Chuyên đề số chính phương

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng năm 2021 Website: tailieumontoan.com SỐ CHÍNH PHƯƠNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Định nghĩa:  Số phương bình phương số tự nhiên  Tức là, A số phương A = k ( k ∈  )  Ví dụ số số phương là:  = 12  36 = 62  = 22  49 =  = 32  64 = 82  16 = 42  81 = 92  25 = 52  100 = 102 II      121 = 112 144 = 122 169 = 132 196 = 142 255 = 152 Tính chất Số phương có chữ số tận số ; ; ; ; ; , khơng có chữ số tận ; ; ; Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Chứng minh Giả sử A = k với k ∈  Phân tích k thừa số nguyên tố ta có: k = a x b y c z (trong đó: a , b , c , số nguyên tố đôi khác x , y , z , ∈ * ) Khi đó: A = a b c ) (= x y z a x b y c z (đpcm) Từ tính chất ta có hệ quả: a) Nếu A số phương, p số nguyên tố A p A p b) Tích số phương số phương Số ước số phương (khác ) số lẻ Ngược lại, số có số ước lẻ số số phương Chứng minh Gọi A số tự nhiên khác - Nếu A = A số phương có ước Nếu A > A có dạng phân tích thừa số nguyên tố là: A = a x b y c z ( a , b , c , số nguyên tố đôi khác nhau) ⇒ Số lượng ước A S = ( x + 1)( y + 1)( z + 1)   Nếu A số phương x , y , z , số chẵn, nên x + , y + , z + , số lẻ, S số lẻ Đảo lại, S số lẻ ( x + 1)( y + 1)( z + 1) số lẻ ⇒ thừa số x + , y + , z + , số lẻ ⇒ x, y , z , số chẵn Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Đặt x = x ' , y = y ' , z = z ' , ( x ' , y ' , z ' , ∈  ) A = ( a x ' b y ' c z ' ) nên A số  phương (đpcm) Số phương có hai dạng 4n 4n + Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + ( n ∈  ) Số phương có hai dạng 3n 3n + Không có số phương có dạng 3n + ( n ∈  ) Số phương tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 Chú ý : Hai đẳng thức thường dùng: a + 2ab + b = ( a + b ) (1) a − 2ab + b = ( a − b ) (2) Chứng minh Chứng minh đẳng thức (1) Ta có: a + 2ab + b = ( a + ab ) + ( ab + b ) = a ( a + b ) + b ( a + b ) = ( a + b )( a + b ) = ( a + b ) Chứng minh tương tự ta có đẳng thức (2) B MỘT SỐ DẠNG TỐN ỨNG DỤNG I Dạng Toán chứng minh số số phương:  Phương pháp giải: A số phương A = k ( k ∈  )   Số phương có chữ số tận số ; ; ; ; ; , khơng có chữ số tận ; ; ;  Nếu số A nẵm bình phương hai số tự nhiên liên tiếp A khơng thể số phương Nghĩa là: n < A < ( n + 1) A khơng số phương       Số phương có hai dạng 4n 4n + Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + ( n ∈  ) Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số phương có dạng 3n + ( n ∈  ) Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 Dạng 1.1 Chứng minh số số phương Ví dụ Các số sau có phải số phương hay khơng? Vì sao? a)= P 1020 + b)= P 100!+ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Chứng minh a) Ta có P= 10 + 8= 10000 0008 có chữ số tận nên P số phương b) Ta có= P 100!+ có chữ số tận nên P số phương  Nhận xét: Các số sau: = A 10n + ; = B 15 !+ ; khơng phải số phương Ví dụ Các số sau có phải số phương hay khơng? Vì sao? a) A = + 32 + 33 + + 320 B 1010 + b)= c) C = 10100 + 1050 + 20 Chứng minh a) Ta có  với n ≥ nên ( 32 + 33 + + 320 ) n ⇒ A = + 32 + 33 + + 320 chia hết cho chia cho dư Vì A chia hết cho khơng chia hết A số phương b) Ta có 1010 + có chữ số tận chia hết cho khơng chia hết cho 25 (vì có hai chữ số tận 05 ) nên B số phương c) Ta có 10100 + 1050 + có tổng chữ số chia hết cho không chia hết C khơng phải số phương  Nhận xét: Chứng minh tương tự: tổng sau:  A =2 + 22 + 23 + 24 + + 2n chia hết cho 2, không chia hết cho 4, nên A khơng phải số phương  A =5 + 52 + 53 + 54 + + 5n chia hết cho 5, không chia hết cho 25, nên A khơng phải số phương  P = 10n + 10m + 1( n > m ) có tổng chữ số chia hết cho không chia hết P số phương Ví dụ Cho F = 31 + 32 + 33 + + 3100 Chứng minh F + không số phương Chứng minh Ta có: F = + + + + 3 100 Nên 3F = 32 + 33 + 34 + + 3101 ⇒ 3F − F = 3101 − Do F + 3= 3101 − + 3= 3101= 3100.3= (3 ) 50 khơng số phương, khơng phải số phương Ví dụ Chứng minh số nguyên x ; y thì: A= ( x + y )( x + y )( x + y )( x + y ) + y số phương Chứng minh Ta có: A = ( x + y )( x + y )( x + y )( x + y ) + y = ( x + xy + y )( x + xy + y ) + y Đặt: t =x + 5xy + y , t ∈  thì: Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com ( A=(A=t− y )( t + y ) + y =t − y + y =t =( x + xy + y ) Vì x; y ∈  nên x ∈ ,5 xy ∈ ,5 y ∈  ⇒ x + xy + y ∈  Vậy A số phương Ví dụ Chứng minh số sau số phương: a) A = 224 99 9100 09   n−2 n b) B = 11 155 56  n n −1 Chứng minh: a) = A 224.102 n + 99.9.10n+ + 10n+1 + ( ) = 224.102 n + 10n−2 − 10n+ + 10n+1 + = 224.102 n + 102 n − 10n+ + 10n+1 + = 225.102 n − 90.10n + = (15.10n − 3) Vậy A số phương n b) B 111 1555 = = + 11 1.10 + 5.11   +1   n = = n n n 10 − n 10 − +1 10 + 9 n n 102 n − 10n + 5.10n − + 9 102 n + 4.10n + = =  10n +      Vậy B số phương Dạng 1.2 Chứng minh số khơng số phương  Phương pháp giải: Chứng minh số A khơng số phương ta thường sử dụng cách sau:   Cách 1: chứng minh chữ số tận A số ; ; ; Cách 2: chứng minh A p (với p số nguyên tố) A  p  Cách 3: chứng minh n < A < ( n + 1) Ví dụ Chứng minh không tồn hai số tự nhiên x y khác cho x + y x + y số phương Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử x ≥ y Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com Khi đó, ta có: x < x + y ≤ x + x = x ( x + 1) < ( x + 1) ⇒ x + y khơng thể số phương (nếu x ≤ y chứng minh tương tự ta có x + y khơng số phương) Vậy không tồn hai số tự nhiên x y cho x + y x + y số phương  Nhận xét: Chứng minh tích bốn chữ số tự nhiên liên tiếp cộng số phương Chứng minh Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a , a + , a + , a + ( a ∈  ) Xét T = a ( a + 1)( a + )( a + 3) + =  a ( a + 3)  ( a + 1)( a + )  + = (a + 3a )( a + 3a + ) + x a + 3a , ta có: Đặt = T = x ( x + 2) + = x2 + 2x + = ( x + 1) hay T = (a + 3a + 1) Vậy T số phương (đpcm) Nhận xét: Trong ví dụ ta khơng biết T số phương mà cịn biết cịn bình phương số Ví dụ:  1.2.3.4 + 1= 25 = 52  2.3.4.5 + 1= 121= 112  3.4.5.6 + 1= 361= 192  4.5.6.7 + 1= 841= 292 Ví dụ Giả sử N = 1.3.5.7 2007 Chứng minh số nguyên liên tiếp N − 1, N N + khơng có số số phương Chứng minh  • N − 2.1.3.5 2007 − = Ta có N  ⇒ N − không chia hết cho N − 1= 3k + ( k ∈  ) ⇒ N − khơng số phương • N = 2.1.3.5 2007 Vì N lẻ ⇒ N khơng chia hết cho N  2N không chia hết cho 2N chẵn nên 2N không chia hết cho dư ⇒ 2N không số phương • N + 2.1.3.5 2007 + = N + lẻ nên N + không chia hết cho 2N không chia hết N + không chia hết cho dư ⇒ N + khơng số phương Ví dụ Cho a = 11…1 ; b = 100…05 2008 chữ số Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 2007 chữ số TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com ab + số tự nhiên Chứng minh Chứng minh Cách 1: Ta có a = 11…1 = 10 2008 − ; b = 100…05 = 100…0 + = 102008 + 2008 chữ số ⇒ ab+1 = (10 2008 − 1)(10 ab + = 2008 + 5)  10 20082+      2007 chữ số +1= = (10 ) + 4.10 2008 2008 −5+9 2008 chữ số  10 + 2  =    2008 10 2008 + 10 2008 + ∈  hay Ta thấy 102008 + = 100…02  nên ab + số tự nhiên 2007 chữ số Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – + = 99…9 + = 9a +6 2007 chữ số 2008 chữ số 2008 chữ số ⇒ ab+1 = a(9a +6) + = 9a2 + 6a + = (3a+1)2 ab + = ⇒ (3a + 1) = 3a + ∈  Ví dụ Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp khơng thể số chình phương Chứng minh Gọi số tự nhiên liên tiếp n − 2, n − 1, n, n + 1, n + ( n ∈ , n ≥ ) ( Ta có : ( n − ) + ( n − 1) + n + ( n + 1) + ( n + ) = n + 2 2 ) Vì n tận n + khơng thể chia hết cho ( ) ⇒ n + khơng số phương II Dạng Lập số phương từ chữ số cho Ví dụ 10 Tìm số phương có bốn chữ số , , , Chứng minh Gọi A số phương phải tìm Vì số phương khơng tận , nên A phải tận ⇒ hai chữ số tận A 86 36 - Nếu A có hai chữ số tận 86 A chia hết cho không chia hết A số phương (loại) - Nếu A có hai chữ số tận 36 A = 8836 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Thử lại, ta có: 8836 = 942 số phương Vậy số cần tìm 8836 Ví dụ 11 Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B Hãy tìm số A B Hướng dẫn giải: = abcd    k Nếu thêm vào chữ số A đơn vị ta có số Gọi = A B = ( a + 1)( b + 1)( c + 1)( d + 1)   32 < k < m < 100 = m2   với k , m∈ = = d k2  A abc a, b, c, d   ∈  ; ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤ ⇒   B = abcd + 1111 = m ⇒ m2 – k2 = 1111 ⇔ (m-k)(m+k) = 1111 Nhận xét thấy tích ( m − k )( m + k ) > (*) nên m − k m + k hai số nguyên dương 11.101 (*) viết ( m − k )( m + k ) = Và m − k < m + k < 200 nên = 11       = 56            = 2025   m – k m A ⇔ ⇔  101 = n 45   = 3136  m + k   B Do = Ví dụ 12 Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phương chữ số số Hướng dẫn giải: Gọi số có hai chữ số cần tìm ab ( < a ≤ 9, ≤ b ≤ 9, a, b ∈  ) Ta có : ab ( a + b ) = a3 + b3 ⇔ 10a + b = a − ab + b ⇔ 10a= +b ( a + b )2 − 3ab ⇔ 3a ( + b ) = (a + b) ( a + b )( a + b − 1) a + b − nguyên tố =  a + b 3a =  a    a + b − = + b ⇒  b = =  a a + b − 3a =    a + b = + b  b = Vậy ab = 48 ab = 37 Ví dụ 13 Một số tự nhiên gồm chữ số sáu chữ số số phương không? Chứng minh Cách 1: Gọi A số gồm chữ số sáu chữ số - Nếu A có chữ số tận A có hai chữ số tận 60 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com ⇒ A chia hết cho A không chia hết cho 52 = 25 (vì 60  25 ) ⇒ A khơng số phương - Nếu A có chữ số tận ⇒ A có hai chữ số tận 06 66 ⇒ A chia hết cho không chia hết cho , A khơng phải số phương Vậy A khơng phải số phương Cách 2: Sử dụng kết “Số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số lẻ III Dạng 3: Tìm giá trị biến để biểu thức số phương Ví dụ 14 Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương: a) n + 2n + 12 b) 13n + Chứng minh Hướng dẫn giải: Ta chuyển toán dạng “ giải phương trình nghiệm nguyên” a) Vì n + 2n + 12 số phương nên đặt n + 2n + 12= k ( k ∈  ) ( )  n + 2n + + 11 = k ⇔ k − ( n + 1) = 11 ⇔ ( k + n + 1)( k − n − 1) = 11 Nhận xét thấy k + n + > k − n − chúng số nguyên dương, nên ta viết: ( k + n + 1)( k − n − 1) = n + 11 = k += k 11 ⇔  ⇔ = n −1 = k − n b) Đặt 13n + = y ( y ∈  ) ⇒ 13 ( n − 1) = y − 16 ⇔ 13 ( n − 1) = y − 16 = ( y + )( y − ) ⇒ ( y + )( y − )13 mà 13 số nguyên tố nên ( y + )13 ( y − )13 ⇒ y = 13k ±   (với k ∈  ) ⇒ 13 ( n − 1) = (13k  k ±4 ) − 16 = 13 (13k ±   8) ⇒= n 13k ±  8k + Vậy n = 13k 2  ± 8k + (với k ∈  ) 13n + số phương Ví dụ 15 Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng P = 1!+ 2! + 3! + … + n ! số phương Chứng minh Hướng dẫn : Sử dụng ý tưởng miền giá trị (xét giá trị đặc biệt thỏa mãn, trường hợp lại chứng minh khơng thỏa)  Với n = P = 1!= 1= 12 số phương  Với n = P =1!+ 2! =1 + 1.2 =3 khơng số phương  Với n = P =1!+ 2!+ 3! =1 + + = = 32 số phương Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com  Với n ≥ ta có 1!+ 2!+ 3!+ 4! =1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 =33 5!;6!;…; n ! tận P = 1!+ 2! + 3! + … + n ! có tận chữ số nên khơng phải  số phương Vậy có số tự nhiên n thoả mãn đề n = ; n = Ví dụ 16 Tìm số có hai chữ số, biết nhân với 135 số phương Chứng minh Gọi số phải tìm n , ta có 135n = a ( a ∈  ) hay 33.5.n = a Vì số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n = 3.5.k ( k ∈  ) Vì n số có hai chữ số nên 10 ≤ 3.5.k ⇒ k ∈ {1; 4} Nếu k = n = 15 Nếu k = n = 60 Vậy số cần tìm 15 60 - Ví dụ 17 Tìm số phương có bốn chữ số cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống Chứng minh Gọi số phương cần tìm n = aabb ( a , b ∈  ≤ a ≤ , ≤ b ≤ ) 2 Ta có n= aabb = 1100a + 11= b 11(100a + b= ) 11( 99a + a + b ) (1) 11 ⇒ ( 99a + a + b )11 ⇒ ( a + b )11 ⇒ a + b = Thay a + b = 11 vào (1) ta n= 11( 99a + 11= ) 112 ( 9a + 1) ⇒ 9a + phải số phương a 9a + 10 19 28 37 46 55 64 73 82 Ta thấy có a = 9a + 1= 64 = 82 số phương 2 = 11 = 882 Vậy a = ⇒ b = số cần tìm là: 7744 Ví dụ 18 Có hay khơng số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Chứng minh Giả sử 2006 + n2 số phương 2006 + n2 = m2 (m ∈ N) Từ suy m2 – n2 = 2006 ⇔ (m + n)(m - n) = 2006 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m ⇒ số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) ⇒ m + n m – n số chẵn ⇒ (m + n)(m - n)  Nhưng 2006 không chia hết cho ⇒ Điều giả sử sai Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 10 Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Ví dụ 19 Biết x ∈  x > Tìm x cho x ( x − 1).x ( x − 1) = ( x − ) xx ( x − 1) Giải: Đẳng thức cho viết lại sau: x ( x − 1) =( x − ) xx ( x − 1) Do vế trái số phương nên vế phải số phương Một số phương tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) Do x chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề ta có x ∈  < x ≤ (2) Từ (1) (2) ⇒ x nhận giá trị 5; 6; Bằng phép thử ta thấy có x = thỏa mãn đề bài, 762 = 5776 Ví dụ 20 (Đề HSG Tốn – Tỉnh Bình Dương – 2016 - 2017) Xác định số điện thoại THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số dạng 82xxyy với xxyy số phương Chứng minh Ta có: xxyy = 11x0 y số phương nên x0 y  11 ⇔ 100 x + y  11 ⇔ 99 x + x + y  11 11 x + y = ⇔ x + y  11 ⇔  x + y =  x= y= ⇒ 11 x + y = Ta có: xxyy = 11x= y ) 11(99 x += y 11(99 x + x += 11) 112 (9 x + 1) ⇒ x + số phương ⇒ x =7⇒ y =4 Vậy xxyy 7744; = = xxyy 0000 C BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n + 3n + số phương Hướng dẫn giải: Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n + ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 2n + 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n + 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n = 40 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 11 Bài (Đề HSG Tốn – Hà Giang – 2017 - 2018) Tìm số nguyên dương n cho n + n3 + số phương Hướng dẫn giải: Đặt A = n + n3 + Với n = A = khơng thỏa mãn Với n ≥ ta có A = 4n + 4n3 + Xét A − ( 2n + n − 1) = 3n + 2n + > ⇒ A > ( 2n + n − 1) 2 Xét A − ( 2n + n ) =4 − n ≤ ⇒ A ≤ ( 2n + n ) = Vậy A Bài ( 2n 2 + n ) ⇒ n= 2 (Đề HSG Toán – Hậu Giang – 2017 - 2018) Tìm số tự nhiên n cho A = n + 2n + số phương Hướng dẫn giải: Đặt n + 2n + = a ⇔ ( a − n − 1)( a + n + 1) = với a nguyên dương n +1 = a += a Vì a + n + > a − n − nên  ⇒ n −1 = a −= n Bài Với n = ⇒ A = 22 + 2.2 + = 16 = 42 số phương (Đề HSG Toán – Hưng Yên – 2017 - 2018) Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1, 2,3, , 625 chọn 311 số cho khơng có hai số có tổng 625 Chứng minh 311 số chọn, có số phương Hướng dẫn giải: Ta phân chia 625 số tự nhiên cho thành 311 nhóm sau: +) nhóm thứ gồm năm số phương {49; 225; 400;576;625} +) 310 nhóm cịn lại nhóm gồm hai số có tổng 625 (khơng chứa số nhóm 1) Nếu 311 số chọn khơng có số thuộc nhóm thứ , 311 số thuộc nhóm cịn lại Theo ngun tắc Dirichle phải có hai số thuộc nhóm Hai số có tổng 625 (vơ lí) Vậy chắn 311 số chọn phải có số thuộc nhóm thứ Số số phương Bài (Đề HSG Tốn – Khánh Hịa – 2017 - 2018) Cho p số nguyên tố thỏa p a − b3 với a, b hai số nguyên dương phân biệt Chứng minh : Nếu lấy p mãn = chia cho loại bỏ phần dư nhận số bình phương số nguyên lẻ Hướng dẫn giải: Ta có p = a − b3 = (a − b)(a + ab + b ) số nguyên tố mà a, b số nguyên dương a − b = ⇒ a = b + ⇒ p = (b + 1)3 − b3 = 3b + 3b + ⇒ = p 12b + 12b + ≡ 1(mod 3) Nếu lấy p chia loại bỏ phần dư ta A= 4b + 4b + 1= Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 ( 2b + 1) số phương lẻ TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 12 Bài (Đề HSG Toán – Nghệ An – 2017 - 2018) Tìm số phương có bốn chữ số biết chữ số hàng đơn vị số nguyên tố bậc hai số cần tìm có tổng chữ số số phương Hướng dẫn giải: Gọi số cần tìm có dạng abcd ⇒ abcd = n2 ( n ∈ Ν* ) ⇒d = ; ; ; ; ; mà d số nguyên tố nên d = Do d = nên n có tận hay n = e5 ; mà e + số phương nên e = ⇒ n = 45 ⇒ abcd = 2045 Bài (Đề HSG Tốn – Ninh Bình – 2017 – 2018) Tìm số tự nhiên n cho n + 12n + 1975 số phương Hướng dẫn giải: Đặt: n + 12n + 1975 = m ⇔ m − ( n + ) = 1939 ⇔ ( m − n + )( m + n += ) 1939(m ∈ ) Do ⇔ ( m + n + ) ≥ ( m − n + ) nên ta có: Trường hợp 1: Bài ( m + n + ) = 1939 ⇔n= 963   ( m − n + ) = ( m + n + ) = 277 ⇔n= 129 Trường hợp 2:  m − n + = ( )  (Đề HSG Toán – Quảng Bình – 2017 – 2018) Cho n số nguyên dương thỏa mãn n + 2n + đồng thời hai số phương Chứng minh n chia hết cho 24 Hướng dẫn giải: Vì 2n + số phương lẻ nên ( 2n + 1) ≡ 1( mod ) ⇒ 2n 8 ⇒ n  Nên n số chẵn, suy n + số phương lẻ Nên ( n + 1) ≡ 1( mod ) ⇒ n 8 , (1) Mặt khác ( n + 1) + ( 2n + 1) = ( 3n + ) ≡ ( mod 3) mà n + 2m + số phương lẻ Do ( n + 1) ≡ ( 2n + 1) ≡ 1( mod 3) ⇒ n  , ( ) Từ (1) ( ) ta có n 24 Bài (Đề HSG Toán – Quảng Nam – 2017 – 2018) Cho số nguyên tố p ( p > ) hai số nguyên b Chứng minh a chia hết cho 12 ( p + a + 1) số dương a,b cho p + a = phương Hướng dẫn giải: Ta có p  b  a  b  a b  a  b  a  p Vì b  a  b  a  nên   2a  p  b  a   Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 13 Vì p số nguyên tố lớn nên p có dạng p  3k  p  3k  Nếu p  3k  p   9k  6k chia hết 2a chia hết cho Mà 2, 3  nên a chia hết cho Mặt khác p số lẻ nên p có dạng p  2m  Khi 2a  p   4m  4m nên a  2m m  1 Vì m m  1 chia hết a chia hết cho Vì 3, 4  nên a chia hết cho 12 Theo chứng minh có 2a  p  nên p  a  1  2p  2a   p  2p   p  1 Vậy p  a  1 số phương Bài 10 (Đề HSG Tốn – Quảng Ninh – 2017 – 2018) Tìm số tự nhiên n để 24  27  2n số phương Hướng dẫn giải: Đặt 24  27  2n  k với k  * Ta có 16  128  2n  k  2n  k 12k  12 k  12  x Khi  , với x , y   , x  y  n Suy x  y  24  y 2 x y 1  24  k 12  y 2 x y 1   x  y   x      n8 Vì x  y nên x y 1 số lẻ Suy   y   y   y  Bài 11 Khi 24  27  28  202 Vậy n  số cần tìm (Đề HSG Tốn – Vĩnh Long – 2017 – 2018) Tìm tất số nguyên dương n cho 70 + 4n − n số phương Hướng dẫn giải: Đặt 70 + 4n − n = k2 , k ∈ Ta có: 74 = k + n − 4n + ⇔ k + ( n − ) = 74 Suy ra: ≤ k , ( n − ) ≤ 74 với k ∈ , n ∈  * Các số phương bé 74 là: 0;1; 4;9;16; 25;36; 49;64 Vì k + ( n − 1) = 74 nên ta có trường hợp sau:  k = 49 k = * TH1:  (nhận) ⇔ 25  n = ( n − ) = k =  k = 25 * TH2:  (nhận) ⇔ 49 n = ( n − ) = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 14 Bài 12 (Đề TS Chuyên Toán – Hải Dương – 2017 – 2018) Tìm tất số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn x + y y + x số phương Hướng dẫn giải: Giả sử x ≥ y , Ta có x < x + y ≤ x + x Mà x + x = ( x + 2) − x − < ( x + 2) ⇒ x2 < x2 + y < ( x + 2) 2 Do x + y số phương ⇒ x + y = ( x + 1) ⇒ y = x + 4x2 + 4x + x + 31x + ⇒ y2 = ⇒ y + 3x = 9 Để y + x số phương x + 31x + số phương Ta có ( x + 1) ≤ x + 31x + 1= ⇒ x + 31x + 1= ( 2x + a ) ( x + 8) − x − 63 < ( x + ) với ≤ a ≤ 7, a ∈ , a > a2 −1 ⇒x= 31 − 4a 3 (L) (L) 23 2x +1 16 (L) ) 11 ⇒ có nghiệm ( x; y ) (1;1) (16;11) Nếu x ≤ y , tương tự ta có nghiệm ( x; y ) (1;1) (11;16 ) Vậy, có tất cặp số ( x; y ) thỏa mãn (1;1) ; (16;11) (11;16 ) Bài 13 (Đề TS Chuyên Toán – TP Hồ Chí Minh – 2017 – 2018) Cho biểu thức A = (m + n) + 3m + n với m, n số nguyên dương CMR A số phương n3 + chia hết cho m Hướng dẫn giải: Ta có: A = (m + n) + 3m + n số phương (m + n) + 3m + n = k2 ⇔ k − (m + n) = 3m + n ⇔ (k + m + n)(k − m − n) = 3m + n Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 15 Với k , m, n số nguyên dương k + m + n > k − m − n nên ta viết: (k + m + n)(k − m − n)= (3m + n).1 k + m + n = 3m + n ⇔ k − m− n = k  m = ⇔  k − =n  1 k k − 6k k n + 1= (k − 2) + 1= (k − 6k + 12k − + 8)= ( ) 8 ⇒ n3 +  m Bài 14 (Đề TS Chuyên Toán – TP Phú Thọ – 2017 – 2018) Tìm số nguyên m cho m + 12 số phương Hướng dẫn giải: Xét phương trình x + mx − = (1) Ta thấy x = không nghiệm (1) nên x ≠ Do m + 12 ( m ∈  ) số phương (1) có nghiệm nguyên x0 Suy ra= x0 ( x0 + m) x0 ⇒ x0 ∈ {−1; −3;1;3} Ta có + ) x0 =−1 ⇒ + m − =0 ⇒ m =2; + ) x0 =1 ⇒ − m − =0 ⇒ m =−2; + ) x0 =3 ⇒ + 3m − =0 ⇒ m =−2; + ) x0 =−3 ⇒ − 3m − =0 ⇒ m =2 Vậy có hai giá trị m thỏa mãn toán m = ± Bài 15 Viết liên tiếp từ đến 12 số H = 1234 1112 Số H có 81 ước khơng? Hướng dẫn giải: Giả sử H có 81 ước Vì số lượng ước H 81 (là số lẻ) nên H số phương (1) mặt khác, tổng chữ số H là: + + + + + (1 + ) + (1 + 1) + (1 + ) = 51 Vì 51 ; 51  nên H chia hết cho không chia hết cho , H khơng số phương: mâu thuẫn với (1) ! Vậy H khơng thể có 81 ước Bài 16 Có hay khơng số tự nhiên n để 2010 + n số phương Hướng dẫn giải: Giả sử 2010 + n số phương 2010 + n = m ( m ∈  ) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 16 − n2 Từ suy m 2= 2010 ⇔ ( m + n )( m − n ) = 2010 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m − n= 2m ⇒ số m + n m − n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) ⇒ m + n m − n số chẵn ⇒ ( m + n )( m − n ) 2010 không chia hết cho ⇒ Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2010 + n số phương Bài 17 Chứng minh n số tự nhiên cho n + 2n + số phương n bội số 24 Hướng dẫn giải: Vì n + 2n + số phương nên đặt n + =k 2n + =m , ( k , m ∈  ) ⇒ m = 4a ( a + 1) + m = a + 1  Ta có m số lẻ ⇒  2 m − 4a (a + 1) Mà n = = = 2a (a + 1) 2 k 4b ( b + 1) + ⇒ n chẵn ⇒ n + lẻ ⇒ k lẻ ⇒ đặt = k 2b + (với b ∈  ) ⇒= ⇒ n = 4b ( b + 1)  ⇒ n 8 (1) Ta có: k + m = 3n + 2  (mod 3) Mặt khác k chia cho dư 1, m chia cho dư Nên để k + m ≡  2 (mod3) k  1 ≡ (mod3) m  1 ≡ (mod3) ⇒ m − k ≡  3 hay ( 2n + 1) − ( n + 1)   3   3 ⇒ n Mà ( 8; 3) = (2) (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ n  24 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập Toán - Tập I Các chuyên đề chọn lọc Toán – Tập I Một số đề thi học sinh giỏi lớp 6, Một số đề thi chuyên Tuyển sinh vào lớp 10 Một số chuyên đề liên quan đến số phương đăng tạp chí Tốn học & tuổi trẻ tạp chí Tốn tuổi thơ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... A số phương, p số nguyên tố A p A p b) Tích số phương số phương Số ước số phương (khác ) số lẻ Ngược lại, số có số ước lẻ số số phương Chứng minh Gọi A số tự nhiên khác - Nếu A = A số phương. .. tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia... MỘT SỐ DẠNG TỐN ỨNG DỤNG I Dạng Toán chứng minh số số phương:  Phương pháp giải: A số phương A = k ( k ∈  )   Số phương có chữ số tận số ; ; ; ; ; , chữ số tận ; ; ;  Nếu số A nẵm bình phương