Chuyên đề số chính phươngg

SỐ CHÍNH PHƯƠNG Định nghĩa : Số phương bình phương số nguyên 2 Vd:  ;16  Các tính chất số phương a Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, khơng thể có chữ số tận 2, 3, 7, Như để chứng minh số khơng phải số phương ta số có hàng đơn vị 2, 3, 7, b Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa TSNT với số mũ chẵn, không chứa TSNT với số mũ lẻ 2 Vd: 3600  60  � Để chứng minh số SCP ta số phân tích TSNT có số mũ lẻ c Số phương có dạng 3n 3n + ( a �0,1(mod 3) ) khơng có SCP có dạng 3n + ( n �N ) d Số phương có dạng 4n 4n + ( a �0,1(mod 4) ) khơng có SCP có dang 4n + 4n + ( n �N ) e Số ước số số phương số lẻ, ngược lại số có số lượng ước lẻ số phương f Nếu số phương chia hết cho p chia hết cho p2 g Nếu a.b SCP (a,b) = � a, b số phương h Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn ( 121, 49, …) - Số phương tận chữ số hàng chục - Số phương tận chữ số hàng chục chẵn - Số phương tận chữ số hàng chục lẻ *) HỆ QUẢ : Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho 25 - Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho 16 Dạng 1: Chứng minh số số phương - Ta Biến đổi để đưa số bình phương số tự nhiên Bài 1: Chứng minh với số nguyên x, y A  ( x  y )( x  y )( x  y )( x  y )  y Là số phương Lời giải 2 2 4 2 Cách 1: A  ( x  xy  y )( x  xy  y )  y  x  10 x y  35 x y  50 xy  25 y  ( x  xy )2  2.( x  xy ).5 y  (5 y )  ( x 5 xy  y ) 2 2 Vì x, y, z �Z � x ,5 xy,5 y �Z � x  xy  y �Z � A số phương 2 2 2 2 Cách 1: Đặt x  xy  y  t (t �Z ) � A  (t  y )(t  y )  y  t  ( x  xy  y ) (dpcm) Bài 2: Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng them số phương Lời giải Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n + ( n �Z ) 2 Ta có: n(n  1)(n  2)(n  3)   (n  3n  1) (dpcm) Bài 3: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp SCP Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp là: n  2, n  1, n, n  1, n  2(n  N , n 2) 2 2 2 Ta có: (n  2)  (n  1)  n  (n  1)  (n  2)  5n  10  5( n  2) Vì n2 số phương nên n khơng thể có chữ số tận nên n2 + không chia hết cho 5, hay 5(n  2) khơng phải số phương Bài 4: Cho hai số phương liên tiếp CMR tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Lời giải Gọi hai số phương liên tiếp là: a2 (a  1) (a �Z ) Theo ta có: a  (a  1)  a (a  1)  a  2a  3a  2a   (a  2a  3a )  (a  2a  1)  (a  a )  2(a  a )   (a  a  1) SCP lẻ a  a  a(a  1) số chẵn � a  a  số lẻ Bài 5: Chứng minh số n2 + 2014 với n nguyên dương số phương Lời giải Giả sử n2 + 2014 số phương 2 2 Đặt n  2014  k � k  n  2014 � (k  n)(k  n)  2014 Ta có (k  n)  (k  n)  2n chẵn � k  n; k  n tính chất chẵn lẻ � k ; n tính chẵn lẻ Mặt khác ta lại có : (k  n)(k  n)  2014 � k  n; k  n chia hết cho hay (k  n)(k  n)M4 Mà 2014M4 � (k  n)(k  n) �2014 � khơng có số ngun dương n để SCP Bài 6: Chứng minh số có dạng n  n  2n  2n , n �N , n  SCP Lời giải Ta có : n  n  2n3  2n  n (n  n  2n  1)  n � n (n  1)(n  1)  2(n  1) � � � n (n  1)(n  n  2) 2 2  n (n  1) � ( n3  1)  ( n  1) � (n  1)(n  n  1)  ( n  1)(n  1) � � � n (n  1) � � � n ( n  1) (n  2n  2) 2 Ta chứng minh n  2n  số phương ( dựa vào n  A  (n  1) ) Ta có : n  2n   (n  1)   (n  1) ; n  2n   n  2(n  1)  � (n  1)  n  2n   n � n  2n  Khơng phải số phương Bài 7: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ khơng phải SCP Lời giải Vì a, b hai số lẻ, ta đặt a  2k  � (k , m �N ) � a  b  4(k  k  m  m)   4t  2(t �N ) � b  2m  � 2 Khơng có số phương dạng 4t  2(t �N ) � a  b số phương Bài 8: Cho số phương có chữ số hàng chục khác cịn chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số CP Lời giải Cách 1: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục lẻ Vì chữ số hàng chục số phương cho : 1, 3, 5, 7, Khi tổng chúng : 25 = 52 số phương Cách 2: Nếu số phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị chữ số tận a nên aM2 � aM4 Theo dấu hiệu chia hết cho hai chữ số tận M 16, 36, 56, 76, 96 Do ta có : + + + + = 25 = 52 số phương 20 Bài 9: Cho A      CMR : A + không số phương Lời giải A  22  23  24   220 � A  23  24   221 � A  A  A  221  2 � A   221  2.(210 ) Khơng phải số phương 100 b Cho B     CMR : 2B + không số phương Lời giải B  31  32   3100 � 3B  32  33   3100 � B   3101  3.(350 ) � dpcm Bài 10: Chứng minh A  11 155 56 { { n 1 n số phương Lời giải n 1 A  11 1.10  55 5.10 6  { { n 1 A n 99 n 1 10 n 1  n 1 5(10 n  1) 10  55 5.10   10  10  { 9 n 102 n   10n1  5.10 n1  50  54 102 n  4.10n1  10n1  2  ( ) 9 b Chứng minh B  11 1122 225 14 43 14 43 1997 1998 số phương Lời giải 1999 B  11 11.10  22 22.10   (101997  1).101999  (101998  1).10  14 43 123 9 1997 1998 100 005 14 43 3996 1998 � 1998 2�  (10  2.5.10  25)  � (10  5) �  ( 1997 ) 3 � � c A  11 {  44 123  nchuso1 nchuso số phương Lời giải Ta có : 1 101  102  103  ;11  ;111  9 102 n  4(10n  1) 10 n  4.102  10n  2 A  1  ( ) 9 n Vì 10 2M3 � A số phương 10n  A  11 {  11 {  66 123   ( ) n n  n d 2.10 n  A  44 ) { 7 ( 123  22 123  88 n n n  e Bài 11: Cho S  1.2.3  2.3.4  3.4.5   k (k  1)(k  2) CMR: 4S + số phương Lời giải Ta có: k ( k  1)( k  2)  �S  1 k (k  1)( k  2)  (k  3)  (k  1)   k ( k  1)(k  2)(k  3)  ( k  1)k (k  1)(k  2) 4 k (k  1)( k  2)( k  3) � S   k ( k  1)( k  2)( k  3)   Bài 12: Khó Cho dãy số có số 16, số sau tạo cách viết thêm số 15 vào số liền trước nó: 16, 1156, 111556,… Chứng minh số dãy số phương Lời giải Trong số dãy trên, số chữ số ln số chữ số chữ số Đặt A  11 11 55 55 123 n.chu so.1 n 1.chu so.5 Thật vậy, đặt thuộc dãy số Ta chứng minh A số phương n a  11 11 { � 10  9a  n.chu so.1 Ta có: n n 2 A  11.11  5.11 11 { 10  11 11 10    11 11.10 123   a(9a  1)  5a   (3a  1)  33 33 123 n.chu so.1 n 1.chu so.1 n.chu so.1 n 1.chu so.3 n.chu so.1 Vậy A số phương Dạng 2: Tìm giá trị biến để biểu thức số phương Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương a n  2n  12 d n  n  1598 b n(n  3) c* 13n  e [ HSG – BG – 2013] n  4n  2013 f [ HSG – LĐ – 2015] n  2n  18 Lời giải 2 2 2 a Đặt n  2n  12  k (k �N ) � (n  2n  1)  k  11 � k  (n  1)  11 � (k  n  1)(k  n  1)  1.11  (1).(11) Ta lại có: k  n   k  n  +) TH1: k  n   11 � k  n  10 k 6 � � �� �� (tm) � k  n   k  n  n  � � � +) TH2: k  n   1 k  6 � � �� (loai ) � k  n   11 � n4 � Vậy n = 2 2 2 b n( n  3)  a � 4n  12n  4a � 4n  12n   4a  � (2n  3)  4a  � (2n   2a )(2n   2a)  +) TH1: 2n   a  n 1 � � �� (tm ) � 2n   a  a2 � � +) TH2: 2n   2a  1 n  4 � � �� (loai ) � 2n   2a  9 a2 � � Vậy n = 2 13 c Đặt 13   y ( y �N ) � 13( n  1)  y  16 � 13(n  1)  ( y  4)( y  4) � ( y  4)( y  4) M mà y  4M 13 �y  13k  � 13  �� ������ (k y  4M 13 � � �y  13k  Vậy n  13k �8k  1(k �N ) N) 13( n 1) (13k 4) 16 13k (13k 8) 13n + 13 số phương 2 2 2 d n  n  1598  m (m �N ) � (4n  4n  1)  6355  4m � (2n  1)  6355  m (2m  2n  1)(2m  2n  1)  6355  6355.1  155.41  271.5  205.31 Ta có: 2m + 2n + > 2m – 2n – số lẻ nên có trường hợp 13k 8k n � n � 1588,316, 43, 28 e n  4n  2013  m (m �N ) � (n  2)2  2009  m � (m  n  2)(m  n  2)  2009.1  287.7  49.41 Vì m + n + > m + n – nên có trường hợp xảy Bài 2: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết 2n + 3n + số phương Lời giải 99 � � 20 2n 198 Vì n có hai chữ số 10 �n� 21 2n 199 Mà 2n + số phương lẻ � 2n  � 25;49;81;121;169 � n � 12; 24; 40;60;84 � 3n  � 37;73;121;181;253 � n  40 Bài 3: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số cho cộng số với số có hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại ta số phương Lời giải Gọi số cần tìm là: ab(1 �a, b �9) Số viết theo thứ tự ngược lại : ba Tổng hai số : ab  ba  11(a  b) Vì tổng hai số số phương, đặt 11( a  b)  m (m �N ) � a  b  11 � có số : 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92 Bài 4: Tìm tất số tự nhiên n cho : n  14n  256 số phương Lời giải n  14n  256  k ( k �N ) � (n  7)  k  305 � (n  k  7)( n  k  7)  305  61.5  Đặt (1)(305)  (61)(5) Do n, k �N � n  k   n  k  +) n  k   61 � n  40 � �� (tm) � nk 7 5 k  32 � � +) n k 7 1 � � n  160(tm) � n  k   305 � +) n  k   305 � n  146(loai ) +) n  k   61 � n  26(loai ) 11 n Bài 5: Tìm số tự nhiên n để   số phương Lời giải 11 n 2 n n Đặt    a (a  0, a �N ) � 48   a �  (a  48)(a  48) +) n  � (a  48)(a  48)  � voly +) � � a  48  x 2y  �x  � � x y y x y n 0�� ( x  y  n ; x  y ) � 96   � (2  1)  � � � n  12 � � 123 a  48  y 2x y  �y  le � � Bài : Tìm số tự nhiên n �1 cho : 1! 2!  n! số phương Lời giải +) n  � S  1!   +) n  � S  1! 2!  3(loai ) +) n  � S  1! 2! 3!   +) n  � S  1! 2! 3! 4!  33(loai) +) n �5 � S  1! 2!2  3! 6!2  144 4434!  5! 44 43n! � khonglasochinhphuong 33 tc 0 Vậy n = n = Bài 7: Tìm tất số nguyên dương n cho n! 232 số phương Lời giải +) n  � 1! 232  233(loai) +) n  2,3 � loai +) n  � n! 232  256  16 (tm) +) n �5 � n!M5 � n ! 232 �2(mod 5) � n! 232khonglasochinhphuong Vậy n = Bài 8: Cho n số nguyên dương cho n + 2n + só phương CMR n chia hết cho 24 Lời giải 2 Đặt n   a ; 2n   b (a, b �N ) � b : le � b  2k  � b  4k (k  1)  Mà n b  4k ( k  1)   2k (k  1) � n : chan � n  1: le � a : le � a  2q  1(q �N ) 2 � a  4q( q  1)  � n  4q( q  1)M 8(1) 14 43 M 2 Mặt khác a  b  3n  �2(mod 3) 2 ��3)�� a 2, b 1(mod 3) Và a , b �0,1(mod a b2 0(mod 3) Mà (3,8)  � n � nM24 � dpcm Bài 9: [ Vào 10 Chuyên Phân Bội Châu, năm 2014 – 2015 ] Tìm chữ số a, b cho: ab  (a  b) Lời giải Từ giả thiết � ab  (a  b) a  b (1) * Vì ab; a  b �N � a  b phải số phương Mà: �a  b �18 � a  b � 1;4;9;16 +) a + b = thay vào (1) � ab  1(loai ) +) a + b = 4; a + b = 16 loại hết 10 (2n 1) (n 1)M nM Bài 18: Tìm số phương có chử số cho viết chử số theo thứ tự ngược lại ta củng số phương số phương bội số số phương cần tìm Lời giải Đặt số phải tìm abcd  M 1000 < M2 < 10000 nên 31 < M < 50 Ta lại có dcba  N Tính tổng hiệu hai số phương ta abcd  dcba  1001 a  d   110  b  c  M 11 abcd  dcba  999  d  a   90  c  b  M3 Vì dcba bội abcd nên abcd vừa phải chia hết cho 11 vừa phải chia hết cho tức bội số 33 Mà 31 < M < 50 nên M = 33 ta có: abcd  33  1089, dcba  9801  99 Bài 19: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số Lời giải Gọi số phải tìm ab với a, b  N,  a  9;  b  Theo giả thiết ta có: ab = (a + b)3  ab lập phương a + b số phương Đặt ab = t3 (t  N), a + b = 12 (1  N) Vì 10  ab  99  ab = 27 ab = 64 Nếu ab = 27  a + b = số phương Nếu ab = 64  a + b = 10 khơng số phương  loại Vậy số cần tìm ab = 27 Dạng 4: Dùng chữ số tận để giải tốn số phương - SCP có chữ số tận : 0, 1, 4, 5, 6, - SCP khơng có chữ số tận : 2, 3, 7, - SCP có chữ số tận 1, 4, chữ số hàng chục số chẵn - Nếu SCP có tận số chữ số hàng chục số lẻ 23 - Nếu SCP có tận số chữ số hàng chục số - Nếu SCP có tận số SCP có số chẵn chữ số tận cùng, vd : 100, 10000 Bài 1: Chứng minh số sau không số phương 100 10 b B  100  10  11 111 1111 a A  11  111  1111 10 c 10  Lời giải a A có chữ số tận b B có chữ số tận c C có chữ số tận 2 2 Bài 2: Chứng minh STN A  2015  2014  2013  2012  2011 khơng số phương Lời giải 2 Ta có: 2015 có tận 5, 2014 có tận 6, 2013 có tận 9, 2012 có tận 4, 2011 có tận Vậy A có chữ số tận + + + – = Bài 3: Khơng tính kết cho biết tổng, hiệu sau có phải SCP hay không ? a 7.13.25.63.105  113 b 11.19.27.63.99  122.93 c 12.13.14.15.16  3.12.13.14.82 Lời giải a b A  7.13.25.63.105 44 43  113 � tc : tc:5 11.19.27.63.99 44 43  122.92 � tc : tc:1 tc:4 c 12.13.14.15.16 44 43  3.12.13.14.82 44 43  12.13.14(15.16  3.82)  12.13.14(3.80  3.82)  � khongla : SCP tc:0 tc:4 24 Bài 4: Cho bốn chữ số 0, 2, 3, Tìm SCP có bốn chữ số gồ bốn chữ số Lời giải Gọi A SCP có bốn chữ số cần tìm A khơng có tận nên chữ số tận A 0, +) Nếu chữ số tận A suy chữ số hàng chục ( vô lý ) +) Nếu chữ số tận A suy chữ số hàng chục A phải số chẵn suy � A Có thể : 3204 2304 3024 2 2 Có : 56  3204  57 ; 2304  48 ;54  3024  55 Vậy số cần tìm : 2304 Bài 5: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp khơng số phương Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp : n  2, n  1, n, n  1, n  2(n  N , n 2) 2 2 2 Đặt S  (n  2)  ( n  1)  n  (n  1)  (n  2)  5( n  2) Vì n2 khơng có chữ số tận nên n2 + khơng có chữ số tận �S M � n  2M/ � � �S �S M/ 25 không số phương Bài 6: Chứng minh số sau khơng số phương 12 12 12 a 12  13  14 � tc : b 7{100  101 � tc : tc:1 100 c 100  98  � tc : Bài 7: Tìm SCP có bốn chữ số viết chữ số: 3, 6, 8, 25 Lời giải SCP có tận � chữ số hàng chục Thử lại 8836 = 942 Bài 8: Tìm SCP có bốn chữ số sau: 2, 3, Lời giải SCP có tận +) Nếu chữ số tận suy chữ số hàng chục chẵn = � có số: 3924, 9324 Thử lại: Đi phân tích TSNT xem số thỏa mãn +) Nếu chữ số tận � chữ số hàng chục Có số: 3429;  57 44329; 2349;3249 43 loai Dạng 5: Phương pháp phản chứng để giải tốn số phương n Bài 1: Chứng minh với n �N , thì:  khơng số phương Lời giải n +) n  �   � khongla : SCP n +) n  �   � khongla : SCP +) Với n �2 26 n Giải sử  số phương � m   3k � �   m (m �N , m  3) � m   � (m  2)(m  2)  � � (k  q  n ) m   3q � n 2 (k , q γ� N  ;k, q � 1)  (m 2) (m 2) n 3q 3k 3q 3k (*) VT (*)M/ � � Voly � 3n  : khonglaSCP � VP (*) M � Bài 2: Chứng minh không tồn hai số phương có hiệu 10002 Lời giải Giả sử có hai số phương : m2 n2 thỏa mãn điều kiện ban đầu, tức : m2 – n2 = 10002 Với giả thiết m > n � (m  n)(m  n)  10002 Vì m2 – n2 số chẵn nên m2 n2 tính chẵn lẻ suy m n tính chẵn lẻ � m  nM2; m  nM2 � (m  n)( m  n)M4 Mà : 10002 không chia hết cho � vô lý Bài 3: Chứng minh với n nguyên dương n2 + khơng số phương Lời giải Giải sử n2 + số phương, đặt n   m ( m �N * ) � m n  2{ � dpcm 14 243 M M/ Bài 4: Chứng minh tích bốn số ngun dương liên tiếp khơng số phương Lời giải * Đặt S  n(n  1)(n  2)( n  3)(n �N ) Ta chứng minh S khơng số phương * 2 2 Giả sử S  m (m �N ) � n(n  1)(n  2)( n  3)  m � (n  3n)(n  3n  2)  m * 2 2 2 Đặt n  3n  a(a �N ) � a( a  2)  m � a  2a  m � (a  1)  m  � (a  1)  m  27 a 1 m  � � (a   m)(a   m)  � � � m  0(voly ) � S : khonglasochinhphuong a 1 m  � Bài 5: Chứng minh tổng abc  bca  cab không số phương Lời giải Đặt S  abc  bca  cab  111(a  b  c)  3.37(a  b  c) Giả sử S số phương � S M37 � S M37 � a  b  cM37 Mà a  b  c �27 � voly � S : khonglasochinhphuong n Bài 6: Chứng minh với số nguyên dương n  24 khơng SCP Lời giải n * n Giải sử  24 số phương, đặt  24  a (a �N ) n k +) n lẻ, đặt n  2k  �  24  49  24  a k k Có: 49 : dư � 49 : dư ; 7.49 : dư � a : dư ( vô lý ) +) n chẵn, � k  24  a (k �0) � 24  (7 k )  a  (a  k )(a  k ) � (a  k )(a  k )  2.12  4.6 k k Vì a  ; a  tính chất chẵn lẻ k k Xét hai trường hợp được: 2.7  10; 2.7  � không tồn k n Vậy  24 khơng số phương Bài 7: Chứng minh không tồn số tự nhiên n cho: 13n  số phương Lời giải 13n   m (*) +) Với n chẵn, n lẻ � m chẵn lẻ � m, n tính chẵn lẻ 28 +) Nếu m, n số lẻ 13 {n  : � du : � khongtontai chia 4:du1 +) Nếu m, n chẵn VT (*) : 4du � � voly � dpcm � VP(*)M4 � Bài 8: Chứng minh rằng: n  5n  35M/(n �N ) Lời giải 121n �N Giả sử ngược lại: n  5n  35M � 4n  20n  140M 121 � (2n  5)  165M 121  112 (1) 11 � (2n  5) M 11 � 2n  5M 11 Ta có: 165  11.15M 112  121(2) � 165  11.15M 121  112 ( voly) � dpcm Vì 11 số nguyên tố � (2n  5) M 2 *) Nhận xét: Nếu a Mp mà p số nguyên tố � a Mp 29 Dạng 6: Sử dụng tính chất chia hết để giải tốn số phương Nhận xét: a a �0,1(mod 3) b a �0,1(mod 4) c a �0,1, 4(mod 5) d a �0,1, 4(mod 7) � 4(mod8)(a : chan e a  0,1, 0, 4; a : le g a �0,1, 4,5,6,9(mod10) f a �0,1, 4,9(mod11) 1) h a �/ 2,3,7,8(mod10) n 1 n2 - Số phương chia hết cho p � Mp ( p � ) Bài 1: Các số sau có phải số phương khơng? 1000 500 a  (2 ) � phai 1993 1992 996 b  3  (3 ) � khongphai 101 101 101 c  (2 )  (2 ) � phai Bài 2: Các số sau có số phương khơng a  312  343 2 320 43 M Có: AM3 A chia dư nên A khơng số phương b B  11  11  11  11(1  11  121)  1463 � tan cungla : � không 10 c 10  � tc : � khong 10 d 10  � tc : không chia hết cho 25 nên khơng số phương e 29 87 58 E  2929  5858  8787  2929 (1  214582 29 29 43  314 43 ) 4M294 4 M29 43 M/ 29 Ta có: A chia hết cho 2929 khơng chia hết cho 2930, mà 29 số nguyên tố nên E khơng số phương f A  1234567890 30 Ta có: S(A) = 45 A chia hết cho không chia hết A không số phương - Hoặc cách khác: A chia hết cho không chia hết cho 25 nên khơng số phương Bài 3: Giả sử N  1.3.5 2015 Chứng minh số: 2N – ; 2N ; 2N + số phương Lời giải +) N M3 � N  1: 3du � khonglasochinhphuong +) N lẻ � N  2k  � N  4k  2chia 4du � khonglasochinhphuong N  4q  N   8q  � � �� �� � khonglasochinhphuong N  4q  � N   8q  � +) N lẻ 2 Bài 4: Cho a, b, c số nguyên dương thỏa mãn: a  b  c CMR: abc chia hết cho 60 Lời giải Ta có: 60 = +) Giả sử abc không chia hết cho � a, b, c không chia hết cho ( số nguyên tố ) ��� a b��� c  1(mod 3) 1 1(mod 3) voly abcM 3(1) +) Nếu số a, b, c có hai số chẵn abcM4(2) +) Nếu số có số chẵn số lẻ Ta thấy a b lẻ c chẵn � a  b �1  �2(mod 4); c �0(mod 4) � voly 2 Khơng tính tổng quát giả sử a chẵn b, c lẻ �a�c b 1 0(mod8) � a2 M � a M4 � abc M4 +) Giả sử abcM/ ���� a, b, cM/5 2 a ,b ,c 1, 4(mod 5) � a  b �0, 2,3(mod 5) � �2 c �1, � 31 voly abc M 5(3) Từ (1)(2)(3) � abc M3.4.5  60(dpcm) Bài 5: Cho n số nguyên dương cho 2n + 3n + số phương, chứng minh n chia hết cho 40 Lời giải 2 Đặt 2n   a ;3n   b (a, b �N ) Ta có a lẻ ��� a 2�1( � mod  4) a 2nM4 n : chan � a  b  5n  �2(mod 5) � �� a b �2 +) �a , b �0,1, 4(mod 5) b : le b2 1(mod 5) 2n 1(mod 8) � 3n  b  1M � (3,8)  � nM 8(1) a 1M Mà ( 2,5) = � nM5(2) � nM40 Bài 6: Cho A tổng bình phương 111 STN liên tiếp CMR: A khơng phải SCP Lời giải Xét tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp (a  1)  a  (a  1)  3a  �2(mod 3)a �N Chia A thành 37 nhóm, nhóm tổng bình phương STN liên tiếp ��� A 37.2  1.2 2(mod 3) A khơng số phương Bài 7: Cho A tổng bình phương 108 STN liên tiếp CMR: A khơng SCP Lời giải Xét tổng bình phương STN liên tiếp a  (a  1)2  (a  2)  (a  3)2  4a  12a  14 �2(mod 4)a �N Chia A thành 27 nhóm, nhóm STN liên tiếp ��� A 27.2  54 2(mod 4) A : khonglasochinhphuong 32 Bài 8: Viết liên tiếp STN từ đến 101 thành dãy theo thứ tự tùy ý tạo thành số A Chứng minh A khơng số phương Lời giải 101.102 A �1    101 � �101.51 �2.6 �3(mod 9) 10n �1(mod 9) � AM 3; AM/ � A : khonglasochinhphuong Dạng 7: Phương pháp kẹp để giải toán số phương Nội dung phương pháp: Dựa vào tính chất sau: Khơng tồn số phương nằm hai số phương liên tiếp Vd: 4, 9, 16, 25, … Như để chứng minh số K SCP ta cần STN q cho: q  k  (q  1) Bài 1: Chứng minh số 10224 khơng số phương Lời giải Nhận thấy: 1012  10201;1022  10404;10201  10224  10404 � 1012  10224  1022 � khonglasochinhphuong Bài 2: Tìm số tự nhiên n để n  3n số phương Lời giải +) n  � n  3n  � lasochinhphuong +) n  � n  3n  � lasochinhphuong 2 2 2 2 +) n  1: (n  1)  n  2n   n  2n  n  n  3n;(n  2)  n  3n � (n  1)  n  3n  (n  2) � n  3n : khonglasochinhphuong Bài 3: Chứng minh n �N số sau khơng số phương 33 a n  7n  10 b 4n  5n  Lời giải 2 a Nhận thấy n �N � (n  3)  n  6n   (n  4) � dpcm 2 b (2n  1)  4n  5n   (2n  2) Bài 4: Chứng minh tích bốn số ngun dương liên tiếp khơng SCP Lời giải 2 * Giả sử n �N , đặt S  n(n  1)(n  2)(n  3)  (n  3n)(n  3n  2)  a (a  2)  a  2a (a �N ) 2 Nhận thấy a  a  2a  (a  1) � S : khonglasochinhphuong Bài 5: Chứng minh số 2016 1000 999 a S  2016  2016  2016   2016  2016 không SCP Lời giải 2016 1008 Ta có : S  2016  (2016 ) (1) 1008 2016 1008 Ta chứng minh S  (2016  1)  2016  2.2016  1000 999 1000 Thật : 2016  2016   2016  2016  1000.2016 1000.20161000  20161001  2.20161008  � S  (2016  1) (2) � dpcm 2018 1000 999 b CMR : A  2018  2018  2018   2018  2018  không số phương Lời giải 2018 1009 Ta có : A  2018  (2018 ) A  20182018    20182018  20181000   20181000  20182018  1001.20181000  20182018  2.20181009   (20181009  1) � A : khonglasochinhphuong Bài 6: Chứng minh tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng số phương Lời giải 34 A  n  ( n  1)  ( n  2)  ( n  3)  4n  12n  14( n �0)  (2 n  3)   (2 n  4)  n  � (2n  3)  A  (2n  4) � A : khonglasochinhphuong BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Chứng minh số 40725 không số phương Lời giải Ta có số 40725 chia dư nên khơng số phương 2 Hoặc: 201  40725  202 Bài 2: Chứng minh với số tự nhiên n số sau khơng phải số phương a) A  n  2n  b) B  9n  8n  10 Lời giải 2 2 2 a) Ta có: n  2n   n  2n   n  4n  � (n  1)  n  2n   (n  2) � A  n  2n  khơng số phương b) - Với n = 0, n = khơng thỏa mãn 2 - n �2 � (3n  1)  9n  8n  10  (3n  2) Bài 3: Chứng minh tích hai số tự nhiên liên tiếp khác không số phương Lời giải 2 2 Dễ thấy: n  n  n  n  2n   (n  1) � dpcm Dạng : Dựa vào ý quan trọng sau - Nếu x, y số nguyên dương nguyên tố có tích số phương x, y số phương �xy  m � x, y : SCP � ( x , y )  � 35 +) Giả sử x, y, z số nguyên dương, p số nguyên tố thỏa mãn : xy = p.z2 (x,y) = 2 � � �x  a �x  pa �� ; ( a, b �N * ) � �y  p.b �y  b 1   Bài 1: Cho a, b, c số nguyên dương nguyên tố thỏa mãn : a b c Chứng minh : a + b số phương Lời giải 1   � (a  b)c  ab � ab  ac  bc  � a (b  c )  b  bc  b � (b  c )(a  b )  b Ta có : a b c Giả sử (a  b, b  c)  � p � cho �p / a  b �p / a � p / b � p / b � � � p /( a, b, c)  1(voly ) � �p / b  c �p / c Nên điều giả sử sai � (a  b, b  c)  � a  b; b  c � lasochinhphuong Bài 2: Cho n số nguyên dương cho n2 hiệu lập phương hai số tự nhiên liên tiếp Chứng minh n tổng hai số tự nhiên liên tiếp Lời giải Theo giả thiết : n  (k  1)3  k (k �N ) � n  3k  3k  � 4n  3(4k  4k  1)   3(2k  1)  � (2n  1)(2n  1)  3(2k  1) Vì 2n + 2n – nguyên tố nên xảy trường hợp sau � 2n   a a2  a 1 a  � � a : le � n  ( ) ( ) � 2 2 n   b � +) � 2n   3a � � b  3a  �2(mod 3) � voly � +) �2n   b 36 a2  a  a  n ( ) ( ) 2 Vậy có trường hợp 37 ... Khó Cho dãy số có số 16, số sau tạo cách viết thêm số 15 vào số liền trước nó: 16, 1156, 111556,… Chứng minh số dãy số phương Lời giải Trong số dãy trên, số chữ số ln số chữ số chữ số Đặt A ... 7, - SCP có chữ số tận 1, 4, chữ số hàng chục số chẵn - Nếu SCP có tận số chữ số hàng chục số lẻ 23 - Nếu SCP có tận số chữ số hàng chục số - Nếu SCP có tận số SCP có số chẵn chữ số tận cùng, vd...h Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn ( 121, 49, …) - Số phương tận chữ số hàng chục - Số phương tận chữ số hàng chục chẵn - Số phương tận chữ số hàng chục lẻ *) HỆ QUẢ : Số phương