Ỵ Z A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 số phương A = (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2) [(x2 + 5xy + 4y2) + 2y2) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2(x2 + 5xy + 4y2).y2 + y4 = [(x2 + 5xy + 4y2) + y2)2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 Bài 5: Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau số phương a) n2 – n + b) n5 – n + Giải a) Với n = n2 – n + = khơng số phương Với n = n2 – n + = số phương Với n > n2 – n + khơng số phương Vì (n – 1)2 = n2 – (2n – 1) < n2 – (n - 2) < n2 b) Ta có n5 – n chia hết cho Vì W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai n5 – n = (n2 – 1).n.(n2 + 1) Với n = 5k n chia hết cho Với n = 5k n2 – chia hết cho Với n = 5k n2 + chia hết cho Nên n5 – n + chia cho dư nên n5 – n + có chữ số tận nên n5 – n + khơng số phương Vậy : Khơng có giá trị n thỗ mãn tốn Bài 6 : a)Chứng minh rằng : Mọi số lẻ viết dạng hiệu hai số phương b) Một số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Giải Mọi số lẻ có dạng a = 4k + a = 4k + Với a = 4k + a = 4k2 + 4k + – 4k2 = (2k + 1)2 – (2k)2 Với a = 4k + a = (4k2 + 8k + 4) – (4k2 + 4k + 1) = (2k + 2)2 – (2k + 1)2 b)A số phương có chữ số tận nên A = (10k 3)2 =100k2 Số chục A 10k2 60k + = 10.(10k2 6) + số chẵn (đpcm) Bài 7: Một số phương có chữ số hàng chục chữ số lẻ Tìm chữ số hàng đơn vị Giải Gọi n2 = (10a + b)2 = 10.(10a2 + 2ab) + b2 nên chữ số hàng đơn vị cần tìm chữ số tận b2 Theo đề , chữ số hàng chục n2 chữ số lẻ nên chữ số hàng chục b2 phải lẻ Xét giá trị b từ đến có b2 = 16, b2 = 36 có chữ số hàng chục chữ số lẻ, chúng tận Vậy : n2 có chữ số hàng đơn vị Bài tập thêm Bài 1: Các số sau đây, số số phương a) A = = b) B = 11115556 e) M = – c) C = 25 d) D f) N = 12 + 22 + + 562 Bài 2: Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số phương a) n3 – n + b) n4 – n + Bài 3: Chứng minh a)Tổng hai số phương lẻ khơng số phương b) Một số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Bài 4: Một số phương có chữ số hàng chục Tìm chữ số hàng đơn vị W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% -Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn II Khoá Học Nâng Cao HSG Học Toán Online Chuyên Gia -Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG -Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia III Kênh học tập miễn phí HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video giảng miễn phí -HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động -HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |