(SKKN mới NHẤT) SKKN chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp véc tơ

PHẦN I : LỜI NĨI ĐẦU Phương trình nội dung quan trọng chương trình Tốn phổ thơng Giải phương trình tốn có nhiều dạng cách giải linh hoạt, đặc biệt phương trình vô tỷ Trong năm học trước năm học phương trình vơ tỷ xuất đề thi Đai Học Cao Đẳng nội dung nằm chương trình lớp 10 Nhưng từ kì thi THPT quốc gia năm 2019 nội dung chắn có nội dung thi Vì việc trang bị cho em kiến thức liên quan đến phương trình vơ tỷ kèm theo kiến thức giải chúng từ lớp 10 cần thiết quan trọng Việc giải phương trình vơ tỷ thường gây nhiều khó khăn cho học sinh nhiều học sinh chọn phương án bỏ giải toán hỗ trợ kiến thức lớp 12 máy tính Tuy nhiên chương trình lớp 10 có số cơng cụ giải hiệu tốn Trên sở kiến thức biết kinh nghiệm tích lũy sau nhiều năm giảng dạy tơi xin trình bày nội dung đề tài “ Giải phương trình vơ tỷ kiền thức chương trình lớp 10’’ Với phương pháp có ví dụ minh họa tập áp dụng giúp học sinh thực hành giải toán nắm cốt lõi phương pháp Qua giúp em có nhìn đầy đủ hơn, tự tin dạng Toán rèn luyện kỹ kỹ xảo , phát triển tư chuẩn bị tốt cho kì thi download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 PHẦN II: NỘI DUNG A PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Khử phương pháp nâng lên lũy thừa, đặt ẩn phụ, lượng giác , hình học Ngồi dùng phương pháp đánh giá, phương pháp hàm số số toán đặc biệt B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Là phương pháp sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình phương trình biết cách giải Một số phép biến đổi tương đương : Cộng, trừ vào hai vế phương trình với biểu thức mà không thay đổi tập nghiệm phương trình Nhân, chia hai vế phương trình với biểu thức khác khơng mà khơng làm thay đổi tập nghiệm phương trình Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai bậc lẻ hai vế phương trình Lũy thừa bậc chẵn hai vế., khai bậc chẵn hai vế hai vế phương trình khơng âm Chú ý phương pháp sau: * Bình phương hai vế khơng âm * Phân tích thành nhân tử * Nhân hai vế với lượng liên hợp khác không 1.Các dạng download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Hoặc điều kiện pt Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải: Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải: đk: Khi pt tương đương với: Đối chiếu đk suy pt có nghiệm x=0 Vi dụ 3: Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt Giải: pt Phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn -1 download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Ta thấy pt (*) ln có hai nghiệm phân biệt Bài tốn thõa mãn pt (*) có hai nghiệm phân biệt lớn - Ví dụ 4: Giải phương trình: Giải: ĐK: Pt ( đk (*)) ( thỏa mãn đk (*)) Vậy pt có hai nghiệm Ở ví dụ trên, lưu ý cho học sinh điểm sau: 1) Bài tốn cịn có cách giải sau: * x = nghiệm phương trình * * Vậy pt có hai nghiệm download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 2) Khi biến đổi , học sinh thường mắc sai lầm cho Đẳng thức Nếu Chú ý: Một số phương trình giải theo cách thơng thường phức tạp, ta nên tăng cường phát mối quan hệ biểu thức phương trình, đơi sử dụng phép biến đổi hệ Ví dụ 5: Giải phương trình: Đk: Bình phương hai vế khơng âm ta phương trình Giải phương trình khơng khó phức tạp Sẽ đơn giản ta đưa : Bình phương hai vế ta phương trình hệ quả: Thử lại , x=1 thõa mãn phương trình Vậy nghiệm pt x = Nhận xét: Nếu pt: mà có: Thì biến đổi pt dạng sau bình phương hai vế giải phương trình hệ thử lại nghiệm Vi dụ 6: Giải phương trinh: Đk: Bình phương hai vế phương trình? Nếu chuyển vế chuyển ? download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Ta có nhận xét Suy cách giải sau: pt Bình phương hai vế ta pt hệ quả: Thử lại ta có nghiệm pt Nhận xét: Nếu pt Mà có f(x)h(x) = g(x)k(x) ta biến đổi pt dạng sau bình phương hai vế giải pt hệ thử lại nghiệm Bài tập áp dụng: a b c d e Tìm m để phương trình có nghiệm Trục thức: 2.1 Trục thức để xuất nhân tử chung: Cơ sở phương pháp là: Một số phương trình vơ tỉ ta nhẩm nghiệm Như pt ln phân tích thành dạng tích ta giải pt A(x) = chứng minh A(x) = vơ nghiệm dựa vào điều kiện ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: =1 + x đk: download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Ví dụ 2: Giải pt: Đk: Pt Do vơ nghiệm VT > với x thuộc tập xác định toán Vậy x = nghiệm pt Bài tập áp dụng: Giải pt sau: a b c d 2.2 Đưa ‘’hệ tạm’’: Nếu phương trình vơ tỷ có dạng mà A - B = kC, C số biểu thức x Ta giải sau: download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 ta có hệ: Ví dụ 1: Giải phương trình: Ta thấy: Pt có nghiệm X = - khơng nghiệm phương trình Với x > - trục thức ta có: Thử lại hai giá trị thỏa mãn.Vậy pt có hai nghiệm Bài tâp áp dụng: Giải phương trình sau: a b Phương trình biến đổi tích: Một số pt phân tích thành nhân tử Chú ý: u+v=1+uv (u-1)(v-1)=0 Biến đổi pt dạng Ví du 1:Giải phương trình: Đk: download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Ví dụ 2: Giải phương trình: Đk: Vậy pt cho có hai nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: Đk: , pt Hoặc Hoặc Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: a b c d II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường đưa pt biết cách giải Đối với nhiều pt vơ tỷ, ta đặt t = f(x) ý điều kiện t Nếu pt ban đầu trở thành pt chứa biến t việc đặt ẩn phụ xem hồn tồn Ví dụ 1.Giải phương trình: Đk: download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Nhận xét: Đặt , pt trở thành Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình: Cách HD: Đk Đặt Pt thành: Cách Đặt …=>a + b = =>x… Ví dụ 4: Giải phương trình: Đk: Đặt pt thành Chú ý: GV hướng dẫn cho HS cách khác Ví dụ 5:Tìm m để pt sau có nghiệm 10 download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 HD: Đặt Áp dụng BĐT Côsi ta có: , kết hợp với (*) pt thành Pt cho có nghiệm có nghiệm Xét hàm số với , ta thấy f(t) hàm đồng biến đoạn Vậy giá trị cần tìm Lưu ý cho hs qua vd trên: Nếu hàm số xác định D có tập giá trị Y pt có nghiệm D Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: a b c d e f Tìm m để pt sau có nghiệm Nhận xét:Đối với cách đặt ẩn phụ ta giải lớp toán đơn giản, số ẩn lại khó Đặt ẩn phụ đưa pt đẳng cấp bậc hai hai biến: Chúng ta biết cách giải pt: 11 download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải: Đk: Đặt pt thành Vậy pt có nghiệm x = Ngồi số pt dạng sau đưa pt (1): 2.1 Phương trình dạng : Với phương trình Q(x) = kP(x) giải phương pháp Chú ý: Ví dụ:Giải phương trình: Đk 12 download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Đặt pt thành Vậy pt có hai nghiệm 2.2 Phương trình dạng : Ví dụ 1: Giải phương trình: Đk: Đặt Khi pt thành Ví dụ 2: Giải phương trình: Đk: … Đặt Bài tập áp dụng: a b c Phương pháp đặt ẩn phụ không hồn tồn Phương pháp: Một số phương trình đặt ẩn đưa phương trình phức tạp phương trình ban đầu Vì ta khơng đưa hồn tồn ẩn mà có số biểu thức ẩn cũ giữ lại Đặt ; pt cho trở thành: 13 download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Sau giải t theo x thay vào pt đưa kết luận Ví dụ 1: Giải phương trình: Bài tâp áp dụnga b c Đặt ẩn phụ đưa hệ 4.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ thông thường hệ đối xứng loại 1, hệ biết cách giải Ví dụ 1: Giải phương trình: Đặt Giải hệ Vậy nghiệm pt x = 2; x = Ví dụ 2: Giải phương trình: Đk: Đặt Giải hệ tìm a, b suy x Ví dụ 3: Giải phương trình: 14 download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Đk: Đặt Hệ biết cách giải GV gọi HS làm Bài tâp áp dụng: Giải phương trình sau: 4.2 Đưa hệ đối xứng loại 2: Dạng 1: Cách giải: Đặt ta có hệ đối xứng loại Ví dụ: Giải phương trình: Đặt Giải hệ ta x = y = Vậy pt có ba nghiệm Dạng 2: Cách giải: Đặt Ta có hệ đối xứng loại 2: Ví dụ: Giải phương trình: Đk: Đặt 15 download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Giải hệ ta suy Dạng 3: Chọn ẩn phụ từ viêc làm ngược Ví dụ: Giải phương trình: Đk Đặt , Chọn a, b để hệ hệ đối xứng loai Suy a = 1, b = -1 Giải hệ ta Vậy nghiệm pt Bài tập áp dụng: Giải phương trình: a b Dạng 4: Cách giải: Đặt ; n = 2, 3,…chon d, e đưa hệ đối xứng loai Ví dụ: Giải phương trình: Giai : đk: Pt Đặt 16 download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Ta có hệ: Giải hệ suy nghiệm pt cho là: Bài tâp áp dung: Giải phương trình: 4.3 Đặt ẩn phu đưa hệ gần đối xứng Ví dụ: Giải phương trình: Nếu biến đổi pt trước thì: Ta chọn cho sau đưa hệ giải Ta giải sau: Đk: Đặt Ta thu hệ sau: Với Với Vậy pt có hai nghiệm Chú ý: Phương trình viết sau: Ta đặt ,nếu đặt hệ mong muốn., ta thấy dấu khơng thu dấu với trước Bài tập áp dụng: 17 download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 a b 4.4 Chia đặt ẩn phụ Một số toán sau chia đưa ẩn Ví dụ : Giải phương trình: Nhận xét: VT> Nếu pt vơ nghiệm Chia hai vế cho x ta Vì a > nên a = => x = Thử lại ta thấy x = thỏa mãn Vậy pt có nghiệm x = Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau a b c.Tìm m để pt sau có nghiệm 18 download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Dùng đẳng thức: Dùng bất đẳng thức : Chứng minh : Khi pt f(x) = g(x) với Ví dụ 1: Giải phương trình: HD: đk: Pt tương đương với: Vậy pt có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình: HD: đk: Pt Theo bđt BunhiaCopsky ta có: 19 download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Tương tự Bài tập áp dụng: Giải phương trình saua b IV PHƯƠNG PHÁP VEC TƠ Phương pháp: Sử dụng bất đẳng thức vec tơ xét trường hợp xảy dấu * Dấu xảy hướng với * Dấu xảy ngược hướng với * Dấu xảy hướng với Ví dụ 1: Giải phương trình: HD giải: Pt tương đương với Trong mp Oxy chọn Khi phương trình thành số k dương cho hướng hay tồn Vậy nghiệm pt Ví dụ 2: Giải phương trình: HD: đk: … 20 download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Trong mp Oxy chọn Từ pt ta có: Thử lại ta x = nghiệm pt Bài tâp áp dụng: Giải phương trình sau: a b c PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ KIỂM NGHIỆM Trên số phương pháp giải phương trình vơ tỷ khn khổ chương trình lớp 10 Khi dạy xong nội dung cho học sinh, đa số em có kỹ giải tập phần tốt hơn, biết nhận dạng biết cách đưa phương trình vơ tỷ hay bất phương trình vơ tỷ dạng quen thuộc biết cách giải cịn làm tập chứa thức khác Cụ thể trước dạy chuyên đề 10% học sinh lớp chưa thành thạo giải tập phương trình vơ tỉ dạng nhận biết Sau dạy xong chuyên đề 100% học sinh biết làm tập phương trình vơ tỉ dạng thơng hiểu, học sinh hứng thú với việc học toán Từ học sinh phát triển kỹ năng, kỹ xảo, tư duy, chuẩn bị tốt cho việc ôn thi Đại học Tuy biển học vô cùng, sáng tạo người vô hạn Dù cố gắng tìm tịi, viết cịn nhiều hạn chế, mong thầy góp ý chân thành bổ sung Thiệu Hóa, ngày 10 tháng năm 2018 21 download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Anh Dũng TÀI LIỆU THAM KHẢO Phương pháp giải phương trình vơ tỷ Nguyễn Quốc Hoàn Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỷ Nguyễn Phi Hùng SGK SBT Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất giáo dục vnmath 22 download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 MỤC LỤC TT Nội dung Trang Phần I: Lời nói đầu Phần II Nội dung 1- 20 I Phương pháp biến đổi tương đương 1- Các dạng 1–6 Trục thức 6- 2.1 Trục thức xuất nhân tử chung 6-7 2.2 Trục thức đưa hệ tạm 7- Phương trình biến đổi tích 8- II Phương pháp đặt ẩn phụ 9- 18 Đặt ẩn phụ đưa phương trình biết cách giải 9- 10 Đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp bậc 10- 13 Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 13 Đặt ẩn phụ đưa hệ 13 4.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ loại hệ biết cách giải 13 -14 4.2 Đặt ẩn phụ đưa hệ loại 14- 17 4.3 Đặt ẩn phụ đưa hệ gần đối xứng 16- 17 4.4 Chia đặt ẩn phụ III Phương pháp đánh giá 18- 19 IV Phương pháp véc tơ 19- 20 Phần III Kết luận kiểm nghiệm 17 20 23 download by : skknchat@gmail.com ... nghiệm 18 download by : skknchat@gmail.com Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Dùng đẳng thức: Dùng bất đẳng thức : Chứng minh : Khi pt f(x) =... , hình học Ngồi dùng phương pháp đánh giá, phương pháp hàm số số toán đặc biệt B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Là phương pháp sử dụng phép biến... số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Tương tự Bài tập áp dụng: Giải phương trình saua b IV PHƯƠNG PHÁP VEC TƠ Phương pháp: Sử dụng bất đẳng thức vec tơ xét trường hợp xảy