Đang tải... (xem toàn văn)
MỤC LỤC Mục Trang 1 Mở đầu 1 1 1 Lí do chọn đề tài 2 1 2 Mục đích nghiên cứu 2 1 3 Đối tượng nghiên cứu 3 1 4 Phương pháp nghiên cứu 3 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 4 2 1 Cơ sở lí luận của sáng kiế[.]
MỤC LỤC Mục Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng kỹ tư cực trị học sinh trường THCS Lê Đình Chinh 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Lí thuyết: 3.2.2.Các ví dụ minh họa 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO skkn Trang 2 3 4 6 19 21 21 21 22 skkn 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Ngày với phát triển tất ngành khoa học Toán học số ngành khoa học đầu, có vị trí quan trọng Chúng ta nhận thấy điều thơng qua ứng dụng Tốn học hầu hết có mặt tất lĩnh vực đời sống xã hội Sự đời phát triển mạnh mẽ công nghệ thông tin dẫn đến bùng nổ ứng dụng toán học, đem lại hiệu to lớn cho đời sống xã hội Tốn học có ví trí đặc biệt quan trọng việc nâng cao phát triển dân trí Tốn học không cung cấp cho học sinh (người học Tốn) kỹ tính tốn cần thiết mà cịn điều kiện chủ yếu rèn luyện khả tư lôgic, phương pháp luận khoa học Trong việc dạy học Tốn việc tìm phương pháp dạy học giải tập Tốn địi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống tập, phương pháp dạy học để góp phần hình thành phát triển tư học sinh Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần bồi dưỡng, rèn luyện phẩm chất đạo đức, thao tác tư để giải tập Tốn loại tốn bất đẳng thức tốn hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư trí tuệ Trong chương trình THCS, tốn học chiếm vai trò quan trọng Với đặc thù mơn khoa học tự nhiên, tốn học khơng giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả tìm tịi khám phá tri thức, vận dụng hiểu biết vào thực tế, sống mà tốn học cịn cơng cụ giúp em học tốt mơn học khác góp phần giúp em học sinh phát triển cách tồn diện Từ vai trị quan trọng mà việc giúp em học sinh u thích, say mê tốn học giúp em học sinh giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức yêu cầu tất yếu giáo viên dạy toán Trong q trình giảng dạy tốn cần thường xun rèn luyện cho học sinh phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao việc học tập, rèn luyện tu dưỡng sống học sinh Trong chương trình Tốn THCS khối lượng kiến thức phong phú đa dạng, dạng toán đề cập khơng Trong số có bất đẳng thức dạng toán quan trọng phổ biến Trong kì thi học sinh giỏi cấp thi vào THPT, THPT chuyên bất đẳng thức thường hay gặp đề thi Bởi muốn bồi dưỡng phát triển đối tượng học sinh khá, giỏi thân người dạy phải nghiên cứu tài liệu, tìm tòi phương pháp giải Nhằm bổ trợ nâng cao kịp thời cho em skkn Ở dạng tốn bất đẳng thức tốn với số liệu riêng nó, địi hỏi ta phải vận dụng cách giải phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tính tư tốn học linh hoạt sáng tạo người học Không bất đẳng thức đề tài thú vị môn Đại số, cịn tiếp tục giới thiệu nghiên cứu cấp THPT Do bất đẳng thức mãi đối tượng nghiên cứu Toán học, vấn đề đa số người học quan tâm kì thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh thi vào lớp 10 Từ yếu tố khách quan chủ quan, để giúp học sinh giải phần khó khăn gặp tốn chứng minh Bất đẳng thức Tơi mạnh dạn tìm tịi nghiên cứu đề tài: “ Phát triển tư học sinh lớp trường THCS Lê Đình Chinh Ngọc Lặc từ toán chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện ” Nhằm tìm biện pháp hữu hiệu để có phương án đắn giúp học sinh tiếp cận với toán bất đẳng thức chủ động hơn, có hứng thú q trình học 1.2 Mục đích nghiên cứu Với mục đích cung cấp phương pháp giải toán cho em học sinh quan trọng giúp em nhìn thấy chất việc, tượng, thấy sáng tạo toán đẹp từ kiến thức Sử dụng phương pháp đánh giá phần tử đại diện để chứng minh bất đẳng thức phương pháp rõ ràng dễ áp dụng để giải lớp toán chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, nội dung mà học sinh ln gặp kì thi hầu hết em học sinh gặp nhiều khó khăn việc xác định phương pháp giải Hi vọng phương pháp xoá tan tâm lí sợ gặp tốn chứng minh bất đẳng thức Chính mà đề tài cần thiết cho đối tượng em học sinh đội tuyển học sinh giỏi tất em học sinh muốn tìm hiểu hướng sáng tác toán chứng minh bất đẳng thức * Đối với giáo viên: - Giúp giáo viên dạy toán THCS nói riêng có quan điểm coi trọng việc nghiên cứu, dạy bất đẳng thức - Đưa số kiến thức bất đẳng thức số phương pháp chứng minh bất đẳng thức phù hợp trình độ học sinh - Qua việc triển khai đề tài góp phần nâng cao chất lượng dạy - học tốt nội dung bất đẳng thức dạy - học tốt mơn tốn trường THCS *Đối với HS, sau thực đề tài giúp em: - Giúp học sinh có kiến thức sâu bất đẳng thức, góp phần học tốt mơn tốn - Giúp học sinh phát huy tính tích cực chủ động tìm tịi, khả suy luận, phán đốn tính linh hoạt áp dụng vào thực tế toán skkn - Giúp học sinh định hướng đường lối giải toán - Giúp học sinh rèn kỹ giải toán nhiều cách biết lựa chọn phương án tối ưu - Rèn luyện kĩ thực hành thao tác tư tốn học hợp lí - Giải triệt để yếu kém, hạn chế kỹ tư lôgic mà học sinh mắc phải lâu q trình giải tốn - Cung cấp thêm vốn kiến thức cần thiết tăng cường hiểu biết sở tiếp thu kiến thức toán học lớp sau 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng số vấn đề, thực trạng dạy học bất đẳng thức học sinh THCS Một số tài liệu tham khảo sử dụng cho học sinh THCS, nghiên cứu, thử nghiệm trường THCS Tôi áp dụngđề tài qua trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp mơn tốn lớp 9, ơn thi vào 10 trường chuyên Lam Sơncủa trường THCS Lê Đình Chinh Ngọc Lặc 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết Pương pháp thống kê, xử lí số liệu Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc tài liệu sách báo, tạp chí, Internet có nội dung liên quan “Phát triển tư khoa học” “tăng cường em ý thức, lực vận dụng cách thông minh điều học” Phương pháp phân tích, tổng hợp: phân tích số liệu từ tài liệu để sử dụng sáng kiến kinh nghiệm Sau tổng hợp số liệu Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Tìm hiểu thực trạng kỹ tư lơgic học sinh khối, lớp Phương pháp quan sát : Nhìn nhận lại q trình học tập mơn tốn học sinh trường năm học vừa qua.Đưa số biện pháp để nâng cao kết học tập cho học sinh trường giai đoạn skkn NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục giai đoạn phải đào tạo người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo có tính nhân văn cao Trong q trình dạy học trường THCS nói chung dạy tốn nói riêng, việc làm cho học sinh biết vận dụng kiến thức học để giải toán công việc quan trọng thiếu người dạy tốn Vì thơng qua rèn luyện tư duy, khả sáng tạo, khả vận dụng cho học sinh Để làm điều giáo viên phải cung cấp cho học sinh kiến thức bản, phương pháp vận dụng biến đổi phù hợp giúp học sinh hiểu thực chất vấn đề để từ có kĩ giải tốn thành thạo, khỏi tâm lí chán nản sợ mơn Tốn Trong q trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao việc học tập, rèn luyện tu dưỡng sống học sinh Đối với học sinh giỏi, việc rèn luyện cho em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán trí tuệ điều kiện cần thiết vơ việc học tốn Với mục đích thứ rèn luyện khả sáng tạo Toán học, trước tập tơi cho học sinh tìm hiểu cách giải,đồng thời người thầy giáo phải gợi ý cung cấp cho học sinh nhiều cách giải.Trên sở học sinh tự tìm cách giải hợp lí nhất.Phát cách giải tương tự khái quát đường lối chung.Trên sở với tốn cụ thể em khái qt hố toán thành toán tổng quát xây dựng tốn tương tự Điều mong muốn thứ hai mong muốn thay đổi phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi từ trước tới Xây dựng phương pháp rèn luyện khả sáng tạo Toán cho học sinh cho lúc nơi em phát huy lực độc lập sáng tạo 2.2 Thực trạng kỹ tư vềbất đẳng thức học sinh trườngTHCS Lê Đình Chinh Bất đẳng thức vấn đề quan trọng khó học sinh cấp trung học phở thơng Học sinh gặp nhiều khó khăn việc xác địnhphương pháp giải khơng có phương pháp đường rõ ràng Có cách giảikhơng biêt từ đâu mà có Học sinh khơng thể hiểu người ta lại nghĩ tốn vậy, lại có giải Trong đề tài xin trình bày phương pháp mà học sinh khơng nắm sở lí luận khơng hiểu lại có lời giải vậy, skkn học sinh nắm sở lí luận phương pháp việc sử dụng phương pháp thật rõ ràng cụ thể, em tự chứng minh lớp bất đẳng thức tự sáng tác toán chứng minh bất đẳng thức Qua thực tế dạy học trường trung học sở với việc trao đổi chuyên môn qua số giáo viên, việc dạy học nói chung việc bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi thơng qua dạy học giải tốn bất đẳng thức cực trị yêu cầu phát triển tư sáng tạo, nhận thấy số tồn sau: Do số tiết học lớp cịn ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiều đồng thời phải lịch phân phối chương trình theo quy định nên việc mở rộng, khai thác, ứng dụng sáng tạo kiến thức học chưa triệt để sâu sắc Điều ảnh hưởng đến việc huy động vốn kiến thức học sinh, hạn chế đến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo học sinh học tập, đối tượng học sinh giỏi Học sinh phát vấn đề mà thường lặp lại phát vấn đề giáo viên đưa ra, học sinh thường bị động tiếp nhận kiến thức từ phía giáo viên Cách dạy học làm hạn chế khả tìm kiếm, tự phát vấn đề học sinh, điều trái với quan điểm việc học theo xu hướng hoạt động hoá người học, lấy người học làm trung tâm Chính điều mà dạy học, người giáo viên phải biết trọng công tác bồi dưỡng học sinh lực nhận biết tìm tịi, phát triển vấn đề để giúp học sinh rèn luyện kỹ tư vào thói quen phát triển tìm tịi, thơng qua số thao tác trí tuệ Việc thường xuyên rèn luyện cho học sinh lực tạo cho học sinh thói quen ln ln tích cực khám phá kiến thức lúc, nơi Muốn làm tốt điều địi hỏi học sinh phải trải qua q trình tìm tịi, mị mẫm, dự đốn, suy xét nhiều góc độ để thử nghiệm Trong chương trình tốn trung học sở, hệ thống tập sách đa dạng phong phú rời rạc, thiếu liên kết với chủ đề Trong thực tế, cách dạy phổ biến giáo viên với tư cách người điều khiển đưa kiến thức giải thích chứng minh, sau đưa số tập áp dụng, làm cho học sinh cố gắng tiếp thu vận dụng Rõ ràng với cách dạy giáo viên thấy chưa thoả mãn dạy mình, học sinh thấy chưa hiểu cội nguồn vấn đề mà học cách máy móc, làm cho em có hội phát triển tư sáng tạo, có hội khai thác tìm tòi Để khắc phục tồn trên, người giáo viên cần phải có phương pháp dạy học tích cực, tận dụng tối đa tiết dạy, quan tâm phần khai thác phát triển toán bất đẳng thức bản, đồng thời phải phối hợp nhiều định lý, toán học vào việc giải toán, từ toán dễ đến tốn khó mà skkn huy động kiến thức cần thiết, cần phải làm cho học sinh thấy cần thiết thiếu hụt tri thức thân Bởi học sinh nhận thiếu hụt tri thức thân thiếu hụt yếu tố kích thích chuyển động thích nghi để tìm kiếm lại cân Học sinh trở thành người mong muốn bù lấy thiếu hụt đó, thoả mãn nhu cầu nhận thức thân Do đặc điểm nội dung kiến thức, sáng kiến kinh nghiệm đưa để áp dụng cho em ơn thi học sinh giỏi tốn lớp cấp ôn thi vào trường chuyên Lam Sơn, đưa tập mà chưa hướng em tư kết thu khiêm tốn Cụ thể ôn 21 em học sinh khối sau số kiểm tra với nội dung tương tự SKKN trình bày, kết thu sau: Bảng 1: Mức độ hứng thú học sinh trước áp dụng SKKN Tổng HS Hứng thú Hơi hứng thú Không hứng thú SL % SL % SL % 21 23,8 33,3 42,9 Bảng 2: Bảng điểm khảo sát học sinh trước áp dụng SKKN Dưới 5–6 – 10 Điểm S Lớp SL % SL % SL % % L 12 57,1 23,8 19,0 0 Kết khảo sát khiến tơi trăn trở nhiều mức độ hứng thú khả làm em khơng cao Do tơi tăng cường phương pháp dạy học tích cực, tận dụng tối đa tiết dạy, quan tâm phần khai thác phát triển toán bất đẳng thức bản, đồng thời phải phối hợp nhiều định lý, toán học vào việc giải toán, từ tốn dễ đến tốn khó, từ kiến thức đến kiến thức nâng cao làm cho học sinh thấy cần thiết thiếu hụt tri thức để phát triển tư thân 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Lí thuyết: Nếu gặp bất đẳng thức đồng ta nên chuẩn hóa, tùy vào đặc điểm mà ta có cách chuẩn hóa phù hợpđể đưa bất đẳng thức dạng biến cô lập dạng vớigiả thuyết thực theo bước sau: skkn sau - Bước 1: xét xem dấu xảy phải - Bước 2: dựa vào hình thức bất đẳng thức xét phần tử đại diện -Bước 3: viết phần tử đại diện dạng để chứng minh đa thức với x thuộc TXĐ dấu xảy x= a, ta cần chứng minh thuộc tập xác định -Bước 4: tìm m, n cách điều kiện a nghiệm bội suy -Bước 5: -Bước 6: từ đưa lời giải: - Bước 7: cộng n bất đẳng thức theo vế ta điều phải chứng minh 3.2.2.Các ví dụ minh họa Tôi bắt đầu đưa cho em học sinh ví dụ quen thuộc sau: Ví dụ 1: Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh Phân tích: - Dấu “=” BĐT xảy - Bất đẳng thức các biến cả vế và điều kiện đều không ràng buộc điều này khiến ta nghĩ đánh giá phần tử đại diện - Ta tìm m, n cho xảy với - Ta thấy thức dấu Ta tìm m, n cho đa có dạng skkn Suy phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội - Thay Lời giải: ta thấy - Ta sử dụng bất đẳng thức sau - Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với nhiên với ta Hiển Dấu “=” xảy có: Áp dụng bất đẳng thức ; Cộng ; bất đẳng thức - Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ta có a b c abc a , b , c Ví dụ 2:Cho , chứng minh rằng: a b b c c a 2 Có nhiều cách giải cho tốn này, cách đơn giản thường gặp sử dụng bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức Bunnhiacopxki Chẳng hạn, sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta ghép cặp sau: a2 ab a2 3a b a (1) ab ab Tương tự, ta có: b2 3b c (2) bc c2 3c a (3) ca Cộng (1),(2),(3) ta có điều phải chứng minh Ở có câu hỏi đặt là, không sử dụng bất đẳng thức Cơsi có tìm đánh giá (1) hay khơng? Nếu làm nào? Câu trả lời có ta làm sau: - Ta tìm hệ số m, n cho phần tử đánh giá: skkn a2 ma nb(4) ab Chú ý bất đẳng thức toán xảy dấu đẳng thức a b c mn Với a b , từ (1) ta có: , để dấu “ = ” xảy ta chọnm, nsaocho: Khi (4) trở thành: a ma ( m)b 2(m 1)a ab (2m 1)b 0(*) ab a t Chia hai vế (*) cho b , đặt b (4) trở thành: -Để (5) ta chọn m thỏa mãn: (1) Lời giải tốn trình bày sau: Lời giải: Ta có: Chứng minh tương tự, ta có: Từ suy (đúng) Cộng theo vế bất đẳng thức (i),(ii),(iii) ta có: a2 b2 c2 3( a b c) (a b c) a b c ab bc ca (đpcm) Nhận xét: Bài toán toán đơn giản, song với cách tiếp cận đem đến cho ý tưởng giải lớp toán đồng bậc cách dễ dàng Với ý tưởng trên, ta xem xét tiếp toán sau: Ví dụ 3: Cho a, b, c , chứng minh rằng: a3 b3 c3 a b c 2 2 2 a ab 2b b bc 2c c ca 2a Phân tích: Dự đốn dấu “ = ” xảy a b c skkn 10 a3 ma nb (6) 2 a ab b Tiếp theo tìm m, n cho Các hệ số m, n chọn phải đảm bảo dấu đẳng thức xảy ra, đó: 1 n m 4 Khi (6) trở thành: a 1 ma m b 2 a ab 2b 4 m n 4(1 m)a a 2b (4m 1) ab (8m 2)b3 (7) a t Chia vế (6) cho b , đặt b được: 4(1 m)t t (4m 1)t (8m 2) (t 1) 4(1 m)t (4m 3)t 8m (8) Nếu (8) với t 4(1 m)t (4m 3)t 8m phải có nghiệm t Thay t vào phương trình ta m 9 m 16 Với 16 , (8) trở thành: (t 1) (7t 10) 0, t m n 16 thỏa mãn, suy 16 Do Lời giải: Ta có: a3 a b (i) ( a b) (7 a 10b) 2 a ab 2b 16 16 (đúng) Tương tự, ta có: b3 b c (ii) 2 b bc 2c 16 16 c3 c a (iii) 2 c ca 2a 16 16 Cộng theo vế bất đẳng thức (i),(ii),(iii) suy điều phải chứng minh Ví dụ 4: Cho số thực dương Chứng minh Phân tích: - Dấu “=” BĐT xảy - Bất đẳng thức ta nghĩ đánh giá phần tử đại diện - Ta tìm m, n cho xảy với skkn dấu 11 - Ta thấy Ta tìm m, n cho đa thức có dạng Suy phải tìm điều kiện cần để đa thức P(a) có nghiệm bội , tức - Thay Lời giải: ta thấy - Ta sử dụng bất đẳng thức sau - Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với nhiên với Dấu “=” xảy Hiển - Áp dụng bất đẳng thức ta có: Cộng ; bất đẳng thức ta có - Ta có điều phải chứng minh Dấu ‘‘ =’’ xảy Ví dụ 5:Cho số thực dương thỏa mãn a+b +c=3 Chứng minh Phân tích: - Dấu “=” BĐT xảy - Bất đẳng thức các biến cả vế và điều kiện a+b +c=3 đều không ràng buộc điều này khiến ta nghĩ đánh giá phần tử đại diện - Ta tìm m, n cho xảy x =1 với - Ta thấy dấu Ta tìm m, n cho đa thức có dạng skkn 12 Suy phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội x =1, tức - Thay Lời giải: ta thấy - Ta sử dụng bất đẳng thức sau - Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với Hiển nhiên với Dấu “=” xảy x =1.Áp dụng bất đẳng thức ta có: ; Cộng bất đẳng thức ta có - Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy Ví dụ 6:(HSG tốn 9, Thanh Hóa năm học 2015 - 2016) 2 Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca Chứng minh rằng: 2a 3b5 2b5 3c5 2c 3a 15(a b3 c 2) ab bc ca Phân tích: Ta nhận thấy dấu đẳng thức xảy a b c Bất đẳng thức viết lại sau: 2a 3b5 2b5 3c5 2c5 3a 15(a b3 c ) 10 ab bc ca ab bc ca Dựa vào ý tưởng trên, ta tìm m, n, p cho: 2a 3b5 ma nb3 pab (9) ab 4 Ta có (9) 2a ma b pa b nab 3b (10) Sau chia vế (10) cho b 2t mt pt nt (11) Dấu “ = ” xảy (13) t skkn , đặt a t b ta được: 13 Do để (13) vế trái phải có nhân tử (t 1) , suy 2t mt pt nt chia hết cho (t 1)2 n 2m Thực phép chia đa thức cho phần dư 0, ta được: p 3m Khi đó: (13) (t 1) 2t (4 m)t 2(3 m)t 3 Đến cần lựa chọn m cho: 2t (4 m)t 2(3 m)t Gỉa sử giá trị m m0 Như vậy, (9) trở thành: 2a 3b5 m0 a3 2m0b3 (5 3m0 )ab2 (i) ab Tương tự có: 2b5 3c5 m0b3 2m0 c3 (5 3m0 )bc (ii) bc 2c 3a m0 c 2m0 a (5 3m0 )ca (iii) ca Cộng vế (i),(ii),(iii) được: 2a 3b5 2b5 3c 2c5 3a 3m0 ( a3 b3 c3 ) (5 3m0 ) ab bc ca ab bc ca m0 m0 Để có điều cần chứng minh, chọn Với , 2t (4 m0 )t 2(3 m0 )t (t 1) (2t 3) 0, t Vậy m0 giá trị thỏa mãn, suy n 10, p 10 Lời giải: Ta có: 2a 3b5 5a 10b3 10ab (i) ab 2a 5a b 10a b3 10ab 5b5 (a b) (2a 3b) Chứng minh tương tự, có: 2b5 3c5 5b3 10c3 10bc2 (ii) bc 2c 3a5 5c3 10a3 10ca2 (iii) ca Cộng theo vế bất đẳng thức (i),(ii),(iii) suy điều phải chứng minh Ví dụ :Cho Chứng minh rằng: Phân tích : skkn 14 -Dấu “=” xảy -Ta thấy điều kiện toán -Bất đẳng thức điều kiện này khiến ta nghĩ đánh giá phần tử đại diện -Ta tìm m, n cho xảy với -Ta thấy dấu Ta tìm m, n cho đa thức có dạng Suy phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội , tức -Thay ta thấy Lời giải:- Ta sử dụng bất đẳng thức sau , - Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với với Dấu “=” xảy - Áp dụng bất đẳng thức ta có: Cộng bất ; đẳng Hiển nhiên ; thức ta có -Ta có điều phải chứng minh Dấu ‘‘ =’’ xảy Ví dụ 4 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: 1 1 ab bc ca Phân tích: ma4 nb4 p Ở ta khơng thể tìm m,n,p để có đánh giá ab 4 2 Chú ý a b c (ab) (bc) (ca) dấu đẳng thức xảy a b c , ta nghĩ đến đánh giá skkn 15 m(ab)2 n (12) ab Đặt t ab , (a4 b4 ) t (0, ) 2 nên ab Sau biến đổi rút gọn ta có (12) mt 4mt nt 4n 1 m 18 n Đến thực giống tìm 18 Lời giải: Ta chứng (ab)2 (i) ab 18 minh: (i) (4 ab) (ab)2 5 18 2(ab 1)2(2 ab) Bất đẳng thức đúng, Tương tự ta có: ab Thật vậy, (a4 b4 ) 2 (bc)2 (ii ) bc 18 (ca)2 (iii ) ca 18 Cộng các bất đẳng thức (i),(ii),(iii) vế theo vế ta có: 1 (ab) (bc) (ca) 15 a b c 15 1 ab bc ca 18 18 Đẳng thức xảy a b c Có BĐT khơng thể xây dựng đánh giá trực tiếp mà cần thông qua số đánh giá trung gian Bài tốn sau ví dụ Ví dụ 9: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 1 1 a bc b ca c ab Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Ở ta cần tìm m, n để bất đẳng thức 1 ma n a b c a a m , n 9 bất đẳng thức phụ Tương tự ta tìm skkn 16 Thật a (a 1) (3 a) (a 1) (b c) a2 a 9 3(a a 3) 3(a a 3) Ví dụ 10:Cho > Phân tích : - Dấu “=” xảy - Ta thấy bất đẳng Chứng minh rằng: thức cần chứng minh tương đương với - Bất đẳng thức các biến cả vế và điều kiện đều không ràng buộc điều này khiến ta nghĩ đánh giá phần tử đại diện -Ta tìm m, n cho xảy với -Ta thấy dấu Ta tìm m, n cho đa thức có dạng Suy phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội , tức - Thay ta thấy Lời giải: - Ta sử dụng bất đẳng thức sau , Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với với Dấu “=” xảy Áp dụng bất đẳng thức ta có: Cộng bất đẳng thức ta có: Hiển nhiên ; Ta có điều phải chứng minh Dấu ‘‘ =’’ xảy ; Điều này hiển nhiên đúng Đẳng thức xảy và chỉ a b c d Ví dụ 11: Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh skkn 17 Phân tích: Dấu “=” BĐT xảy Bất đẳng thức các biến cả vế và điều kiện đều không ràng buộc điều này khiến ta nghĩ đánh giá phần tử đại diện Ta tìm m, n cho xảy với dấu Ta thấy Ta tìm m, n cho đa thức dạng có Suy phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội Thay , tức ta thấy Lời giải:Ta sử dụng bất đẳng thức sau Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với với Dấu “=” xảy Áp dụng bất đẳng thức ta có: ; Hiển nhiên ; skkn 18 Cộng bất đẳng Ta có điều phải chứng minh Dấu ‘‘ =’’ xảy Ví dụ 12: Cho thức ta có số thực dương Chứng minh Phân tích: - Dấu “=” BĐT xảy - Bất đẳng thức ta nghĩ đánh giá phần tử đại diện - Ta tìm m, n cho xảy với - Ta thấy dấu Ta tìm m, n cho đa thức có dạng Suy phải tìm điều kiện cần để đa thức P(a) có nghiệm bội , tức - Thay ta thấy Lời giải:Ta sử dụng bất đẳng thức sau - Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với với Dấu “=” xảy Áp dụng bất đẳng thức ta có: Hiển nhiên ; Cộng bất đẳng thức ta có Ta có điều phải chứng minh Dấu ‘‘ =’’ xảy Như trải qua số tốn, khơng nhiều có lẽ bạn đọc nắm ý tưởng phương pháp… Tất nhiên, skkn ... “ Phát triển tư học sinh lớp trường THCS Lê Đình Chinh Ngọc Lặc từ toán chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện ” Nhằm tìm biện pháp hữu hiệu để có phương án đắn giúp học. .. việc, tư? ??ng, thấy sáng tạo toán đẹp từ kiến thức Sử dụng phương pháp đánh giá phần tử đại diện để chứng minh bất đẳng thức phương pháp rõ ràng dễ áp dụng để giải lớp tốn chứng minh bất đẳng thức. .. học sinh nắm sở lí luận phương pháp việc sử dụng phương pháp thật rõ ràng cụ thể, em tự chứng minh lớp bất đẳng thức tự sáng tác toán chứng minh bất đẳng thức Qua thực tế dạy học trường trung học