Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu Chuyên đề Số chính phương - Toán lớp 6 sẽ cung cấp kiến thức hữu ích về tính chất số chính phương, số chính phương và các bài tập áp dụng cụ thể cho các bạn học sinh. Mời các bạn cùng tham khảo.
CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN 6789 HSG-CHUN ĐỀ.SỐ CHÍNH PHƯƠNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa số phương Số chính phương là số bằng bình phương của một số ngun. (tức là nếu n là số chính phương thì: n k k Z ) Một số tính chất cần nhớ 1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; khơng thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. 2- Khi phân tích ra thừa số ngun tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số ngun tố với số mũ chẵn. 3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Khơng có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N). 4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Khơng có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n N ). 5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2. Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ. 6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. 7. Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4. 8. Giữa hai số chính phương liên tiếp khơng có số chính phương nào. 9. Nếu hai số ngun liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số đó là số 0. 10. Số các ước của một số chính phương là số lẻ. Ngược lại, một số có số các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương. 11. Nếu n2 n, theo 1) và do S là số chính phương suy ra n S mn 1 4n 2mn (sai) Với m < n khi đó 2 Nếu m thì n 2mn m mn S mn 1 (mâu thuẫn với S là số chính phương). Nếu m = 1 thì 2 Với n > 2 thì n 1 S n (mâu thuẫn với S là số chính phương). Với n = 2 thì S = 8 khơng phải là số chính phương Vậy phải có m = n Bài 118. Do x; y là các số nguyên lớn hơn 1 nên x; y 4 xy 7 x y xy 4x2 y2 xy 4x2 y x y x2 y2 xy xy 1 x y x y xy 1 2 Mà x2 y2 x y là số chính phương và xy xy ; nên ta có x y x y 2 xy x y , điều phải chứng minh. 2 Bài 119. Cho biểu thức A m n 3m n với m, n là các số ngun dương. Chứng minh rằng nếu A là một số chính phương thì n chia hết cho m. 2 Do m, n là các số nguyên dương nên ta có n 1 m n 3m n m n 2 Do đó m n A m n Mà A là số chính phương nên ta được A m n 1 2 Do đó m n 3m n m n 1 3m n m n m n . Từ đó suy ra n n 1 n n 1 m n n 1 m . Bài số 120 Giả sử b 4ac là số chính phương thì b ac k với k N * Ta có: 4aabc 400a 40ab ac 400a 40ab b k 20a b k 20a b k Vì abc là số nguyên tố nên c và ac Do đó b k 20a b k 20a b k 20a 69 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN Suy ra abc 20a b k 20a b k 4a m.n Mà 20a b k , 20a b k đều lớn hơn 4a nên m, n suy ra abc là hợp số, mâu thuẫn với giả thiết. Bài 121 Đặt n 1 4n 3 k n 1 3n 1 3k k N * , các số n 1, 4n nguyên tố cùng nhau và số 4n khơng phải là số chính phương (số chình phương chia chỉ có thế dư hoặc 1 nên n a suy ra với a, b N * Từ đó ta có: 4a 3b 2a 1 2a 1 3b2 do 4n 3b a 1, 2a nguyên tố cùng nhau nên ta có các khả năng xảy ra như sau: 2a x TH1: y x y chia dư (loại) 2a y 2a x TH2: y x * 2a y + Nếu x chẵn thì suy ra y chẵn suy ra 3y x chia hết cho , mà khơng chia hết cho nên điều này khơng thể xảy ra. + Nếu x lẻ thì suy ra x không chia hết cho Do n a , a x nên n nhỏ nhất khi và chỉ khi a nhỏ nhất dẫn đến x nhỏ nhất. Xét x khi đó ta tính được a 13, n 168, n 1 4n 3 169.657 13.15 thỏa mãn điều kiện. Vậy giá trị n nhỏ nhất cần tìm là 168 Bài 122 Giả sử x xy y m2 với m là số tự nhiên khác Ta thấy rằng: Nếu cả 2 số x , y khơng chia hết cho thì x , y chia dư 1. Suy ra x y chia dư dẫn đến m chia dư điều này khơng thể xảy ra. Vì một số chính phương chia chỉ có thế dư hoặc 1. Từ đó suy ra trong hai số x , y phải có 1 số chia hết cho Giả sử số đó là x thì x (do x là số ngun tố). Thay vào ta có: y y m y 36 y 36 4m2 hay 2 y 9 4m 45 y m y 2m 45 1.45 3.15 5.9 Giải các trường hợp ta thu được cặp số x; y thỏa mãn điều kiện là x; y 3;7 , 7;3 Bài 123 Vì y là số chính phương lẻ nên x là số lẻ. Gọi d y x, y x với d N , d lẻ. 70 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6789 2 y x y x d 2 y x d 8 y d y d Suy ra 3 y x y x d 6 y x d 4 x d x d Mặt khác cũng từ giả thiết ta suy ra y 1 d y 1 d mà y d d U 1 d 1, hay y x, y x từ đó suy ra y x, y x đều là số chính phương. Cách ra đề bài khác: Cho các số nguyên dương x , y thỏa mãn y x và x xy y y Chứng minh y x là số chính phương. Bài 124 a md Đặt a, b d b nd . Vì a, b, c c, d thay vào điều kiện ban đầu ta có: m, n cm cn m c m dmn c m n cm cn m.n c , đặt c mnk với k nguyên dương thì ta cm cn n c n suy ra dmn c m n d k m n d k mà k c k nên d m n nên a b d m n d là một số chính phương. x md Bài 125 Đặt x, y d y nd . Thay vào điều kiện bài tốn ta có: * m, n 1; m, n d mn xy | x y x d dm2 dn2 m dmn | dm2 dn m . Từ đó suy ra d | m (1). Ta cũng có dm2 dn m m dn m do m, n m, n . Suy ra m | d (2). Từ (1) và (2) suy ra d m nên x dm d là số chính phương. Bài 126 Ta viết lại giả thiết thành 4c c ab bc ca c a c b Đặt a c; b c d a c b c d a b d Vì a b là số nguyên tố nên d a b hoặc d + Nếu d thì a c, b c là hai số nguyên tố cùng nhau suy ra a c, b c là hai số chính phương. Đặt a c m2 , b c n2 với m, n Khi đó m n a b là số nguyên tố hay m n m n là số nguyên tố m n m n nên 4c m n 2c mn 8c mn 4n n 1 2n 1 71 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN + Nếu d a b thì a c a b x, b c a b y với x, y Khi đó a b a c b c a b x a b y a b x y x y x y Khi đó 2 4c a c b c a b xy a b y y 1 suy ra y y 1 là số chính phương nên y y 1 c 8c là số chính phương. (Chú ý: Tích hai số tự nhiên liên tiếp là số chính phương khi và chỉ khi tích đó bằng 0). 8n x Bài 127 Giả sử với x , y là các số nguyên dương. 24n y Khi đó 8n x y x y x y Do đó x y x y vì vậy nếu 8n là số nguyên tố thì điều kiện là x y y x khi đó n 2 24n x 1 x x 6n 8n x 6n x 2n 8n 2n 1 n Điều này mâu thuẫn với điều kiện n là số nguyên dương lớn hơn 1. Vậy 8n là hợp số. Bài 128 Vì c và d là hai số nguyên liên tiếp nên d c thay vào đẳng thức a b a c b d ta được a b a 2c b c 1 a b c a b 1 b Dễ dàng chứng minh a b, c a b 1 nên a b phải là số chính phương. 2 Bài 129 Từ a b c a b b c c a , suy ra a b2 c ab bc ca (1) Từ (1) a b c ab bc ca Vì a b c và 4 là những số chính phương nên ab bc ca phải là số chính phương. 1 a b c 4ab Vì a b c và 4 là những số chính phương nên ab là số chính phương. 1 b c a 4bc Vì b c a và 4 là những số chính phương nên bc là số chính phương 1 c a b 4ca Vì c a b và 4 là những số chính phương nên ca là số chính phương Bài 130 Đặt a 11 n 10n a 1 , ta có 10 n 9a và 11 10 n 1 72 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6789 2 9a 9a a 1 9a 1 4a 9a Suy ra A 3a 5 10 Vì a lẻ nên 9a là số ngun. Suy ra A là số chính phương. Ta có thể tính cụ thể như sau: 10 2n 2.10n 10 10 n 10 n 10 10n 1 a 1 10n 1 2 18 18 18 n 1 n 1 10 10 n 5.10 n 55 5.10 44 55 44 45 9 n 1 n 1 n 1 n 1 2 n Như vậy A 33 44 55 5.10 55 44 5 n n 1 n n 1 n 1 4n x Bài 131. Theo giả thiết, tồn tại các số nguyên dương x, y sao cho 9n 10 y Suy ra x y 4n 9n 10 41 3x y x y 41 3 x y Vì 41 là số nguyên tố và 3x y 3x y nên chỉ xảy ra 3 x y 41 Từ đó tìm được x 7; y 10 Suy ra n 10 Bài 132 Giải sử 3n 144 l với l Suy ra l 12 l 12 3n l 12 3a Suy ra l 12 3b suy ra 3a 3b 24 hay 3a 1 3b 1 Vì 8 không chia hết cho 3 nên a, b , a b n phải có b 1. Suy ra a và n Bài 133 Giải sử 3n 63 k Nếu n lẻ thì 3n 63 63 mod Suy ra k mod (loại) Nếu n chẵn đặt n 2m với m , khi đó k 32 m 63 k 3m k 3m 7.9 Vì k 3m k 3m mod 3 nên suy ra cả k 3m và k 3m đều chia hết cho 3. k 3m Hơn nữa k 3m k 3m chỉ xảy ra khả năng m k 3.7 Từ đó tìm được m=12 m=2. Suy ra n=4. 73 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN Bài 134 Giả sử ta có thể thêm n n vào giữa chữ số 6 và chữ số 8 trong số 1681 để thu được một số chính phương. Khi đó tồn tại số nguyên dương k sao cho: 16.10n 81 k k k 2n 65n Suy ra k 9, k chỉ có ước nguyên tố là 2 hoặc 5. Hơn nữa k lẻ và k k 18 2.32 nên k 9, k Chỉ xảy ra hai trường hợp sau: k 2.5n k 2.5n hoặc n 5 n 5 k k Trong cả hai trường hợp ta có: 2.5n n 18 25.5n 16.2 n Điều này khơng xảy ra vì 25.5n 16.2 n 25.2n 16.2n 9.2 n Bài 135 Giả sử số tự nhiên n thỏa mãn đề bài. Khi đó tồn tại số nguyên dương k sao cho: 2012 2015 2n k 9.2 2012 n k k 3.21006 k 3.21006 n k 3.21006 a Suy ra k 3.21006 2b suy ra a 2b 3.21007 hay 2b 1 2a b 1 3.21006 a, b , a b n b 1006 b 1007 Suy ra a b n 2016 a 1009 2 Bài 136 Giả sử 2m 3n k , k Nếu m lẻ thì 2m mod 3 Suy ra n Do đó k 1 k 1 2m Ta thấy k lẻ k 1, k 1 nên chỉ có thể xảy ra k và k 2m 1 Từ đó tìm được k 3, m k s 3a Nếu m chẵn, đặt m s, s Ta có: k s k s n Suy ra k s 3b a, b , a b n Suy ra 3a 3b s1 Vì s1 khơng chia hết cho 3 nên phải có b 0, a n Như vậy 3n s1 Nếu s thì n 1, m Nếu s thì 3n 2s1 1 mod nên n chẵn. Đặt n 2t , t khi đó 3t 1 3t 1 s1 Ta thấy 3t 1,3t 1 nên phải có 3t 1 2;3t 2s Từ đó tìm được t 1, s 2, n 2, m 74 CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN 6789 Vậy có ba cặp số thỏa mãn đề bài là m, n 0,1 ; 3, ; 4, Bài 137 Giả sử m.5n 25 l với l Suy ra l 5 l 2m.5n Vì l 5 l 5 10 2.5 nên suy ra cả hai số l và l cùng chia hết cho và Suy ra l 5, l 10 Xảy ra các trường hợp sau: l 10 Trường hợp 1: (loại) m 2 n l 10.2 l 10.2 m2 Trường hợp 2: n l 10.5 Suy ra m 2 5n Vì 5n mod nên phải có m 3, n n l 10.5 Trường hợp 3: m l 10.2 Suy ra 5n m 2 Nếu m thì 5n 2 m 2 Suy ra n chẵn, đặt n 2k , k Khi đó 5k 5k 2m2 Vì 5k 1 , 5k 1 nên phải có 5k (loại). Với m , thử trực tiếp ta thấy m 4, n thỏa mãn. l 10.2 m 2.5n Trường hợp 4: l 10 Suy ra l 15 và m 2.5n Suy ra m 3, n Vậy có hai cặp số thỏa mãn đề bài là m, n 3; , 4; 3 Bài 138 Khơng mất tính tổng qt ta giả sử: x y vì y y 3x y y y y y y 3x y 1 3x y Bây giờ ta cần tìm điều kiện để: x y m2 16 x 48 y 16m2 16 x 24 3x 1 16m2 x 16m2 105 hay x y x y 1.105 3.35 5.21 7.15 Giải các trường hợp trên ta thu được bộ số x; y thỏa mãn điều kiện là x; y 1; 1 , 11; 16 , 16; 11 Bài 139 a) Ta thấy n là số chính phương lẻ nên n tận cùng bởi các chữ số 1, 5, suy ra n có chữ số tận cùng là 0, 2, Mặt khác 3n cũng là số chính phương nên n chỉ có thể tận cùng bởi Suy ra n 75 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN Khi n tận cùng là thì 2n 1, 3n đều là số chính phương lẻ. Suy ra 3n 2k 1 3n 4k k 1 8 hay n8 mà 5, 8 n 40 b) Từ kết quả câu a suy ra ab 40 hoặc ab 80 thử lại ta thấy chỉ có ab 40 thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài 141 a) Ta xét n 1008 Giả sử 431 41008 4n y với y * Hay 430 4978 4n30 y do 2 430 415 suy ra 4978 4n30 là số chính phương chẵn, hay 4978 4n30 2k với k * Ta có: 4978 4n30 2k 4977 4n 31 k k 1 4977 1 4n1008 k k 1 977 k 4977 4n1008 n 1985 thử lại ta Nếu k là số chẵn thì k là số lẻ suy ra n 1008 k thấy không thỏa mãn. 977 4 k 4977 4n1008 4n1008 4977 n 1985 hay n 1984 Nếu k lẻ thì n 1008 k Khi n 1984 thì 431 41008 41984 262 22016 2968 231 21984 đpcm. b) Khơng mất tính tổng qt ta giả sử x y z Đặt x y z u thế thì 22 x 1 y x z x u TH1: Nếu 1 y x z x là số lẻ thì y x 4z x 2k 1 y x 1 z x1 k k 1 y x 1 1 z y k k 1 4 y x1 k y x 1 z y z y x 1 và + Nếu k chẵn thì k là số lẻ suy ra z y 1 k x y z x y y x1 x 2 y x 1 4 y x 1 k y x 1 z y 22 y x 3 22 x 2 y 1 * do + Nếu k lẻ thì k chẵn suy ra z y 1 k x y là số lẻ luôn khác Nên (*) không thể xảy ra. TH2: Nếu 1 y x z x là số chẵn thì y x hoặc z x Từ đó ta suy ra phải có x y dẫn đến: z x là số chính phương. Điều này là vơ lý vì một số chính phương chia cho chỉ có thể dư hoặc 1. Cịn 4z x chia cho dư hoặc Tóm lại: Điều kiện để x y z là số chính phương là: z y x 76 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6789 Áp dụng vào câu a ) ta có: n 2.1008 31 1984 Bài 142 Vì d là một ước của 3n d k 3n , ta có n2 d n2 k 0, k tức là n k k 3 k2 3n2 là số chính phương với k là số chính phương suy ra k k 3 là số chính phương 2k 2m k Đặt k k m 2k 2m 2k 2m 2k 2m m Bài 143 Nếu m n thì ta có điều phải chứng minh m n x m x y Xét m n ta đặt ( x, y , x 0, y 0) khi đó ta có do m, n m n y n x y x y suy ra x y x y Do n m n suy ra (m n 1) m m n m m n Suy ra m k m n 1 (1) (với k ). Thay m x y, n x y ta có: ( x y) k (4 xy 1) x 2k (2k 1) xy y k (*). Phương trình (*) có 1 nghiệm là x nên có một nghiệm nữa là x1 Theo hệ thức Vi-et ta có: x x1 2(2 k 1) từ đây suy ra x1 xx1 y k + Nếu x1 ( x1 ; y) là cặp nghiệm thỏa mãn (*) suy x1 | y | y k xx1 | y |2 y k x1 x 2(2k 1) mâu thuẫn. + Nếu x1 thì xx1 y k k y k xy y Ta có: k x12 2(2k 1) x1 y y x12 2(2 k 1) | x1 | y y 2(2k 1) | x1 | y 2(2k 1) k mâu thuẫn. m2 m Vậy x1 Khi đó k y và m n nên m n là số chính phương. k y 2 -HẾT - 77 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN ... là? ?số? ?chính? ?phương. (Đề vào 10 Chuyên Thái Nguyên năm 201 6- 2 017) 16 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 67 89 Bài 38: Chứng minh rằng nếu a và b là các? ?số? ?tự nhiên lẻ thì a b khơng phải là? ?số? ?chính? ?... và n 50 đều là? ?số? ?chính? ?phương. (Đề thi HSG lớp huyện Thăng Bình năm 201 8-2 019) Bài 31: Tìm? ?số? ?tự nhiên n sao cho: n 24 và n 65 là hai? ?số? ?chính? ?phương. (Đề thi HSG lớp huyện Phù... 2 Khơng có? ?số? ?chính? ?phương? ?nào có dạng 4k vì vậy a b2 khơng phải? ?số? ?chính? ?phương. CHUN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 67 89 Dạng 3: Điều kiện để số số phương * Cơ sở phương pháp: Chúng ta thường sử dụng các? ?phương? ?pháp sau: