(SKKN HAY NHẤT) môn toán THPT chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI” LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN CM BĐT PP CHỌN ĐIỂM RƠI -I TÊN ĐỀ TÀI: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI II ĐẶT VẤN ĐỀ: Qua kỳ thi giỏi toán quốc tế, nhiều chuyên gia thường nhận định toán BẤT ĐẲNG THỨC sở trường học sinh VIỆT NAM Tuy nhiên học sinh phổ thông học sinh lớp chọn ( tự nhiên ) phổ thông em thường thiếu tự tin đối diện với toán BĐT (bất đẳng thức) Minh chứng rõ ràng toán chứng minh BĐT tốn có sử dụng BĐT để chứng minh số dạng tốn nằm diện phân loại học sinh đề thi đại học Phương pháp mà đề tài giới thiệu nhắm vào đại phận toán BĐT ( BĐT mà biến có tính đối xứng biến hốn vị vịng quanh ) Ngoài BĐT mà biến khơng có tính chất có biến đổi thích hợp để vận dụng phương pháp Ngồi cịn có phương pháp khác hổ trợ như: Đổi biến, Đặt ẩn phụ III CƠ SỞ LÝ LUẬN ĐỊNH NGHĨA: A ≥ BÙA–B ≥ TÍNH CHẤT * A > B B > C => A > C * A > B ⇒A + C > B + C * A > B C > D ⇒ A + C > B + D * A > B C > ⇒ A.C > B.C * A > B C < ⇒ A.C < B.C * A > B > C > D > ⇒ A.C > B.D > * A > B > ⇒ An > Bn ∀n * A > B ⇒ A n > B n với n = 2k + (k ∈ N) * A ≥ , ∀ A ( dấu = xảy A = ) * A ≥ , ∀ A (dấu = xảy A = ) CÁC BĐT CĨ LIÊN QUAN a BĐT Cơ-si : xi ≥ 0, ( i = 1,…, n ) x + x + + xn ≥ n x x xn n Dấu đẳng thức xảy khi x1 = x2 = … = xn * BĐT hệ thường dùng: - Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam: add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download SKKN CM BĐT PP CHỌN ĐIỂM RƠI -⎛1 1⎞ ⎜ + + ⎟ ( a1 + a2 + + an ) ≥ n ; an ⎠ ⎝ a1 a2 với ≥ 0, i = 1, ,n b.BĐT GTTĐ ( giá trị tuyệt đối ) || a | − | b || (1) ≤ | a + b | ≤ | a | + | b | , (a, b∈ R) (2) Dấu đẳng thức (1) xảy kck a.b ≤ 0, (2) xảy kck a.b ≥ c.BĐT véc tơ : JG G G JG | a + b | ≤ | a| + | b | 1/ JG G Dấu đẳng thức xảy kck a, b hướng JG G JG G JG G − | a || b | ≤ a.b ≤ | a || b | 2/ (1) (2) JG G Đẳng thức (1) xảy Ù a, b ngược hướng, JG G Đẳng thức (2) xảy Ù a, b hướng d BĐT Bun-nhi-a-cốp-xki: Với hai n số thực (a1,a2, … , an) , (b1,b2,…,bn) ta có : (a b + a b + anbn )2 ≤ (a + a + + n2 )(b2 + b2 + + bn2 ) 11 2 2 Dấu đẳng thức xảy kck a1: a2: …: an = b1: b2: …: bn * BĐT hệ thường dùng: ( ) b1 + b2 + + bn b2 b12 b22 + + n ≥ a1 a2 an a1 + a2 + + an Dấu đẳng thức xảy kck a1: a2: …: an = b1: b2: …: bn e Các đẳng thức BĐT khác có liên quan: 4 xy = [(x + y) − (x − y) )] ≤ (x + y) 2 x + y = 1⎡ 2 x + y) + ( x − y) ⎤ ≥ ( x + y) ( ⎦ 2⎣ IV CƠ SỞ THỰC TIỄN Trên tinh thần giảm tải chương trình Đại số 10 sách giáo khoa hành, số tiết lượng tập chương trình dành cho nội dung học BĐT có giới hạn Trong tốn có nhiều ứng dụng thực tế toán thuộc dạng phân loại học sinh kỳ thi, đặc biệt kỳ thi tuyển sinh đại học năm Thậm chí tốn giải phương trình , bất phương trình, hệ phương trình …dùng để phân loại học sinh đề thi ĐH thường có sử dụng BĐT để giải hay chứng minh Đề tài trước mắt hy vọng học sinh phổ thơng có tâm lý tự tin để đối diện với toán BĐT Hy vọng giúp em giảm bớt cảm giác sợ thường bỏ qua toán BĐT, chí khơng đọc qua nội dung tốn BĐT có đề thi Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam: add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download SKKN CM BĐT PP CHỌN ĐIỂM RƠI -V NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Đối với BĐT mà biến có “tính đối xứng hốn vị vịng quanh” (*) việc nhận định dấu đẳng thức xảy ( ĐIỂM RƠI ) quan trọng việc làm hướng dẫn đơn giản Đối với BĐT mà biến có tính chất (*) phần lớn đẳng thức xảy biến ( Đề tài nói phần lớn có BĐT biến có tính chất (*) đẳng thức xảy biến khơng nhau, ví dụ: Với a,b,c khơng âm : a + b3 + c3 + 3abc ≥ a (b + c) + b (c + a) + c (a + b) , đẳng thức xảy a = b = c, đẳng thức xảy a = b, c = Hoặc Với a,b,c không âm, ab + bc + ca = 1: 1 + + ≥ , đẳng thức xảy a+b b+c c+a a = b = 1, c = ) Tùy theo tình đẳng thức xảy mà ta có cách biến đổi phương pháp khác hỗ trợ thích hợp Sau ví dụ minh họa Ví dụ : Cho a, b,c số thực dương thỏa a + b + c ≤ a b c Chứng minh: a + b + c + + + ≥ 15 Giải: Nhận xét : a,b,c bình đẳng, ta dự đoán đẳng thức ( điểm rơi ) xảy Do ta biến đổi sau: 1 Cách 1: 4a + − 3a ≥ − 3a ; 4b + − 3b ≥ − 3b ; 4c + − 3c ≥ − 3c b c a 1 15 Cộng vế theo vế BĐT ta được: a + b + c + + + ≥ 12 − 3(a + b + c) ≥ a b c 1 Cách 2: a + ≥ ; b + ≥ ; c + ≥ 4a 4b 4c 1 1 Cộng vế theo vế BĐT ta được: a + b + c + ⎛⎜ + + ⎞⎟ ≥ 4⎝a b c⎠ 1 1 9 15 Suy ra: a + b + c + + + ≥ + ⎛⎜ + + ⎞⎟ ≥ + ≥ 3+ ≥ a b c 4⎝a b c⎠ a+b+c 43 2 a = b = c = Ví dụ: Cho x,y,z số thực không âm, thỏa x.y.z = C/m : x2 y2 z2 + + ≥ 1+ y 1+ z 1+ x Nhận xét: x,y,z khơng bình đẳng hốn vị vịng quang, ta dự đoán đẳng thức ( điểm rơi ) xảy x = y = z = Vì ta biến đổi sau : x2 + y + ≥x ; 1+ y y2 + z + ≥y ; 1+ z z2 1+ x + ≥z 1+ x Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam: add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download SKKN CM BĐT PP CHỌN ĐIỂM RƠI -1 x2 y2 z2 + + + (3 + x + y + z ) ≥ x + y + z 1+ y 1+ z 1+ x 2 3 3 x y z2 + + ≥ ( x + y + z ) − ≥ 3 xyz − ≥ Suy : 1+ y 1+ z 1+ x 4 4 Cộng vế theo vế: Ví dụ : a, b, c số thực dương thỏa a + b + c = 1.Tìm GTNN ( giá trị nhỏ nhất) biểu thức : P = a3 b3 c3 + + (1 − a) (1 − b) (1 − c) Nhận xét: a,b,c bình đẳng, ta dự đoán đẳng thức ( điểm rơi ) xảy a = b=c= a3 1− a 1− a + + ≥ a (1 − a) 8 3 b 1− b 1− b c 1− c 1− c + + ≥ b + + ≥ c 2 (1 − b) 8 (1 − c) 8 3 Cộng vế theo vế: P + ( − (a + b + c) ) ≥ (a + b + c) => P ≥ a + b + c − = 4 4 1 Suy MinP = Ù a = b = c = 3 Ví dụ: Cho a, b,c số thực dương thỏa a + b + c ≤ 1 17 Chứng minh: a + + b + + c + ≥ a b c Vì ta biến đổi sau: Giải: Vai trị a, b, c bình đẳng, ta có nhận định dấu đẳng thức xảy a = b = c Ngoài với kinh nghiệm chứng minh BĐT ta kết hợp thêm với BĐT véctơ ta có cách biến đổi sau: G G JJG 1 Xét véctơ : u = ⎛⎜ a ; ⎞⎟ , v = ⎛⎜ b ; ⎞⎟ , w = ⎛⎜ c ; ⎞⎟ a⎠ b⎠ c⎠ ⎝ ⎝ ⎝ G G JJG G G JJG Áp dụng BĐT: | u | + | v | + | w | ≥ | u + v + w | Ta có: 1 a + + b2 + + c2 + ≥ a b c 2 1 ( a + b + c ) + ⎛⎜ + + ⎞⎟ ≥ ⎝a b c⎠ (abc) + (abc) 2 Đặt t = 1 ⎛ a+b+c ⎞ t = = ( abc ) , suy : t ≤ ⎜ ⎟ ≤ , a = b = c = 4 t ⎝ ⎠ ta có cách biến đổi tiếp sau: ≥3 ≥ (abc) + (abc) = t+ 15 15 15 + = + + ≥ t 16t 16t 16t 16t 16t 15 17 + = Ví dụ 3: ( ĐH – KB – 2007 ) Cho x,y,z số thực dương thay đổi Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam: add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download SKKN CM BĐT PP CHỌN ĐIỂM RƠI -⎛x ⎝2 Tìm GTNN P = x ⎜ + ⎞ ⎛y ⎞ ⎛z ⎞ ⎟+ y⎜ + ⎟+ z⎜ + ⎟ yz ⎠ ⎝ zx ⎠ ⎝ xy ⎠ Giải: Do vai trò x, y, z bình đẳng, ta nhận định dấu đẳng thức ( điểm rơi ) xảy x = y = z ⎛x ⎞ x2 ⎞ Khi x ⎜ + ⎟ trở thành : x ⎛⎜ + ⎟= + , ⎝ x.x ⎠ x ⎝ yz ⎠ tương tự cho hai biểu thức lại x 1 ⎛ x2 ⎞ ⎛ y ⎞ ⎛ z ⎞ P trở thành : P = ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ ⎝ x⎠ ⎝ y⎠ ⎝ z⎠ Đến ta liên tưởng đến hàm đặc trưng Do ta biến đổi sau P= x2 y z x y z x2 y z x2 + y + z + + + + + = + + + xyz 2 yz zx xy 2 x y z xy + yz + zx x2 y z + + + + + + + + ≥ = xyz x y z 2 t2 Xét hàm đặc trưng : g (t ) = + , t > t t +∞ g’(t) g(t) – + Suy P ≥ 3 9 + + = Vậy Minp = Ù x = y = z = 2 2 Ví dụ 4:( ĐH – KB – 2009 ) Cho x,y hai số thực thay đổi thỏa mãn : (x + y)3 + 4xy ≥ Tim GTNN biểu thức: A = 3( x4 + y4 + x2y2 ) – 2(x2 + y2) + Giải: Nhận xét: biểu thức A giả thiết vai trị x,y bình đẳng Ta dự đốn đẳng thức xảy Ù x = y từ (x+y)3 + 4xy = suy x = y = Ngoài xem giả thiết kết luận hệ bất phương trình ẩn hệ đối xứng loại một, nên ta nghĩ đến đẳng thức BĐT có liên quan nêu : 4 xy = [(x + y) − (x − y) )] ≤ (x + y) 1⎡ 2 ( x + y ) + ( x − y ) ⎤⎦ ≥ ( x + y ) ⎣ 2 3 Ta có : (x + y) + 4xy ≥ Ù (x + y) +[(x + y)2 – (x – y)2)] ≥ Ù(x + y)3 + (x + y)2 – ≥ (x – y)2 ≥ Ù (x + y – 1)[(x + y)2+2(x+y)+2] ≥ Ù x + y – ≥ Ù x + y ≥ x + y = Khi : A = 3[(x2 + y2)2 – x2y2] – (x2 + y2) + Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam: add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download SKKN CM BĐT PP CHỌN ĐIỂM RƠI -1 [(x2 + y2 )2 – (x2 – y2 )2 ] ] – (x2 + y2) + = [x + y2 – ]2 + (x2 – y2)2 + 9 2 2 ≤ (x + y) ≤ 2(x + y ) => x + y2 ≥ , x2 – y2 ≥ 9 Suy A ≥ [ – ]2 + (0)2 + = Vậy MinA = Ù x = y = 9 16 16 = 3[(x2 + y2)2 – Ví dụ 5: Cho x, y, z số thực dương thỏa: xy + yz + zx = Chứng minh: 3x2 + 3y2 + z2 ≥ 10 Nhận định x y bình đẳng, dấu xảy x = y Để sử dụng giả thiết xy + yz + zx = 5.Ta tách số hạng 3x , 3y2 , z2 sau: x2 + y2 ≥ 2xy my2 + nz2 ≥ mn yz pz2 + mx2 ≥ mp xz Cộng vế theo vế:(m+1)x2 +(m +1)y2 + (n + p)z2 ≥ 2xy + mn yz + mp xz Chọn m, n, p cho: m + = 3, n + p = mn = mp suy ra: m = 2, n = p = ½ Vậy ta có biến đổi sau: x2 + y2 ≥ 2xy 2y2 + ½ z2 ≥ 2yz ½ z2 + 2x2 ≥ 2xz ; Cộng vế theo vế ta có kết Hoặc tổng quát sau: ( hệ sốa, b, c cần ý tính bình đẳng x y) Giả sử : ax2 + ay2 ≥ 2axy by2 + cz2 ≥ bc yz cz2 + bx2 ≥ bc xz Cộng vế theo vế: (a + b)x2 +(a + b)y2 + cz2 ≥ 2axy + bc yz + bc xz Để sử dụng giả thiết ta cần chọn: a, b, c cho: a + b = 3, 2c = 1, a = bc Suy a = 1, b = 2, c = Vậy ta có: x2 + y2 ≥ 2xy ; 2y2 + z ≥ 2yz ; 2 z + 2x2 ≥ 2xz Cộng vế theo vế ta kết cần chứng minh Ví dụ 6: (đề thi chọn HSG khối 12 năm học 2010 – 2011 ) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh: 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ + + ⎜ + + ⎟⎜ ⎟≥ ⎝ a b c ⎠⎝ + a + b + c ⎠ + abc Nhận xét: Ta nhận định dấu xảy a = b = c Khi BĐT trở thành: 3 Ù a3 – a2 – a + ≥ Ù (a – 1)2(a + 1) ≥ Ù a ≥ ≥ a 1+ a 1+ a Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam: add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download SKKN CM BĐT PP CHỌN ĐIỂM RƠI -( Ta ý phương trình : a3 – a2 – a + = (*) ) Ngoài khéo đặt ẩn phụ việc đưa vế trái BĐT tổng tích dễ dàng hơn, nên ta nhắm đến hướng giải sau: Giải: Đặt : x = ⎛ x y z ⎞ xyz 1 + + , y = , z = BĐT trở thành: ( x + y + z ) ⎜ ⎟≥ a b c ⎝ + x + y + z ⎠ + xyz xyz 3 xyz x y z xyz = + + ≥ 33 ≥ 1+ x 1+ y 1+ z (1 + x)(1 + y )(1 + z ) + x + + y + + z + x + y + z ⎛ x y z ⎞ x+ y+z + + = xyz Suy ra: ( x + y + z ) ⎜ ⎟ ≥ xyz 3+ x + y + z ⎝ 1+ x 1+ y 1+ z ⎠ 1+ x+ y+z Ta có: ≥ xyz 1+ xyz ≥ ( xyz ) + xyz (*), đến ta c/m (*) ≥ 9xyz 1+xyz Đặt t = xyz BĐT cịn lại cần chứng minh vế trái phương trình (*) ta lưu ý HỆ THỐNG BÀI TẬP MINH HỌA THÊM Bài 1: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh: a3 b3 c3 + + ≥ ( a + b2 + c2 ) a+b b+c c+a a a ( a + b) b3 b(b + c) c3 c (c + a ) Giải: Ta có: + ≥ b2 , + ≥ a2 , + ≥ c2 a+b b+c c+a 3 a b c + + + ( a + b + c + ab + bc + ca ) ≥ a + b + c Cộng vế theo vế: a+b b+c c+a 3 a b c3 + + ≥ ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) Suy ra: a+b b+c c+a 4 1 ≥ ( a + b2 + c ) − ( a + b2 + c ) ≥ ( a + b2 + c2 ) 4 Bài 2: Cho a, b, c số thực dương thỏa a + b +c = Tìm GTNN biểu thức: P= a3 b3 c3 + + (a + b)(b + 2c) (b + c)(c + 2a ) (c + a )(a + 2b) Giải: Ta có: a3 a + b b + 2c + + ≥ a ; (a + b)(b + 2c) 12 18 b3 b + c c + 2a + + ≥ b (b + c)(c + 2a ) 12 18 c3 c + a a + 2b + + ≥ c; (c + a )(a + 2b) 12 18 2(a + b + c) 3(a + b + c) Cộng vế theo vế: P + + ≥ (a + b + c) 12 18 Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam: add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download SKKN CM BĐT PP CHỌN ĐIỂM RƠI -1 Vậy MinP = Ù a = b = c = Suy : P ≥ (a + b + c) = ; Bài 3: Cho a, b, c số thực dương thỏa a.b.c = 1 1 + + ≥ a (a + b) b (b + c) c (c + a) chứng minh: a b c Giải: Đặt x = ; y = ; z = BĐT trở thành: Ta có: x4 y4 z4 + + ≥ Với x.y.z = z ( x + y ) x( y + z ) y ( z + x) x4 z x+ y + + + ≥ 2x ; z ( x + y) y4 x y+z + + + ≥ 2y ; x( y + z ) z4 y z+x + + + ≥ 2z y ( z + x) Cộng vế theo vế: x4 y4 z4 + + + ( x + y + z ) + ( x + y + z ) + ≥ 2( x + y + z ) z ( x + y ) x( y + z ) y ( z + x) Suy ra: x4 y4 z4 3 + + ≥ x + y + z − ≥ 3 xyz − ≥ z ( x + y ) x( y + z ) y ( z + x) 2 Bài 4: Cho a, b, c số thực dương thỏa: a + b + c = 1 1 10 Chứng minh: ⎛⎜ a + ⎞⎟ ⎛⎜ b + ⎞⎟ ⎛⎜ c + ⎞⎟ ≥ ⎛⎜ ⎞⎟ b ⎠⎝ c ⎠⎝ a⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 1 1 Giải: Ta có : ⎛⎜ a + ⎞⎟ ⎛⎜ b + ⎞⎟ ⎛⎜ c + ⎞⎟ = abc + + + + +1 b ⎠⎝ c ⎠⎝ a⎠ abc a b c ⎝ Chỉ vận dụng BĐT mà dấu xảy a = b = c Ta có: 3 730 ⎛ a+b+c⎞ ⎛1⎞ , ( dùng bảng biến thiên ) abc ≤ ⎜ ≥ ⎟ = ⎜ ⎟ , suy ra: abc + abc 27 ⎝ ⎠ ⎝3⎠ 1 1 730 1 ⎛ 10 ⎞ + + + +1 ≥ + +1 = ⎜ ⎟ + + ≥ = , Vậy: abc + a b c a+b+c abc a b c 27 ⎝ 3⎠ Nhận xét: BĐT khơng khó khơng biết nhận định ban đầu học sinh vấp vận dụng bđt hổ trợ cho việc chứng minh Bài 5: Cho a, b, c số thực dương thỏa a.b.c = chứng minh: 1+ a 2 + 1+ b 2 + 1+ c ≤ Giải: Vận dụng BĐT: (x + y) ≤ 2(x + y ) ⎛ ⎛ + + a + b + a 2b − a 2b ⎞ ⎞ ⎞ ⎛ + ≤ 2⎜ + Ta có: ⎜ = ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎟ (1 + a )(1 + b ) ⎝ 1+ a 1+ b ⎠ + b2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1+ a 2 2 2 ⎛ − a b + (1 + a )(1 + b ) ⎞ ⎛ ⎞ 1− a b ⎛ (1 − ab)(1 + ab) ⎞ 2⎜ ≤ ⎜1 + ⎟ = ⎜1 + ⎟ = 2 2 2 ⎟ + 2ab + a 2b ⎠ (1 + a )(1 + b ) ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ 1+ a + b + a b ⎠ Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam: add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download SKKN CM BĐT PP CHỌN ĐIỂM RƠI -1⎞ ⎛ 1− ⎟ ⎜ − ab ⎞ c = 4c , suy : = ⎛⎜1 + ⎟ ⎟ = ⎜1 + c +1 ⎝ + ab ⎠ ⎜ 1+ ⎟ c⎠ ⎝ 1+ a Cũng từ BĐT ta có: + c ≤ 2(1 + c ) => Suy ra: (*) ≤ + 1 + ≤ 2 ( 1+ b ≤ ≤ + c2 c 1+ c 1+ c c + (*) 1+ c 1+ c 1+ a 1+ b 1+ c Ù c + c + 2 ≤ 3(1 + c) Ù Ù 2 + ) ( 2c − + c ) ≥ Bài 6: Cho k ∈ N* a, b, c số thực dương thỏa a.b.c ≤ Chứng minh: a b c + k + k ≥ a+b+c k b c a Giải: Do a, b, c hốn vị vòng quanh Nhận định dấu đẳng thức xảy a = b = c = Ta biến đổi sau: a ak a k + + + + ≥ =k ; a a a k k k k a ( − 1) b b b b bk b k + + + + ≥ =k ; b b b k k k k b ( − 1) c c c c ck c k + + + + ≥ =k ; c c c k k k k c ( − 1) a a a a b c a b c Cộng vế theo vế: k + k + k + (k − 1)(a + b + c) ≥ k ⎛⎜ + + ⎞⎟ b c a ⎝b c a⎠ Cũng tinh thần sử dụng BĐT mà dấu đẳng thức xảy a = b = c, a a b a2 a3 b b c c c a + + ≥ 33 = 33 ≥ 3a , + + ≥ 3b ; + + ≥ 3c ; b b c bc abc c c a a a b a b c Cộng vế theo vế ta được: + + ≥ a + b + c b c a a b c a b c Khi đó: k + k + k + (k − 1)(a + b + c) ≥ k ⎛⎜ + + ⎞⎟ ≥ k (a + b + c) b c a ⎝b c a⎠ a b c Suy ra: k + k + k ≥ a + b + c b c a Ta có: Bài 7: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh: a2 3a + 8b + 14ab + b2 3b + 8c + 14bc Giải: Trước hết ta xử lý mẫu: 3a + 8b + 14ab = ( a + 4b)(3a+2b) ≤ + c2 3c + 8a + 14ca ≥ (a + b + c) a + 4b + 3a+2b = 2a+3b Tương tự: 3b2 + 8c + 14bc ≤ 2b+3c ; 3c + 8a + 14ca ≤ 2c +3a a2 b2 c2 Suy ra: + + ≥ 3a + 8b + 14ab 3b + 8c + 14bc 3c + 8a + 14ca Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam: add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download SKKN CM BĐT PP CHỌN ĐIỂM RƠI (a + b + c) = a + b + c a2 b2 c2 ≥ + + ≥ ( ) 2a+3b 2b+3c 2c +3a (*) ( a + b + c ) ( Có thể ch/m (*) cách biến đổi : a2 2a+3b + ≥ a ) 2a+3b 25 Bài 8: Cho a,b số thực dương thỏa a + b ≤ Tìm GTNN biểu thức: P= + 2ab 1+ a + b 1 Giải: Ta có: = + 2ab 6ab 3ab 1 1 Suy : P = ≥ + + + ≥ + 2 2 + a + b 6ab 3ab a + 6ab + b + 3ab (a + b) + 4ab + 3ab ≥ ≥ + 2 ⎛ a+b⎞ ⎛ a+b⎞ ( a + b) + ⎜ ⎟ +1 3⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧a + b + = 6ab ⎪ Ù a=b= MinP = Ù ⎨a = b ⎪a + b ≤ ⎩ 2 Bài 9: Ví dụ sau minh họa cho việc áp dụng BĐT hệ ( nêu trên) ( b1 + b2 + + bn ) b2 b2 b2 mà đề thi thường trọng đến: + + n ≥ a1 a2 an a1 + a2 + + an Cho x, y, z số thực dương thỏa x + y + z ≥ 3.Tìm GTNN biểu thức: Q= x2 y2 z2 + + x + yz y + zx z + xy (x + y + z) x2 y2 z2 Giải: Ta có: + + ≥ x + yz y + zx z + xy x + y + z + xy + yz + xz ≥ ( x + y + z) x+ y+ z+ x+ y+ z ≥ x+ y+z = 2 ⎧ ⎪x + y + z = ⎪⎪ Ùx=y=z=1 Vậy MinQ = ⇔ ⎨ x = y = z ⎪ x y z ⎪ = = ⎪⎩ x + yz y + zx z + xy Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam: add luanvanchat@agmail.com 10 LUAN VAN CHAT LUONG download SKKN CM BĐT PP CHỌN ĐIỂM RƠI BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 1* Cho a, b, c số thực dương thỏa: ab + bc + ca = 2abc 1 1 + + ≥ 2 a(2a − 1) b(2b − 1) c(2c − 1) 2* Cho a, b, c số thực dương thỏa a + b + c ≥ Tìm GTNN biểu a3 b3 c3 thức: Q = + + ( MinQ = Ù a = b = c = ) a+b b+c c+a Chứng minh: 3* Cho x, y, z số thực dương thỏa x + y + z = Tìm GTNN biểu thức: P = x2 ( y + z) y ( x + z) z ( x + y) + + yz xz xy ( MinP = Ù x =y = z = ) 4* Cho x, y, z số thực dương thỏa x + y + z = Chứng minh: x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ≥ 3 5* Cho x, y, z số thực không âm x + y + 3xy + y + z + yz + z + x + 3zx ≤ ( x + y + z ) Chứng minh: 6* Cho a, b, c số thực dương thỏa: abc = Tìm GTNN biểu thức: M= bc ca ab + + 2 a b + a c b c + b a c a + c 2b ( MinM = Ù a = b = c = ) 7* Cho a, b, c số thực dương thỏa: abc = Chứng minh: 1 + + ≥ a (b + c) b (c + a) c (a + b) 8* Cho ∆ ABC a = BC, b = CA, c = AB Chứng minh : a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b 9* Cho a, b, c số thực dương thỏa: a + b + c ≤ 1 17 Chứng minh: a + + b + + c + ≥ b c a 1/ a2 b2 c2 + + ≥ a+b+c b+c−a c+ a−b a+b−c 2/ 10* Cho a, b, c số thực thỏa: a + b + c = Tìm GTNN biểu thức: M = 4a + 9b + 16c + 9a + 16b + 4c + 16a + 4b + 9c ( MinM = 29 ⇔ a = b = c = 1) 11* Cho a, b, c số thực dương thỏa: a + b + c = Chứng minh: a b c 3 + + ≥ 2 b +c c +a a +b 2 12* Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh: a3 b3 c + + ≥ (a + b + c) b(c + a ) c(a + b) a(b + c) 13* Cho a, b, c số thực dương thỏa: a + b + c = Chứng minh: a + b + b + c + c + a ≤ Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam: add luanvanchat@agmail.com 11 LUAN VAN CHAT LUONG download SKKN CM BĐT PP CHỌN ĐIỂM RƠI -14* Cho x, y, z số thực dương thỏa x2 + y2 + z2 = Tìm GTNN biểu thức: P = x5 y5 z5 + + + x4 + y + z 3 3 3 y +z z +x z +x ⎛ ⎞ ⎜ MinP = ⇔ x = y = z = 1⎟ ⎝ ⎠ 15* Cho x, y, z số thực dương Tìm GTNN biểu thức : x2 y2 z2 T= + + (2 y + 3z )(2z + 3y) (2 z + 3x)(2 x + 3z) (2 x + y )(2 y + 3x) ⎛ ⎞ ⇔ x = y = z⎟ ⎜ MinT = 25 ⎝ ⎠ VI KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Nội dung đề tài nghiên cứu tài liệu thức tơi thường dùng để giảng dạy cho em thuộc đội tuyển dự thi chọn học sinh giỏi khối 12 Tỉnh Quảng Nam năm trường THPT Lê quý Đôn Tam Kỳ, bồi dưỡng cho học sinh lớp 10 lớp 11 thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm Ở cấp trường lớp 10A1 năm học 2009 – 2010 đạt giải nhất, giải giải khuyến khích, Ở cấp Tỉnh có học sinh ( Dương Công Nha ) đạt giải khuyến khích Tốn 12 năm học 2008 – 2009 Nhưng điểm thành công đề tài giúp em tự tin tham gia học lớp bồi dưỡng học sinh giỏi VII KẾT LUẬN: Qua trình giảng dạy nhiều năm, tơi nhận thấy phận lớn học sinh có kết làm thấp ( chí thấp nhiều ) so với khả có thực em Theo tơi chắn yếu tố tâm lý Các em thường bình tĩnh khơng làm chủ đề thi Làm quen với loại toán BĐT em có tâm lý tự tin có tầm nhìn rộng trước đề tốn có “ngoại hình” dễ gây khớp cho em Tơi tin đề tài nguồn tư liệu hữu ích cho đối tượng học sinh phổ thông VIII ĐỀ NGHỊ: Nếu đề tài giới thiệu rộng rãi cho học sinh đồng nghiệp, với nhiệt tình góp ý xây dựng quý thầy cô chắn đề tài ngày sáng sủa hơn, thích nghi gần gũi với em học sinh Rất mong nhận hưởng ứng quý độc giả IX PHỤ LỤC: Kết thi số em nêu có lưu hồ sơ nhà trường Ngoài đề tài thu hút nhiều em tham gia học đặn buổi học bồi dưỡng học sinh giỏi trường ( Nhà trường tham khảo trực tiếp ý kiến em ) Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam: add luanvanchat@agmail.com 12 LUAN VAN CHAT LUONG download SKKN CM BĐT PP CHỌN ĐIỂM RƠI X TÀI LIỆU THAM KHẢO: Báo TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ ( định kỳ tháng đợt kỷ niệm sinh nhật BÁO ) CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC THỐNG NHẤT TOÀN QUỐC ĐỀ THI OLIMPIC, ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HẰNG NĂM CÁC TỈNH, ĐỀ DỰ BỊ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam: add luanvanchat@agmail.com 13 LUAN VAN CHAT LUONG download SKKN CM BĐT PP CHỌN ĐIỂM RƠI -XI MỤC LỤC: NỘI DUNG TRANG 1.Tên đề tài …………………………… Đặt vấn đề: ………………………… Cơ sở lý luận: ……………………… 4.Cơ sở thực tiễn: …………………… Nội dung nghiên cứu: a Các ví dụ minh họa ……………… b Hệ thống tập minh họa thêm………… c Bài tập tự luyện ……………………… 11 Kết nghiên cứu ……………… 12 Kết luận: ……………………… 12 Đề nghị: ……………………… 12 Phần phụ lục: ……………………… 12 10 Tài liệu tham khảo: ……………… 13 11 Mục lục: 14 ……………………… 12 Phiếu đánh giá xếp loại SKKN: …… Hồ Vĩnh Đức THPT Lê Quý Đôn – TK Qnam: add luanvanchat@agmail.com 14 LUAN VAN CHAT LUONG download ... PP CHỌN ĐIỂM RƠI -I TÊN ĐỀ TÀI: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI II ĐẶT VẤN ĐỀ: Qua kỳ thi giỏi toán quốc tế, nhiều chuyên gia thường nhận định toán BẤT ĐẲNG THỨC... thông học sinh lớp chọn ( tự nhiên ) phổ thông em thường thiếu tự tin đối diện với toán BĐT (bất đẳng thức) Minh chứng rõ ràng toán chứng minh BĐT tốn có sử dụng BĐT để chứng minh số dạng tốn nằm... dấu đẳng thức xảy ( ĐIỂM RƠI ) quan trọng việc làm hướng dẫn đơn giản Đối với BĐT mà biến có tính chất (*) phần lớn đẳng thức xảy biến ( Đề tài nói phần lớn có BĐT biến có tính chất (*) đẳng thức