Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 16 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
16
Dung lượng
1,03 MB
Nội dung
TỐN THCS VIỆT NAM Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHUN ĐỀ 2: SỐ CHÍNH PHƯƠNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Định nghĩa: Số phương bình phương số tự nhiên Tức là, A số phương A k ( k ��) Ví dụ số số phương là: 2 11 36 2 42 49 32 16 42 25 52 121 112 144 122 64 82 169 132 81 92 196 142 100 102 255 152 II Tính chất Số phương có chữ số tận số ; ; ; ; ; , khơng có chữ số tận ; ; ; Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Chứng minh Giả sử A k với k �� x y z Phân tích k thừa số nguyên tố ta có: k a b c (trong đó: a , b , c , số nguyên tố đôi * khác x , y , z , �� ) A a x b y c z a x b y c z Khi đó: Từ tính chất ta có hệ quả: (đpcm) a) Nếu A số phương, p số nguyên tố AMp AMp b)Tích số phương số phương Số ước số phương (khác ) số lẻ Ngược lại, số có số ước lẻ số số phương Chứng minh Gọi A số tự nhiên khác - Nếu A A số phương có ước - Nếu A A có dạng phân tích thừa số nguyên tố là: A a x b y c z ( a , b , c , số nguyên tố đôi khác nhau) � Số lượng ước A S x 1 y 1 z 1 Nếu A số phương x , y , z , số chẵn, nên x , y , z , số lẻ, S số lẻ x 1 y 1 z 1 số lẻ � thừa số x , y , Đảo lại, S số lẻ z , số lẻ � x, y , z , số chẵn A a x ' b y ' c z ' Đặt x x ' , y y ' , z z ' , ( x ' , y ' , z ' , ��) nên A số phương (đpcm) Số phương có hai dạng 4n 4n Khơng có số phương có dạng 4n 4n ( n ��) Trang TOÁN THCS VIỆT NAM Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Số phương có hai dạng 3n 3n Khơng có số phương có dạng 3n ( n ��) Số phương tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 a 2ab b a b Chú ý : Hai đẳng thức thường dùng: (1) 2 a 2ab b a b (2) Chứng minh Chứng minh đẳng thức (1) Ta có: a 2ab b a ab ab b a a b b a b a b a b a b Chứng minh tương tự ta có đẳng thức (2) B MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG I Dạng Tốn chứng minh số số phương: Phương pháp giải: A số phương A k ( k ��) Số phương có chữ số tận số ; ; ; ; ; , khơng có chữ số tận ; ; ; Nếu số A nẵm bình phương hai số tự nhiên liên tiếp A khơng thể số n A n 1 phương Nghĩa là: A khơng số phương Số phương có hai dạng 4n 4n Khơng có số phương có dạng 4n 4n ( n ��) Số phương có hai dạng 3n 3n Khơng có số phương có dạng 3n ( n ��) Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 Dạng 1.1 Chứng minh số số phương Ví dụ Các số sau có phải số phương hay khơng? Vì sao? 20 a) P 10 b) P 100! Chứng minh a) Ta có P 10 10000 0008 có chữ số tận nên P khơng phải số phương b) Ta có P 100! có chữ số tận nên P số phương 20 Trang TỐN THCS VIỆT NAM Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG n Nhận xét: Các số sau: A 10 ; B 15 ! ; khơng phải số phương Ví dụ Các số sau có phải số phương hay khơng? Vì sao? 20 a) A 10 b) B 10 100 50 c) C 10 10 Chứng minh 32 33 320 M9 n a) Ta có M9 với n �2 nên � A 32 33 320 chia hết cho chia cho dư Vì A chia hết cho không chia hết A khơng phải số phương 10 b)Ta có 10 có chữ số tận chia hết cho không chia hết cho 25 (vì có hai chữ số tận 05 ) nên B khơng phải số phương 100 50 c) Ta có 10 10 có tổng chữ số chia hết cho không chia hết C số phương Nhận xét: Chứng minh tương tự: tổng sau: A 22 23 24 n chia hết cho 2, không chia hết cho 4, nên A số phương n A chia hết cho 5, không chia hết cho 25, nên A khơng phải số phương P 10n 10m 1 n m có tổng chữ số chia hết cho không chia hết P khơng phải số phương 100 Ví dụ Cho F Chứng minh F khơng số phương Chứng minh Ta có: F 3 101 101 Nên 3F � 3F F 100 F 3101 3101 3100.3 350 Do khơng số phương, khơng phải số phương Ví dụ Chứng minh số nguyên x ; y thì: A x y x y x 3y x y y4 số phương Chứng minh Ta có: A x y x y x 3y x y y4 x xy y x xy y y 2 Đặt: t x 5xy y , t �� thì: A=( A t y t y y t y y t x xy y 2 2 Vì x; y �� nên x ��, xy ��,5 y ��� x xy y �� Trang TOÁN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Vậy A số phương Ví dụ Chứng minh số sau số phương: A 224 99 9100 09 { { n n a) B 11 155 56 { { n n1 b) Chứng minh: 2n n2 10n 1 a) A 224.10 99.9.10 224.10 2n 10n 2 10n 10n1 224.102 n 102 n 10n 10n 1 225.102 n 90.10 n 15.10 n b) Vậy A số phương n B 111 1555 5.11 { { 1 3 11 1.10 n n n n n n 10 n 10 10 1 9 102 n 10n 5.10n 102n 4.10n � 10n � � � � � � � Vậy B số phương Dạng 1.2 Chứng minh số khơng số phương Phương pháp giải: Chứng minh số A khơng số phương ta thường sử dụng cách sau: Cách 1: chứng minh chữ số tận A số ; ; ; Cách 2: chứng minh AMp (với p số nguyên tố) A Mp Cách 3: chứng minh n A n 1 2 Ví dụ Chứng minh không tồn hai số tự nhiên x y khác cho x y x y số phương Chứng minh x Khơng tính tổng qt, ta giả sử �y x x y �x x x x 1 x 1 Khi đó, ta có: � x y khơng thể số phương (nếu x �y chứng minh tương tự ta có x y khơng số phương) 2 Vậy không tồn hai số tự nhiên x y cho x y x y số phương Nhận xét: Chứng minh tích bốn chữ số tự nhiên liên tiếp cộng số phương Chứng minh Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a , a , a , a ( a ��) T a a 1 a a 3 Xét Trang TOÁN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG � a a 3 � a 1 a � � �� � � a 3a a 3a Đặt x a 3a , ta có: T x x x x x 1 T a 3a 1 hay T Vậy số phương (đpcm) Nhận xét: Trong ví dụ ta khơng biết T số phương mà cịn biết cịn bình phương số Ví dụ: 1.2.3.4 25 2.3.4.5 121 11 3.4.5.6 361 19 4.5.6.7 841 29 Ví dụ Giả sử N 1.3.5.7 2007 Chứng minh số nguyên liên tiếp N 1, N N khơng có số số phương Chứng minh N 2.1.3.5 2007 N 3k k �� Ta có N M3 � N khơng chia hết cho � N khơng số phương N 2.1.3.5 2007 Vì N lẻ � N khơng chia hết cho N M2 2N không chia hết cho 2N chẵn nên 2N không chia hết cho dư � 2N khơng số phương N 2.1.3.5 2007 N lẻ nên N không chia hết cho 2N không chia hết N không chia hết cho dư � N không số phương Ví dụ Cho a = 11…1 ; b = 100…05 2008 chữ số 2007 chữ số Chứng minh số tự nhiên Chứng minh Cách 1: Ta có a = 11…1 = ; b = 100…05 = 100…0 + = 102008 + 2008 chữ số 2007 chữ số ab+1 = + = = = = Ta thấy 102008 + = 100…02 nên �� số tự nhiên 2007 chữ số Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – + = 99…9 + = 9a +6 2007 chữ số 2008 chữ số ab+1 = a(9a +6) + = 9a2 + 6a + = (3a+1)2 Trang 2008 chữ số 2008 chữ số TOÁN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG = = 3a + �� Ví dụ Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp số chình phương Chứng minh n �, n Gọi số tự nhiên liên tiếp n 2, n 1, n, n 1, n n n 1 n n 1 n n Ta có : 2 Vì n khơng thể tận n chia hết cho � n2 II không số phương Dạng Lập số phương từ chữ số cho Ví dụ 10 Tìm số phương có bốn chữ số , , , Chứng minh Gọi A số phương phải tìm Vì số phương khơng tận , nên A phải tận � hai chữ số tận A 86 36 - Nếu A có hai chữ số tận 86 A chia hết cho không chia hết A khơng phải số phương (loại) - Nếu A có hai chữ số tận 36 A 8836 Thử lại, ta có: 8836 94 số phương Vậy số cần tìm 8836 Ví dụ 11 Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B Hãy tìm số A B Hướng dẫn giải: Gọi A abcd k Nếu thêm vào chữ số A đơn vị ta có số B a 1 b 1 c 1 d 1 m 32 k m 100 với k , m�� � �A abcd k �� a, b, c, d ��; �a � ; �b, c, d � �B abcd 1111 m m2 – k2 = 1111 (m-k)(m+k) = 1111 Nhận xét thấy tích mk m k (*) nên m k m k hai số nguyên dương * viết m k m k 11.101 Và m k m k 200 nên � m – k 11 �m 56 �A 2025 �� �� � m k 101 � n 45 �B 3136 Do � Ví dụ 12 Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phương chữ số số Hướng dẫn giải: a �9, �b �9, a, b �� Gọi số có hai chữ số cần tìm ab Trang TỐN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ab a b a b3 Ta có : � 10a b a ab b � 10a b a b 3ab � 3a b a b a b 1 a b a b nguyên tố � a b 3a � a4 � � � � � � a b 1 b � b8 � � � � � � a b 3a a3 � � � � � � a b 3b b7 � � � � Vậy ab 48 ab 37 Ví dụ 13 Một số tự nhiên gồm chữ số sáu chữ số số phương khơng? Chứng minh Cách 1: Gọi A số gồm chữ số sáu chữ số - Nếu A có chữ số tận A có hai chữ số tận 60 � A chia hết cho A không chia hết cho 52 25 (vì 60 M25 ) � A khơng số phương - Nếu A có chữ số tận � A có hai chữ số tận 06 66 � A chia hết cho không chia hết cho , A khơng phải số phương Vậy A khơng phải số phương Cách 2: Sử dụng kết “Số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số lẻ III Dạng 3: Tìm giá trị biến để biểu thức số phương Ví dụ 14 Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương: a) n 2n 12 b) 13n Chứng minh Hướng dẫn giải: Ta chuyển tốn dạng “ giải phương trình nghiệm nguyên” n 2n 12 k k �� a) Vì n 2n 12 số phương nên đặt n 2n 11 k � k n 1 11 � k n 1 k n 1 11 Nhận xét thấy k n k n chúng số nguyên dương, nên ta viết: k n 11 � k 6 � �� k n 1 n4 � � k n 1 k n 1 11 � � b) Đặt 13n y y �� � 13 n 1 y 16 � 13 n 1 y 16 y y � y 4 y 4 M 13 mà 13 số nguyên tố nên y M13 � y 13k � 4 (với k ��) Trang y M13 TOÁN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG � 13 n 1 13k �4 16 13k. 13k � 8 � n 13k � 8k Vậy n 13k � 8k (với k ��) 13n số phương Ví dụ 15 Tìm số tự nhiên n �1 cho tổng P 1! 2! 3! � n ! số phương Chứng minh Hướng dẫn : Sử dụng ý tưởng miền giá trị (xét giá trị đặc biệt thỏa mãn, trường hợp cịn lại chứng minh khơng thỏa) Với n P 1! số phương Với n P 1! 2! 1.2 khơng số phương Với n P 1! 2! 3! số phương Với n �4 ta có 1! 2! 3! 4! 1.2 1.2.3 1.2.3.4 33 5!;6!;�; n ! tận P 1! 2! 3! � n ! có tận chữ số nên khơng phải số phương Vậy có số tự nhiên n thoả mãn đề n ; n Ví dụ 16 Tìm số có hai chữ số, biết nhân với 135 số phương Chứng minh Gọi số phải tìm n , ta có 135n a ( a ��) hay 5.n a 2 Vì số phương chứa thừa số ngun tố với số mũ chẵn nên n 3.5.k ( k ��) 10 �3.5.k � k � 1; 4 Vì n số có hai chữ số nên - Nếu k n 15 - Nếu k n 60 Vậy số cần tìm 15 60 Ví dụ 17 Tìm số phương có bốn chữ số cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống Chứng minh Gọi số phương cần tìm n aabb ( a , b �� �a �9 , �b �9 ) n aabb 1100a 11b 11 100a b 11 99a a b Ta có (1) � 99a a b M 11 � a b M 11 � a b 11 n 11 99 a 11 112 9a 1 Thay a b 11 vào (1) ta � 9a phải số phương 2 Ta thấy có a 9a 64 số phương 2 Vậy a � b số cần tìm là: 7744 11 88 Ví dụ 18 Có hay khơng số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Chứng minh Giả sử 2006 + n2 số phương 2006 + n2 = m2 (m N) Trang TỐN THCS VIỆT NAM Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Từ suy m2 – n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) m + n m – n số chẵn (m + n)(m - n) Nhưng 2006 không chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Ví dụ 19 x x 1 x x 1 x xx x 1 Biết x �� x Tìm x cho Giải: Đẳng thức cho viết lại sau: x x 1 x xx x 1 Do vế trái số phương nên vế phải số phương Một số phương tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) Do x chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề ta có x �� x �9 (2) Từ (1) (2) x nhận giá trị 5; 6; Bằng phép thử ta thấy có x = thỏa mãn đề bài, 762 = 5776 Ví dụ 20 (Đề HSG Tốn – Tỉnh Bình Dương – 2016 - 2017) Xác định số điện thoại THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số dạng 82xxyy với xxyy số phương Chứng minh Ta có: xxyy 11x0 y số phương nên x0 y M11 � 100 x y M11 � 99 x x y M11 x y 11 � � x y M11 � � x y 0 � x y0 � �� x y 11 � Ta có: xxyy 11x0 y 11(99 x x y ) 11(99 x 11) 11 (9 x 1) � x số phương �x 7� y 4 Vậy xxyy 7744; xxyy 0000 C BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n 3n số phương Hướng dẫn giải: Trang TỐN THCS VIỆT NAM Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Ta có 10 �n �99 nên 21 �2n �199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 2n 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n 40 Bài (Đề HSG Toán – Hà Giang – 2017 - 2018) Tìm số nguyên dương n cho n n số phương Hướng dẫn giải: Đặt A n n Với n A khơng thỏa mãn Với n �2 ta có A 4n 4n Xét A 2n n 1 3n 2n � A 2n n 1 Xét A 2n n 4 n �0 Vậy A 2n n � n 2 2 4A 2n n 2 Bài (Đề HSG Toán – Hậu Giang – 2017 - 2018) Tìm số tự nhiên n cho A n 2n số phương Hướng dẫn giải: Đặt n 2n a � a n 1 a n 1 với a nguyên dương a n �a � �� � a n n a n a n � � Vì nên 2 Với n � A 2.2 16 số phương Bài (Đề HSG Toán – Hưng Yên – 2017 - 2018) Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1, 2,3, , 625 chọn 311 số cho khơng có hai số có tổng 625 Chứng minh 311 số chọn, có số phương Hướng dẫn giải: Ta phân chia 625 số tự nhiên cho thành 311 nhóm sau: +) nhóm thứ gồm năm số phương 49; 225; 400;576; 625 +) 310 nhóm cịn lại nhóm gồm hai số có tổng 625 (khơng chứa số nhóm 1) Nếu 311 số chọn khơng có số thuộc nhóm thứ , 311 số thuộc nhóm cịn lại Theo ngun tắc Dirichle phải có hai số thuộc nhóm Hai số có tổng 625 (vơ lí) Vậy chắn 311 số chọn phải có số thuộc nhóm thứ Số số phương Trang 10 TOÁN THCS VIỆT NAM Bài Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG (Đề HSG Tốn – Khánh Hòa – 2017 - 2018) Cho p số nguyên tố thỏa 3 mãn p a b với a, b hai số nguyên dương phân biệt Chứng minh : Nếu lấy p chia cho loại bỏ phần dư nhận số bình phương số nguyên lẻ Hướng dẫn giải: 3 2 Ta có p a b (a b)(a ab b ) số nguyên tố mà a, b số nguyên dương a b 3 2 � a b � p (b 1) b 3b 3b � p 12b 12b �1(mod 3) A 4b 4b 2b 1 Nếu lấy p chia loại bỏ phần dư ta số phương lẻ Bài (Đề HSG Tốn – Nghệ An – 2017 - 2018) Tìm số phương có bốn chữ số biết chữ số hàng đơn vị số nguyên tố bậc hai số cần tìm có tổng chữ số số phương Hướng dẫn giải: n � * abc d � abc d n Gọi số cần tìm có dạng � d ; ; ; ; ; mà d số nguyên tố nên d Do d nên n có tận hay n e5 ; mà e số phương nên e � n 45 � abcd 2045 (Đề HSG Tốn – Ninh Bình – 2017 – 2018) Tìm số tự nhiên n cho n 12n 1975 số phương Hướng dẫn giải: 2 2 n 12n 1975 m � m n 1939 Đặt: � m n m n 1939( m ��) � m n � m n Do nên ta có: � m n 1939 � n 963 � � m n 1 Trường hợp 1: � � m n 277 � n 129 � � m n6 Trường hợp 2: � Bài (Đề HSG Toán – Quảng Bình – 2017 – 2018) Cho n số nguyên dương thỏa mãn n 2n đồng thời hai số phương Chứng minh n chia hết cho 24 Hướng dẫn giải: Bài 2n 1 �1 mod � 2nM8 � nM4 Vì 2n số phương lẻ nên n 1 �1 mod 8 � nM8 , 1 Nên n số chẵn, suy n số phương lẻ Nên Mặt khác Do Từ 1 n 1 2n 1 3n �2 mod 3 n 1 � 2n 1 �1 mod 3 � nM3 , 2 ta có nM24 Trang 11 mà n 2m số phương lẻ TỐN THCS VIỆT NAM Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG (Đề HSG Toán – Quảng Nam – 2017 – 2018) Cho số nguyên tố p ( p ) hai số nguyên 2 2 p a 1 dương a,b cho p a b Chứng minh a chia hết cho 12 số phương Hướng dẫn giải: Bài Ta có p2 = b2 - a2 = ( b - a) ( b + a) � b + a = p2 � � 2a = p2 - � � b- a = � Vì b + a > b - a > nên � Vì p số nguyên tố lớn nên p có dạng p = 3k + p = 3k + 2 Nếu p = 3k + p - = 9k + 6k chia hết 2a chia hết cho Mà ( 2,3) = nên a chia hết cho 2 Mặt khác p số lẻ nên p có dạng p = 2m + Khi 2a = p - = 4m + 4m a = 2m( m + 1) Vì m( m + 1) ( 3,4) = chia hết a chia hết cho Vì nên nên a chia hết cho 12 2( p + a + 1) = 2p + 2a + = p2 + 2p + Theo chứng minh có 2a = p - nên = ( p + 1) Bài 10 Vậy 2( p + a + 1) số phương n (Đề HSG Toán – Quảng Ninh – 2017 – 2018) Tìm số tự nhiên n để + + số phương Hướng dẫn giải: n * Đặt + + = k với k �N Ta có 16 +128 + 2n = k � 2n = ( k - 12) ( k +12) � k +12 = x � � � x - y = 24 � y ( x- y - 1) = 24 k - 12 = y y �N x + y = n x � Khi , với , , Suy x- y Vì x > y nên - số lẻ Suy � x- y = � x =5 x- y - = � � �� �� � n =8 � y � � � � y =3 �y = � � � =8 Khi + + = 20 Vậy n = số cần tìm Bài 11 (Đề HSG Tốn – Vĩnh Long – 2017 – 2018) Tìm tất số nguyên dương n cho 70 4n n số phương Hướng dẫn giải: 2 Đặt 70 4n n k , k �� Trang 12 TỐN THCS VIỆT NAM Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 74 k n 4n � k n 74 Ta có: �k , n �74 Suy ra: với k ��, n ��* Các số phương bé 74 là: 0;1; 4;9;16; 25;36; 49; 64 k n 1 74 Vì nên ta có trường hợp sau: � k 7 � �k 49 �� � n 25 �n (nhận) * TH1: � � �k �k 25 �� � n 49 �n (nhận) * TH2: � Bài 12 (Đề TS Chuyên Toán – Hải Dương – 2017 – 2018) Tìm tất số nguyên dương 2 thỏa mãn x y y x số phương Hướng dẫn giải: Giả sử x �y , 2 Ta có x x y �x x x 3x x x x Mà � x2 x2 y x 2 2 � x y x 1 � y x Do x y số phương � y2 4x2 4x x 31x � y 3x 9 2 Để y x số phương x 31x số phương x 1 Ta có �4 x 31x x x 63 x � x 31x x a 2 với �a �7, a �Z, a a2 1 �x 31 4a (L) y 3 23 (L) 19 (L) 2x 24 11 (L) (L) � có nghiệm x; y 1;1 16;11 x; y 1;1 11;16 Nếu x �y , tương tự ta có nghiệm Trang 13 x; y TỐN THCS VIỆT NAM Vậy, có tất cặp số Bài 13 Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG x; y thỏa mãn 1;1 ; 16;11 11;16 (Đề TS Chuyên Tốn – TP Hồ Chí Minh – 2017 – 2018) Cho biểu thức A (m n) 3m n với m, n số nguyên dương CMR A số phương n chia hết cho m Hướng dẫn giải: Ta có: A (m n) 3m n số phương (m n) 3m n k 2 � k (m n) 3m n � (k m n)(k m n) 3m n Với k , m, n số nguyên dương k mn k mn nên ta viết: � k m � � � � k m n 3m n � �k n �� k m n �2 � 1 k k 6k k n3 (k 2)3 ( k 6k 12k 8) ( )M 8 � n3 Mm (k m n)(k m n) (3m n).1 Bài 14 (Đề TS Chuyên Toán – TP Phú Thọ – 2017 – 2018) Tìm số nguyên m cho m 12 số phương Hướng dẫn giải: Xét phương trình x mx (1) Ta thấy x không nghiệm (1) nên x �0 Do m 12 ( m ��) số phương (1) có nghiệm nguyên x0 Suy x0 ( x0 m)Mx0 � x0 � 1; 3;1;3 Ta có ) x0 1 � m � m 2; ) x0 � m � m 2; ) x0 � 3m � m 2; ) x0 3 � 3m � m Vậy có hai giá trị m thỏa mãn tốn m �2 Viết liên tiếp từ đến 12 số H 1234 1112 Số H có 81 ước khơng? Hướng dẫn giải: 81 H Giả sử có ước Vì số lượng ước H 81 (là số lẻ) nên H số phương (1) mặt khác, tổng chữ số H là: 1 51 Bài 15 Trang 14 TOÁN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ; 51 M9 nên H chia hết cho không chia hết cho , H khơng số Vì 51M phương: mâu thuẫn với (1) ! Vậy H khơng thể có 81 ước Bài 16 Có hay không số tự nhiên n để 2010 n số phương Hướng dẫn giải: 2010 n m m �� 2010 n Giả sử số phương Từ suy m n 2010 � m n m n 2010 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m n m n 2m � số m n m n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) m n m n số chẵn m n m n M4 2010 không chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2010 n số phương Bài 17 Chứng minh n số tự nhiên cho n 2n số phương n bội số 24 Hướng dẫn giải: 2 k , m �� Vì n 2n số phương nên đặt n k 2n m , � m 2a 1 � m2 4a a 1 Ta có m số lẻ Mà n m 4a(a 1) 2a(a 1) 2 � n chẵn � n lẻ � k lẻ đặt k 2b (với b ��) � k 4b b 1 � n 4b b 1 � n M (1) 2 Ta có: k m 3n 2 2 (mod 3) 2 Mặt khác k chia cho dư 1, m chia cho dư 2 Nên để k m � 2 (mod3) k �1 (mod3) m �1 (mod3) 3 � m k � 3 hay 2n 1 n 1 M3 � n M Mà 8; 3 (3) Trang 15 (2) TOÁN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Từ (1), (2), (3) � n M24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập Toán - Tập I Các chuyên đề chọn lọc Toán – Tập I Một số đề thi học sinh giỏi lớp 6, Một số đề thi chuyên Tuyển sinh vào lớp 10 Một số chuyên đề liên quan đến số phương đăng tạp chí Tốn học & tuổi trẻ tạp chí Tốn tuổi thơ Trang 16 ... THCS VIỆT NAM Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Số phương có hai dạng 3n 3n Khơng có số phương có dạng 3n ( n ��) Số phương tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương. .. 100! có chữ số tận nên P số phương 20 Trang TỐN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG n Nhận xét: Các số sau: A 10 ; B 15 ! ; số phương Ví dụ Các số sau có phải số phương hay khơng?... Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phương chữ số số Hướng dẫn giải: a �9, �b �9, a, b �� Gọi số có hai chữ số cần tìm ab Trang TỐN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG