Chuyên đề số chính phương (77 trang)

CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN 6789 HSG-CHUN ĐỀ.SỐ CHÍNH PHƯƠNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa số phương Số phương số bình phương số nguyên (tức n số phương thì: n k  k  Z  ) Một số tính chất cần nhớ 1- Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9; có chữ tận 2, 3, 7, 2- Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn 3- Số phương có hai dạng 4n 4n + Không có số phương có dạng 4n + 4n + (n  N) 4- Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số phương có dạng 3n + ( n  N ) 5- Số phương tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ 6- Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 Mọi số phương chia cho 5, cho dư 1, 0, Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương Nếu hai số ngun liên tiếp có tích số phương hai số số 10 Số ước số phương số lẻ Ngược lại, số có số ước số lẻ số số phương 11 Nếu n2 < k < (n + 1)2 ( n  Z) k khơng số phương 12 Nếu hai số tự nhiên a b ngun tố có tích số phương số a, b số phương 13 Nếu a số phương, a chia hết cho số nguyên tố p a chia hết cho p 14 Nếu tích hai số a b số phương số a b có dạng a = mp ; b = mq B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN  Dạng 1: Chứng minh số số phương, tổng nhiều số phương * Cơ sở phương pháp: Để chứng minh số n số số phương ta thường dựa vào định nghĩa, tức chứng minh : n k  k  Z  * Ví dụ minh họa: Bài tốn Cho n số tự nhiên Chứng minh rằng: A = n ( n +1) ( n + 2) ( n + 3) +1 số phương Hướng dẫn giải Ta có: A = ( n + 3n) ( n + 3n + 2) +1 = ( n + 3n) + ( n + 3n) +1 = ( n + 3n +1) Vỡ n ẻ Ơ nờn n + 3n +1 ẻ Ơ Vy A l s chớnh phng Bài toán Cho: B = 1.2.3 + 2.3.4 + + k ( k +1) ( k + 2) với k số tự nhiên Chứng minh 4B + số phương Hướng dẫn giải Ta thấy biểu thức B tổng biểu thức nghĩ đến việc phải thu gọn biểu thức B trước Ta có: 1 n ( n +1) ( n + 2) = n ( n +1) ( n + 2) é = é n ( n +1) ( n + 2) ( n + 3) - ( n - 1) n ( n +1) ( n + 2) ù ( n + 3) - ( n - 1) ù ë û û 4ë Áp dụng: 1.2.3 = ( 1.2.3.4 - 0.1.2.3) 2.3.4 = ( 2.3.4.5 - 1.2.3.4) 3.4.5 = ( 3.4.5.6 - 2.3.4.5) k ( k +1) ( k + 2) = é k ( k +1) ( k + 2) ( k + 3) - ( k - 1) k ( k +1) ( k + 2) ù û 4ë CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6789 Cộng theo vế đẳng thức ta được: B = 1.2.3 + 2.3.4 + + k ( k +1) ( k + 2) = k ( k +1) ( k + 2) ( k + 3) Þ B +1 = k ( k +1) ( k + 2) ( k + 3) +1 Theo ví dụ ta có: B +1 = ( k + 3k +1) Vỡ k ẻ Ơ nờn k + 3k +1 Ỵ ¥ Vậy B +1 số phương { +1 với n số tự nhiên Chứng minh C số { + 44 Bài toán Chứng minh rằng: C = 11 n 2n phương Hướng dẫn giải { +1 { { +11 { + 44 Ta có: C = 11 100 n n n n 9a 99 99  10n 9a     Đặt a 11 Do n n n C = a.10n + a + 4a +1 = a ( 9a +1) + 5a +1 Þ C = 9a + 6a +1 = ( 3a +1) 2 Þ C = 33 34 { n- Vậy C số phương Nhận xét: Khi biến đổi số có nhiều chữ số giống thành số phương ta nên a 99  10n 9a    đặt 11 n n   Bài toán Cho a 11 , b 10 05 Chứng minh 2016 2015 ab  số tự nhiên Hướng dẫn giải Cách 1: 10     9   9a  Ta có: b 10 05 2015 2016 2016  ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2  ab   (3a  1) 3a   N | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN Vậy ab  số tự nhiên Cách 2: 102016   , b 102016  Ta có: a 11  2016  10 102016   ab    102016      10 ab    2016 2016 Mà  10   3 Do đó, Vậy  2 2016   4.102016   9  102016       ab  số tự nhiên ab  số tự nhiên Bài toán Cho số tự nhiên a gồm 60 chữ số 1, số tự nhiên b gồm 30 chữ số Chứng minh a - b số phương Hướng dẫn giải Cách 1: 1060  1030   2 Ta có: a 11 , b 22   9 60 30 2   1060  2(1030  1) 1060  2.1030   1030     33  a b      9  30    Cách 2: 30 b 22 2.11 11 1.00  11 11 1.10  11         , a 11 30 30 60 30 30 30 30 30  9c  99  1030   Đặt c 11 30 30 Khi đó: a c  9c  1  c 9c  2c b 2c 2  a  b 9c  2c  2c  3c     33    30  Bài toán tổng quát: Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên a gồm 2k chữ số số tự nhiên b gồm k chữ số Chứng minh a  b số phương CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN 6789 Bài tốn Cho n   cho n 1 tích hai số tự nhiên liên tiếp Chứng minh n tổng hai số phương liên tiếp Hướng dẫn giải Giả sử ta có: n2  a a 1  =  Từ có n 3a  3a   4n  12a  12a    2n  1  2n 1 3  2a 1 Vì 2n  1; 2n  hai số lẻ liên tiếp nên ta có trường hợp:  2n  3 p Trường hợp 1:   2n  q Khi q 3 p  ( Vơ lí ) Vậy trường hợp không xảy 2n   p Trường hợp 2:  2n  3q Từ p số lẻ nên p 2k  2 Từ 2n  2k  1   n k   k  1 (đpcm) Bài toán Cho k số nguyên dương a = 3k + 3k +1 a) Chứng minh 2a a tổng ba số phương b) Chứng minh a ước số nguyên duong b b tổng gồm ba số phương b n tổng bà số phương Hướng dẫn giải 2 a) Ta có 2a = 6k + 6k + = ( 2k +1) + ( k +1) + k 2 2 a = 9k +18k +15k + 6k +1 = ( k + k ) +( 2k + 3k +1) +( 2k + k ) = a12 + a22 + a32 b) Vì bMa nên đặt b = ca | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN 2 Vì b tổng ba số phương nên đặt b = b1 + b2 + b3 2 2 2 Khi b = c a = c ( a1 + a2 + a3 ) Để kết thúc việc chứng minh, ta tiến hành sau: cho n = p +1 ta được: 2 b p+1 = ( b p ) ( b12 + b22 + b32 ) cho n = p + ta b n = ( b p ) b ( a12 + a22 + a32 )  Dạng 2: Chứng minh số khơng số phương * Cơ sở phương pháp: Để chứng minh n khơng số phương, tùy vào tốn ta sử dụng cách sau: 1) Chứng minh n khơng thể viết dạng bình phương số nguyên 2) Chứng minh k2 < n < (k + 1)2 với k số nguyên 3) Chứng minh n có tận 2; 3; 7; 4) Chứng minh n có dạng 4k + 2; 4k + 5) Chứng minh n có dạng 3k + 6) Chứng minh n chia hết cho số nguyên tố p mà không chia hết cho p2 * Ví dụ minh họa: Bài tốn Một số tự nhiên có tổng chữ số 2018 số phương khơng ? sao? Hướng dẫn giải Gọi số tự nhiên có tổng chữ số 2018 n Ta có : 2018 = 3m + nên số tự nhiên n chia dư 2, số n có dạng 3k + với k số tự nhiên Mặt khác số phương trình khơng có dạng 3k + suy số tự nhiên n không số phương Bài tốn Chứng minh số A = n + 2n3 + 2n + 2n +1 n  N n > khơng phải số phương Hướng dẫn giải Ta có: A = n + 2n3 + 2n + 2n +1 = ( n + 2n + n ) + ( n + 2n +1) 2 = ( n + n) + ( n +1) > ( n + n) " n > 2 Þ A > ( n + n) " n > CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6789 Mặt khác: ( n2 + n +1) = n + 2n3 + 2n + n + 2n +1 = ( n + 2n3 + 2n + 2n +1) + n = A + n > A " n > Þ A < ( n + n +1) 2 Do ( n + n) < A < ( n + n +1) Ta có (n2 + n) (n2 + n + 1) hai số tự nhiên liên tiếp nên A khơng thể số phương Bài tốn Cho A 1   22  23   233 Hỏi A có số phương khơng? Vì sao? Hướng dẫn giải 30 31 32 33 Ta có A 1               3  22    22  23    230    2  23  3  2.30   229.30 3     229  3.10 Ta thấy A có chữ số tận Mà số phương khơng có chữ số tận Do đó, A khơng số phương Vậy A khơng số phương Bài tốn Chứng minh A 20124 n  20134 n  20144 n  20154 n khơng phải số phương với số nguyên dương n (Đề thi vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 - 2016) Hướng dẫn giải Ta có: 20124 n 4; 20144 n 4 , n  N * 20134 n 20134 n    20134 n  1  chia cho dư 20154 n 20154 n    1 4n  chia cho dư Do đó, A 20124 n  20134 n  20144 n  20154 n chia cho dư Ta có: A2 , A khơng chia hết cho 22 , mà số nguyên tố Suy A khơng số phương Vậy A khơng số phương | TÀI LIỆU WORD TỐN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN Bài toán Cho Ê n ẻ Ơ , Chng minh A = n - n + 2n3 + 2n khơng thể số phương Hướng dẫn giải 2 Ta có A = n - n + 2n + 2n = n ( n - n + 2n + 2) = n2 é n n - 1) + ( n +1) ù ê ú ë ( û ù = n2 é ên ( n - 1) ( n +1) + ( n +1) û ú ë = n ( n +1) ( n2 - 2n + 2) Vi Ê n ẻ Ơ , ta có n - 2n + > n - 2n +1 = ( n +1) 2 2 Và n - 2n + = n - ( n - 1) < n Do ( n - 1) < n - 2n + < n 2 Như n - 2n + khơng phải số phương nên A khơng phải số phương Bài tốn Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ khơng phải số phương Hướng dẫn giải Giả sử: a = 2m +1 , b = 2n +1 , với m, n Ỵ ¥ 2 2 Ta có: a + b = ( 2m +1) +( 2n +1) = ( m + m + n + n) + = 4k + vi k ẻ Ơ 2 Khơng có số phương có dạng 4k + a + b khơng phải số phương  Dạng 3: Điều kiện để số số phương * Cơ sở phương pháp: Chúng ta thường sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa - Phương pháp 2: Sử dụng tính chẵn, lẻ - Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết chia có dư - Phương pháp 4: Sử dụng tính chất * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm số ngun n cho n ( n + 3) số phương CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN 6789 Hướng dẫn giải Để A = n ( n + 3) số phương n ( n + 3) = k với k số tự nhiên, đó: n + 3n = k Û 4n +12n = 4k Û 4n +12n + = 4k + 2 Û ( 2n + 3) - ( 2k ) = Û ( 2n + 2k + 3) ( 2n - 2k + 3) = Ta có ( 2n + 2k + 3) ³ ( 2n - 2k + 3) Và = 9.1 = 3.3 = ( - 1) ( - 9) = ( - 3) ( - 3) ïì 2n + 2k + = Û Trường hợp : ïí ïỵï 2n - 2k + = ïìï n + k = Û í ïỵï n - k = - ïì 2n + 2k + = Û Trường hợp : ïí ïỵï 2n - 2k + = ïìï n + k = Û í ïỵï n - k = ïìï n = Þ A=4 í ùợù k = ùỡù n = ị A=0 í ïỵï k = ìï 2n + 2k + = - ìïï n + k = - ìïï n = - Û í Û í Þ A=4 Trường hợp : ïí ïỵï 2n - 2k + = - ïïỵ n - k = - ïỵï k = ìï 2n + 2k + = - ìïï n + k = - ìïï n = - Û í ị A=0 Trng hp : ùớ ùợù 2n - 2k + = - ïïỵ n - k = - ïỵï k = Vậy n = - 4; - 3; 0;1 ta có A số phương Bài tốn Tìm số nguyên n cho n  1955 n  2014 số phương Hướng dẫn giải Giả sử n  1955 a ; n  2014 b với a, b   a  b b  a 1 2  Khi b  a 59   b  a   b  a  59   b  a 59 a 29  b 30 Dễ dàng suy n  1114 Bài tốn Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau số phương: | TÀI LIỆU WORD TỐN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN a) A = n - n + b) B = n - n + Hướng dẫn giải a) Với n = A = n – n + = khơng số phương Với n = A = n – n + = số phương Với n > A = n – n + khơng số phương ( n - 1) =n2 - ( 2n - 1) < n - ( n - 2) < n Vậy n = A số phương b) Ta có: n5 - n = ( n - 1) n ( n +1) Với n = 5k n chia hết cho Với n = 5k ±1 n - chia hết cho Với n = 5k ± n +1 chia hết cho Do n5 - n ln chia hết cho Nên n5 - n + chia cho dư nên n5 - n + có chữ số tận nên B = n5 - n + không số phương Vậy khơng có giá trị n thỏa để B số phương Bài tốn Tìm số ngun dương n nhỏ cho số n  , 2n  , 5n  số phương Hướng dẫn giải Nếu n 3k   k   n  3k  , khơng số phương Nếu n 3k  2n  6k  , cho cho dư nên khơng số phương Vậy n3 2n  số phương lẻ nên chia cho dư Suy 2n 8  n 4  n  lẻ Do n  số phương lẻ nên n  chia cho dư 1, suy n8 n chia hết cho số nguyên tố nên n24 Với n 24 n  25 52 , 2n  49 7 , 5n  121 112 10