Chuyen de so chinh phuong(BDHSG toan 8)

GV: Lê Văn Hoà - THCS Xuân Lâm Tĩnh Gia Thanh Hoá Chuyên đề : số chính phuơng (Dùng BD HSG Toán 8) I. Lí thuyết: 1. S chớnh phng(SCP)l bỡnh phng ca mt s t nhiờn. Mời số chính phơng đầu tiên là : 0;1;4;9;16;25;36;49;64;81 2. Một số t/c của SCP: S chớnh phng ch cú th tn cựng bng 0, 1, 4, 5, 6, 9, khụng tn cựng bởi các chữ số 2, 3, 7, 8. Khi phõn tớch ra tha s nguyờn t, s chớnh phng ch cha cỏc tha s nguyờn t vi s m chn, khụng cha cỏc tha s nguyờn t vi s m l. Chẳng han: 3600 2 4 2 2 60 2 .3 .5= = Từ đó suy ra: - Số chính phơng 2N M thì 2 2 4N =M - Số chính phơng 3 2 8N =M thì 4 2 16N =M Tổng quát: , nếu số chính phơng 2 1k N p + M thì + M 2 2 ( nguyen to,k N ) k N p p . S c s ca mt s chớnh phng l s l. o li, mt s cú s c s l thỡ s ú l s chớnh phng. Số chính phơng chia : + Cho 3 chỉ có thể d 0 hoặc 1. + Cho 4 chỉ có thể d 0 hoặc 1. + Cho 5 chỉ có thể d 0 hoặc d 1 hoặcd 4. + Số chính phơng lẻ chia cho 4 hoặc 8 đều d 1. Giữa hai SCP liên tiếp không có số chính phơng nào . * < < + 2 2 2 ( 1)n x n (1) không tồn tại x Z thoả mãn (1). * < < + = + 2 2 2 2 2 ( 2) ( 1)n x n x n Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phơng thì một trong hai số nguyên đó là số 0. 3. Nhận biết một số là SCP. a) Để chứng minh N là một số CP ta có thể: - Biến đổi N thành bình phơng của một số TN hoặc số nguyên. - Vận dụng tính chất : nếu hai số TN a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số CP thì mỗi số a, b cũng là một số CP. b) Để chứng minh N không phải là số CP ta có thể : - C/minh N có các chữ số tận cùng là: 2, 3, 7, 8 hoặc có một số lẻ chữ số 0 tận cùng . - C/minh N chứa số nguyên tố với số mũ lẻ. - Xét số d khi chia cho 3 hoặc cho 4 hoặc cho 5, cho 8 Chẳng hạn: nếu N chia cho 3 có số d là 2; hoặc cho 4 , cho 5 có số d là 2; 3 thì N không phải là số CP. - C/minh N nằm giữa hai số CP liên tiếp. II. Bài tập: 1. Chứng minh { { = + 2 11 1 88 8 1 n n A là một số CP. Giải { { = + 2 11 1 88 8 1 n n A = { { { { + n 11 1 00 0 +11 1 8.11 1 1 n n n 1 GV: Lê Văn Hoà - THCS Xuân Lâm Tĩnh Gia Thanh Hoá Đặt : { 11 1 n = a thì { =99 9 9 n a . Do đó { + = = +99 9 1 10 9 1 n n a Ta có : A = a.10 n + a - 8a + 1 = a(9a+1)+a-8a+1 = 9a 2 6a + 1 = (3a - 1) 2 = (3 { 11 1 n -1) 2 = { 2 1 33 32 n Vậy A là một số CP. 2. Chng minh s { { = 1 11 155 56 n n A l s chớnh phng. HD Vy : l s chớnh phng Dạng bài tập t ơng tự: Chứng minh các số sau là số CP: a) Chứng minh { { ( ) = + + 2 11 1 44 4 1 n n M n N b) Chứng minh { { { ( ) + = + + + 2 1 11 1 11 1 66 6 8 n n n N n N HD: Đặt { 11 1 n = a. a) M = { { { { + + n 11 1 00 0 +11 1 4.11 1 1 n n n = a.10 n + a + 4a + 1 = a(9a+1) + a +4a + 1 = 9a 2 + 6a + 1 { = + = 2 2 1 (3 1) 33 34 n a b) N { { { + = + + + = + + + + + 2 1 11 1 11 1 66 6 8 .10 10 1 6 8 n n n n a a a a { = + + + = + = 2 2 1 (9 1) 17 9 (3 3) 33 36 n a a a a 3. Cho a { =11 15 n ; b { =11 19 n . Chứng minh rằng : ab + 4 là số chính phơng. HD: ab + 4 = a(a + 4) + 4 = (a + 2) 2 { = + 2 (11 15 2) n { = 2 11 17 n 2 GV: Lê Văn Hoà - THCS Xuân Lâm Tĩnh Gia Thanh Hoá 4. Cho a { =11 1 n ; b { = 2 100 011 (n 2) n . Chứng minh rằng : ab + 4 là số CP. HD: ab + 4 = a( { +100 0 11 n )+4 = a(10 n + 1) + 4 = a(9a + 12) + 4 = (3a + 2) 2 { = 2 1 33 35 n 5. Chứng minh s { { = +11 155 5 1 n n A l s chớnh phng. 6. Chứng minh rằng: a. Tổng của 3 số CP liên tiếp không phải là một số CP. b. Tổng S = 1 2 + 2 2 + + 30 2 không phải là số CP. Giải a. Gọi 3 số CP liên tiếp là (n - 1) 2 ; n 2 ; (n + 1) 2 Ta có (n - 1) 2 + n 2 + (n + 1) 2 = 3n 2 + 2. Tổng này chia cho 3 d 2 nên không phải là số chính phơng. b. Ta có S = (1 2 + 2 2 +3 2 )+ ( 4 2 + 5 2 + 6 2 ) + + (28 2 + 29 2 + 30 2 ) Tổng trên có 10 nhóm và mỗi nhóm chia cho 3 d 2 nên ta viết S dới dạng: S = + + + + + + 1 2 10 (3 2) (3 2) (3 2)k k k = + + + + + 1 2 10 (3 3 3 18) 2k k k = [ ] + + + + + 1 2 10 3( 6) 2 : 3k k k d 2. Vậy S không phải là số CP. 7. Có hai số chính phơng nào : a. Có tổng bằng 4567? b. Có hiệu bằng 7654 ? HD : a. Tổng của 2 số CP khi chia cho 4 chỉ có thể có số d là 0;1;2. Số 4567 chia cho 4 có số d là 3. Vậy không có 2 số chính phơng nào mà tổng bằng 4567. b. Hiệu của 2 số CP khi chia cho 4 chỉ có thể có số d là 0;1;3. Số 7654 chia cho 4 có số d là 2. Vậy không có 2 số chính phơng nào mà hiệu bằng 7654. 8. Chứng minh rằng tổng của 20 số CP liên tiếp không thể là số chính phơng. HD: C/minh cho tổng của 4 số chính phơng liên tiếp chia cho 4 d 2. Từ đó suy ra tổng của 20 số chính phơng liên tiếp chia cho 4 d 2. 9. Cho 5 số chính phơng bất kỳ có chữ số hàng đơn vị đều bằng 6 còn chữ số hàng chục thì khác nhau. CMR: tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phơng đó cũng là một số chính phơng. HD: Nếu một số chính phơng A = n 2 có c/số hàng đơn vị bằng 6 thì n phảI là một số chẵn , M2n do đó A = n 2 M4 , suy ra hai c/ số của A chỉ có thể là 16,36,56,76,96. Tổng các c/ số hàng chục là 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 là một số chính phơng. 10.Cho a,b,c là các chữ số khác 0. a) Tính tổng S của tất cả các số có 3 c/ số tạo thành bởi 3 c/ số a,b,c ? b) C/minh rằng : S không phảI là số chính phơng. 11. Tìm một số CP có 4 c/ số biết rằng hai c/ số đầu giống nhau, hai c/ số cuối giống nhau. 12. Chứng minh rằng nếu n + 1 và 2n + 1 đều là số chính phơng thì M24n 3 GV: Lª V¨n Hoµ - THCS Xu©n L©m – TÜnh Gia – Thanh Ho¸ ố chính phương là bình phương của một số nguyên 4 . GV: Lê Văn Hoà - THCS Xuân Lâm Tĩnh Gia Thanh Hoá Chuyên đề : số chính phuơng (Dùng BD HSG Toán 8) I. Lí thuyết: 1. S chớnh phng(SCP)l bỡnh phng ca mt s t nhiờn. Mời số chính phơng đầu tiên là. ta viết S dới dạng: S = + + + + + + 1 2 10 (3 2) (3 2) (3 2)k k k = + + + + + 1 2 10 (3 3 3 18) 2k k k = [ ] + + + + + 1 2 10 3( 6) 2 : 3k k k d 2. Vậy S không phải là số CP. 7. Có hai số