Chuyên đề Chữ số tận cùng - Toán lớp 6

TaiLieu.VN gửi đến các em Chuyên đề Chữ số tận cùng - Toán lớp 6, tài liệu bao gồm tóm tắt lý thuyết và các dạng toán, bài tập sẽ giúp cho các em học sinh ôn tập dễ dàng. Mời các em cùng tham khảo.

1 CHUYÊN ĐỀ CHỮ SỐ TẬN CÙNG A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Tìm chữ số tận Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận 0,  1,  5,  6 nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận khơng thay đổi b) Các số có chữ số tận 4,  9 nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận khơng thay đổi c) Các số có chữ số tận 3,  7,  9 nâng lên lũy thừa bậc 4n   n    chữ số tận d) Các số có chữ số tận 2,  4,  8 nâng lên lũy thừa bậc 4n   n   chữ số tận Chú ý: Muốn tìm chữ số tận số tự nhiên x  a m , trước hết ta xác định chữ số tận a : - Nếu chữ số tận a 0,  1,  5,  6 x có chữ số tận 0,  1,  5,  6 - Nếu chữ số tận a 3,  7,  9 : Phân tích: a m  a 4n r  a n a r với r  0, 1, 2, Từ tính chất 1c  chữ số tận x chữ số tận ar - Nếu chữ số tận a 2,  4,  8 : trường hợp Từ tính chất 1d  chữ số tận x chữ số tận 6a r Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n  n    chữ số tận không thay đổi Chữ số tận tổng lũy thừa xác định cách tính tổng chữ số tận lũy thừa tổng Tính chất 3: a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n  có chữ số tận 7; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n  có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n  có chữ số tận 8; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n  có chữ số tận c) Các số có chữ số tận 0,  1,  4,  5,  6,  9 nâng lên lũy thừa bậc 4n  không thay đổi chữ số tận Tính chất 4:   Nếu a   a ,  a 100  chia hết cho 125 Chứng minh: Do a 20  chia hết cho 25 nên a 20 ,  a 40 ,  a 60,  a 80 chia cho 25 có số dư  a 20   a 40   a 60   a 80   1 chia hết cho    Vậy a 100   1     a 20   1   a 80   a 60   a 40   a 20   1 chia hết cho 125 * Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận số A  n k với n, k  N   k - Giả sử A  10q  r Khi đó, A k  10q  r  10t p  r k với r  ;  r  Suy ra, chữ số cuối A chữ số cuối số r k - Nếu A  100a  bc  abc bc hai chữ số cuối A - Nếu A  1000a  bcd  abcd bcd ba chữ số cuối A - Nếu A  10m.am  am 1 a  am a1a am 1 a m chữ số cuối A Tìm hai chữ số tận Việc tìm hai chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số dư phép chia x cho 100 Phương pháp tìm hai chữ số tận số tự nhiên x  a n : Trước hết, ta có nhận xét sau: 220  76  mod 100 320  01 mod 100 65  76 mod 100  01 mod 100 Mà: 76n  76 mod 100 với n  , 5n  25  mod 100 với n  Suy kết sau với k   * : a 20k  00 mod 100 a  mod 10 , a 20k  01 mod 100 a  1; 3; 7; mod 10 , a 20k  25 mod 100 a  mod 10 , a 20k  76 mod 100 a  2; 4; 6; mod 100 Vậy để tìm hai chữ số tận a n ta lấy số mũ n chia cho 20 Dạng Một số trường hợp cụ thể chữ số tận - Các số có tận 01; 25; 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 01; 25; 76 - Các số 320 (hoặc 815 ); ; 512 ; 992 có tận 01 - Các số 220 ;  65 ; 18 ; 242 ; 68 ; 742 có tận 76 - Số 26n   n  1 có tận 76 - Các số có chữ số tận 01;25; 76 nâng lên lũy thừa bậc khác hai chữ số tận không thay đổi (1) - Các số 320 ; ; 910 ;512 ; 815 ;992 có chữ số tận 01 (2) - Các số 410 ; 65 ;184 ;242 ; 68 ; 742 có chữ số tận 76 (3) n - Số 26 (n  1) có chữ số tận 76 (4) Như vậy, muốn tìm chữ số tận số tự nhiên x  a m , trước hết ta xác định chữ số tận a Dạng CHÚ Ý: - 410 có chữ số tận 76 - 52 có chữ số tận 25 - 820 có chữ số tận 76 - 910 có chữ số tận 01 Tìm ba chữ số tận trở lên Việc tìm ba chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số dư phép chia x cho 1000 Giả sử n  100k  r với  r  100 , đó: a n  a 100k r  a 100  a r k  Giả sử: a  x mod 10 , x  0, 1, 2, , 9 Ta có: a 100  10k  x  100  x 100   mod 1000 Vậy chữ số tận a 100 chữ số tận x 100 Dùng quy nạp với n  , ta có: 625n  625 mod 1000 , 376n  376  mod 1000 - Nếu x  x 100  000  mod 1000 - Nếu x  x  54  625  x 100  54   625  mod  103  25 - Nếu x  1; 3; 7; ta có tương ứng:  x  1; 81; 2401; 6561  mod  40  x 100  40k  1  mod 103 25  - Nếu x  2; 4; 6; x 100  2100      Ta có: x , 125  nên x 100  1  mod 125 (Định lí Euler) Giả sử chữ số tận x 100 abc ta có: x 100  1000k  abc  abc  abc  1  mod  125 Trong số 1; 126; 376; 501; 626; 751; 876 (các số có chữ số chia cho 125 dư 1) có số chia hết cho 376 Vậy x 100  376  mod  1000 Do ta có kết sau:      a 100k  000  mod  103 a  mod 10   a 100k  001  mod  103 a  1; 3; 7; mod 10       a 100k  625 mod  10 a  mod 10   a 100k  376  mod  103 a  2; 4; 6; mod 10  Vậy để tìm ba chữ số tận a n ta tìm chữ số tận số mũ n Dạng Một số trường hợp cụ thể chữ số tận Các số có tận 001; 376; 625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 001; 376; 625 Các số có tận 0625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 0625 II CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Tìm chữ số tận Ví dụ 1.1: Tìm chữ số tận số sau: a ) 3240 b) 20182019 c )27 50 d ) 20192020 Phân tích: - Ta biết số tận 2;4;6;8 nâng lên lũy thừa 4n cho tận Còn số tận 1;3;7;9 nâng lên lũy thừa 4n cho tận - Để đưa lũy thừa 4n em cần viết số mũ dạng cơng thức phép chia có dư với số chia - Để tìm chữ số tận lũy thừa ta cần tìm chữ số tận hàng đơn vị Lời giải a) Để tìm chữ số tận 3240 ta tìm chữ số tận 240 Ta xét 240 , ta có 240  24.10  Vậy 3240 có chữ số tận b) Để tìm chữ số tận 20182019 ta tìm chữ số tận 82019   Ta xét, ta có 82019  4.502     Vậy 20182019 có tận c) Chữ số tận 2750 chữ số tận 50   Ta có 50  4.12    49  Vậy chữ số tận 2750 d) Chữ số tận 20192020 chữ số tận 92020 Ta có 92020  94.505  Vậy chữ số tận 20192020 Bình luận: Với phần d) ta giải sau: Vì chữ số tận mà nâng lên lũy thừa chẵn tận 1, 20192020 có tận 2021 Với cách giải ta hồn tồn mở rộng số cho phần d), chẳng hạn số 20192020 2019 , 2050 2020 ,… Ví dụ 1.2: Tìm chữ số tận 32020 Phân tích: Để tìm chữ số tận số ta phải đưa số có tận Lời giải Ta thấy 34  81 , số tận nâng lên bậc lũy thừa có chữ số tận nên ta phân tích 32020  34.505  81505 Vậy số 32020 có chữ số tận Ví dụ 1.3: Tìm chữ số tận số sau 24 2015 a )2625 b)20132014 c)7850 5152 Phân tích: Trong ta khơng thể viết số mũ dạng 4n , dễ biểu diễn ta dùng đồng dư thức để tìm dư phép chia số mũ cho Lời giải a) Trước hết ta tìm số dư phép chia 2524 chia cho     Ta có 25  mod  2524  mod  2524  4k  k  N *  24 Suy ra, 2625  264k 1  264k  26   26  24 Vậy 2625 có tận Nhận xét: Trong phần rõ ràng dựa vào nhận xét ‘Số có tận nâng lên lũy thừa ln có tận ’ lời giải đơn giản b) Tương tự, ta tìm số dư chia số mũ 2013 cho     2014  mod  20142015  22015 mod  2015  mod   2014 2015 2.1002 1002  Ta có 2 2  2   20142015  4k k  N * 2015 Do 20132014 2015 Vậy 20132014    20134k  20134k  có tận 52 c) Trước hết ta tìm số dư phép chia 5051 chia cho       Ta có 50  mod ; 502  mod ; 50k  mod k  2   Suy 5051  mod n  N  52 52   52 Mà 5152 số lẻ nên 5051  mod  5051  4m (m  N ) Từ ta có 7850 Vậy 7850 5152 5152  784m  784m  có tận Bình luận: Với tốn dạng lũy thừa tầng ta ln ý tìm cách viết số mũ dạng công thức phép chia có dư với số chia Tuy nhiên, tận số đặc biệt như: 0;1;5;6 ta nhận xét mà khơng cần quan tâm đến giá trị số mũ Còn tận ta xem xét tính chẵn lẻ số mũ để suy kết Ví dụ 1.4: Tìm chữ số tận a )7 89  481 b )22014.91955 Lời giải a) Ta có: 789  4.21.7  7.240121 nên số có số tận 81  42.40.4  1640.4 nên số có số tận Vậy số 789  481 có chữ số tận b) Ta có: 22014  24.506.22  16506.4 nên số có số tận 91955  92.977.9  81977.9 nên số có số tận Vậy số 22014.91955 có chữ số tận Ví dụ 1.5: Tìm chữ số tận tích sau: b) 1.3.5 2019 2020 a )2627.2728 200202 c) 8.18.28.38 198 d ) 1.3.9.11.13.17 2019 100 Phân tích: Để tìm chữ số tận tích ta tìm chữ số tận thừa số nhóm thừa số Lời giải a) Ta thấy 26 có tận , mà số tận nâng lên lũy thừa tận Do đó, 2627 có tận Có 2728  27 4.7  Suy 2627  2728    Vậy tích có tận Khai thác: - Vì tích có tận nên ta yêu cầu khác sau: 2627  2728  số tự nhiên 10 Chứng minh số - Nếu để ý đến cơng thức lũy thừa tích ta làm sau:   2627  2728  2627  2727  27  26  27  27  27    46   463   27    27   27 b) Ta biết tích với số lẻ có tận , tích     2019 có tận Mặt khác, số có tận nâng lên lũy thừa tận Vậy 1     2019 2020 có tận Khai thác: Ta biết tích hai số tự nhiên liên tiếp có tận số sau: 0;2;6 đó, ta tốn sau: Tìm tất số tự nhiên n cho: a ) n  n  1     2019 2020 ; b) 2n  12n  2  1     2019 2020 c) Đặt A   18  28  38   198 Số thừa số tích là: 198  8 : 10   20 (số hạng) (1) Ta thấy tích thừa số có tận có tận Vì có 20 thừa số ta kết hợp nhóm nhóm có thừa số, tích nhóm có chữ số tận Do kết tích A có chữ số tận Mà số có tận nâng lên lũy thừa có tận , suy 202 A200 có tận Vậy lũy thừa tích có tận Khai thác: - Ta để ý, chữ số tận A chữ số tận     ( 20 thừa số), ta quy việc tìm chữ số tận 20 200202 - Ta có mở rộng tốn cách cho tăng số lượng thừa số tích - Hồn tồn tương tự, ta thay đổi chữ số tận thừa số tích chữ số khác Chẳng hạn, tìm chữ số tận số sau: A  2  12  22   2022 2020 100200 B  7  17  27   2017 d) Ta để ý nhóm    9;11  13  17  19; ;2011  2013  2017  2019 có tận giống nhau, nên ta tìm chữ số tận nhóm Ta có     Có số nhóm là: (2011  1) : 10   202 (nhóm) 10 Suy 1    11  13  17   2019   9     9  9  1  Vậy 1     11  13  17   2019   1  nên có tận 202  4502 450 100 100 Khai thác: Ta thấy tất thừa số tích khơng chia hết cho , nên ta thay đổi cách phát biểu toán sau: Cho số A  1      11  13  15   2019 , sau gạch bỏ tất số chia hết cho A, ta số B Tìm chữ số tận B100 - Bài tốn thay đổi thừa số lẻ thừa số chẵn, chẳng hạn: Tìm chữ số tận số B  2     12  14  16   2018 2019 Ví dụ 1.6: Tìm chữ số tận tổng sau: S    21    35   49         20048009 Phân tích: Trong dạng ta phải tìm quy luật tổng, quy luật số mũ số hạng S, số mũ chia dư Mà ta biết số nâng lên lũy thừa dạng 4n  có tận khơng đổi Lời giải: Nhận xét: Mọi lũy thừa S có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n 4n  – 2   1 , n thuộc 2; 3; ;2004 ) Theo tính chất, suy lũy thừa S số tương ứng có chữ số tận giống nhau, chữ số tận tổng: 2     9  199.1     9      200 1     9   9009 Vậy chữ số tận tổng S Tổng quát hóa: Tìm chữ số tận tổng sau: S  21    35   49         n 4n 21 Ví dụ 1.7: Tìm chữ số tận tổng T  23  37  411   20048011 Lời giải: 31 Ví dụ 5.9: Cho số chinh phương có chữ số hàng chục khác chữ số hang đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số phương Lời giải Số phương có chữ số hang đơn vị chữ số hàng chục số số lẻ Mà chữ số hàng chục số phương cho khác Vì chữ số hàng chục số phương cho 1; 3; 5; 7; tổng chúng là:      25  52 số phương Ví dụ 5.10: Chứng minh N  20124n  20134n  2014 4n  20154n số phương Lời giải Ta có 20124 có chữ số tận nên 20124n có chữ số tận Có 20134 có chữ số tận nên 20134n có chữ số tận Có 20144 có chữ số tận nên 20144n có chữ số tận Mà 20154n có chữ số tận Do N  20124n  20134n  20144n  20154n có chữ số tận Mặt khác, khơng có số phương có chữ số tận Vậy N khơng số phương III BÀI TẬP Bài 1: Tìm chữ số tận số: a )      7 99         b) 141414              c) 4567 Lời giải: a) Trước hết, ta tìm số dư phép chia 99 cho : 99  4.24   799  7963  4.243  4.24.7 Từ kết luận (II)  chữ số tận 99 chữ số tận 73  343 b) Chữ số tận 14 32 Ta có: 1414  4.353  141414  144.3532  144.353.142 từ kết luận (III)  Chữ số tận 141414 chữ số tận c) Ta có: 567  4.141  4567  44.1413  44.141.43 từ kết luận (III)  Chữ số tận 4567 chữ số tận 6.43  384 Bài 2: Tìm chữ số tận số: b) 122020 a) 187 324 c) 142020 Lời giải a) Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa bậc số có tận Các số có tận nâng lên luỹ thừa (khác ) tận  Do 187 324  187  81    1 81  1 Vậy chữ số tận 187 324 b) Ta có: 122020  62020.22020 Nhận thấy: 61 có tận ; 62 có tận ; 63 có tận ; Vậy 6n có tận suy 62020 có tận Lại có: 24  16 có tận ;   Suy 22020  24 505  16505 có tận    Vậy 122020  62020.22020   có tận c) Ta thấy: 142020  22020.72020   505 Mà: 22020  24   Và 72020  72 1010  16505  có tận    491010  492 505  2401505  có tận 33    Vậy 142020  có tận Bài 3: Tìm chữ số tận số: 67 14 b/ 1414 ; a/ ; c/ 35 Lời giải a/ Có: 99  8  1  4k  , với k   9   4k 1  7.7 4k  7.492k có chữ số tận 7.1  b/ Ta có 1414  1967  49.4  4k với k   14  1414  4k 4k  16k 2401k nên có chữ số tận 67 c/ Có 56  4  1  4k  với k   67  35  34k 1  3.34k  3.81k có tận 3.1  Bài 4: Chứng minh rằng: a/ 8102  2102 chia hêt cho 10 b/ n  n  không chia hết cho 20152020 với n   c/ p n  3p 4n  chia hết cho với p số nguyên tố lớn n   Lời giải a/ Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa số có tân Một số có tận nâng lên luỹ thừa (khác ) có tận Do ta biến đổi sau:   25     82    22  1625.4     có tận 25 8102  84 2102  24 25 64  64   có tận   Vậy 8102  2102 có tận nên chia hết cho 10 b/ Ta thấy so 20152020 có chữ số tận , nên chia hết cho Ta có n  n   n n  1  có chữ số tận 1, 3, (vì n n  1 có tận 0,2,6 ), nên khơng chia hết cho 34 Vậy n  n  không chia hết cho với n   c/ Vì p số nguyên tố lớn nên tận p chữ số: 1;3;7;9 - Nếu p có tận p n  3p 4n – có tận nên chia hết cho ; - Nếu p có tận p n  10k  34 n  10k  81n có tận ; p 8n có tận , nên: p n  3p 4n – có tận , nên chia hết cho - Nếu p có tận tương tự: tận p 4n p 8n có tận , nên tổng chia hết cho - Nếu p có tận thì: p n  10k  94n  10k  812n có tận   p 8n  p 4n có tận , nên tổng chia hết cho Tóm lại với p số nguyên tố lớn p n  3p 4n – chia hết cho , với n  Bài 5: Tìm hai chữ số tận 51991 Lời giải Vì 25 lũy thừa lên có tận 25 nên ta tìm cách tách 51991 thành tích lũy thừa có số 25 phận cịn lại: 51991  51990.5  (52 )995  25995.5 Vì 25995 có hai số tận 25 mà 25.5 = 125 nên 25995.5 có hai số tận 25 24 Bài 6: Tìm hai chữ số tận 2424 Lời giả Vì 2424 số tự nhiên chẵn nên đặt 2424 = 2k ( k số tự nhiên đủ lớn), từ 24 2424  242k  (242 )k  576k Vì số tự nhiên có tận 76 lũy thừa lên số có tận 76 24 24 nên hai chữ số tận 24 76 Bài 7: Tìm hai chữ số tận 45236  11 Lời giải Ta có 35   45236  452 118  2025118  25  45236  11  36 Hai chữ số tận 45236  11 36 Bài 8: Cho A   22  23   239 Tìm hai chữ số tận A Lời giải A   22  23   239 2.A  22  23   240 A  240    Có 240  220  10485762 , mà số có hai số tận 76 nâng lên lũy thừa khác số tự nhiên có hai số tận 76 nên 240 có hai số tận 76 Từ A  240  có hai số tận 74 Bài 9: Tìm hai chữ số tận 71991 Lời giải 71991  71988.7  (7 )497 343  (2401)497 343  .01.343  .43 Vậy hai chữ số tận 71991 43 Bài 10: Tìm hai chữ số tận 5151 Lời giải 5151  5150.51  (512 )25 51  ( 01)25 51  .01.51  .51 Vậy hai chữ số tận 5151 51 99 Bài 11: Tìm hai chữ số tận 9999 Lời giải Vì 9999 số lẻ nên đặt 9999  2k  Ta có k 99 9999  992k 1  992k 99  (992 )k 99  9801 99  01.99  99 99 Vậy hai chữ số tận 9999 99 36 Bài 12: Chứng minh 45236  11 chia hết cho Lời giải Ta có   45236  452 118  2025118  25  45236  11  36 Vì có hai chữ số tận 36 mà 36 chia hết 45236  11 chia hết cho Bài 13: Tìm hai chữ số tận số:    b) 7 a ) 22003 Phân tích: a) Do 22003 số chẵn, ta tìm số tự nhiên n nhỏ cho 2n1  25 Viết m  p n  q  p; q    , q số nhỏ để aq ∶ ta có: x  22003  2q (2 pn  1)  2q 2q (2 pn  1) 100 b) Nếu lẻ , gọi n số tự nhiên cho 7n1 100 Viết m  u n  v u; v  ,  v  n  ta có x  99  7v (7un  1)  v Trong 7v (7 un  1)100 Lời giải: a) Ta có    210  1024  210   1025    25  220   210  210   25  20   2   100 Mặt khác: 22003  23 (22000  1)   23 [(220 )100  1]   100k  8  (k  ) Vậy hai chữ số tận 22003 08 b) Cách 1: Ta có 74  2401  74   2400 100 Mặt khác: 99 – ∶  99  4k  ( k   ) 9 Vậy  4k 1  7(7 4k  1)   100q  7 (q  ) Vậy hai chữ số tận 07 37 Cách 2: Ta có  2401 , số có tận 01 nâng lên lũy thừa có tận 01 Do   k 79  4k 1  7  2401   01.7  07 k Vậy hai chữ số tận 07 Bài tốn tương tự: Tìm hai chữ số tận số: 3517 a) b) 71991 Bài 14: Tìm hai chữ số tận số: a ) 2999    b) 3999 Lời giải: a) Cách 1: Ta thấy 2999  21000 : Mặt khác ta có: +) 21000 chia 25 dư 1, hai chữ số tận 21000 01;26;51;76 +) 21000 bội Suy 21000 có hai chữ số tận phải 76 Như hai chữ số tận 2999 38 (  76 : ) 88 ( 176 : ) Nhưng 2999 bội nên hai chữ số tận 88 Cách 2: Ta có 210  1024 , bình phương hai số có tận 24 tận 76, số có tận 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) có tận 76 Do   21000  210 100  1024 100 Làm tiếp tục làm Cách b) Ta có  81  19(mod100);  192  61(mod100) 310  61.9  49(mod100) 3100  4910  01(mod100)   10242  50   76  76 50 38 Nghĩa hai chữ số tận 31000 01 Vì 31000 bội 3, nên chữ số hàng trăm chia cho phải cho số dư (chia tiếp số 201 chia hết cho 3, số dư hay số 001, 101 không chia hết cho 3) Vậy số 3999  31000 : có hai chữ số lận 76 (=201:3) Bài 15: Tìm hai chữ số tận tổng: S  12002  22002  32002    20042002 Lời giải: Dễ thấy, a chẵn a chia hết cho ; a lẻ a 100  chia hết cho ; a chia hết cho a chia hết cho 25 Mặt khác, với a   (a,1)  (a, 5) = ta có a 20  1    25   a 100  1    25 Vậy với a   ta có a (a 100  1) 100 Do S  12002  22 (22000  1)   20042 (20042000  1)  22  32   20042 Vì hai chữ số tận tổng S hai chữ số tận tổng 12  22  32   20042 áp dụng công thức: 12  22  32   20042  n n  12n  1  12  22  32   20042  2684707030 Vậy hai chữ số tận tổng S 30 Bài tốn tương tự: Tìm hai chữ số tận tổng: S  12003  22003  32003   20042003 Tìm hai chữ số tận 22015  22016  22017 Lời giải: Ta có 22015  22016  22017  22000 (215  216  17 ) Ta lại có 22000  (220 )100   Vì 220  76 mod100 nên 220 100  76(mod100) hay 22000 có hai chữ số tận 76 Từ suy hai chữ số tận tổng hai chữ số tận tích 76.76 Bài 16: Tìm ba chữ số tận 339998 Lời giải: 39 Do 9, 5   9100 – 1  125         (1) Mà 9100 –  1   8    2 Lại có 8,  125  1, từ (1) (2) suy ra: 9100  –  1    1000   339998    91999    9100 p      99    999 (9100 p  –  1)    999   1000q     999   p,  q     N  Vậy ba chữ số tận 339998 ba chữ số tận 999 Lại 9100  – 1    1000 => ba chữ số tận 9100 001 mà 999   9100 : 9  ba chữ số tận 339998    889 (dễ kiểm tra chữ số tận 999  9 , sau dựa vào phép nhân ¯¯¯¯¯¯¯¯??9.9=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 001??9¯.9= 001¯ để xác định ¯¯¯¯¯¯¯¯??9=889??9¯=889 ) Vậy ba chữ số tận 339998    889 Tìm chữ số tận A  3.7.112011 Lời giải: Gọi x chữ số tận A , ta có A  x(mod1000) x lẻ Vì A chứa 15,  35,  55 nên A   125  x  125  x  125; 375;625; 875 Ta có: A  3.7.11 2011  3.(4.1  3)(4.2  3) (4.502  3)      3.7 3.7  3.7 .3  5.5 5.3   1.1 1.5.3  7(mod 8)  251 251      x  7(mod 8)  x  375 Vậy chữ số tận A 375 Bài 17: Tìm chữ số tận tích A 11 số nguyên dương Lời giải: Ta có: A  1.2.3.4 11 Trong biểu thức A có thừa số 2;  5;  10 nên A chia hết cho 100 Vậy chữ số tận A 00 Ta có: A  1.3.4.6.7.8.9.11  2.6.7.8.9.11 100  2.7.8.9.11  4.8.9.11  2.9.11  8.11  8(mod10) Vậy chữ số tận A 800 Bài 18: Chứng minh 102 - 102 chia hêt cho 10 40 Lời giải Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa số có tân 6.Một số có tận nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận Do ta biến đổi sau: 102 =(8 4)25.8 = (….6)25.64=(….6).64 = …4 102 =( 24)25.2 =16 25.4 =(…6).4 = …4 Vậy 8102 -2102 tận nên chia hết cho 10 Bài 19: Tồn hay không số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho 19952000 Lời giải Theo tính chất 1a => 1995 2000 tận chữ số nên chia hết cho Vì vậy, ta đặt vấn đề liệu n + n + có chia hết cho khơng ? Ta có n2 + n = n(n + 1), tích hai số tự nhiên liên tiếp => Chữ số tận n2 + n ; ; => n2 + n + tận ; ; => n2 + n + không chia hết cho Vậy không tồn số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho 19952000 Bài 20: Chứng minh 261570 chia hết cho Lời giải Ta thấy:26 = 11881376 , số có tận 376 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) có tận 376.Do đó: 261570=(26 5)314=(…376)314=(…376) Mà 376 chia hết cho Một số có ba chữ số tận chia hết cho chia hết cho Vậy 261570 chia hết cho Bài 21: Chứng minh số n  20042  20032  20022  20012 số phương Phân tích: Số phương có chữ số tận 0,1, 4,5,6,9 số tận 2, 3,7, khơng phải số phương Lời giải Ta thấy chữ số tận số 20042 , 20032 ,20022 , 20012 6,9, 4,1 Do số n có chữ số tận , nên n khơng phải số phương 14 Bài 22: Chứng tỏ A  1414  99  23 khơng phải số phương 41 Phân tích: - Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n  có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n  có chữ số tận - Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n  có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n  có chữ số tận - Các số có chữ số tận 0,1, 4,5,6,9 , nâng lên lũy thừa bậc 4n  không thay đổi chữ số tận Lời giải 14 A  1414  99  23 14 Ta có: 1414 có chữ số tận 9 có chữ số tận 23 có chữ số tận Suy A có chữ số tận 6   2  Vậy A số phương Bài 23: Chứng tỏ C   52  53  54   52020 khơng phải số phương Lời giải C   52  53  54   52020 Ta có:  52  53  54   52020  52  53  54   52020  25 C   52  53  54   52020 không chia hết cho 25 Vậy C số phương 42 Bài 24: Chứng minh 1234567890 khơng phải số phươngLời giải Ta thấy số chia hết cho chữ số tận lại khơng chia hết cho hai chữ số tận Vì vậy, số khơng phải số phương Lời giải Ta thấy số 1234567890 chia hết cho chữ số tận lại khơng chia hết cho 25 hai chữ số tận 90 Vì vậy, số 1234567890 khơng phải số phương Bài 25: Cho B       2021 chứng tỏ B số phương Lời giải B       2021 Số số hạng: 2021  2021  1  2 2021  2021   2021  1   10112 Tổng B     2  Vậy B số phương   Bài 26: Cho A  200 92013  92012  92011   92   Chứng minh A  25 số phương Lời giải Đặt B  92013  92012  92011   92    9B  92014  92013    92  92014  92014   A  200.B  200  25 92014   A  25  25.92014  5.91007  8B  92014   B    Vậy A  25 số phương   43 B.BÀI TỐN TRONG ĐỀ THI HSG VÀ CHUYÊN TOÁN Bài a) Tìm hai chữ số tận số sau: 2100 ; 71991 b) Tìm chữ số tận số sau: 51992 Bài Tìm chữ số tận số sau: a) 571999 b) 931999 Bài 3 48 49 Cho S        Tìm chữ số tận S Bài (Đề HSG trường Lê Q Đơn năm 2014-2015) Tìm hai chữ số tận 2100 ? Bài (Đề HSG trường Võ Thị Sáu năm 2014-2015) Cho A = + 22 + 23 + + + 220 Tìm chữ số tận A Bài Tìm chữ số tận số sau: a) 57 2011 b) 931999 Bài (Đề HSG 2019-2020) Tìm chữ số tận số sau: a) 571999 b) 931999 Bài (Đề HSG 2017-2018) Cho A   52   596 Tìm chữ số tận A HƯỚNG DẪN Bài a) Tìm hai chữ số tận số sau: 2100 ; 71991 b) Tìm chữ số tận số sau: 51992 Lời giải a) *Tìm hai số tận 2100 210  1024 , bình phương hai số có tận 24 tận 76, có số tận 76 nên nâng lên lũy thừa 76 10 5 Do đó: 2100   210   1024    76   .76 Vậy hai số tận 2100 76 *Tìm hai chữ số tận 71991 44 Ta thấy  2401, số có tận 01 nâng lên lũy thừa 01 Do đó: 71991  71988.73    497 343   01 497 343   01 343  .43 Vậy 71991 có hai số tận 43 b) Tìm số tận 51992 Ta có: 51992   54  498  0625498  0625 Bài Tìm chữ số tận số sau: a) 571999 b) 931999 Lời giải   a) Ta có: 71999  499  2401499.343  nên chữ số tận Vậy số 571999 có chữ số tận   b) 31999  34 499 33  81499.27 nên có chữ số tận Bài 3 48 49 Cho S        Tìm chữ số tận S Lời giải S  1   32  33    34  35  36  37     344  345  346  347   348  349 Các tổng số hạng chia hết cho 10, tận 48 49 Mặt khác:   34.12  348.3   1.3  Vậy S có tận Bài 4.(Đề HSG trường Lê Q Đơn năm 2014-2015) Tìm hai chữ số tận 2100 ? Lời giải Ta có: 210  1024; 10 2100   210   102410  10242  Mà 1024 có hai chữ số tận 76 =>( 1024 ) có hai chữ số tận 76 Vậy 2100 có hai chữ số tận 76 Bài 5.(Đề HSG trường Võ Thị Sáu năm 2014-2015) Cho A = + 22 + 23 + + + 220 Tìm chữ số tận A Lời giải A = (2 + 2 + 23 + 24 + + 20.) = 22 + 23 + 24 + 25 + + 21 45 Nên A.2 - A = 21 -2  A = 21 - Ta có : 21 = 24.5+1 = (24)5 = 165 165 có tận Nên 16 có tận có tận Vậy A có tận Bài Tìm chữ số tận số sau: a) 57 2011 b) 931999 Lời giải a) Tìm chữ số tận số 572011 Xét 72011; ta có: 72011 = (7 4)502.73 = 2401502 343 Suy chữ số tận Vậy số 572011 có chữ số tận b) Tìm chữ số tận số 931999 Xét 31999; ta có: 31999 = (3 4)499 33 = 81499.27 Suy chữ số tận Vậy số 31999 có chữ số tận Bài (Đề HSG 2019-2020) Tìm chữ số tận số sau: b) 571999 b) 931999 Lời giải a) Ta có: 71999    499 73  2401499.343  nên chữ số tận Vậy số 571999 có chữ số tận b) 31999   34  499 33  81499.27 nên có chữ số tận Bài (Đề HSG 2017-2018) Cho A   52   596 Tìm chữ số tận A Lời giải A   52   596  5A  52  53   596  597  5A  A  597   A  597  Ta có: 597 có chữ số tận  597  có chữ số tận Vậy chữ số tận A ... tìm chữ số tận số tự nhiên x  a m , trước hết ta xác định chữ số tận a Dạng CHÚ Ý: - 410 có chữ số tận 76 - 52 có chữ số tận 25 4 - 820 có chữ số tận 76 - 910 có chữ số tận 01 Tìm ba chữ số tận. .. có chữ số tận 1; chữ số hàng chục chữ số chẵn - Số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số lẻ - Số phương có chữ số tận chữ số hàng chục Ví dụ 5 .6: Tìm số phương có chữ số gồm chữ số 0; 2;... thừa bậc 4n  có chữ số tận - Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n  có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n  có chữ số tận - Các số có chữ số tận 0,1, 4,5 ,6, 9 , nâng lên