Chuyên đề số chính phương nhóm toán THCS việt nam

TỐN THCS VIỆT NAM Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHUN ĐỀ 2: SỐ CHÍNH PHƯƠNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Định nghĩa:  Số phương bình phương số tự nhiên  Tức là, A số phương  Ví dụ số số phương là:  = 12 = 22 = 32  16 = 42  81 = 92  196 = 142  25 = 52  100 = 102  255 = 152   II A = k ( k ∈ ¥ )  36 = 62   49 = 72   64 = 82  121 = 112 144 = 122 169 = 132 Tính chất Số phương có chữ số tận số ; ; ; ; ; , khơng có chữ số tận ; ; ; Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Chứng minh A = k với k ∈ ¥ Phân tích k thừa số nguyên tố ta có: k = a x b y c z (trong đó: a , b , c , số nguyên tố Giả sử đôi khác x , y , z , ∈ ¥ * ) A = ( a x b y c z ) = a x b y c z Khi đó: Từ tính chất ta có hệ quả: (đpcm) a) Nếu A số phương, p số nguyên tố AMp b)Tích số phương số phương AMp Số ước số phương (khác ) số lẻ Ngược lại, số có số ước lẻ số số phương Chứng minh Gọi - A số tự nhiên khác Nếu A = A số phương có ước Nếu A > A có dạng phân tích thừa số ngun tố là: A = a x b y c z ( a , b , c , số nguyên tố đôi khác nhau) ⇒  A S = ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) A số phương x , y , z , số chẵn, nên x + , y + , z + , Số lượng ước Nếu số lẻ, S số lẻ Trang TOÁN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) số lẻ ⇒ z + , số lẻ ⇒ x, y , z , số chẵn S  Đảo lại, số lẻ  Đặt x = x ' , y = y ' , phương (đpcm) z= z ' , ( x ' , 4n + x + 1, y + , x' y' z' y ' , z ' , ∈ ¥ ) A = ( a b c ) Số phương có hai dạng phương có dạng thừa số 4n nên A số 4n + Khơng có số 4n + ( n∈ ¥ ) Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số phương có dạng 3n + ( n∈ ¥ ) Số phương tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 Chú ý : Hai đẳng thức thường dùng: a + 2ab + b = ( a + b ) a − 2ab + b = ( a − b ) 2 (1) (2) Chứng minh Chứng minh đẳng thức (1) Ta có: a + 2ab + b = ( a + ab ) + ( ab + b ) = a ( a + b ) + b ( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) = ( a + b ) Chứng minh tương tự ta có đẳng thức (2) B MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG I Dạng Toán chứng minh số số phương:  Phương pháp giải:  A số phương A = k ( k ∈ ¥ )  Số phương có chữ số tận số  Nếu số ; 3; ; A nẵm bình phương hai số tự nhiên liên tiếp A khơng thể số phươn Nghĩa là:   n2 < A < ( n + 1) A khơng số phương Số phương có hai dạng có dạng 4n + 4n 4n + Khơng có số phương n 4n + ( n∈ ¥ ) Số phương có hai dạng có dạng ; ; ; ; ; , chữ số tận 3n + ( n∈ ¥ ) Trang 3n 3n + Không có số phương n TỐN THCS VIỆT NAM Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16     Dạng 1.1 Chứng minh số số phương Ví dụ Các số sau có phải số phương hay khơng? Vì sao? P = 1020 + b) P = 100!+ a) Chứng minh a) Ta có P = 1020 + = 10000 0008 có chữ số tận phương b) Ta có P = 100!+ có chữ số tận nên P nên P khơng phải số khơng phải số phương  Nhận xét: Các số sau: A = 10n + ; B = 15 !+ ; khơng phải số phương Ví dụ Các số sau có phải số phương hay khơng? Vì sao? A = + 32 + 33 + + 320 b) B = 1010 + c) C = 10100 + 1050 + a) Chứng minh ( + + + ) M9 20 n≥ M9 ⇒ A = + 32 + 33 + + 320 chia hết cho chia cho dư Vì A chia hết cho không chia hết A khơng phải số phương b)Ta có 1010 + có chữ số tận chia hết cho không chia hết cho 25 (vì có hai chữ số tận 05 ) nên B khơng phải số phương c) Ta có 10100 + 1050 + có tổng chữ số chia hết cho không chia hết C khơng phải số phương a) Ta có n với nên  Nhận xét: Chứng minh tương tự: tổng sau:    A = + 22 + 23 + 24 + + 2n chia hết cho 2, không chia hết cho 4, nên A số phương A = + 52 + 53 + 54 + + 5n chia hết cho 5, không chia hết cho 25, nên A số phương P = 10n + 10m + 1( n > m ) có tổng chữ số nên P khơng phải số phương F = 31 + 32 + 33 + + 3100 Chứng minh F + không số phương hết cho Ví dụ Cho chia hết cho không chia Chứng minh Trang TỐN THCS VIỆT NAM Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG F = 31 + 32 + 33 + + 3100 Nên 3F = 32 + 33 + 34 + + 3101 ⇒ 3F − F = 3101 − Ta có: F + = 3101 − + = 3101 = 3100.3 = ( 350 ) Do khơng số phương, số phương Ví dụ Chứng minh số nguyên x; y thì: A = ( x + y ) ( x + y ) ( x + 3y ) ( x + y ) + y4 số phương Chứng minh A = ( x + y ) ( x + y ) ( x + 3y ) ( x + y ) + y4 Ta có: = ( x + xy + y ) ( x + xy + y ) + y Đặt: t = x + 5xy + y , t ∈ ¢ thì: 2 4 2 A = ( A = ( t − y ) ( t + y ) + y = t − y + y = t = ( x + xy + y ) Vì x; y ∈ ¢ nên x ∈ ¢ ,5 xy ∈ ¢,5 y ∈ ¢ ⇒ x + xy + y ∈ ¢ Vậy A số phương Ví dụ Chứng minh số sau số phương: a) b) A = 22499 9100 09 { { n− n B = 11 155 56 { { n n−1 Chứng minh: a) A = 224.102n + 99.9.10n+2 + 10n+1 + ( ) = 224.102n + 10n− − 10n+ + 10n+1 + = 224.102n + 102n − 10n+2 + 10n+1 + = 225.102n − 90.10n + ( = 15.10n − ) Vậy A số phương b) n B = 111 1555 + 5.11 { { +1 123 + = 11 1.10 n n n 10n − n 10n − = 10 + +1 9 n Trang khơng phải TỐN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 102n − 10n + 5.10n − + = 102n + 4.10n +  10n +  = =  ÷÷   Vậy B số phương Dạng 1.2 Chứng minh số khơng số phương  Phương pháp giải:  A khơng số phương ta thường sử dụng cách sau: Cách 1: chứng minh chữ số tận A số ; ; ; Cách 2: chứng minh AMp (với p số nguyên tố) A Mp  Cách 3: chứng minh Chứng minh số  n2 < A < ( n + 1) Ví dụ Chứng minh không tồn hai số tự nhiên phương x y khác cho x2 + y x + y2 số Chứng minh x≥ y Khơng tính tổng quát, ta giả sử Khi đó, ta có: ⇒ x2 + y (nếu x < x + y ≤ x + x = x ( x + 1) < ( x + 1) số phương x≤ y chứng minh tương tự ta có Vậy khơng tồn hai số tự nhiên x x + y2 y không số phương) cho x2 + y x + y2 số phương  Nhận xét: Chứng minh tích bốn chữ số tự nhiên liên tiếp cộng số phương Chứng minh Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp Xét a , a + , a + , a + ( a∈ ¥ ) T = a ( a + 1) ( a + ) ( a + 3) + =  a ( a + 3)   ( a + 1) ( a + )  + = ( a + 3a ) ( a + 3a + ) + Đặt x = a + 3a , ta có: T = x ( x + ) + = x + x + = ( x + 1) Vậy  T hay T = ( a + 3a + 1) số phương (đpcm) Nhận xét: Trong ví dụ ta khơng biết cịn bình phương số Ví dụ:  1.2.3.4 + = 25 = 52 Trang T số phương mà cịn biết TỐN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG  2.3.4.5 + = 121 = 112  3.4.5.6 + = 361 = 192  4.5.6.7 + = 841 = 292 Ví dụ Giả sử N = 1.3.5.7 2007 Chứng minh số ngun liên tiếp khơng có số số phương Chứng minh • N − 1,2 N 2N + N − = 2.1.3.5 2007 − N M3 ⇒ N − không chia hết cho N − = 3k + ( k ∈ ¥ ) ⇒ N − khơng số phương • N = 2.1.3.5 2007 Vì N lẻ ⇒ N không chia hết cho NM2 2N không chia hết cho 2N chẵn nên 2N không chia hết cho dư ⇒ 2N không số phương • N + = 2.1.3.5 2007 + N + lẻ nên N + không chia hết cho 2N không chia hết N + không chia hết cho dư ⇒ N + khơng số phương Ta có Ví dụ Cho a = 11…1 ; b = 100…05 2008 chữ số Chứng minh ab + 2007 chữ số số tự nhiên Chứng minh 10 2008 − Cách 1: Ta có a = 11…1 = ; b = 100…05 = 100…0 + = 102008 + 2008 chữ số ⇒ 2007 chữ số 2008 chữ số 2008 (10 2008 − 1)(10 2008 + 5) (10 2008 ) + 4.10 2008 − +  10 +    ab+1 = +1= =  9  10 2008 +  10 2008 +   ab + =   = 10 2008 + Ta thấy 102008 + = 100…02  nên ∈ ¥ hay ab + số tự nhiên 2007 chữ số Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – + = 99…9 + = 9a +6 Trang TỐN THCS VIỆT NAM Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 2007 chữ số ⇒ ⇒ 2008 chữ số 2008 chữ số ab+1 = a(9a +6) + = 9a2 + 6a + = (3a+1)2 ab + = (3a + 1) = 3a + ∈ ¥ Ví dụ Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp khơng thể số chình phương Chứng minh Gọi số tự nhiên liên tiếp Ta có : n − 2, n − 1, n, n + 1, n + ( n ∈ ¥ , n ≥ ) ( n − ) + ( n − 1) + n2 + ( n + 1) + ( n + ) = ( n2 + ) Vì n khơng thể tận n + chia hết cho ( ) ⇒ n2 + không số phương II Dạng Lập số phương từ chữ số cho Ví dụ 10 Tìm số phương có bốn chữ số 3, , 8, Chứng minh Gọi A số phương phải tìm Vì số phương khơng tận ⇒ hai chữ số tận , nên A phải tận A 86 36 A có hai chữ số tận 86 A chia hết cho không chia hết cho - Nếu - A khơng phải số phương (loại) Nếu A có hai chữ số tận 36 A = 8836 Thử lại, ta có: 8836 = 942 nên số phương Vậy số cần tìm 8836 Ví dụ 11 Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B Hãy tìm số A B Hướng dẫn giải: Gọi A = abcd   = k Nếu thêm vào chữ số A đơn vị ta có số B = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( d + 1) = m2  với k , m∈  ¥ 32 < k < m < 100 a, b, c, d   ∈ ¥ ; ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤ ⇒ m2 – k2 = 1111 ⇔  A = abcd = k ⇒  B = abcd + 1111 = m2 (m-k)(m+k) = 1111 Trang (*) TOÁN THCS VIỆT NAM ( m− k) ( m+ k) Nhận xét thấy tích Và Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG m − k < m + k < 200 nên ( *) > nên viết m− k m+ k ( m− k) ( m+ k) hai số nguyên dương = 11.101   m – k = 11       m = 56             A = 2025 ⇔ ⇔  Do m + k = 101   n = 45    B = 3136  Ví dụ 12 Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phương chữ số số Hướng dẫn giải: Gọi số có hai chữ số cần tìm Ta có : ab ( < a ≤ 9,0 ≤ b ≤ 9, a, b ∈ ¥ ) ab ( a + b ) = a3 + b3 ⇔ 10a + b = a − ab + b ⇔ 10a + b = ( a + b ) − 3ab ⇔ 3a ( + b ) = ( a + b ) ( a + b − 1) ( a + b) a + b − nguyên tố   a + b = 3a  a =    a + b − = + b  b =  ⇒   a + b − = 3a  a =     a + b = + b  b = Vậy ab = 48 ab = 37 Ví dụ 13 Một số tự nhiên gồm chữ số sáu chữ số số phương khơng? Chứng minh Cách 1: - A số gồm chữ số sáu chữ số Nếu A có chữ số tận A có hai chữ số tận 60 ⇒ A chia hết cho A không chia hết cho 52 = 25 (vì 60 M25 ) - ⇒ A khơng số phương Nếu A có chữ số tận ⇒ A có hai chữ số tận 06 ⇒ A chia hết cho không chia hết cho , A Gọi 66 số phương Vậy A khơng phải số phương Cách 2: Sử dụng kết “Số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số lẻ III Dạng 3: Tìm giá trị biến để biểu thức số phương Ví dụ 14 Tìm số tự nhiên a) n2 + 2n + 12 b) 13n + n cho số sau số phương: Trang TỐN THCS VIỆT NAM Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Chứng minh Hướng dẫn giải: Ta chuyển toán dạng “ giải phương trình nghiệm nguyên” a) Vì ( 2 n + 2n + 12 số phương nên đặt n + 2n + 12 = k ( k ∈ ¥ ) )   n2 + 2n + + 11 = k ⇔ k − ( n + 1) = 11 ⇔ ( k + n + 1) ( k − n − 1) = 11 Nhận xét thấy k + n + > k − n − chúng số nguyên dương, nên ta viết: k + n + = 11  k = ⇔ k − n − = n = ( k + n + 1) ( k − n − 1) = 11 ⇔  b) Đặt 13n + = y ( y ∈ ¥ ) ⇒ 13 ( n − 1) = y − 16 ⇔ 13 ( n − 1) = y − 16 = ( y + ) ( y − ) ⇒ ( y + ) ( y − ) M13 mà 13 số nguyên tố nên ( y + ) M13 ⇒ y = 13k ±  4 (với ( y − 4) M13 k∈ ¥ ) ⇒ 13 ( n − 1) = ( 13k ± ) − 16 = 13k.( 13k ±  8 ) ⇒ n = 13k ±  8k + Vậy n = 13k ±  8k + (với k ∈ ¥ ) 13n + số phương Ví dụ 15 Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng P = 1!+ 2! + 3! + … + n! số phương Chứng minh Hướng dẫn : Sử dụng ý tưởng miền giá trị (xét giá trị đặc biệt thỏa mãn, trường hợp lại chứng minh khơng thỏa)  Với n = P = 1! = = 12 số phương  Với n=  Với n = P = 1!+ 2!+ 3! = + + = = 32  Với n≥  P = 1!+ 2! = + 1.2 = khơng số phương số phương ta có 1!+ 2!+ 3!+ 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 5!;6!;… ; n ! tận P = 1!+ số phương 2! + 3! + … + n! có tận chữ số nên khơng phải Vậy có số tự nhiên n thoả mãn đề Ví dụ 16 Tìm số có hai chữ số, biết nhân với 135 số phương Chứng minh Trang n = 1; n = TOÁN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG n, Gọi số phải tìm ta có 135n = a ( a∈ ¥ ) hay 33.5.n = a Vì số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên Vì 2 n số có hai chữ số nên 10 ≤ 3.5.k ⇒ k ∈ { 1;4} - Nếu n = 3.5.k ( k ∈ ¥ ) k = n = 15 Nếu k = n = 60 Vậy số cần tìm 15 60 - Ví dụ 17 Tìm số phương có bốn chữ số cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống Chứng minh Gọi số phương cần tìm Ta có n = aabb ( a , b ∈ ¥ ≤ a ≤ , ≤ b ≤ ) n2 = aabb = 1100a + 11b = 11( 100a + b ) = 11( 99a + a + b ) (1) ⇒ ( 99a + a + b ) M11 ⇒ ( a + b ) M11 ⇒ a + b = 11 2 a + b = 11 vào (1) ta n = 11( 99a + 11) = 11 ( 9a + 1) ⇒ 9a + phải số phương Thay a 9a + 1 10 19 28 37 46 55 a = 9a + = 64 = 82 số phương Vậy a = ⇒ b = số cần tìm là: 7744 = 112.82 = 882 Ta thấy có Ví dụ 18 Có hay khơng số tự nhiên n để 2006 + n số phương Chứng minh Giả sử 2006 + n2 số phương 2006 + n2 = m2 (m Từ suy m2 – n2 = 2006 ⇔ ∈ N) (m + n)(m - n) = 2006 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m Từ (1) (2) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) m + n m – n số chẵn (m + n)(m - n)  Nhưng 2006 không chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Ví dụ 19 Biết x∈ ¥ x > Tìm x cho x ( x − 1) x ( x − 1) = ( x − ) xx ( x − 1) Giải: Đẳng thức cho viết lại sau: x ( x − 1) = ( x − ) xx ( x − 1) Do vế trái số phương nên vế phải số phương Trang 10 64 73 TOÁN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Một số phương tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) x chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề ta có x∈ ¥ Từ (1) (2) ⇒ x nhận giá trị 5; 6; Do < x ≤ (2) Bằng phép thử ta thấy có x = thỏa mãn đề bài, 762 = 5776 Ví dụ 20 (Đề HSG Tốn – Tỉnh Bình Dương – 2016 - 2017) Xác định số điện thoại THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số dạng 82xxyy với xxyy số phương Chứng minh Ta có: xxyy = 11x0 y số phương nên x0 y M11 ⇔ 100 x + y M11 ⇔ 99 x + x + y M11  x + y = 11 ⇔ x + y M11 ⇔  x + y = x = y = ⇒  x + y = 11 Ta có: xxyy = 11x0 y = 11(99 x + x + y ) = 11(99 x + 11) = 112 (9 x + 1) ⇒ x + số phương ⇒ x= 7⇒ y = Vậy xxyy = 7744; xxyy = 0000 C BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n + 3n + số phương Hướng dẫn giải: Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n + ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 2n + 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số Số 12; 24; 40; 60; 84 3n + 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy Bài n n = 40 (Đề HSG Toán – Hà Giang – 2017 - 2018) Tìm số ngun dương số phương Hướng dẫn giải: Đặt A = n + n3 + Trang 11 n cho n4 + n3 + TỐN THCS VIỆT NAM Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Với n = A = khơng thỏa mãn Với n≥ Xét A − ( 2n + n − 1) = 3n2 + 2n + > ⇒ A > ( 2n2 + n − 1) Xét A − ( 2n + n ) = − n ≤ ⇒ A ≤ ( 2n + n ) Vậy A = ( 2n + n ) ⇒ n = ta có A = 4n4 + 4n3 + 2 2 Bài (Đề HSG Toán – Hậu Giang – 2017 - 2018) Tìm số tự nhiên phương Hướng dẫn giải: Đặt n2 + 2n + = a ⇔ ( a − n − 1) ( a + n + 1) = a + n + = ⇒  nên  a − n − = a + n+ 1> a − n− Với n = ⇒ A = 22 + 2.2 + = 16 = 42 Vì Bài với n cho A = n2 + 2n + số a nguyên dương a =  n = số phương 625 số tự nhiên liên tiếp 1,2,3, ,625 chọn 311 số cho khơng có hai số có tổng 625 Chứng minh 311 số (Đề HSG Toán – Hưng Yên – 2017 - 2018) Từ chọn, có số phương Hướng dẫn giải: Ta phân chia 625 số tự nhiên cho thành 311 nhóm sau: +) nhóm thứ gồm năm số phương +) { 49;225;400;576;625} 310 nhóm cịn lại nhóm gồm hai số có tổng 625 (khơng chứa số nhóm 1) Nếu 311 số chọn khơng có số thuộc nhóm thứ , 311 số thuộc nhóm cịn lại Theo ngun tắc Dirichle phải có hai số thuộc nhóm Hai số có tổng Bài 625 (vơ lí) Vậy chắn 311 số chọn phải có số thuộc nhóm thứ Số số phương (Đề HSG Tốn – Khánh Hịa – 2017 - 2018) Cho p số nguyên tố thỏa mãn p = a − b với a, b hai số nguyên dương phân biệt Chứng minh : Nếu lấy chia cho loại bỏ phần dư nhận số bình phương số nguyên lẻ Hướng dẫn giải: Ta có p = a3 − b3 = (a − b)(a + ab + b ) số nguyên tố mà Trang 12 a, b số nguyên dương a− b= 4p TOÁN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 3 2 ⇒ a = b + ⇒ p = (b + 1) − b = 3b + 3b + ⇒ p = 12b + 12b + ≡ 1(mod 3) Nếu lấy Bài 4p chia loại bỏ phần dư ta A = 4b2 + 4b + = ( 2b + 1) số phương lẻ (Đề HSG Tốn – Nghệ An – 2017 - 2018) Tìm số phương có bốn chữ số biết chữ số hàng đơn vị số nguyên tố bậc hai số cần tìm có tổng chữ số số phương Hướng dẫn giải: Gọi số cần tìm có dạng abcd ⇒ abcd = n ( n ∈ Ν ⇒ d = ;1 ; ; ; ; mà d Do d = nên n * ) số nguyên tố nên có tận d = 5 hay n = e5 ; mà e + số phương nên e = ⇒ n = 45 ⇒ abcd = 2045 Bài (Đề HSG Tốn – Ninh Bình – 2017 – 2018) Tìm số tự nhiên số phương Hướng dẫn giải: Đặt: n cho n2 + 12n + 1975 n + 12n + 1975 = m ⇔ m − ( n + ) = 1939 ⇔ ( m − n + ) ( m + n + ) = 1939(m ∈ ¢ ) Do ⇔ ( m + n + ) ≥ ( m − n + ) nên ta có:  ( m + n + ) = 1939 ⇔ n = 963  m − n + = ) Trường hợp 1:  (  ( m + n + ) = 277 ⇔ n = 129  m − n + = ( ) Trường hợp 2:  Bài n số nguyên dương thỏa mãn n + 2n + đồng thời hai số phương Chứng minh n chia hết cho 24 (Đề HSG Toán – Quảng Bình – 2017 – 2018) Cho Hướng dẫn giải: Vì 2n + số phương lẻ nên ( 2n + 1) ≡ 1( mod8) ⇒ 2nM8 ⇒ nM4 Nên n số chẵn, suy n + số phương lẻ Nên ( n + 1) ≡ 1( mod8) ⇒ nM8 , ( 1) Mặt khác Do Từ ( 1) ( n + 1) + ( 2n + 1) = ( 3n + 2) ≡ ( mod3) ( n + 1) ≡ ( 2n + 1) ≡ 1( mod3) ⇒ nM3 , ( ) ( 2) ta có nM24 Trang 13 mà n + 2m + số phương lẻ TỐN THCS VIỆT NAM Bài Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG (Đề HSG Toán – Quảng Nam – 2017 – 2018) Cho số nguyên tố dương a,b cho phương p + a = b Chứng minh a chia hết cho p ( p > ) hai số nguyên 12 ( p + a + 1) số Hướng dẫn giải: Ta có p2 = b2 - a2 = ( b - a)( b + a) Vì b + a > b Vì ìï b + a = p2 ï Þ 2a = p2 - í a > nên ïïïỵ b - a = p số ngun tố lớn nên p có dạng p = 3k + p = 3k + Nếu p = 3k + p2 - = 9k2 + 6k chia hết 2a chia hết cho Mà ( 2,3) = nên a chia hết cho Mặt khác p số lẻ nên p có dạng p = 2m + Khi 2a = p2 - = 4m2 + 4m a = 2m( m + 1) Vì m( m + 1) chia hết cho chia hết a chia hết cho Vì ( 3,4) = nên nên a 12 Theo chứng minh có 2a = p2 - nên 2( p + a + 1) = 2p + 2a + = p2 + 2p + = ( p + 1) Vậy 2( p + a + 1) số phương Bài 10 (Đề HSG Tốn – Quảng Ninh – 2017 – 2018) Tìm số tự nhiên phương Hướng dẫn giải: Đặt 24 + 27 + 2n = k với k Ỵ N* Ta có 16 +128 + n = k Û 2n = ( k - 12)( k +12) ìï k +12 = x ïí y Khi ïïỵ k - 12 = , với x , y Ỵ N , x> y nên x- y - x y y x- y x + y = n Suy - = 24 Û ( - 1) = 24 ìï x- y - = ïí Û y số lẻ Suy ïïỵ = Khi 24 + 27 + 28 = 202 Vậy n = số cần tìm Vì Bài 11 n để 24 + 27 + 2n số ïìï x - y = Û í ỵïï y = ïìï x = ị n =8 ợùù y = (Đề HSG Toán – Vĩnh Long – 2017 – 2018) Tìm tất số nguyên dương 70 + 4n − n2 số phương Trang 14 n cho TOÁN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Hướng dẫn giải: Đặt 70 + 4n − n2 = k , k ∈ ¥ 74 = k + n − 4n + ⇔ k + ( n − ) = 74 Ta có: Suy ra: ≤ k , ( n − ) ≤ 74 với Các số phương bé 74 là: Vì k + ( n − 1) = 74 k ∈ ¥,n∈ ¥ * 0;1;4;9;16;25;36;49;64 nên ta có trường hợp sau:  k = 49 k = ⇔  n = (nhận) * TH1: ( n − ) = 25  k = 25 ⇔  * TH2:  ( n − ) = 49 Bài 12 k =   n = (nhận) (Đề TS Chuyên Toán – Hải Dương – 2017 – 2018) Tìm tất số nguyên dương thỏa mãn Giả sử Ta có Mà x2 + y y + 3x x≥ y, x < x + y ≤ x + 3x x + 3x = ( x + ) − x − < ( x + ) ⇒ x2 < x2 + y < ( x + 2) Do số phương Hướng dẫn giải: x2 + y 2 số phương ⇒ x + y = ( x + 1) ⇒ y = x + 4x2 + 4x + x + 31x + ⇒y = ⇒ y + 3x = 9 Để y + 3x Ta có số phương ( x + 1) x + 31x + số phương ≤ x + 31x + = ( x + ) − x − 63 < ( x + ) ⇒ x + 31x + = ( x + a ) 2 với ≤ a ≤ 7, a ∈ Z, a > a2 −1 ⇒x= 31 − 4a Trang 15 ( x; y ) TOÁN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 23 (L) 19 (L) (L) y= ⇒ 24 11 (L) (L) ( x; y ) ( 1;1) x ≤ y , tương tự ( 16;11) ta có nghiệm Vậy, có tất cặp số Bài 13 2x + có nghiệm Nếu ( x; y ) thỏa mãn ( x; y ) ( 1;1) ( 1;1) ; ( 16;11) và ( 11;16) ( 11;16) (Đề TS Chun Tốn – TP Hồ Chí Minh – 2017 – 2018) Cho biểu thức A = (m+ n) + 3m + n n3 + Ta có: với chia hết cho m, n số nguyên dương CMR m A = (m+ n)2 + 3m + n A số phương Hướng dẫn giải: số phương (m + n) + 3m + n = k ⇔ k − (m+ n) = 3m + n ⇔ (k + m+ n)(k − m − n) = 3m + n Với k , m, n số nguyên dương (k + m + n)(k − m − n) = (3m + n).1 k + m + n = 3m+ n ⇔ k − m− n = k + m+ n > k − m− n nên ta viết: k  m = ⇔  k −1 = n  1 k k − 6k k n3 + = (k − 2)3 + = ( k − 6k + 12k − + 8) = ( )M 8 ⇒ n3 + Mm Bài 14 (Đề TS Chuyên Toán – TP Phú Thọ – 2017 – 2018) Tìm số nguyên số phương Hướng dẫn giải: Xét phương trình Do x + mx − = (1) Ta thấy x = không nghiệm (1) nên m + 12 ( m∈ ¢ ) số phương (1) x0 Trang 16 m cho m2 + 12 x ≠ có nghiệm ngun TỐN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG = x0 ( x0 + m)Mx0 ⇒ x0 ∈ { − 1; − 3;1;3} Suy Ta có +) x0 = −1 ⇒ + m − = ⇒ m = 2; +) x0 = ⇒ − m − = ⇒ m = −2; +) x0 = ⇒ + 3m − = ⇒ m = −2; +) x0 = −3 ⇒ − 3m − = ⇒ m = Vậy có hai giá trị m thỏa mãn toán Bài 15 Viết liên tiếp từ đến 12 số Giả sử H có m = ± H = 1234 1112 Số H có Hướng dẫn giải: 81 ước khơng? 81 ước Vì số lượng ước H 81 (là số lẻ) nên H mặt khác, tổng chữ số H số phương (1) là: + + + + + ( + ) + ( + 1) + ( + ) = 51 Vì 51M3 ; 51 M9 nên H chia hết cho khơng chia hết cho , H khơng số phương: mâu thuẫn với (1) ! Vậy Bài 16 H khơng thể có 81 ước Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 số phương Hướng dẫn giải: Giả sử 2 2010 + n2 số phương 2010 + n = m ( m ∈ ¥ ) Từ suy m2 − n = 2010 ⇔ ( m + n ) ( m − n ) = 2010 Như số Mặt khác m n phải có số chẵn (1) m + n + m − n = 2m ⇒ Từ (1) (2) số m + n m − n tính chẵn lẻ (2) ⇒ m + n m − n số chẵn ⇒ ( m + n ) ( m − n ) M4 2010 không chia hết cho ⇒ Điều giả sử sai n để 2010 + n2 số phương Chứng minh n số tự nhiên cho n + 2n + số phương n Vậy không tồn số tự nhiên Bài 17 bội số 24 Hướng dẫn giải: Trang 17 TOÁN THCS VIỆT NAM Vì Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG n + 2n + số phương nên đặt n + = k Ta có m số lẻ 2n + = m , ( k ,m ∈ ¥ ) ⇒  m = 2a + 1 ⇒ m2 = 4a ( a + 1) + m − 4a(a + 1) n= = = 2a(a + 1) Mà 2 ⇒ n chẵn ⇒ n + lẻ ⇒ k lẻ ⇒ n = 4b ( b + 1)   ⇒ n M8 (1) Ta có: k + m ⇒ đặt = 3n + 2 2 (mod 3) Mặt khác k chia cho dư 1, Nên để k + k = 2b + (với b∈ ¥ ) ⇒ k = 4b ( b + 1) + m2 chia cho dư m2 ≡  2 (mod3) k  ≡ (mod3) m2  ≡ (mod3) ⇒ m2 − k ≡  3 Mà ( 8; 3) = Từ (1), (2), (3) hay ( 2n + 1) − ( n + 1)  M3 ⇒ n M 3 (2) (3) ⇒ nM24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập Toán - Tập I Các chuyên đề chọn lọc Toán – Tập I Một số đề thi học sinh giỏi lớp 6, Một số đề thi chuyên Tuyển sinh vào lớp 10 Một số chuyên đề liên quan đến số phương đăng tạp chí Tốn học & tuổi trẻ tạp chí Tốn tuổi thơ Trang 18 TỐN THCS VIỆT NAM Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Trang 19 ... vế trái số phương nên vế phải số phương Trang 10 64 73 TỐN THCS VIỆT NAM Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Một số phương tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) x chữ số nên x... n2 số phương Chứng minh n số tự nhiên cho n + 2n + số phương n Vậy khơng tồn số tự nhiên Bài 17 bội số 24 Hướng dẫn giải: Trang 17 TỐN THCS VIỆT NAM Vì Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG n + 2n + số phương. .. khơng có chữ số tận 3n + ( n∈ ¥ ) Trang 3n 3n + Khơng có số phương n TỐN THCS VIỆT NAM Chun đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia