Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ P1 Thầy Đặng Việt Hùng Xét nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc tử số P(x) lớn Q(x) ta phải chia đa thức để quy nguyên hàm có bậc tử số nhỏ mẫu số I MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤT Khi Q(x) = ax + b Nếu bậc P(x) lớn ta chia đa thức Khi P(x) số (bậc 0) ta có I = ∫ P ( x) k k d (ax + b) k dx = ∫ dx = ∫ = ln ax + b + C Q( x) ax + b a ax + b a Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: x +1 a) I1 = dx b) I = dx 2x − x −1 ∫ ∫ c) I = ∫ 2x + dx − 4x d) I = ∫ x2 + x + x+3 Hướng dẫn giải: d (2 x − 1) = 2ln x − + C 2x − x +1 x −1+ 2 dx b) I = dx = dx = 1 + = x + 2ln x − + C dx = dx + x −1 x −1 x −1 x −1 − (3 − 4x ) + 2x + 5 dx d (3 − 4x ) 2 dx = − + dx = c) I = =− x− dx = − x + − 4x − 4x 2 − 4x − 4x 2 (3 − 4x ) a) Ta có I1 = ∫ ∫ ∫ x − dx = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 5 = − x − ln − x + C → I = − x − ln − x + C 8 d ( x + 3) x x2 + x + 10 = ∫ x − + dx = x − dx + 10 d) I = ∫ ( ) ∫ ∫ x + = − x + 10ln x + + C x+3 x +3 Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: x3 − x + x3 + x + x + x + 3x + x + a) I = ∫ b) I = ∫ c) I = ∫ dx dx dx 2x + x −1 2x + Hướng dẫn giải: 49 x3 − x + 21 = x − x+ − a) Chia tử số cho mẫu số ta 2x + 2x + 49 1 x3 − x + 21 21 49 dx 1 Khi I = ∫ dx = ∫ x − x + − dx = ∫ x − x + dx − ∫ 2x + 2x + 2x + 2 2 3 x x 21 49 d ( x + ) x x 21x 49 = − + x− ∫ = − + − ln x + + C 16 2x + 8 16 x3 + x + x + b) Ta có I = ∫ dx = ∫ x + x + + dx = x + 3x + x + 9ln x − + C x −1 x −1 x + 3x + x + c) Chia tử số cho mẫu số ta = 2x − x + 2x − + 2x +1 2x + Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng dx x + 3x + x + 1 Khi I = ∫ dx = ∫ x − x + x − + dx = ∫ x − x + x − dx + ∫ 2x + 2x + 2 2x + x x3 d ( x + 1) x x = − + x − x + ∫ = − + x − x + ln x + + C 4 2x + BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 2x −1 dx x+3 x3 − x + 4) I = ∫ dx 2x + x + 3x − dx x +1 x +1 5) I = ∫ dx − 3x 1) I1 = ∫ x3 + 3x + x + dx x −1 5x − 3x2 + x 4) I = ∫ dx 3x + 2) I = ∫ 3) I = ∫ II MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI Khi Q(x) = ax2 + bx + c Ta có ba khả xảy với Q(x) TH1: Q(x) = có nghiệm phân biệt x1 x2 Nếu P(x) số ta sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm mẫu số P( x) P ( x) 1 A B Nếu P(x) bậc ta có phân tích Q( x) = a ( x − x1 )( x − x2 ) → = = + Q( x) a ( x − x1 )( x − x2 ) a x − x1 x − x2 Đồng hệ số hai vế ta A, B Từ đó, quy tốn ngun hàm có mẫu số hàm bậc xét Nếu P(x) có bậc lớn ta chia đa thức, quy toán hai trường hợp có bậc P(x) để giải Chú ý: Việc phân tích đa thức thành nhân tử với phương trình bậc hai có hệ số a khác phải theo quy tắc ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − 1)(3 x − 1) : dung ' Ví dụ: 3x − x + = 1 ( x − 1) x − : sai 3 Khi tử số bậc ngồi cách đồng trên, ta phân tích tử số có chứa đạo hàm mẫu, tách thành nguyên hàm (xem ví dụ đây) Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: dx a) I1 = dx x − 2x − 2x + c) I = dx x − 3x − 2dx −3 x + x − 3x + d) I = ∫ dx 5x + 6x + Hướng dẫn giải: dx dx dx x − ( x + 1) − ( x − 3) dx a) I1 = dx = = dx = − + C = ln ( x + 1)( x − 3) ( x + 1)( x − 3) 4 x−3 x +1 x +1 x − 2x − dx dx 2dx −2 (3 x − 1) − 3( x − 1) b) I = ∫ dx = −2 ∫ = −2 ∫ = 3x − x + ( x − 1)(3 x − 1) ∫ ( x − 1)(3 x − 1) −3 x + x − ∫ b) I = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dx dx 1 d (3 x − 1) 1 3x − = − ∫ − 3∫ = − ln x − + ln x − + C = ln + C = − ln x − + ∫ x −1 3x − 2 3x − 2 x −1 2x + dx c) I = x − 3x − Cách 1: 2x + 2x + A B Nhận thấy mẫu số có hai nghiệm x = –1 x = 4, = = + x − x − ( x + 1)( x − ) x + x − ∫ A=− 2 = A + B Đồng ta x + ≡ A ( x − ) + B ( x + 1) → ← → 3 = −4 A + B B = 11 Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng 11 −5 2x + dx 11 dx 11 Từ I = dx = + dx = − + = − ln x + + ln x − + C x +1 x − 5 x − 3x − x + x − 11 Vậy I = − ln x + + ln x − + C 5 Cách 2: Do mẫu số có đạo hàm 2x – nên ta phân tích tử số có chứa đạo hàm mẫu sau: ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) d x − 3x − 2x + 2x − + (2 x − 3)dx dx dx +6 = +6 I3 = dx = dx = 2 ( x + 1)( x − 4) x − 3x − x − 3x − x − 3x − x − 3x − x − 3x − ∫ = ln x − 3x − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( x + 1) − ( x − 4) dx dx x−4 dx = ln x − x − + − + C = ln x − x − + ln ( x + 1)( x − 4) 5 x−4 x +1 x +1 ∫ ∫ ∫ Nhận xét: Nhìn hai cách giải, nhìn lầm tưởng toán hai đáp số Nhưng, vài phép biến đổi logarith đơn giản ta có kết Thật vậy, theo cách ta có: x−4 6 11 ln x − x − + ln = ln x − + ln x + + ln x − − ln x + + C = − ln x + + ln x − x +1 5 5 Rõ ràng, thấy ưu điểm cách đồng nhất, khơng cần dùng đến giấy nháp ta giải nhanh gọn tốn, điều mà mong muốn bạn thực được! 3x + 3x + d) I = ∫ dx = ∫ dx 5x + 6x + ( x + 1)(5 x + 1) Cách 1: A = − 3 = A + B 3x + A B Ta có = + → x + ≡ A(5 x + 1) + B ( x + 1) ← → → ( x + 1)(5 x + 1) x + x + 4 = A + B B = 17 3x + 17 dx 17 dx T I = ∫ + + dx = ∫ − dx = − ∫ ( x + 1)(5 x + 6) x + ∫ 5x + 4( x + 1) 4(5 x + 1) 17 → I = − ln x + + ln x + + C 20 Cách 2: Do mẫu số có đạo hàm 10x + nên ta phân tích tử số có chứa đạo hàm mẫu sau: 22 (10 x + ) + (10 x + ) 3x + 22 dx 10 dx = I4 = ∫ dx = ∫ 10 dx + ∫ 2 ∫ 5x + 6x + 5x + 6x + 10 x + x + 10 x + x + dx d ( x + x + 1) 22 22 (5 x + 1) − 5( x + 1) dx = ∫ + ∫ = ln x + x + − ∫ 10 5x + 6x + 10 (5 x + 1)( x + 1) 10 40 (5 x + 1)( x + 1) = 22 dx 5dx 11 x +1 ln x + x + − ∫ −∫ + C = ln x + x + − ln 10 40 x + x + 10 20 x + Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: x3 + x − a) I = ∫ dx x2 − b) I = ∫ 5− x dx − x − x2 Hướng dẫn giải: x3 + x − 6x −1 dx = ∫ x + a) Do tử số có bậc lớn mẫu nên chia đa thức ta I = ∫ dx x −1 x −1 A = 6 = A + B A B 6x −1 6x −1 Ta có = = + → x − ≡ A( x − 1) + B ( x + 1) ⇔ ⇔ x − ( x − 1)( x + 1) x + x − −1 = − A + B B = Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng → I5 = ∫ x + + dx = x + ln x + + ln x − + C ( x + 1) ( x − 1) 2 x−5 x −5 A B 5− x b) Ta có = = = + → x − ≡ A( x + 3) + B ( x − 1) x + x − ( x − 1)( x + 3) x − x + 3 − 2x − x 1 = A + B A = −1 5− x dx dx −1 → ⇔ → I6 = ∫ + + 2∫ dx = ∫ dx = − ∫ x −1 x+3 − 2x − x x −1 x + −5 = A − B B = = − ln x − + 2ln x + + C = ln ( x − 3)2 x −1 + C → I = ln ( x − 3) x −1 + C BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 2x −1 dx x + 3x + + 4x 4) I = ∫ dx − 2x − x2 1) I1 = ∫ Học trực tuyến tại: www.moon.vn 3x + dx 5x + 6x + 5x + 5) I = ∫ dx 2x − x −1 2) I = ∫ DeThiMau.vn 3x2 + dx x + 3x + 1 − 5x 6) I = ∫ dx 4x + 5x + 3) I = ∫ Mobile: 0985.074.831 ... 1) → ← → 3 = −4 A + B B = 11 Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng 11 −5 2x... 1)( x + 1) x + x − −1 = − A + B B = Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng → I5 = ∫.. .Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng dx x + 3x + x + 1 Khi I = ∫ dx = ∫