SKKN chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp véc tơ

PHẦN I : LỜI NĨI ĐẦU Phương trình nội dung quan trọng chương trình Tốn phổ thơng Giải phương trình tốn có nhiều dạng cách giải linh hoạt, đặc biệt phương trình vô tỷ Trong năm học trước năm học phương trình vơ tỷ xuất đề thi Đai Học Cao Đẳng nội dung nằm chương trình lớp 10 Nhưng từ kì thi THPT quốc gia năm 2019 nội dung chắn có nội dung thi Vì việc trang bị cho em kiến thức liên quan đến phương trình vơ tỷ kèm theo kiến thức giải chúng từ lớp 10 cần thiết quan trọng Việc giải phương trình vơ tỷ thường gây nhiều khó khăn cho học sinh nhiều học sinh chọn phương án bỏ giải toán hỗ trợ kiến thức lớp 12 máy tính Tuy nhiên chương trình lớp 10 có số cơng cụ giải hiệu tốn Trên sở kiến thức biết kinh nghiệm tích lũy sau nhiều năm giảng dạy tơi xin trình bày nội dung đề tài “ Giải phương trình vơ tỷ kiền thức chương trình lớp 10’’ Với phương pháp có ví dụ minh họa tập áp dụng giúp học sinh thực hành giải toán nắm cốt lõi phương pháp Qua giúp em có nhìn đầy đủ hơn, tự tin dạng Toán rèn luyện kỹ kỹ xảo , phát triển tư chuẩn bị tốt cho kì thi Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 PHẦN II: NỘI DUNG A PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Khử phương pháp nâng lên lũy thừa, đặt ẩn phụ, lượng giác , hình học Ngồi dùng phương pháp đánh giá, phương pháp hàm số số toán đặc biệt B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Là phương pháp sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình phương trình biết cách giải Một số phép biến đổi tương đương : Cộng, trừ vào hai vế phương trình với biểu thức mà khơng thay đổi tập nghiệm phương trình Nhân, chia hai vế phương trình với biểu thức khác không mà không làm thay đổi tập nghiệm phương trình Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai bậc lẻ hai vế phương trình Lũy thừa bậc chẵn hai vế., khai bậc chẵn hai vế hai vế phương trình khơng âm Chú ý phương pháp sau: * Bình phương hai vế khơng âm * Phân tích thành nhân tử * Nhân hai vế với lượng liên hợp khác không 1.Các dạng * f x * f x g x gx x g2 x f gx f x hoac g x f x gx Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 f x * f xg x hx gx f xg x f x x pt f Hoặc điều kiện g hx Ví dụ : Giải phương trình : Giải: x 2x 3x hx 2x 3x 3x pt g x hx x 9x x 3 4x 4x x hoac x= Ví dụ : Giải phương trình: x x 2x Giải: đk: x Khi pt tương đương với: x 2x 1 2x x x x 2x 2x 2x x x2 x 2x x 2 7x 2x 2x 1 x 7x x hoac x= Đối chiếu đk suy pt có nghiệm x=0 Vi dụ : Tìm m để pt 2x mx x có hai nghiệm phân biệt x Giải: pt x2 m x * Phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn -1 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Ta thấy pt (*) ln có hai nghiệm phân biệt m m2 x1 4m m m2 0; x2 4m Bài toán thõa mãn pt (*) có hai nghiệm phân biệt lớn - x1 m m m 4m m x x x x 4x 4x x2 x x2 m 4m m x x 2 x2 Ví dụ 4: Giải phương trình: x x 1; ; Giải: ĐK: x Pt 2x 2 * x2 x2 x x 2x 2x ( đk (*)) x x ( thỏa mãn đk (*)) 8x 0x Vậy pt có hai nghiệm Ở ví dụ trên, lưu ý cho học sinh điểm sau: 1) Bài tốn cịn có cách giải sau: * x = nghiệm phương trình x pt x * 4x *x 4x 4x x 4x x ptx xx x 2 xx 2 x x2 x tm 2x x x x x2 x 2x x loai Vậy pt có hai nghiệm x 0; x= Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 2) Khi biến đổi , học sinh thường mắc sai lầm cho Nếu a, b Đẳng thức a, b ab ab a.b a b Chú ý: Một số phương trình giải theo cách thơng thường phức tạp, ta nên tăng cường phát mối quan hệ biểu thức phương trình, đơi sử dụng phép biến đổi hệ Ví dụ 5: Giải phương trình : Đk: x x 3x x 2x Bình phương hai vế khơng âm ta phương trình 1x 3 x x x x Giải phương trình khơng khó phức tạp Sẽ đơn giản ta đưa 3x 2x 4x x 3: Bình phương hai vế ta phương trình hệ quả: 6x 8x 4x 12x x 12 x Thử lại , x=1 thõa mãn phương trình Vậy nghiệm pt x = Nhận xét: Nếu pt: f xg xh x k x mà có: fx hx gx kx Thì biến đổi pt dạng f x h x k x g x sau bình phương hai vế giải phương trình hệ thử lại nghiệm Vi dụ 6: Giải phương trinh: Đk: x x3 x x x2 x x Bình phương hai vế phương trình? Nếu chuyển vế chuyển ? Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Ta có nhận xét sau: pt x3 x x x x3 x2 x x2 x Suy cách giải x x x Bình phương hai vế ta pt hệ quả: x 31 x2 x x x2 x x 2x Thử lại ta có x nghiệm pt Nhận xét: Nếu pt f x g x hx k x Mà có f(x)h(x) = g(x)k(x) ta biến đổi pt dạng f x h x k x g x sau bình phương hai vế giải pt hệ thử lại nghiệm Bài tập áp dụng: a 2x 6x x c x x 11x e Tìm m để phương trình x 11 2x b x x 2x d x x 2x 4x m x có nghiệm Trục thức: 2.1 Trục thức để xuất nhân tử chung: Cơ sở phương pháp là: Một số phương trình vơ tỉ ta nhẩm nghiệm x0 Như pt ln phân tích thành dạng tích x x0 A x ta giải pt A(x) = chứng minh A(x) = vơ nghiệm dựa vào điều kiện ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: đk: x x =1 + x x Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 pt x x x x 1 x x Ví dụ 2: Giải pt: 3x Đk: x 3x2 x x tm x x2 5x hoac x 41 x x x x2 x 3x Pt3x 5x x x 1x 2x 3x 2x 3x 3x 3x2 5x x2 x 2x 3x x x 2 x 2 3x x 5x 3x x x tm Do x 2x 2 3x 3x 5x x x vô nghiệm VT > với x thuộc tập xác định toán Vậy x = nghiệm pt Bài tập áp dụng : Giải pt sau: x a 4x 3x b x 2x x c x 12 3x x2 2.2 Đưa ‘’hệ tạm’’: Nếu phương trình vơ tỷ có dạng A d x2 x x3 B C mà A - B = kC, C số biểu thức x Ta giải sau: Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 A B C A B A B C A A B k, ta có hệ: A C k B k Ví dụ 1: Giải phương trình : 2x Ta thấy: 2x x 2x Pt có nghiệm x 2x x t x 2x 4 x x x 4 X = - khơng nghiệm phương trình Với x > - trục thức ta có: x 42x 2x 2x x 2x 2x x x 2x x 2x x x 2x x 2 2x x x x x x x x Thử lại hai giá trị thỏa mãn.Vậy pt có hai nghiệm Bài tâp áp dụng: Giải phương trình sau: a 2x x x x 3x b 2x 16x 18 x2 2x Phương trình biến đổi tích: Một số pt phân tích thành nhân tử Chú ý: u+v=1+uv (u-1)(v-1)=0 Biến đổi pt dạng A B ; Ak Bk Ví du 1:Giải phương trình: x Đk: x 9x x Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 pt x x tm 9x2 x 3x x 3x Ví dụ 2: Giải phương trình: x Đk: x pt x 97 x 18 tm 7 x2 x x 7 x x x x x x x x Vậy pt cho có hai nghiệm 2 Ví dụ 3: Giải phương trình : Đk: x 1, pt 29 x x x x 2x x x 2x x 2x x 2x 4x x x x 2x x 1 Hoặc x Hoặc x 2x 4x2 x x tm x 1 x 1 x tm Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: a x 4x x b x x x x c 33 9x x 2x 33 3x x 2 d x 2x 5 II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường đưa pt biết cách giải Đối với nhiều pt vơ tỷ, ta đặt t = f(x) ý điều kiện t Nếu pt ban đầu trở thành pt chứa biến t việc đặt ẩn phụ xem hồn tồn Ví dụ 1.Giải phương trình: x x x x 2 Đk: x Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Nhận xét: x2 x x t= x Đặt t t t2 x 1,t , pt trở thành 2t t x2 1 x x2 1 x2 x 2x x tm Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x 3x 3x 2x x 16 Cách HD: Đk x Đặt a= 2x Pt thành: a a x 1;a a 2x 20 a 2x x 3x x Cách Đặt a 2x 3; b= x 1, a , b …=>a + b = =>x… Ví dụ 4: Giải phương trình : x x Đk: x x x a2 Đặt a a 2a 5 a a pt thành a a a a a a5 a a a a 51 x 1 2x x x x x x 11x 26 11 17 tm Chú ý: GV hướng dẫn cho HS cách khác Ví dụ 5:Tìm m để pt sau có nghiệm x x m x x 10 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 t2 t= x HD: Đặt x * x x Áp dụng BĐT Cơsi ta có: t Pt cho có nghiệm1 Xét hàm số f t t x , kết hợp với (*) t2 pt thành 3 t x m t 2t 3;3 có nghiệm t 2t với t 2m 3;3 , ta thấy f(t) hàm đồng biến đoạn f f t f 26 f t 26 2m 2 62 9 m Vậy m ;3 giá trị cần tìm 2 Lưu ý cho hs qua vd trên: Nếu hàm số xác định D có tập giá trị Y pt có nghiệm D m Y Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: a x x2 11 31 b 3x 21x 18 x c d e 4x 7x 3x 2x 4x 3x 5x x 3x 2 2x 6x 22 8x 2x f Tìm m để pt sau có nghiệm x 2x 2m 2x x m2 Nhận xét:Đối với cách đặt ẩn phụ ta giải lớp toán đơn giản, số ẩn lại khó Đặt ẩn phụ đưa pt đẳng cấp bậc hai hai biến: Chúng ta biết cách giải pt: aX bXY cY 11 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x Giải: Đk: x x 34 2x 2 x 2x 3, a pt thành a Đặt b a2 x 2b 3ab 2b2 a b a 2b 2x 4 2x x 2x x x x tm x x 2x 16 35 loai 14 Vậy pt có nghiệm x = Ngoài số pt dạng sau đưa pt (1): aA x bB x u v c AxBx mu nv2 2.1 Phương trình dạng : aA x bB x c AxBx Với phương trình Q(x) = kP(x) giải phương pháp Px AxBx Qx aA x bB x Chú ý: x3 x x2 x x4 x2 x4 x2 x2 x x2 x 2x x 2x Ví dụ:Giải phương trình: x 2 x3 Đk x 12 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 x 1, v= x Đặt u u 2v 2 u v pt thành 2 x 2x x 1, u 0, v 5uv x 1 2v u 2 x x x 37 x Vậy pt có hai nghiệm : au v mu nv2 Ví dụ 1: Giải phương trình : x x x4 2.2 Phương trình dạng x2 Đk: x x Đặt u x ,v x 1,u 0,v Khi pt thành v u 3v u v u 3v u v v u loai x x tm Ví dụ 2: ả i phương : x 20x Gi trình Đk: … Đặt a x , b x b 16a 2b a x 2x Bài tập áp dụng: a x 2x2x 3x b x 3x 4x x4 x2 c 10 x 3x2 x Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Phương pháp: Một số phương trình đặt ẩn đưa phương trình phức tạp phương trình ban đầu Vì ta khơng đưa hồn tồn ẩn mà có số biểu thức ẩn cũ giữ lại Đặt t f x,t 0; pt cho trở thành: t t Q x Px 13 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Sau giải t theo x thay vào pt Ví dụ 1: Giải phương trình : x § Ỉt t x2 2x 3,t x2 t2 t2 x 1t 2x f x trồi đưa kết luận x2 2x x2 x 1t x2 2x x 1t t2 x2 t x t 2x 2x x x 2x x Bài tâp áp dụng10 x a x x2 x 12 b x 2x 5 c4 x 1 3x 21 x Đặt ẩn phụ đưa hệ 4.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ thông thường hệ đối xứng loại 1, hệ biết cách giải Ví dụ 1: Giải phương trình: x 35 x3 x Đặt y 3 35 x x y x 35 y 35 35 x3 30 xy x y 30 Giải hệ x; y 2;3 ; x; y 3;2 Vậy nghiệm pt x = 2; x = Ví dụ 2: Gi Đk: x a Đặt b ải phương trình : x x x a b x x x a b a b3 Giải hệ tìm a, b suy x Ví dụ 3: Giải phương trình: x x 14 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Đk: x ab Đặt a x 1;b x 1;a 0;b b2 a Hệ biết cách giải GV gọi HS làm Bài tâp áp dụng: Giải phương trình sau: a x b x x x x2 x x 17 x c x+ x 2x 4.2 Đưa hệ đối xứng loại 2: Dạng 1: x n b a n ax b n Cách giải: Đặt y x n b ay y n ax b ta có hệ đối xứng loại b ax x 23 2x Ví dụ: Giải phương trình: Đặt y 2x 1 2y 2x x y3 Giải hệ ta x = y = x y Vậy pt có ba nghiệm x 1; x 1 5 Dạng 2: x a a x y Cách giải: Đặt y a x Ta có hệ đối xứng loại 2: Ví dụ: Giải phương trình : x 2007 Đk: x 2007 x a y a x x y Đặt y 2007 x x 2007 y 2007 x 15 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Giải hệ ta suy x 8030 8029 tm Dạng 3: Chọn ẩn phụ từ viêc làm ngược Ví dụ: Giải phương : x 2x 2x trình Đk x Đặt 2 2x ay b , Chọn a, b để hệ 2x ay b x 2ay 2b x ay b 2x ay b hệ đối xứng loai 2x Suy a = 1, b = -1 2x y x y Giải hệ ta x y 2 2y 2x Vậy nghiệm pt x 2 Bài tập áp dụng : Giải phương trình: Dạng 4: ax b c dx e Cách giải: Đặt dy e 6x b 4x 8x 2x x ; ax b c dx e n 4x x ax b ; n = 2, 3,…chon d, e đưa hệ đối xứng loai Ví dụ: Giải phương trình: Giai : đk: x a 2x 4x 7x 7x 28 4x Pt 28 x 12 Đặt y 4x 28 y 16 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 12 x y 12 Ta có hệ: y x Giải hệ suy nghiệm pt cho là: x Bài tâp áp dung : Giải phương trình: x 2x 4.3 Đặt ẩn phu đưa hệ gần đối xứng Ví dụ: Giải phương trình : 4x 13x 2; x= 14 x 46 14 3x Nếu biến đổi pt trước thì: Ta chọn , cho y 3x sau đưa hệ giải Ta giải sau: Đk: x Đặt 3x 12 y 2x 2y , Ta thu hệ sau: 2y x x y 3x Với x y x y 15 2x y 97 Với 2x y x 11 73 Vậy pt có hai nghiệm Chú ý : Phương trình viết sau: x 23 x x Ta đặt 3x y ,nếu đặt y hệ mong muốn., ta thấy dấu 3x không thu dấu với trước Bài tập áp dụng: 17 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 a 6x 8x 4x b x 3x 2x 4.4 Chia đặt ẩn phụ Một số tốn sau chia đưa ẩn Ví dụ : Giải phương trình: 2x x x x 3x Nhận xét: VT> x Nếu x 2x pt vô nghiệm Chia hai vế cho x ta x2 x x x2 x2 § Æt a ; a>02 a a x a a2 31 a a2 a 1 1 x a a2 x a2 a a 8a a x a2 a a 13 x2 a2 61 a a a a Vì a > nên a = => x = Thử lại ta thấy x = thỏa mãn Vậy pt có nghiệm x = Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau a x b x 2x x x 3x x 4x x c.Tìm m để pt sau có nghiệm x 2x 3m x2 18 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Dùng đẳng thức: f 2 x g Dùng bất đẳng thức : x x g x f x m Chứng minh : , x D gx m Khi pt f(x) = g(x) với f xD f x gxm ,xD m x x2 Ví dụ 1: Giải phương trình : x 6x 11 HD: đk: x x 24 x 2 12 x x 4x 24 x x x 11 x 2 x Pt tương đương với: x2 x x 6x 11 tm Vậy pt có nghiệm x = x2 Ví dụ 2: Giải phương trình: HD: đk: x x x2 x 2 x2 Pt x x2 x Theo bđt BunhiaCopsky ta có: x2 x2 12 12 x x2 42 x x 19 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Tương tự 1 x2 x x2 pt VT x 1 x x2 x Bài tập áp dụng: Giải phương trình saua 3x 5x 10x 14 2x x2 6x b x x x x IV PHƯƠNG PHÁP VEC TƠ Phương pháp: Sử dụng bất đẳng thức vec tơ xét trường hợp xảy dấu * a b a b Dấu xảy a hướng với b * a b a b Dấu xảy a ngược hướng với b * a.b a b Dấu xảy a hướng với b 4x Ví dụ 1: Giải phương trình : HD giải: Pt tương đương với 4x 12x 13 13 4x 2x 12x 13 Trong mp Oxy chọn a 2x 1;1 ; b 2x;2 Khi phương trình thành a b a b a b 2;3 a ; b hướng hay tồn số k dương cho b k a 2x k 2x x k.1 k Ví dụ 2: Giải phương trình : Vậy nghiệm pt 9x 18x 36x 9x x x2 HD: đk: … x 20 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Trong mp Oxy chọn a 9x 18x ; 36x a.b VT a.b x2 Từ pt ta có: 9x ; b 1;1 9+x2 a.b 18x a b a b 6xx 6x x Thử lại ta x = nghiệm pt Bài tâp áp dụng: Giải phương trình sau: a 5x2 12x 5x2 12x 29 b 10 3x x2 18 7x x2 77 c x2 4x x2 10x 50 PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ KIỂM NGHIỆM Trên số phương pháp giải phương trình vơ tỷ khn khổ chương trình lớp 10 Khi dạy xong nội dung cho học sinh, đa số em có kỹ giải tập phần tốt hơn, biết nhận dạng biết cách đưa phương trình vơ tỷ hay bất phương trình vơ tỷ dạng quen thuộc biết cách giải cịn làm tập chứa thức khác Cụ thể trước dạy chuyên đề 10% học sinh lớp chưa thành thạo giải tập phương trình vô tỉ dạng nhận biết Sau dạy xong chuyên đề 100% học sinh biết làm tập phương trình vơ tỉ dạng thơng hiểu, học sinh hứng thú với việc học tốn Từ học sinh phát triển kỹ năng, kỹ xảo, tư duy, chuẩn bị tốt cho việc ôn thi Đại học Tuy biển học vô cùng, sáng tạo người vơ hạn Dù cố gắng tìm tịi, viết cịn nhiều hạn chế, mong thầy góp ý chân thành bổ sung 21 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 Thiệu Hóa, ngày 10 tháng năm 2018 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Anh Dũng TÀI LIỆU THAM KHẢO Phương pháp giải phương trình vơ tỷ Nguyễn Quốc Hoàn Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỷ Nguyễn Phi Hùng SGK SBT Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất giáo dục vnmath 22 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ chương trình lớp 10 MỤC LỤC TT Phần I: Phần II I 2.1 2.2 II 4.1 4.2 4.3 4.4 III IV Phần III Nội dung Lời nói đầu Nội dung Phương pháp biến đổi tương đương Các dạng Trục thức Trục thức xuất nhân tử chung Trục thức đưa hệ tạm Phương trình biến đổi tích Phương pháp đặt ẩn phụ Đặt ẩn phụ đưa phương trình biết cách giải Đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp bậc Đặt ẩn phụ khơng hồn toàn Đặt ẩn phụ đưa hệ Đặt ẩn phụ đưa hệ loại hệ biết cách giải Đặt ẩn phụ đưa hệ loại Đặt ẩn phụ đưa hệ gần đối xứng Chia đặt ẩn phụ Phương pháp đánh giá Phương pháp véc tơ Kết luận kiểm nghiệm Trang 1- 20 1-9 1–6 6-8 6-7 7-8 8-9 9- 18 9- 10 10-13 13 13 13 -14 14-17 16-17 17 18-19 19-20 20 23 ... , hình học Ngồi dùng phương pháp đánh giá, phương pháp hàm số số toán đặc biệt B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Là phương pháp sử dụng phép biến... pt VT x 1 x x2 x Bài tập áp dụng: Giải phương trình saua 3x 5x 10x 14 2x x2 6x b x x x x IV PHƯƠNG PHÁP VEC TƠ Phương pháp: Sử dụng bất đẳng thức vec tơ xét trường hợp xảy dấu * a b a b Dấu... c 10 x 3x2 x Phương pháp đặt ẩn phụ không hồn tồn Phương pháp: Một số phương trình đặt ẩn đưa phương trình phức tạp phương trình ban đầu Vì ta khơng đưa hồn tồn ẩn mà có số biểu thức ẩn cũ giữ