(SKKN HAY NHẤT) chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp đánh giá phần tử đại diện

SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” PHẦN THỨ NHẤT : MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Trong công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, thân tơi gặp tình mà học sinh đưa “ Tại người ta lại nghĩ toán chứng minh bất đẳng thức này?” Những câu hỏi ln xuất tâm trí tơi ln nhắc nhở tơi phải tìm hiểu Cũng từ nảy sinh việc nghiên cứu phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà gọi phương pháp đánh giá phần tử đại diện Phương pháp thể nguồn gốc xuất phát tốn nên tơi chọn đề tài “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” II Mục đích nghiên cứu: Với mục đích cung cấp phương pháp giải toán cho em học sinh quan trọng giúp em nhìn thấy chất việc, tượng, thấy sáng tạo toán đẹp từ kiến thức Sử dụng phương pháp đánh giá phần tử đại diện để chứng minh bất đẳng thức phương pháp rõ ràng dễ áp dụng để giải lớp tốn chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, nội dung mà học sinh gặp kì thi hầu hết em học sinh gặp nhiều khó khăn việc xác định phương pháp giải Hi vọng phương pháp xố tan tâm lí sợ gặp tốn chứng minh bất đẳng thức Chính mà đề tài cần thiết cho đối tượng em học sinh đội tuyển học sinh giỏi, em học sinh chuẩn bị cho kì thi đại học tất em học sinh muốn tìm hiểu hướng sáng tác toán chứng minh bất đẳng thức III Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh đội tuyển học sinh giỏi ôn thi đại học qua năm giảng dạy từ trước đến đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 12 học sinh lớp 12A1 năm học 2012- 2013 IV Giới hạn phạm vi nội dung nghiên cứu: Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” Nghiên cứu phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chương trình ơn thi học sinh giỏi cấp ôn thi Đại học V Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu khái niệm, cấu trúc tư tích cực, tư sáng tạo Xây dựng định hướng phương pháp đánh giá phần tử đại diện để chứng minh bất đẳng thức Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi hiệu đề tài VI Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lý luận : “Phát triển tư khoa học” “tăng cường em ý thức, lực vận dụng cách thông minh điều học” Phương pháp quan sát : Nhìn nhận lại q trình học tập mơn tốn học sinh trường năm học vừa qua.Đưa số biện pháp để nâng cao kết học tập cho học sinh trường giai đoạn VII Thời gian nghiên cứu:  Từ đầu học kì I đến học kì II năm học 2013 – 2014 Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG I.Cơ sở lí thuyết : Nghiệm bội đa thức : - Cho đa thức P(x), a gọi nghiệm bội r P(x) ta có Trong Q(x) đa thức Q(a)  - Ta có a nghiệm bội r P(a) = P’(a) = …= P(r-1) = P(r)(a)  Bất đẳng thức đối xứng ba biến và kĩ thuật chuẩn hóa : - Đa thức đối xứng định nghĩa dưới dạng: đó là một hoán vị tùy ý của Hay nói cách khác là - Hiểu một cách đơn giản đa thức thuần nhất nếu nó là tổng của các đơn thức đồng bậc Do số tính chất hàm ta chuẩn hóa điều kiện biến để đơn giản hóa việc chứng minh Ta chuẩn hóa đa thức đối xứng ba biến cách đặt Đây kỹ thuật quan trọng giúp ta đơn giản hóa qui bất đẳng thức chứng minh theo biến II.Thực trạng vấn đề : Bất đẳng thức vấn đề quan trọng khó học sinh cấp trung học phổ thông Học sinh gặp nhiều khó khăn việc xác định phương pháp giải khơng có phương pháp đường rõ ràng Có cách giải từ trời rơi xuống Học sinh khơng thể hiểu người ta lại nghĩ toán vậy, lại có giải Trong đề tài tơi xin trình bày phương pháp mà học sinh không nắm sở lí luận khơng hiểu lại có lời giải vậy, học sinh nắm sở lí luận phương pháp việc sử dụng phương pháp thật rõ ràng cụ thể, em tự chứng minh lớp bất đẳng thức tự sáng tác toán chứng minh bất đẳng thức III Các bước tiến hành Nếu gặp BĐT đồng bậc ta nên chuẩn hóa, tùy vào đặc điểm mà ta có cách chuẩn hóa phù hợp để đưa bất đẳng thức dạng biến Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” cô lập dạng thiết với giả thiết với giả Sau thực theo bước sau : - Bước 1: Xét xem dấu “=” xảy phải - Bước 2: Dựa vào hình thức BĐT xét phần tử đại diện - Bước 3: Viết phần tử đại diện dạng thức Để chứng minh đa , dấu xảy x = a ta cần phải chứng minh - Bước 4: Tìm m,n cách sử dụng điều kiện a nghiệm bội suy k P(a) = P’(a) = - Bước 5: Kiểm nghiệm - Bước 6: Từ đưa lời giải : - Bước 7: Cộng , bất đẳng thức theo vế ta điều phải chứng minh I.V Ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh Phân tích: - Dấu “=” BĐT xảy - Bất đẳng thức các biến cả vế và điều kiện đều không ràng buộc điều này khiến ta nghĩ đánh giá phần tử đại diện - Ta tìm m, n cho ln với dấu xảy x =1 Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” - Ta thấy Ta tìm m, n cho đa thức có dạng Suy phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội x =1, tức - Thay ta thấy Lời giải: - Ta sử dụng bất đẳng thức sau Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với Hiển nhiên với Dấu “=” xảy x =1 Áp dụng bất đẳng thức ta ; có: Cộng bất đẳng thức ta có Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy Ví dụ 2: Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” Phân tích: - Dấu “=” BĐT xảy - Bất đẳng thức các biến cả vế và điều kiện đều không ràng buộc điều này khiến ta nghĩ đánh giá phần tử đại diện - Ta tìm m, n cho dấu xảy - với Ta thấy Ta tìm m, n cho đa thức có Suy phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội - Thay dạng , tức ta thấy Lời giải: Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” - Ta sử dụng bất đẳng thức sau Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với Hiển nhiên với Dấu “=” xảy Áp dụng bất đẳng thức ta ; có: ; đẳng Cộng bất thức ta có Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy Ví dụ 3: Cho số thực dương thỏa mãn minh Chứng Phân tích: - Dấu “=” BĐT xảy - Bất đẳng thức các biến cả vế và điều kiện đều không ràng buộc điều này khiến ta nghĩ đánh giá phần tử đại diện Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” - Ta tìm m, n cho với dấu xảy - Ta thấy n Ta tìm m, cho đa thức có Suy phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội - Thay dạng ta thấy , tức Lời giải: - Ta sử dụng bất đẳng thức sau Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với nhiên với Dấu “=” xảy Áp dụng bất đẳng thức ta có: ; Hiển ; ; Cộng bất đẳng thức ta có Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” Ta có điều phải chứng minh Dấu ‘‘ =’’ xảy Nhận xét: Bài giải phương pháp tiếp tuyến Ví dụ 4: Cho số thực dương thỏa mãn minh Chứng Phân tích: - Dấu “=” BĐT xảy - Bất đẳng thức các biến cả vế và điều kiện đều không ràng buộc điều này khiến ta nghĩ đánh giá phần tử đại diện - Ta tìm m, n cho ln với dấu xảy - Ta Ta thấy tìm m, n cho đa thức có dạng Suy phải tìm Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội - Thay ta thấy , tức Lời giải: - Ta sử dụng bất đẳng thức sau Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với nhiên với Áp dụng bất Dấu “=” xảy đẳng thức ; thức ta Hiển Cộng bất đẳng ta có Ta có điều phải chứng minh Dấu ‘‘ =’’ xảy Ví dụ 5: Cho ; có: số thực dương Chứng minh Phân tích: - Dấu “=” BĐT xảy Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” - Bất đẳng thức ta nghĩ đánh giá phần tử đại diện - Ta tìm m, n cho dấu xảy - với Ta thấy cho Ta tìm m, n đa thức có Suy phải tìm điều kiện cần để đa thức P(a) có nghiệm bội - Thay dạng , tức ta thấy Lời giải: - Ta sử dụng bất đẳng thức sau Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với nhiên với Dấu “=” xảy bất ; Áp dụng bất đẳng thức ta có: Hiển đẳng thức Ta có điều phải chứng minh Dấu ‘‘ =’’ xảy Ví dụ 6: Cho Cộng ta có số thực dương Chứng minh Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” Phân tích: - Dấu “=” BĐT xảy - Bất đẳng thức ta nghĩ đánh giá phần tử đại diện - Ta tìm m, n cho với dấu xảy - Ta thấy Ta tìm m, n cho đa thức có dạng Suy phải tìm điều kiện cần để đa thức P(a) có nghiệm bội - Thay ta thấy , tức Lời giải: - Ta sử dụng bất đẳng thức sau Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với với Dấu “=” xảy ; Áp dụng bất đẳng thức ta có: Cộng bất đẳng Ta có điều phải chứng minh Dấu ‘‘ =’’ xảy Ví dụ 7: Cho > Hiển nhiên thức ta có Chứng minh rằng: Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” Phân tích : - Dấu “=” xảy - Ta thấy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với - Bất đẳng thức các biến cả vế và điều kiện đều không ràng buộc điều này khiến ta nghĩ đánh giá phần tử đại diện - Ta tìm m, n cho với dấu xảy - Ta thấy Ta tìm m, n cho đa thức có Suy phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội - Thay dạng , tức ta thấy Lời giải: - Ta sử dụng bất đẳng thức sau , Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với nhiên với Hiển Dấu “=” xảy ; Áp dụng bất đẳng thức ta có: Cộng bất đẳng Ta có điều phải chứng minh Dấu ‘‘ =’’ xảy Ví dụ 8: Cho ; thức ta có Chứng minh rằng: Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” Phân tích : - Dấu “=” xảy - Ta thấy điều kiện toán - Bất đẳng thức điều kiện này khiến ta nghĩ đánh giá phần tử đại diện - Ta tìm m, n cho dấu xảy - với Ta thấy Ta tìm m, n cho đa thức có Suy phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội - Thay dạng , tức ta thấy Lời giải: - Ta sử dụng bất đẳng thức sau , Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với nhiên với Dấu “=” xảy Hiển ; Áp dụng bất đẳng thức ta có: Cộng bất đẳng ; thức ta có Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Tốn – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” Ta có điều phải chứng minh Dấu ‘‘ =’’ xảy Ví dụ 10: Cho Chứng minh: Phân tích: - Vì BĐT nên ta chuẩn hóa cách giả sử - Khi BĐT cần chứng minh trở thành với - Dấu “=” BĐT xảy - Bất đẳng thức các biến cả vế và điều kiện đều không ràng buộc điều này khiến ta nghĩ đánh giá phần tử đại diện - Ta tìm m, n cho ln với dấu xảy - Ta thấy Ta tìm m, n cho đa thức có dạng Suy phải tìm Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội - Thay , tức ta thấy Lời giải: - Vì BĐT nên ta chuẩn hóa cách giả sử Khi ta phải chứng minh bất đẳng thức với - Ta sử dụng bất đẳng thức sau Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với nhiên với Áp dụng bất Dấu “=” xảy đẳng thức ; thức ta Hiển có: ; Cộng bất đẳng ta có Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” Ta có điều phải chứng minh Dấu ‘‘ =’’ xảy V Bài tập áp dụng : 1.Cho số thực >0 thỏa Chứng minh rằng : 2.Cho độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh 3.Cho >0.Chứng minh rằng: 4.Cho >0 Cho : >0 Chứng minh rằng: Cho >0 Chứng minh rằng: 9.Cho 10 Cho n số g minh rằng: Chứng minh rằng: Cho 8.Cho Chứn thực a.b.c.d>0 dương thỏa thỏa mãn Chứng Chứng minh minh rằng: >0 Chứng minh rằng: Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” 11 Cho >0, Chứng minh rằng: 12 Cho >0, Chứng minh rằng: 13 Cho >0, Chứng minh rằng: 14 Cho >0 Chứng minh rằng: 15 Cho >0 Chứng minh rằng: 16 Cho độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh 17 Cho Chứng minh rằng: 18 Cho 19 >0 Chứng minh rằng: Cho n số thực dương thỏa 20.Cho >0 21.Cho số thực dương cho mãn Chứng minh rằng: Chứng minh rằng: Chứng minh rằng: 22.Cho 23 Cho >0 >0, Chứng minh rằng: Chứng minh rằng: Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” 24 Cho >0 Chứng minh rằng: Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” PHẦN THỨ BA: KẾT QUẢ - KẾT LUẬN A.KẾT QUẢ: Qua năm học 2013 – 2014, áp dụng cho lớp 12A1 đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 12 nhà trường hướng dẫn giáo viên kết hợp thảo luận trao đổi với học sinh Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức bản, học sinh hứng thú với toán chứng minh bất đẳng thức đề thi Cụ thể sau: Thống kê điểm kiểm tra khảo sát chun đề hình học khơng gian tổng hợp: Đầu học kì I - Năm học 2013 - 2014 LỚP 12A1 TS 0- 3.5- 3,25 4.75 Cộng % 5- 6.5- 8- 6.25 7.75 10.0 Cộng % 35  6 23 29 82,86 18,14 10 40 60 Cộng % Đội tuyển HSG Đầu học kì II - Năm học 2013 - 2014 LỚP 12A1 TS -3.4 3.54.9 Cộng % 56.4 6.5-7.9 810.0 35  0 10,53 17 12 34 89,47 10 15 19 43,18 14 25 56,82 Đội tuyển HSG Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” B.KẾT LUẬN: Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm: Rõ ràng phương pháp đánh giá phần tử đại diện phương pháp chứng minh bất đẳng thức rõ ràng, hiệu quả, dễ áp dụng học sinh Giúp học sinh khơng cịn cảm giác “sợ “ gặp toán chứng minh bất đẳng thức, nội dung mà học sinh ln gặp kì thi cấp trung học phổ thông, nội dung mà đa số học sinh gặp vướng mắc việc tìm phương pháp giải Phương pháp áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 12A1 đội tuyển học sinh giỏi khối 12 chuyên đề ‘Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức” Trong chuyên đề em tự giải lớp toán chứng minh bất đẳng thức bậc kì thi Olympic Quốc tế em có tập tành nghiên cứu khoa học tự sáng tác toán chứng minh bất đẳng thức Mặc dù khơng phải tốn chứng minh bất đẳng thức giải phương pháp giúp em có phương pháp rõ ràng, dễ thực lớp toán chứng minh bất đẳng thức khó quan trọng giúp em thấy xuất xứ toán chứng minh bất đẳng thức em tự sáng tác toán chứng minh bất đẳng thức tạo hứng thú học tập sáng tạo cho em Từ tạo niềm tin học tập cho em, tạo thái độ học tập phải nắm cốt lõi vấn đề, điều giúp em em học sinh giỏi đội tuyển 12 đạt kết tốt kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh Những học kinh nghiệm: Trong trình áp dụng sáng kiến , thân rút kết luận Phương pháp đánh giá phần tử đại diện để chứng minh bất đẳng thức dành để vận dụng cho lớp bất đẳng thức bậc với phép chuẩn hố thích hợp để cô lập biến Việc vận dụng Phương pháp đánh giá phần tử đại diện chứng minh bất đẳng thức thật phương pháp giải toán vô hiệu việc giải lớp toán chứng minh bất đẳng thức Qua việc vận dụng phương pháp rèn luyện phương pháp tư khoa học, phát triển vấn đề từ vấn đề cuối rèn luyện cách nhìn nhận vấn đề cách sâu sắc từ gốc rễ, không qua loa đại khái, hời hợt bên Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” Vì vậy, năm học tiếp tục triển khai áp dụng đề tài để giảng dạy cho em học sinh khối 12 đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn Trong q trình biên soạn đề tài tơi có nhiều cố gắng, nhiên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành thầy cô giáo đồng nghiệp để đề tài tơi hồn thiện Bảo Thắng, ngày 07 tháng 03 năm 2014 Người viết Nguyễn Thị Thu Hằng Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” Tài liệu tham khảo [1] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [2] Tài liệu mạng Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện” MỤC LỤC Trang PHẦN THỨ NHẤT : MỞ ĐẦU …1 I Lý chọn đề tài .1 II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Giới hạn phạm vi nội dung nghiên cứu V Nhiệm vụ nghiên cứu .2 VI Phương pháp nghiên cứu .2 VII Thời gian nghiên cứu PHẦN THỨ HAI : NỘI DUNG I Cơ sở lý thuyết II Thực trạng vấn đề III Các bước tiến hành IV Ví dụ minh họa V Bài tập vận dụng 16 PHẦN THỨ BA : KẾT QUẢ - KẾT LUẬN 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 Nguyễn Thị Thu Hằng – Tổ Toán – Tin - Trường THPT số Bảo Thắng 24 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... SKKN ? ?Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện? ?? B.KẾT LUẬN: Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm: Rõ ràng phương pháp đánh giá phần tử đại diện phương pháp chứng minh bất đẳng thức. .. luanvanchat@agmail.com SKKN ? ?Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện? ?? - Bất đẳng thức ta nghĩ đánh giá phần tử đại diện - Ta tìm m, n cho dấu xảy - với Ta thấy cho Ta tìm m, n đa thức có...SKKN ? ?Chứng minh bất đẳng thức phương pháp đánh giá phần tử đại diện? ?? Nghiên cứu phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chương trình ơn