Với mong muốn giúp các em học sinh dễ dàng hơn trong việc tìm kiếm tài liệu hoàn thành các bài tập. TaiLieu.VN mời các em cùng tham khảo Chuyên đề nâng cao 6 chủ đề đoạn thẳng, góc - Toán lớp 6. Nội dung tài liệu được tổng hợp và trình bày rõ ràng gồm 2 phần: tóm tắt lý thuyết bài học và bài tập. Hy vọng tài liệu sẽ giúp các em thuận tiện hơn trong việc tổng ôn lại kiến thức bài học và nâng cao kỹ năng giải bài tập.
Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO CHỦ ĐỀ ĐOẠN THẲNG, GÓC Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng năm 2020 NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com PHẦN: HÌNH HỌC Chương I ĐOẠN THẲNG § Điểm Đường thẳng Ba điểm thẳng hàng Kiến thức bản: Vị trí điểm đường thẳng (h.1) B - Điểm A thuộc đường thẳng a , kí hiệu A ∈ a - Điểm B khơng thuộc đường thẳng a , kí hiệu B∉a a A Ba điểm thẳng hàng chúng có thuộc đường thẳng Ba điểm khơng thẳng hàng chúng Hình khơng thuộc đường thẳng A Trong ba điểm thẳng hàng, có điểm M D điểm nằm hai điểm lại Trong hình 2, Hình điểm M nằm hai điểm A B Nâng cao Nếu có điểm nằm hai điểm khác ba điểm thẳng hàng Quan hệ ba điểm thẳng hàng mở rộng thành nhiểu ( 4, 5, ) điểm thẳng hàng Thí dụ 1: Trên đường thẳng a lấy điểm A , B , C , D theo thứ tự Lấy điểm M ∉ a Hãy gọi tên: a) Tất điểm không thẳng hàng; M b) Tất điểm thẳng hàng; c) Tất điểm nằm điểm khác Giải (h.3) a) Các ba điểm không thẳng hàng là: ( M , A, B ) ; ( M , A, C ) ; ( M , A, D ) ; a A B C D Hình ( M , B, C ) ; ( M , B, D ) ; ( M , C , D ) b) Các ba điểm thẳng hàng là: ( A, B, C ) ; ( A, B, D ) ; ( A, C , D ) ; ( B, C , D ) c) B nằm A C ; B nằm A D ; C nằm A D ; C nằm B D Nhận xét: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -1- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TỐN Website: tailieumontoan.com Có điểm thẳng hàng có nhiêu trường hợp điểm nằm hai điểm khác Thí dụ 2: Vẽ điểm M , N , P , Q thẳng hàng cho đồng thời thỏa mãn điều kiện sau: M không nằm N P (1) N không nằm M P (2) P không nằm N Q (3) M Q không nằm N P (4) Bằng lập luận chứng tỏ rằng: N P Q Hình a) Điểm P nằm M N b) Điểm N nằm P Q Giải: (h.4) a) Xét điểm thẳng hàng M , N , P thì: M khơng nằm N P (1) N không nằm M P (2) P nằm M N b) P không nằm N Q (3) Q không nằm N P (4) N nằm P Q BÀI TẬP Trong hình có hai đường thẳng m n ba điểm chưa đặt tên Hãy điền chữ A , B , C vào vị trí biết: a) Điểm A khơng thuộc đường thẳng m không thuộc đường thẳng n; m b) Điểm B không thuộc đường thẳng m ; c) điểm C không thuộc đường thẳng n Vẽ đường thẳng p điểm A , B p n a) Nêu cách vẽ điểm C thẳng hàng với điểm A , B ; Hình b) Nêu cách vẽ điểm D không thẳng hàng với điểm A , B Hãy vẽ điểm C , D , E , F , G không thẳng hàng ba điểm C , D , E , thằng; ba điểm E , F , G thẳng hàng Vẽ theo cách diễn đạt sau: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -2- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com a) Điểm I nằm hai điểm A B ; điểm B nằm I K ; b) Hai điểm O , P khơng nằm phía Q ; hai điểm O R nằm khác phía Q P không nằm O R Cho ba điểm A , B , C ; điểm A , B không nằm hai điểm lại Hãy nêu điều kiện để: a) C nằm A B ; b) C không nằm A B Trái đất quay quanh Mặt Trời: Mặt Trăng quay xung quanh Trái Đất Mặt Trời chiếu sáng tới Trái Đất Mặt Trăng Khi ba thiên thể thẳng hàng xảy nhật thực nguyệt thực (là tượng mặt trời mặt trăng sáng nhiên bị che lấp tối đi) Hỏi: a) Khi xảy nhật thực Mặt Trăng vị trí nào? b) Khi xảy nguyệt thực Trái Đất vị trí nào? Xem hình cho biết: Có trường hợp điểm nằm hai điểm khác? Theo hình 6, ta trồng thành hàng, hàng Hãy vẽ sơ đồ trồng câu thành: a) hàng, hàng cây; A B M F E O D C N b) 10 hàng, hàng Hình § Đường thẳng qua hai điểm Kiến thức bản: Có đường thẳng đường thẳng qua hai điểm A B (h.7) Ba cách đặt tên đường thẳng: - Dùng chữ in thường, ví dụ a - Dùng hai chữ in thường, ví dụ xy A B Hình - Dùng hai chữ in hoa, ví dụ AB Vị trí hai đường thẳng phân biệt: - Hoặc khơng có điểm chung (gọi hai đường thẳng song song Ví dụ hai đường thẳng a , b hình Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -3- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TỐN Website: tailieumontoan.com - Hoặc có điểm chung (gọi hai đường thẳng cắt nhau) Ví dụ hai đường thẳng m n hình m b O a n Hình Hình Nâng cao: Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng ta cần chứng tỏ chúng có điểm chung Ba (hay nhiều) đường thẳng qua điểm gọi ba (hay nhiều) đường thẳng đồng quy Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta xác định giao điểm hai đường thẳng chứng minh đường thẳng cịn lại qua giao điểm Thí dụ 3: Cho trước 12 điểm khơng có điểm thẳng hàng, Vẽ đường thẳng qua cặp điểm a) Hỏi vẽ đường thẳng? b) Nếu thay 12 điểm n điểm ( n ∈ ; n ≥ ) vẽ đường thẳng? Giải: a) Chọn số 12 điểm cho nối điểm với 11 điểm lại ta 11 đường thẳng Làm với tất 12 điểm ta 11.12 đường thẳng Nhưng đường thẳng tính lần (vì đường thẳng AB với đường 11.12 = 66 (đường thẳng) thẳng BA một) thực có b) Cũng lập luận trên, với n điểm số đường thẳng vẽ n ( n − 1) Nhận xét: - Với n số điểm cho trước cơng thức n ( n − 1) giúp ta tính số đường thẳng qua tất cặp điểm Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -4- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com - Ngược lại, với n số đường thẳng cho trước (đôi cắt khơng có ba n ( n − 1) đường thẳng đồng quy) cơng thức giúp ta tính số giao điểm tất cặp đường thẳng Thí dụ 4: Cho điểm A , B , C , D ba điểm A , B , C , thẳng hàng, ba điểm B , C , D thẳng hàng Chứng tỏ điểm A , B , C , D thẳng hàng Giải: Ba điểm A , B , C , thẳng hàng nên chúng nằm đường thẳng Ba điểm B , C , D thẳng hàng nên chúng nằm đường thẳng Hai đường thẳng có hai điểm chung B C nên chúng phải trùng nhau, suy điểm A , B , C , D thẳng hàng BÀI TẬP Cho trước hai điểm A B a) Hãy vẽ đường thẳng m qua A B b) Hãy vẽ đường thẳng n qua A không qua B c) Hãy vẽ đường thẳng p khơng có điểm chung với đường thẳng m 10 Cho trước điểm A , B , C , D khơng có ba điểm thẳng hàng Tìm M cho ba điểm M , A , B thẳng hàng; ba điểm M , C , D thẳng hàng 11 Cho trước điểm Vẽ đường thẳng qua cặp điểm a) Nếu điểm khơng có ba điểm thẳng hàng vẽ đường thẳng? b) Nếu điểm có điểm thẳng hàng vẽ đường thẳng? 12 Giải bóng đá vơ địch quốc gia hạng chuyên nghiệp có 12 đội tham gia đấu vịng trịn hai lượt Tính tổng số trận đấu 13 Cho trước số điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Biết tổng số đường thẳng vẽ 36 Tính số điểm cho trước 14 Có số đường (thẳng), chúng cắt đơi khơng có ba đường đồng quy Các đường cắt tạo thành 300 ngã tư Hỏi có tất đường? 15 Cho 11 đường thẳng đôi cắt a) Nếu số khơng có ba đường thẳng đồng quy có tất giao điểm chúng? Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -5- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com b) Nếu 11 đường thẳng có đường thẳng đồng quy có tất giao điểm chúng? 16 Cho ba đường thẳng m , a , b đồng quy O ; ba đường thẳng n , a , b đồng quy a) Chứng minh đường thẳng m , n , a , b đồng quy O b) Vẽ thêm hai đường thẳng c , d không qua O Hỏi đường thẳng m , n , a , b , c , d có nhiều giao điểm? 17 Cho trước n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Tìm n biết có thêm điểm (khơng thẳng hàng với điểm số n điểm cho) số đường thẳng vẽ tăng thêm § Tia Kiến thức bản: Hình gồm điểm O phần đường thẳng bị chia điểm O gọi tia gốc O Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng gọi hai tia đối Nhận xét: x Mỗi điểm đường thẳng gốc chung hai tia đối y O Hình 10 Trong hình 10, hai tia Ox , Oy đối Điểm M thuộc tia Ox ( M ≠ O ) O M hai tia OM , Ox trùng (h.11) x Hình 11 Nâng cao: Quan hệ điểm nằm hai điểm với hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau: Xét điểm A , O , B thẳng hàng Nếu hai tia OA , OB đối gốc O nằm A B Ngược lại, Nếu O nằm A B thì: A O B Hình 12 - Hai tia OA , OB đối - Hai tia AO , AB trùng nhau: hai tia BO , BA trùng Thí dụ 5: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -6- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com Cho điểm O nằm hai điểm A B ; điểm M nằm hai điểm A O ; điểm N nằm hai điểm B O a) Nêu tên tia trùng gốc O b) Chứng tỏ điểm O nằm hai điểm M , N Giải: (h.13) a) Điểm M nằm hai điểm A O nên hai tia OA , OM trùng (1) Điểm N nằm hai điểm B O nên hai tia OB , ON trùng (2) A M b) Điểm O nằm hai điểm A B nên hai tia OA , OB đối (3) O N B Hình 13 Từ (1); (2); (3) suy hai tia OM , ON đối điểm O nằm hai điểm M N Nhận xét: Để chứng minh điểm O nằm hai điểm M N ta dùng phương pháp xét tia gốc O Thí dụ cho ta dấu hiệu nhận biết điểm nằm hai điểm khác z BÀI TẬP H 18 Xem hình 14 cho biết: a) Những tia chung gốc O ? b) Hai tia đối nhau? x y O c) Hai tia trùng nhau? 19 Cho đường thẳng xy Lấy điểm O ∉ xy ; điểm A ∈ xy điểm B tia Ay ( B khác A ) Hình 14 a) Kể tên tia đối nhau, tia trùng nhau; b) Kể tên hai tia khơng có điểm chung; c) Gọi M điểm di động xy Xác định vị trí M tia Ot qua M không cắt hai tia Ax , By 20 Vẽ hai đường thẳng mn xy cắt O a) Kể tên tia đối nhau; b) Trên tia Ox lấy điểm P , tia Om lấy điểm E ( P E khác O ) Hãy tìm vị trí Q để điểm O nằm P Q ; tìm vị trí F để hai tia OE , OF trùng Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -7- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com 21 Trên đường thẳng xy lấy điểm O Lấy điểm A tia Ox , điểm B tia Oy , điểm M nằm O A Giải thích sao: a) Hai tia OA , OB đối nhau? b) Điểm O nằm hai điểm M B ? 22 Cho điểm A , B , C O Biết hai tia OA , OB đối nhau; hai tia OA, OC trùng a) Giải thích điểm A , B , C , O thẳng hàng b) Nếu điểm A nằm C O điểm A có nằm hai điểm B C khơng? Vì sao? 23 Cho điểm O nằm hai điểm A B ; điểm I nằm hai điểm O B Giải thích sao: a) O nằm A I ? b) I nằm A B ? § Đoạn thẳng Độ dài đường thẳng Cộng độ dài hai đường thẳng Kiến thức bản: Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A , điểm B tất điểm nằm hai điểm A B (h.15) Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thẳng số dương AB = CD ⇔ AB CD có độ dài; A B AB < CD ⇔ AB ngắn CD ; AB > CD ⇔ AB dài CD Nếu điểm M nằm hai điểm A B AM + MB = AB Ngược lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B (h.16) Hình 15 A M B Hình 16 Nâng cao : Mệnh đề sau tương đương với tính chất : Nếu AM + MB ≠ AB điểm M không nằm A B Cộng liên tiếp (h.17) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -8- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com Nếu điểm M nằm hai điểm A B ; điểm N nằm M B A AB Thì AM + MN + NB = B N M Hình 17 Thí dụ : Cho điểm M nằm hai điểm A B Giải thích AM < AB ; MB < AB Giải : (h.18) Vì điểm M nằm hai điểm A B nên AM + MB = AB Do AM > ; BM > nên AM < AB ; BM < AB B M A Hình 18 Thí dụ : Cho ba điểm M , O , N thẳng hàng Điểm N không nằm hai điểm M O Cho biết MN = 3cm ; ON = 1cm , so sánh OM với ON Giải : (h.19) Nếu điểm M nằm hai điểm O N OM + MN = ON (vơ lí) Vậy điểm M khơng Thay số : OM + = nằm giữa O N O M 3cm N 1cm Hình 19 Điểm N khơng nằm M O (đề bài) Suy điểm O nằm hai điểm M N MN ; MO + = ; MO = (cm) Ta có : MO + ON = Do OM > ON (vì > ) Nhận xét : Trong cách giải ví dụ này, để tìm điểm O nằm hai điểm M N ta dùng phương pháp loại trừ Trong ba điểm M , O , N thẳng hàng có điểm nằm hai diểm khác Điểm N không nằm hai điểm lại (đề bài) Điểm M khơng nằm hai điểm cịn lại (tìm nhờ phương pháp phản chứng) Vậy điểm O phải nằm hai điểm lại BÀI TẬP 24 Cho điểm A , B , C , D , E khơng có ba điểm thẳng hàng Vẽ đoạn thẳng qua cặp điểm Hỏi vẽ đoạn thẳng, đoạn thẳng ? Kết có thay đổi điểm A , B , C , D , E thẳng hàng ? Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -9- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com Từ ( ) ( 3) suy hai tia AO AB đối điểm A nằm hai điểm O B ( 4) Từ (1) ( ) suy A trung điểm OB 41 ( h.81) − − − - N trung điểm MO O trung điểm NP MQ P trung điểm OQ NR Q trung điểm PR Hình 81 42 ( h.82 ) = MB = a) M trung điểm AB nên M nằm A B; MA Trên tia AB có AC < AM ( < 3) nên C nằm A M Trên tia BA có BD < BM ( < 3) AB = 3cm nên D nằm B M từ suy M nằm hai điểm C D (1) Ta có MC = AM − AC = − = 1( cm ) MD = MB − BD = − = 1( cm ) Vậy MC = MD ( 2) Hình 82 Từ (1) ( ) suy M trung điểm CD b) Điểm C trung điểm đoạn thẳng AD; điểm D trung điểm đoạn thẳng CB 43 ( h.83) O nằm A B nên OB = 3cm suy OI = 1,5cm Điểm O nằm A B; điểm I nằm O B suy O nằm A I (xem 23) Vậy AI=AO+OI=2+1,5=3,5 ( cm ) hình 83 44 Trường hợp M N nằm hai tia đối gốc O AB = 10cm Trường hợp M N nằm tia gốc O AB = 2cm 45 (h.84) M trung điểm AB nên M nằm A B, MA = MB (1) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -42- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com Hai tia BM , BA trùng nhau; hai tia BO, BA đối suy hai điểm BM , BO đối nhau, B nằm hai Hình 84 điểm M O Vậy OM = OB = BM ( ) Hai tia MA, MB đối , hai tia MB, MO trùng suy hai tia MA, MO đối M nằm A O Vậy OM = OA − MA ( 3) Từ (1) , ( ) , ( 3) suy 2OM = OA + OB hay OM = OA + OB 46 (h.85) Có AB 2100 = 2 M B 2100 M = B = 23 … 2100 M 100 = B = 2100 M= 1B ( Hình 85 ) Vì BM 100 < BM 1 < 299 nên điểm M 100 nằm hai điểm B M Do M 1M 100 = M 1B − M 100 B = 299 − 1( cm ) 47 a) Có tia Ax; Ay; Az; Bx; By; Bz; Ox; Oy; Oz b) Có đoạn thẳng CA; CO; CB; AO;AB;OB c) AB = 2a 48 a) tổng AB + BO đạt GTNN cm điểm O trùng với điểm B b) AB + OB = BO ⇔ AB = BO ⇔ O trùng A c) AB + BO = 3BO ⇔ AB = BO ⇔ O trung điểm AB 49 ( h.86 ) M trung điểm AB nên = AM = AB 3cm Nếu a < CM = − a Nếu a = khoảng cách hai điểm C M Nếu < a < CNM= a − Tóm lại: với trường hợp khoảng cách CM= a − Hình 86 50 ( h.87 ) a) Điểm K nằm C CK = CD − DK = − = ( cm ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 D nên -43- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com Vậy KC < KD K khơng phải trung điểm CD b) Hai điểm I K nằm tia CD mà CI < CK (1 < ) nên điểm I nằm hai điểm C K mặt khác CI = CK nên I trung điểm CK 51 ( h.88 ) Hình 87 a) Hai tia OA, AB đối nên điểm A nằm hai điểm O B, suy OA < OB Hình 88 = OM b) Ta có M N thứ tự trung điểm OA, OB nên OA OB = ; ON 2 OA < OB nên OM < ON Hai điểm M N thuộc tia OB mà OM < ON nên điểm M nằm hai điểm O N OA − OB AB = MN = c) Ta có OM + MN = ON suy MN = ON − OM hay 2 Vì AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài khơng đổi Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -44- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com Chương II GÓC 52 ( h.89 ) Đoạn thẳng AB khơng cắt a, hai điểm A,B nằm phía đường thẳng a, chẳng hạn nằm nửa mặt phẳng ( I ) Đoạn thẳng BC cắt a nên B thuộc nửa mặt phẳng ( I ) C thuộc nửa mặt phẳng ( II ) Đoạn thẳng CD không cắt a nên C D thuộc nửa mặt phẳng ( II ) Hai điểm A D thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ a nên đoạn thẳng AD cắt a Hình 89 53 Ba bạn A, C, E đến nhà qua đường cao tốc hai bạn B,D đến nhà qua đường cao tốc 54 a) Theo nguyên lý Dirricle, có điểm mà thuộc hai nửa mặt phẳng đối nên phải có mặt phẳng chứa ba điểm Hình 90 b)- Nếu điểm thuộc nửa mặt phẳng khơng có đoạn thẳng cắt m - Nếu có điểm thuộc nửa mặt phẳng, điểm thuộc nửa mặt phẳng đối có đoạn thẳng cắt m - Nếu có điểm thuộc nửa mặt phẳng, hai điểm thuộc nửa mặt phẳng đối có đoạn thẳng cắt m ( h.90 ) Vậy nhiều có đoạn thẳng cắt m 55 ( h.91a, b ) Lấy điểm A ∈ Ox; B ∈ Oy Vì A B nằm khác phía đường thẳng t ' t nên đoạn thẳng AB cắt t ' t điểm M nằm A B Do đó, có hai tia Ot ; Ot ' cắt đoạn thẳng AB M Điều chứng tỏ tia Ot tia Ot ' nằm hai tia Ox;Oy Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -45- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 56 ( h.92 ) Website: tailieumontoan.com Hình 91a Điểm N nằm A C nên tia BN nằm hai tia BA, BC Điểm M nằm A B nên tia CM nằm hai tia CA; CB Tia BN nằm hai tia BA, BC tia BN phải cắt đoạn thẳng CM điểm nằm C M Tương tự, tia CM cắt đoạn thẳng BN điểm nằm B N, suy hai đoạn thẳng BN CM cắt 5.4 = 10 (góc) Đó góc 57 a) Số góc có , aOc , cOt , aOd , aOt ; bOc , bOd , bOt ; ; aOb cOd Hình 91b Hình 92 dOt bOt aOt bOc ; aOd bOd ; b) Có cặp góc kề bù là: aOc 7.6 4.3 − = 21 − = 15 (góc) 58 Số góc tăng thêm là: 2 59 a) Ba đường thẳng đồng quy O tạo thành tia gốc O 6.5 = 15 (góc) có góc bẹt Số góc tạo thành là: b) Nếu có n đường thẳng đồng quy O tạo thành 2n tia gốc O Số góc đươc tạo 2n ( 2n − 1) = n ( 2n − 1) (góc) thành là: n ( n − 1) = 28; n ( n − 1) = 56 = 8.7; n = 60 61 ( h.93) BOA bù nên hai tia OC OA đối điểm O nằm a) Hai góc BOC hai điểm A C b) Tia BO nằm hai tia BA BC nên điểm O nằm góc ABC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -46- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com CBy c) Các cặp góc kề bù đỉnh B là: ABO ABy ; CBO 62 Hình 93 a) Nếu tia OM trùng với tia OA, ta coi AOM “góc khơng” lúc AOB + AOM = AOB b) Nếu tia OM nằm không trùng với tia OA AOM > , lúc AOB + AOM > AOB c) Tia OM nằm hia tia OA, OB tia OM trùng với tia OA trùng với tia OB > AOM + MOB AOB 63 ( h.94 ) kề bù, mà BOC góc Hai góc AOC BOC nhọn nên AOC góc tù 600 nên < 1200 ⇔ a < 120 ⇔ xOn Hình 99 70 Nếu hai tia Oy, Ot thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox yOt = 500 Nếu hai tia Oy, Ot thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ chứa tia Ox yOt =3600 − (1000 + 1500 ) =1100 71 Hướng dẫn: Xét hai trườn hợp vị trí tia Oz Đáp số 1000 400 72 ( h.100 ) a) Tia ON nằm hai tia OA, OB nên = AON + BON AOB AOB; AON > Vì AON > BON ( 2) Từ (1) ( ) suy AOM < AON suy tia OM nằm hia tia OA, ON 74 ( h.101) Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia < xOz ( 400 < 1300 ) nên tia Oy Ox có xOy nằm hai tia Ox, Oz suy ra: − xOy = 1300 − 400 = 900 yOz = xOz Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oz, có < zOy 600 < 900 nên tia Ot nằm zOt ( ) hai tia Oz , Oy suy − zOt = 900 − 600 = 300 yOt = zOy < zOt ( 300 < 400 < 600 ) Vậy yOt < xOy Hình 101 75 ( h.102 ) kề bù nên tia OT Vì hai góc AOT BOT nằm hai tia OA, OB = AOT + BOT AOB = 1800 Các tia OM, ON thứ tự tia phân giác AOB (xem thí dụ góc AOT BOT nên MON = 17) Hình 102 = 900 MON 76 ( h.103) + Ta có BOT AOT = 1800 (kề bù) − Mà BOT AOT = 200 = Nên BOT (1800 + 200 ) : =1000 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -49- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com 1000 Tia OD phân giác góc BOT nên BOD = = 500 Suy AOD = 1800 − 500 = 130 77 ( h.104 ) Hình 103 Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chua tia Ox , có < xOz < xOt ( 500 < 750 < 1000 ) nên tia Oy nằm xOy hai tia Ox, Ot (1) đồng thời tia Oy nằm hai tia Ox,Oz tia Oz nằm hai tia Ox, Ot đồng thời Oz nằm hai tia Oy, Ot ( ) − xOy = 1000 − 500 = 50 Ta có yOt = xOt = Vậy xOy yOt kết hợp với (1) suy tia Oy tia phân giác góc xOt Hình 104 = 750 − 500 = 250 = xOz − xOy zOy Ta có − xOz = 1000 − 750 = 250 = xOt zOt = zOt , kết hợp với ( ) suy Oz phân giác góc yOt Vậy zOy 78 Tia OD không nằm hai tia OE, OF nên tia OD khơng phải tia phân giác góc EOF 79 ( h.105 ) , COA khơng có điểm chung Ba góc AOB, BOC + COA = nên AOB + BOC 3600 Suy AOB = BOC = COA = 1200 Hai góc kề AOB AOC có tổng lớn 1800 nên tia OA ' tia đối tia OA nằm hai tia OB, OC Ta có A ' OB = A ' OC (cùng bù với hai góc nhau) Hình 105 Suy tia OA ' tia phân giác góc Chứng minh tương tự ta tia đối tia OB tia phân giác góc AOC ; tia đối tia OC tia phân giác góc AOB 80 ( h.106 ) Hai góc xOt yOt kề bù nên xOt = 1800 − a Muốn cho tia Oz phân giác góc xOt 2.= 1000 = xOt xOz Vậy 1800 − a = 1000 , suy a = 800 Hình 106 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -50- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com 81 ( h.107 ) AOB 500 BOM = AOM = = = 250 a) 2 AOC 1500 AON = = = 750 2 Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA , có AOM < AON ( 250 < 750 ) nên tia OM nằm hai tia OA, ON Hình 107 = Suy MON AON − AOM = 750 − 250 = 500 b) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có AOM < AOB < AON ( 250 < 500 < 750 ) nên tia OB nằm hai tia OM ON MON 500 = BOM = 25 ta có: nên tia OB phân giác góc MON 82 ( h.108 ) a) Tia Ox tia phân giác góc AOB suy AOx < AOB mà AOB < AOy (đề bài) nên AOx < AOB < AOy Suy tia OB nằm hai tia Ox Oy (1) Đồng thời tia Ox nằm hai tia OA Oy ( ) Hình 108 + BOy b) Từ (1) suy xOy = xOB Từ ( ) suy xOy = AOy − AOx ) (vì Do 2xOy AOx = BOx = AOy + BOy AOy + BOy hay xOy = 83 ( h.109 ) n = 20 ; lúc tia Ox10 tia phân giác chung 10 góc: ; x xOx Ox ; x Ox , , x Ox 20 19 18 10 Hình 109 84 Con trâu ăn cỏ hình trịn có tâm cọc bán kính 3m 85 5.4 = 10 (dây cung) a) Số dây cung b) Số cung đường tròn 10.2 = 20 cung Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -51- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com 86 ( h.110 ) a) Điểm C nằm hai điểm O A( bạn đọc tự giải thích) Suy AC = OA − OC = − = 1( cm ) Tương tự BD = 1cm Vậy AC = BD b) Vì DB = 1cm nên DM = 1cm Điểm M nằm D O (bạn đọc tự giải thích)mà DM = DO nên M trung điểm OD c) ON + ND = OD + DB = OB Hình 110 87 Gọi C điểm số 97 điểm lại Ba điểm A, B, C lập thành nhóm Theo đề bài, nhóm ba điểm chọn hai điểm có khoảng cách nhỏ Ta suy ra: Vì AB > nên AC < C nằm ( A;1) BC < 1, C nằm ( B;1) Như vậy, 97 điểm lại , nằm ( A;1) nằm ( B;1) Theo nguyên lí Điricle phải có đường trịn chứa 49 điểm, thêm điểm A B nên phải có đường trịn chứa 50 điểm số điểm cho 88 a) Có 10 tam giác là: ABC, ABD, ABE, ACE, ACD, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE b) Chỉ tam giác (bớt tam giác ABC ADE) 89 ( h.51) có tam giác BOE, COD,BOC, ABD, ACE, BEC, BDC, ABC 90 ( h.111) a) Tia AM nằm hai tia AB, AC nên điểm N nằm hai tia hai điểm B C Tia BM nằm hai tia BA BC nên điểm M nằm hai điểm A N b) Có tam giác hình (bạn đọc tự viết ra) Hình 111 91 a,b xem hình 112 c) E trung điểm OB ; D trung điểm OC Hình 112 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -52- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com 92 ( h.113a,113b ) Đường thẳng a bờ chung hai nửa mặt phẳng đối Hai điểm A B nằm hai nửa mặt phẳng đối Xét điểm C - Nếu C A nằm khác phía a C B phía a ( H 113a ) - đường thẳng a cắt cạnh AC không cắt cạnh BC Nếu C A nằm phía a C B nằm khác phía a ( H 113b ) đường thẳng a khơng cắt cạnh AC mà cắt cạnh BC Hình 113a Hình 113b 93 vuông; BOD ; COD nhọn; a) Các góc AOD tù AOC ; BOC b) Vì tia OD nằm hai tia OB, OC nên + COD = BOC = 900 BOD COD hai góc khơng nên hai góc phải nhỏ Do BOD 450 94 ( h.114 ) = + MAy a) MAx 1800 (kề bù) = 1800 − 1300 = 500 Suy MAy = 500 Tương tự: NAy = NAy Vậy MAy Mặt khác tia Ay nằm hai tia AM , AN nên tia Ay tia phân giác MAN = 500 + 500 = 1000 MAN b) Tia Bx nằm hai tia BM BN nên − MBO OBN = MBN = 1000 − 400 = 600 OBN Hình 114 c) Điểm O nằm hai điểm A B; muốn cho O trung điểm AB OA = OB Vì OA = 2cm nên OB = 2cm Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -53- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com 95 ( h.115 ) = zOn (1) (đề bài) a) Có zOm zOn hai góc nhọn nên zOm + zOn < 1800 zOm Suy tia Oz nằm hai tia Om, On ( 2) Từ (1) ( ) suy tia Oz tia phân giác góc mOn = b) Dễ thấy xOn yOn (cùng phụ với hai góc nhau) = xOt yOn (cùng bù với góc yOt ) = Suy xOm yOt ( 3) Hình 115 góc tù, xOm < xOn Ta chứng minh xOn < nOx < nOt nên tia Ox nằm Vậy tia Om nằm hai tia Ox, On suy nOm hai tia Om, Ot ( ) Từ ( 3) ( ) suy tia Ox tia phan giác hóc mOt 96 ( h.116 ) a) AB = 2(a + b) = 200 b) Tính NOB Từ suy tia ON tia phân giác góc MOB 97 a) Giả sử tia Ot nằm hai tia Ox,Oy + tOy = Thay số Ta có xOt xOy Hình 116 = 750 + tOy 450 Điều vơ lí nên tia Ot khơng nằm hai tia Ox,Oy b) Giả sử tia Ot nằm hai tia Ox,Oy Ta có: + tOy = Thay số ta đươc 750 + 1100 = xOy xOt xOy = 1850 điều vơ lí nên tia Ot không nằm hai tia Ox,Oy Hay xOy c) Nếu hai tia Ox, Oy thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ot hai tia Ox,Oy trùng nhau, trái đề Vậy hai tia Ox, Oy thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ chứa tia Ot + tOy = 900 + 900 = 1800 nên tia Ot nằm hai tia Ox, Oy Ta có xOt 98 ( h.117 ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -54- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com a) Bốn điểm A, B, M , N thẳng hàng chúng nằm đường thẳng MN b) Ta tính BM = 2cm Hai điểm N, M tia BA mà BN < BM (1 < ) nên điểm N nằm B M Dễ thấy NB = NM suy N trung điểm đoạn MB c) Đường trịn tâm N qua B nên có bán kính 1cm Đường trịn tâm A qua N nên có bán kính 4cm Chu vi ∆CAN = CA + AN + NB = + + = ( cm ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Hình 117 -55- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TỐN Website: tailieumontoan.com MỤC LỤC PHẦN: HÌNH HỌC Chương I ĐOẠN THẲNG § Điểm Đường thẳng Ba điểm thẳng hàng § Đường thẳng qua hai điểm § Tia… § Đoạn thẳng Độ dài đường thẳng Cộng độ dài hai đường thẳng §5 Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài 11 §6 Trung điểm đoạn thẳng .13 § Ơn tập chương I 15 Chương II GÓC 17 § Nửa mặt phẳng .17 §2 Góc Số đo góc Cộng số đo hai góc .19 §3 Vẽ góc cho biết số đo 22 §4 Tia phân giác góc 24 §5 Đường trịn………………………………………………………………………………………………………………26 §6 Tam giác … ………………………………………………………………………………………………………… 28 §7 Ơn tập………… ………………………………………………………………………………………………………… 30 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -56- ... hai đoạn thẳng BN CM cắt Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -1 8- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com §2 Góc Số đo góc Cộng số đo hai góc Kiến thức bản: Góc. .. góc vng, góc nhọn góc tù b) Nếu góc BOD COD khơng nhau, chứng tỏ hai góc có góc nhỏ 450 Hình 53 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -3 0- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN Website: tailieumontoan.com... thể vẽ hình 59 b) Có thể vẽ hình 60 Hình 59 Hình 60 Câu 9: Xem hình 61 m n A B p Hình 61 Câu 10: (h .62 ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 -3 3- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TỐN A Website: