Toán Bất đẳng thức Bất phương trình46205

Bất đẳng thức - Bất phương trình Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất Điều kiện Nội dung a < b⇔ a + c < b + c a < b⇔ ac < bc a < b⇔ ac > bc a < b c < d⇒ a + c < b + d a < b c < d⇒ ac < bd a < b⇔ a 2n+1 < b2n+1 < a < b⇒ a 2n < b2n c>0 c 0, c > n nguyên dương a < b⇔ a>0 a < b⇔ a b (1) (2a) (2b) (3) (4) (5a) (5b) (6a) a b (6b) Một số bất đẳng thức thông dụng a2  b 2 2ab a) a 2 0,a b) Bất đẳng thức Cô-si: a b + Với a, b 0, ta có: + Với a, b, c 0, ta có:  ab Dấu "=" xảy ra⇔ a = b a b c  abc Dấu "=" xảy ra⇔ a = b = c Hệ quả: - Nếu x, y > có S = x + y khơng đổi P = xy lớn nhất⇔ x = y - Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ nhất⇔ x = y c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Điều kiện Nội dung x 0, x x, xx x a⇔ a x a ฀xa x a⇔ ฀ x a ฀ a b a  b a b a>0 d) Bất đẳng thức cạnh tam giác Với a, b, c độ dài cạnh tam giác, ta có: + a, b, c > + a b c a b ; b c a b c ; e) Bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki Với a, b, x, y R, ta có: (ax by 2) c a b c a  (a 2 b )(x 2 y ) Dấu "=" xảy ra⇔ ay = bx Trang 30 DeThiMau.vn Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức - Bất phương trình VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia tính chất • Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau: - Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết - Sử dụng BĐT biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh • Một số BĐT thường dùng: + A B + A.B với A, B + A B 2AB + A Chú ý: - Trong trình biến đổi, ta thường ý đến đẳng thức - Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta tìm GTLN, GTNN biểu thức 2 2 Cho a, b, c, d, e R Chứng minh bất đẳng thức sau: Bài a) a 2 b) a 2 b1 ab a b c ab bc ca b c 3 2(a b c) c) a 2 b c 2(ab bc ca) d) a 2 b a2 c1 e) a 4 b 2a(ab2 a c1) 2 f)  b  c ab ac 2bc 2 c (1 a )2 6abc g) a 2(1 b 2) b (1 c ) c d e a(b c d e) h) a 2 b i) 1   a b c   ab  1  bc  ca với a, b, c > k) a b c ab bc ca với a, b, c HD: a)⇔ (a b 2) 2  (b c) (c a) 2) 2  (a1) (b1) d)⇔ (a b c c)⇔ (a1) 2 (b1) (c1) b)⇔ (a b 2)  e)⇔ (a 2 2 b ) (a c) (a1) g)⇔ (a bc 2) 2 c) e) g) ฀a ฀ f)⇔฀  (b c)฀ ฀  ฀2  ฀a ฀ ฀ a ฀ ฀ a ฀ ฀a ฀ 0 h)⇔ ฀   ฀  ฀   ฀  e฀ ฀ 2b฀฀ ฀ 2c฀฀ ฀ 2d฀฀ ฀ ฀       2 1฀ ฀ 1฀ ฀ 1฀ i)⇔ 0      ฀ ฀  ฀  ฀ a  ฀ b ฀ c    ฀ ฀ ฀  b฀  2   ฀ a b   b c  c a k)⇔ 0 c฀ a฀    Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức sau: a3  b3 a)  (b ca) (c ab) Bài 2 ฀ a a b b) a 4 b ab  b฀ ฀ ฀ ; với a, b 2    3 ฀ d) a 3 b c 3abc , với a, b, c > a 4 3 4a฀   1 a6 b 4  a b ; với a, b  ; với ab   f) b2  a6 1 a 1 b  1 ab a2 2b ) ;2với ab > h) (a 5 b 5)(a b) (a4 b )(a 2 a2  HD: a)⇔ (a b)(a b) b)⇔ (a 3 b 3)(a b) Trang 31 DeThiMau.vn Bất đẳng thức - Bất phương trình Trần Sĩ Tùng c)⇔ (a1) 2(a 2a 3) 3 2 d) Sử dụng đẳng thức a 3 b (a b) 3a b 3ab 2 ฀ BĐT⇔ (a b c)฀฀  b c (ab bc ca) ฀ a b 2 b ) (b a) (ab1) e)⇔ (a 2 b 2) (a 0  2 (1 ab)(1 a )(1 b ) f) ⇔ g)⇔ (a 21) h)⇔ ab(a b)(a 3 b ) Bài (1) Áp dụng chứng minh bất Cho a, b, c, d R Chứng minh a 2 b 2ab đảng thức sau: 4 2 b) (a 21)(b1)(c1) 8abc a) a 4 b c d 4abcd 2 c) (a 2 4)(b 4)(c 4)(d 4) 256abcd 2a b2 ; 2c2d 22c d 2; a2 b2 c2 d2 2abcd HD: a) a 4 b 2 b) a 21 2a; b1 2b; c1 2c 4 4b;c24 4c; d 4 4d c) a 2 4 4a;b Bài Cho a, b, c, d > Chứng minh a  b a a c  (1) Áp dụng chứng b b c  minh bất đảng thức sau: c a b c a b d  2 b) 1 2     a) a b b c c a a b c b c d c d a d a b    d a a b b c c d  c) 2 3   a b c b c d c d a d a b   HD: BĐT (1)⇔ (a - b)c < a b c a c b a c b    a) Sử dụng (1), ta được: , , a b a b c b c a b c c a a b c    Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm a a a   b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: a b c d  a b c  a c b b b   Tương tự, a b c d b c d b d  c c c  a b c d  c d a a c d d d   a b c d d a b d b Cộng BĐT vế theo vế ta  đpcm a b a b a b d   a b c d a b c a b c d   c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: Bài Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức: a 2 b c2 ab2 bc ca (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: 2 a2  b 2 c a) (a b c 2)  3(a b c ) c) (a b c 2)  3(ab bc ca) ฀ a b ฀ b) ฀ c฀  ฀   c abc(a d) a 4 b b c)฀  Trang 32 DeThiMau.vn Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức - Bất phương trình ab bc ca  với a,b,c>0 3  (c a) HD:⇔ (a b 2)  (b c) a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) d) Sử dụng (1) hai lần f) Sử dụng d) e) Bài a b c f) a 4 b c abc a b c 4 b, c) Vận dụng a) e) Bình phương vế, sử dụng (1) Cho a, b Chứng minh bất đẳng thức: a 3 b3a b2 b a2 ab(a b) (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: 1 1    ; với a, b, c > 3 3 a  b abc  b  c abc  c  a abc  abc 1  1; b)   với a, b, c > abc = 3  c1 3  a1 a3 b c   b1 1  1; c)  với a, b, c > abc = a b1  b c1 c a1 c ) 3 a ) 2(a b c) ; 4(c d) 4(a 3 b 3) 34(b với a, b, c a) e*) 3 sin A 3sin B sinC A cos B  cos 2  cos C với ABC tam giác ; b) HD: (1)⇔ (a 2 b )(a 1  a  b abc  ab(a b c) Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b, c) Sử dụng a) abc ab(a b c)⇒ a) Từ (1)⇒ a 3 b 3 2 d) Từ (1)⇔ 3(a 3 b ) 3(a b ab )⇔ 4(a b3 ) 3(a b) (2).3 Từ đó: VT (a b) (b c) (c a) 2(a b c) e) Ta có: Sử dụng (2) ta được: a b ⇒ sin A 3sin B Tương tự, Bài C sin A sin B cos 3 cos 4(a b3 ) A B  cos C 4(sin A sin B) 4.2.cos sin B 3sin C cos 3 C A ,  cos C sin C 3sin A cos Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm Cho a, b, x, y R Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min-cốp-xki): y a2 x 2 b (a b)2 (x y) (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) Cho a, b thoả a b Chứng minh: 1   b a  b c) Cho x, y, z > thoả mãn x y z Chứng minh: b) Tìm GTNN biểu thức P = x2 x2 a  y 2 y2 1 a 1 b  z 2  82 z2 Trang 33 DeThiMau.vn B Bất đẳng thức - Bất phương trình Trần Sĩ Tùng d) Cho x, y, z > thoả mãn x y z Tìm GTNN biểu thức: 223 x 2 223 y 223 z P= HD: Bình phương vế ta được: (1)⇔ 2 2 (a 2 b )(x y ) ab xy • Nếu ab xy (*) hiển nhiên • Nếu ab xy bình phương vế ta được: (*)⇔ (bx ay a) Sử dụng (1) Ta có: 2 x2 2 ฀ 1฀ b) Sử dụng (1) P (a b  ฀    ฀ a ฀  1  Chú ý: (với a, b > 0) b฀  a a b b  c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: ฀ ฀ (a b)฀ ฀ a   17 ฀ b฀   y 2  z 2 y2  z2  (x y z ฀ 2)   (x y z ฀ 2) Chú ý:  (đúng) 1 a 2 1 b (11) (a b) 2) x2 2) (*) 1   (với x, y, z > 0) x y x y z z  d) Tương tự câu c) Ta có: P 3 ฀ 1 1   ฀ ฀ x  y  ฀  z฀ ฀ ฀2  82  ฀ x y z฀ ฀  223  (x y z) 2010 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: c có S = x + y khơng đổi P = xy lớn nhất⇔ x = y + Nếu + Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ nhất⇔ x = y Bài Cho a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: c ) 9abc b) (a b c)(a 2 b a) (a b)(b c)(c a) 8abc c) (1 a)(1 b)(1 c)1 abc bc d) ca ab  a b c ; với a, b, c >   a b c   2 c (1 a )2 6abc e) a 2(1 b 2) b (1 c ) ab f) a b a  bc b c b    ca c a c   a b c ; với a, b, c > ; với a, b, c > c a a b    HD: a) a b ab; b c bc; c a ca⇒ đpcm g) b c b) a b c 3 abc; a2 b2 c2 a b 2c c) 2 ⇒ đpcm • (1 a)(1 b)(1 c) 1 a b c ab bc ca abc • a b c 3 abc • 2 ab bc ca a 2b c 2 ⇒ (1 a)(1 b)(1 c) 1 3 abc a 3b c abc1 abc 3  abc2 a 2bc ca ca ab ab bc 2  2c ,   2a , 2    ab bc a b b c c a    c a)  a3 b 3c 36abc e) VT 2(a 2b b c ab 2c bc d) f) Vì a b ab nên ⇒ ab ab   a b ab   bc ca    a b b c c a    ab ab ab bc ca Tương tự: bc  b c  ac bc ;  2b⇒đpcm ca  c a  a b c   (vì ab bc ca a b c ) ฀ a ฀ ฀฀ b ฀฀ c 1 ฀฀ 1 ฀฀ 1฀ g) VT = ฀ ฀ b c ฀฀ c a ฀฀ a b ฀  1 ฀ ฀ ฀  3 = (a b) (b c) (c a)     2 ฀ b c  c a  a b฀ 3  ฀ • Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b 1฀฀ x y฀฀ z x฀฀ z y฀ ฀ Khi đó, VT =   ฀    ฀ 3฀ (2 2 2 3) ฀฀ ฀ 2 ฀ x  z฀ ฀ y  2฀฀ y x฀  ฀ ฀   z฀ ฀ Trang 35   DeThiMau.vn ca Bất đẳng thức - Bất phương trình Trần Sĩ Tùng Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 3 ฀1 a) (a b c ) ฀   ฀฀ (a b c) b ฀ a  c฀ 3 c 3) (a b c) b) 3(a  b c ) (a b c)(a2 b2 c ) c) 9(a 3 b  ฀ a3 b3 ฀฀ c3฀฀ a3฀ HD: a) VT = a 2 b2 c฀ ฀ ฀  c฀ b฀ c  cb฀฀ ฀ b  a฀฀ a  ฀  ฀   b3 a 2 Chú ý: b  a  a b 2ab Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm  c 3)a 2b b a b)⇔ 2(a 3 b 2 b c bc 2 2c a Bài 3 ab(a b) Cùng với BĐT tương tựca Chú ý: a 3 b ta suy.2ra đpcm c) Áp dụng b) ta có: 9(a 3 b3c )3 3(a b c)(a b c 2) Dễ chứng minh được: 3(a 2 b 2c )2(a b c)⇒ 2đpcm 1 (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau:  a a b b 1 1 ฀ 1฀ a)      ฀ ; với a, b, c > a b ฀ a b  b c  c  ฀  1c 1 ฀ ฀ b)  2฀     ฀ a฀   ; với a, b, c > b c c a a 2b c ฀ 2a b c  a b    a b 2c฀ 1 1 1 1    Chứng minh:   c) Cho a, b, c > thoả a b c 2a b c a 2b c a b 2c     ab bc ca a b c    d) ; với a, b, c > a b b c c a   2xy 8yz 4xz e) Cho x, y, z > thoả x 2y 4z 12 Chứng minh: 6   x 2y 2y 4z 4z x   f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 ฀ 1 1฀  2฀    ฀   p a p b p c ฀a b     c฀ ฀ 1฀ Hiển nhiển suy từ BĐT HD: (1)⇔ (a b) ฀   ฀  Cô-si ฀ a  b฀ 1 1 1 ;  ;  a) Áp dụng (1) ba lần ta được:   a c a b a b b c b c c a Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) 1 1 1 ฀ ฀      c) Áp dụng a) b) ta được: ฀  a b ฀ 2a b c  a 2b c  a b 2c฀ c  ฀ ab 1฀ 1฀ 1  ฀   ⇔  (a b) d) Theo (1): a b a b  4฀ a  ฀  Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm  e) Áp dụng câu d) với a = x, b =b฀ 2y, c = 4z a b c 12⇒ đpcm  f) Nhận xét: (p -a) + (p - b) = 2p - (a + b) = c 1 4    Áp dụng (1) ta được: p a p b ( p a) (p b) c    Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm Bài Cho a, b > Chứng minh Trang 36 DeThiMau.vn Trần Sĩ Tùng Bài Bất đẳng thức - Bất phương trình 1   (1) Áp dụng chứng minh a b a b c c  Cho a, b, c > Chứng minh BĐT sau: 1 ฀ 2 ฀ a) (a b c )  (a b c)   ฀ ฀ a b  b c  c a฀  ฀  b) Cho x, y, z > thoả x y z Tìm GTLN biểu thức: P = x y z   x1 y1 z1   c) Cho a, b, c > thoả a b c Tìm GTNN biểu thức: 1 P = 2 a  2bc b  2ac c  2ab 1  30    a  b c  ab  bc  ca    e*) Cho tam giác ABC Chứng minh: 2 cos2A 2 cos2B 2 cos2C    ฀ 1 1 HD: Ta có: (1)⇔ (a b c) ฀  b  ฀฀ Dễ dàng suy từ BĐT Cô-si ฀ a   1c฀    a) Áp dụng (1) ta được:  a b  b c  c a  2(a b c) c 2) c )2 9(a 2 b 3(a 2 b ⇒ VT   (a b c) 2(a b c) a b c   2 c 2) Chú ý: (a b c 2)  3(a b b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: d) Cho a, b, c > thoả a b c Chứng minh: 2 ฀ 1฀ = 3   ฀ x1 y1 z1 ฀ x1  y1  z1฀  ฀ 9 1 9     Suy ra: P 3 Ta có: x1 y1 z1 4    x y z  Chú ý: Bài tốn tổng qt sau: Cho x, y, z > thoả x y z k số dương cho trước Tìm GTLN P= x 11   y 11   z 11 x biểu thức: P = kx1 c) Ta có: P d) VT y z  ky1 kz1  a2 2  2bc b 2ca c 2ab   (a b c 2) 9  a  b c  ab bc ca ฀ 1 ฀   = ฀ ab bc ca 2 ab bc ca฀ ฀ a b c  ab bc ca  ฀ 9       30 (a b c 2)  ab bc ca   1 Chú ý: ab bc ca (a b c) 3 e) Áp dụng (1): 1    2 cos2B  2 cos2C 6 cos2A cos2B cos2C 2 cos2A   Trang 37 DeThiMau.vn Bất đẳng thức - Bất phương trình Trần Sĩ Tùng    6  Chú ý: cos2A cos2B cos2C Áp dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN biểu thức sau: x 18 x a) y x ; x b) y x1 ; x 2 3x 1 x ; x1 ; x c) y  d) y 2x1 x1  x x31 e) y ; x f) y  ;  x 1 x  x x2 x2  4x 2 ; x g) y ; x h) y x x x3 b) Miny = HD: a) Miny = x = x = Bài c) Miny = 6 x = e) Miny = 5 x 1 301 d) Miny = 3 5 f) Miny = g) Miny = x = 301 x = x = h) Miny = x = 27 Áp dụng BĐT Cơ-si để tìm GTLN biểu thức sau: a) y (x 3)(5 x); 3 x b) y x(6 x); 0 x Bài c) y (x 3)(5 2x); 3 x e) y (6x 3)(5 2x); x d) y (2x 5)(5 x); x x f) y ; x x 2 5 x2 g) y x2 2 HD: a) Maxy = 16 x = 121 x = c) Maxy = b) Maxy = x = 625 d) Maxy = x = g) Ta có: x 2 2 x11 x Bài ⇒ Maxy = 27 x =1 f) Maxy = e) Maxy = x = 2 2 ⇔ (x 2) 27x a) Trang 38 DeThiMau.vn x = ⇔ 2 (  x 2x ) x2 (x 2 2)  27  Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức - Bất phương trình VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu-nhia-cốp-xki Bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki: (B) • Với a, b, x, y R, ta có: (ax by • Với a, b, c, x, y, z R, ta có: 2 2 2  (a b )(x y ) Dấu "=" xảy ra⇔ ay = bx 2) (ax by cz 2) 2 2  (a b c )(x y z ) Hệ quả: • Bài 2 (a b) 2(a b )2 • 2 2 735 (a b c) 3(a b c ) Chứng minh bất đẳng thức sau: , với 3a 4b a) 3a 2 4b 2464 c) 7a11b 137 b) 3a 5b , với 3a 5b , với 2a 3b e) 2a 2 3b c) Áp dụng BĐT (B) cho số , với 2a 3b , với a 2b f) (x 2y1) (2x 4y 5) HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số b) Áp dụng BĐT (B) cho số d) a b 47 3, 4, 3a, 4b 3 , , , 3a, 5b 5 , 7a, 11b 11 d) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,2,a, b e) Áp dụng BĐT (B) cho số 2, 3, 2a, 3b f) Đặt a = x - 2y + 1, b = 2x - 4y + 5, ta có: 2a - b = -3 BĐT⇔ a b Áp dụng BĐT (B) cho số 2; -1; a; b ta đpcm Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 2 3 a) a b , với a b b) a b , với a b 4 4 d) a 4 b , với a b c) a b , với a b 2)(a b )2⇒ đpcm HD: a) 1 (1a1b 2)  (11 ฀ 1฀ 1 ⇒ b a ฀  a  4  ฀ ฀4  2 2 c) (11 )(a b  ) (a 2฀ b ) ⇒ đpcm  b 2) (a b) 4⇒ a2b 22 d) (1 212 )(a Bài 3 4 b 4) (a b ) 2 4⇒ a 4b (1 212 )(a Cho x, y, z ba số dương x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P 1 x 1 y 1 z HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P 111 (1 x) (1 y) (1 z) Trang 39 DeThiMau.vn Bài b) a b 1⇒ b 1 a⇒ b 3 (1 a)31 3a 3a a2 Bất đẳng thức - Bất phương trình Trần Sĩ Tùng Dấu "=" xảy ra⇔ 1 x 1 y 1 z⇔ x y z Vậy Max P = Bài x y z Cho x, y, z ba số dương x y z Chứng minh rằng: x2 x  y 2 y  z 2 z2  82 HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: ฀ ฀ 1฀ 2 ฀ x  (1 )฀ x   ฀ ฀ 2฀   y2 Tương tự tax฀ có:  y2   9฀  ⇒ x x   ฀  1฀ 9 x฀ ฀ y ฀ (2), ฀ y฀  82฀  1฀ 9฀ ฀ x (1) 82฀ ฀ 1 1฀ 9 z  x฀  (3) ฀ z฀ z 2  82฀ ฀  Từ (1), (2), (3) suy ra: z฀ ฀ 1 1฀ 1฀ 1฀ 1฀ 1฀ 1 1฀ 80฀ ฀(x y z) 9฀   ฀฀฀ ฀(x y z) ฀   ฀ ฀   ฀ P y z 9฀ x y 82฀ 82฀ ฀x y 9฀ x =  ฀  ฀ z฀ ฀ ฀ ฀2 ฀ 1 1฀ ฀ 80 z฀  ฀ (x y z) ฀   ฀ ฀ 82 ฀ y 82฀3 x y z  ฀x  ฀ z฀฀ ฀ Dấu "=" xảy ra⇔ x y z Bài Cho a, b, c thoả a b c Chứng minh: (1) (2) 7 4a1 4b1 4c1 21 HD: Áp dụng BĐT (B) cho số: 1;1;1; 4a1; 4b1; 4c1⇒ (2) Chú ý: Bài x y z x y z Dấu "=" xảy ra⇔ x = y = z = Từ đó⇒ (1) Cho x, y > Tìm GTNN biểu thức sau: a) A 4y , với x + y = x b) B x y , với  6 x y  ฀ 2฀ ฀ 1฀ ฀ HD: a) Chú ý: A =   ฀฀  ฀ ฀  ฀ ฀ y฀฀  x฀   x; ; y; Áp dụng BĐT (B) với số: ta được: y x 1฀ 25 ฀ ฀ 1฀  y  (x y) ฀    x   x ฀x  ฀ ฀ ฀  4 25 ฀ ⇔ x ; y ฀ Vậy minA = 4y฀ Dấu "=" xảy x ; y y฀ 5  2 ฀  ฀ 2฀ ฀ 3฀ ฀   b) Chú ý:  ฀ x y  ฀  ฀  ฀    x฀  y฀ ฀ ฀ ; y; Áp dụng BĐT (B) với số:  ta được: x y ฀ x;  Trang 40 DeThiMau.vn Bất đẳng thức - Bất phương trình 3฀  2  ฀ 3฀ ฀ (x y)฀  ฀฀ x  y  ฀  2 3 ⇒ x y  ฀ y฀ x ฀ x  y฀฀    ฀    2 3 3 3 ; y Dấu "=" xảy ra⇔ x Vậy minB =  6 2 Tìm GTLN biểu thức sau: a) A x 1 y y 1 x , với x, y thoả x 2 y Bài HD: a) Chú ý: x y 2(x 2 y )2 A (x 2 y 2)(1 y1 x) x y 2 Dấu "=" xảy ra⇔ x y Bài 2 Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau: a) A 7 x 2 x , với -2 x b) B x1 3 x , với 1 x HD: a)• A • A b)• B • B x2 y2    (1 21 )(7 x x 2) Dấu "=" xảy ra⇔ x c) C y 2x , với 36x 216y 92 d) D 2x y , với (7 x) (x 2) Dấu "=" xảy ra⇔ x = -2 x = ⇒ maxA = x ; minA = x = -2 x = 43 (6 2 )(x1 3 x) 10 Dấu "=" xảy ra⇔ x = 25 (x1) (3 x) 3 x Dấu "=" xảy ra⇔ x = ⇒ maxB = 10 x = 43 25 minB = x = ; c) Chú ý: 36x 216y2(6x) (4y) Từ 2đó: y 2x 4y 6x   1฀ 1฀ 4y 6x ฀  ฀ 16y 36x ฀ 16 9฀   5 15 25 ⇒ y 2x ⇒  C y 2x 5 4 4 ⇒ y 2x   54  25 x , y ; maxC = x , y 20 20 5 y2 x2 (3x 2)  (2y)2 Từ đó: 2x y 3x 2y d) Chú ý:   36   ฀ 1฀ 2 2x y 3x 2y 5 ฀   9x 4y ฀ 9 ฀ ⇒5 2x y 5⇒7 D 2x y 2 4฀ 9  ⇒ minD = -7 x , y ; maxD = x , y 5 5 ⇒ minC = 15       Trang 41 DeThiMau.vn   Ngày 2/11/2012 Họ tên: Nguyễn Phương Anh BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Giải biện luận bất phương trình dạng ax + b < Điều kiện Kết tập nghiệm b S =(; a   a>0 S = (- a (1) (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.) • Cách giải: Lập bảng xét dấu P(x).Q(x) Từ suy tập nghiệm (1) Bất phương trình chứa ẩn mẫu P (x) (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.) • Dạng: Q (x)  (2) • Cách giải: Lập bảng xét dấu P (x) Q (x) Từ suy tập nghiệm (2) Chú ý: Không nên qui đồng khử mẫu Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ • Tương tự giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ ฀g(x) f (x) g(x)⇔฀ • Dạng 1: ฀g(x) f (x) g(x) Trang 43 DeThiMau.vn Bất đẳng thức - Bất phương trình Trần Sĩ Tùng ฀฀g(x) ฀฀ f (x) có nghóa ฀฀ f (x) g(x)⇔฀฀g(x) • Dạng 2: ฀ ฀฀฀ f (x)g(x) ฀฀ f (x) g(x) ฀฀ ฀฀ A B⇔B A B ; Chú ý: Với B > ta có: ฀AB A B⇔฀ ฀A  B Bài Giải bất phương trình sau: a) (x1)(x1)(3x 6) b) (2x 7)(4 5x) c) x 2 x 20 2(x11) d) 3x(2x 7)(9 3x) e) x 3 8x17x10 f) x 3 6x11x 6 Bài Giải bất phương trình sau: a) d) (2x 5)(x 2)  4x 3x x x  x1 x  2x 1 e) 2 x 0 b) 1 4  2 x 3x1  Bài Giải bất phương trình sau: a) 3x 2 g) x 2x 2 h) x c) f)  1 x 1 2x b) 5x12 e) x1 g) 2x 5 x1 h) 2x1 x x   1 2x x x1  2x1 2x 3x i)  3x 2x  c) 2x 8 x1 d) 3x15 x f) x 2 x i) x 2 x1 Bài Giải biện luận bất phương trình sau: a) 2x m1 x1 0 b) mx m1 x1 0 HD: Giải biện luận BPT dạng tích thương: a 1x b1 x ( 1a x1b )(a2 x b2 ) , 0 a x b x - Đặt x 1 b1 a1 ; x c) x1(x m 2) (hoặc < 0. 0, 0) b2 Tính x x a 2 - Lập bảng xét dấu chung a 1.a 2, x 1 x - Từ bảng xét dấu, ta chia toán thành nhiều trường hợp Trong trường hợp ta xét dấu ( 1a x b1)(a 2x b 2) (hoặc a 1x b1 x ) nhờ qui tắc đan dấu a x b x ฀ ฀ 3 m ฀ ฀m : S (;1)฀ ;  ฀ ฀ ฀ ฀  ฀ 3  a)฀m : S฀;  ฀ (1;) ฀ m฀ ฀ ฀ ฀m3 : S R \ {1}  ฀ ฀m : S (1;)  c)฀ ฀m : S (m 2;)  Bài Giải bất phương trình sau: a) ฀ ฀ m1 ฀ ; ฀m0 : S ฀ m ฀ ฀ (;1)฀ ฀  ฀ b)฀m : S ฀ m1 ;1฀  ฀  ฀ ฀ m  ฀ ฀฀=0 : S (;1)  Trang 44 DeThiMau.vn Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức - Bất phương trình III BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dấu tam thức bậc hai ∆ 0,x R ∆=0 ฀ b฀ a.f(x) > 0,x R \฀฀ ฀ 2a฀ ∆>0 a.f(x) > 0,x (-; x 1) (x 2; +) a.f(x) < 0,x (x 1; x 2) Nhận xét:• ax 2 bx c 0,x R⇔฀ ฀a ฀∆ • ax 2 bx c 0,x R⇔฀ ฀a ฀∆ Bất phương trình bậc hai ẩn ax 2 bx c (hoặc 0; < 0; 0) Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn Bài Xét dấu biểu thức sau: a) 3x 2 2x1 b)x 2 4x c)4x 212x d) 3x 2 2x e)x 2 2x1 f) 2x 2 7x g) (3x 210x 3)(4x 5) h) (3x 2 4x)(2x2 x1) (3x 2 x)(3 x )2 i) 4x x Bài Giải bất phương trình sau: a) 2x 2 5x 2 b)5x 2 4x12 c) 16x 2 40x 25 d)2x 2 3x 7 e) 3x 2 4x 4 f) x 2 x 6  3x x 4x 2 3x1 0 0 h) x  3x x  5x Bài Giải biện luận bất phương trình sau: b) (1 m)x 2 2mx 2m a) x 2 mx m 3 g) 5x 2 3x i) 0 x 7x c) mx 22x 4 HD: Giải biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành sau: - Lập bảng xét dấu chung cho a và∆ - Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm BPT Bài Giải hệ bất phương trình sau: ฀ ฀2x 9x 7 a)  ฀x x 6 ฀ ฀ ฀ ฀2x x 6 ฀x 2 4x 3 ฀ d)฀2x 2 x10 ฀ ฀2x 5x 3 g)4 x 2 2x x 1 1  ฀3x10x 3 b)฀ ฀ ฀ ฀x 4x 7 e) ฀ ฀x 2x1 ฀ x 2 2x 1  h) 13  x 5x Trang 45 DeThiMau.vn ฀ ฀2x 2 5x 4  3x10 ฀x c) ฀ ฀ ฀ x 5 ฀x f) ฀ ฀x 6x1 ฀ i)1 10x 2 3x  x 3x Bất đẳng thức - Bất phương trình Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai - Tam thức bậc hai Bài Tìm m để phương trình sau: i) có nghiệm a) (m 5)x 2 ii) vô nghiệm b) (m 2)x 2 2(2m 3)x 5m 6 4mx m 2 c) (3 m)x 2 2(m 3)x m 2 d) (1 m)x 2 2mx 2m e) (m 2)x 2 4mx 2m 6 2(2 3m)x 3 f) (m 2 2m 3)x Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x: a) 3x 2 2(m1)x m 4 b) x 2 (m1)x 2m 7 c) 2x 2 (m 2)x m 4 d) mx 2 (m1)x m1 e) (m1)x 2 2(m1)x 3(m 2) f) 3(m 6)x 2 3(m 3)x 2m 3 Bài Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm: a) (m 2)x 2 2(m1)x 4 b) (m 3)x 2 (m 2)x 4 2(m1)x1 c) (m 2 2m 3)x d) mx 2 2(m1)x 4 e) (3 m)x 2 2(2m 5)x 2m 5 f) mx 2 4(m1)x m 5 Bài a) VẤN ĐỀ 3: Phương trình - Bất phương trình qui bậc hai Phương trình - Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ ฀฀ f (x) 0 C2฀ f (x) g(x) ฀ f (x) g(x)⇔฀฀f (x) g(x)⇔฀ ฀ ฀ ฀฀ f (x) ฀฀f (x)g(x) ฀฀ ฀฀ f (x)g(x)   ฀฀ ฀ f (x) g(x) f (x) g(x)⇔฀ ฀ f (x)g(x) C฀g(x) • Dạng 1: • Dạng 2: ฀g(x) f (x) g(x)⇔฀ ฀g(x) f (x) g(x) • Dạng 3: • Dạng 4: Chú ý: • ฀฀g (x)  f (x) có nghóa ฀฀ f (x) g(x)⇔฀฀g(x)  ฀ ฀฀฀ f (x)g(x) ฀฀ ฀฀฀  f (x) g(x)  ฀฀฀ AA⇔ A A A⇔ A ; • Với B > ta có: • A B⇔B A B ; ฀AB A B⇔฀ ฀A  B A B A B⇔ AB A B A B⇔ AB ; Trang 46 DeThiMau.vn Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức - Bất phương trình Phương trình - Bất phương trình chứa ẩn dấu Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu ta thường dùng phép nâng luỹ thừa đặt ẩn phụ để khử dấu ฀g(x) ฀ • Dạng 1: f (x) g(x)⇔฀ • Dạng 2: f (x) g(x)⇔฀ • Dạng 3: a f (x) b ฀ f (x)g(x ฀ ฀ f (x) (hoaëc g(x) 0) ฀ f (x) g(x) ฀ ฀t f (x), t f (x) c 0⇔฀ ฀at bt c ฀ ฀ ฀u f (x) ; u,v đưa hệ u, v ฀v  g(x) ฀ f (x) g(x) h(x) Đặt฀ • Dạng 4: ฀ f (x) f (x) g(x)⇔฀฀(x)  • Dạng 5: ฀ ฀f (x)g(x ฀฀g(x) ฀ ฀ f (x) f (x) g(x)⇔฀ ฀ ฀g(x) ฀฀ ฀฀ ฀ f (x)g(x ฀฀ • Dạng 6: Bài Giải phương trình sau: a) x 2 5x 4 x 6x 2x b) x 21 x c) 2 3x2 d) x x 3 e) x 21 1 x f) a) 2x 2 5x 3 b) x 8 x 2 3x c) x 21 2x 4x d) x 2 4x 3 x e) x 3 x1 2 2x f) x 2 3x 2 x x 21 x1 Bài Giải bất phương trình sau: x 4x g) 1 h) 2x x x2 x  6 x 1 i) x 0 2 x x ( 2) x 3 5x Bài Giải phương trình sau: a) 2x 3 x b) 5x10 8 x c) x d) x2 2x 4 2 x e) 3x 2 9x1 x f) g) 3x 7 x1 h) 7 x2 9 x i) 2x 5 3x 2 9x1 x 21 x 21 x 21 x 21 x Bài Giải phương trình sau: (nâng luỹ thừa) a) 3 x  x 6 2x11 d) x1  x 2 3x 3 b) x1 3x1 3x1 Bài Giải phương trình sau: (biến đổi biểu thức căn) a) x 2 2x 5 x 2 2x 5 b) x 5 x1 x 2 x1 Trang 47 DeThiMau.vn c) 13 x 13 x 21  x  Bất đẳng thức - Bất phương trình Trần Sĩ Tùng c) 2x 2x1 2x 3 2x1 2x 8 2x1 Bài Giải phương trình sau: (đặt ẩn phụ) a) x 2 6x 9 x2 6x b) (x 4)(x1) x 2 5x 2 3x c) (x 3) 2 3x 22 x d) (x1)(x 2) x 3x Bài Giải phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ) 5x1 3x 2 5x 8 3x a) c) e) b) d) 9 x1 7 x1 4 5x 7 35x13 24 x 5 x x2  4356 x 47 2x f) 35 2x x  x x 4356 x 5 Bài Giải bất phương trình sau: a) x2  x12 8 x b) x 2 x12 7 x c) x 2 4x 21 x d) x 2 3x10 x e) 3x 213x 4 x f) 2x 6x 21 x1 g) x 3 7 x 2x h) 2 x 7 x3 2x 2x 3 x 2 i) Bài Giải bất phương trình sau: a) b) (x 5)(x 2) x(x 3) (x 3)(8 x) 26x11x c) (x1)(x 4) x 2 5x 28 Bài 10 Giải bất phương trình sau: a) 3x 2 5x 7 3x2 5x 2 b)  2x15x17 x d) x x  2x  x 4x 2 3 x c) (x 3) x 2 4 x2 Bài 11 Giải bất phương trình sau: a) x 2 3x 2 Bài 12 Giải phương trình sau: a) d) b) 2x 21 33x1 Trang 48 DeThiMau.vn 0 x x x c) x1  x Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức - Bất phương trình BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a 3 b c a b c , với a, b, c > xyz = a b c a b c a b c  , với a, b, c >   b) b a c  1 ฀ 1 1฀  2฀    ฀ , với a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi c)   p a p b p c ฀a b     c฀ d) a b1 b a1 ab , với a 1, b  3 3 3 3 3 HD: a) Áp dụng BĐT Cô-si: a  b c a b c 3⇒ 2(a b c ) (1) 3 3 3 a31  1 3 a⇒ a 2 3a (2) Tương tự: b 2 3b (3), c 2 3c (4) Cộng BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta đpcm ฀ b a฀฀ c฀฀ c a฀ b) BĐT⇔ ฀  b  ฀฀   ฀ Dễ dàng chứng minh ฀ a ฀฀  b฀฀ a c฀ b฀฀ 1 c 1 4    c) Áp dụng BĐT: , ta được:   x x y p a p b p a p b c y    1 1   ;   Cộng BĐT⇒ đpcm Tương tự: p b p c a p c p a b     ab a ab a d) Áp dụng BĐT Cô-si: a b1 a ab a  2  ab Tương tự: b a1 Cộng BĐT ta đpcm Dấu "=" xảy ra⇔ a = b = 2 Bài Tìm GTNN biểu thức sau: a) A x x1 , với x > 1 b) B 4y , với x, y > x y x 1 c) C a b , với a, b > a b a b d) D a 3 b c , với a, b, c > ab bc ca HD: a) Áp dụng BĐT Cô-si: A = (x1)  1 21 x1 3 Dấu "=" xảy ra⇔ x = Vậy minA = b) B = x  4x 4y  4y 5 x 4x 4y 4y 5 Vậy minB = 1 4 3  2 5 ⇒ B a b  a b  c) Ta có  a a b a b a b a b a b b  Dấu "=" xảy ra⇔ a = b = Vậy minC = Dấu "=" xảy ra⇔ x 1; y 3 3bc , c a1 3 3ca d) Áp dụng BĐT Cô-si: a 3 b1 3ab , b c1 c 3) 3 3(ab bc ca) 9⇒ a 3b 3c ⇒ 2(a 3 b Trang 49 DeThiMau.vn ... B⇔ AB ; Trang 46 DeThiMau.vn Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức - Bất phương trình Phương trình - Bất phương trình chứa ẩn dấu Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu ta thường dùng phép... 4(m1)x m 5 Bài a) VẤN ĐỀ 3: Phương trình - Bất phương trình qui bậc hai Phương trình - Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường... 2฀฀ y x฀  ฀ ฀   z฀ ฀ Trang 35   DeThiMau.vn ca Bất đẳng thức - Bất phương trình Trần Sĩ Tùng Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 3 ฀1 a) (a b c ) ฀   ฀฀ (a