Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P5 Thầy Đặng Việt Hùng 2 → ( A ∓ B ) sin x dx d( A sin x ± B cos x ± C ) ← Dạng Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân 4 → − sin x dx d sin x + cos x ← ( ) Cách giải: 1 − cos x = + cos x Ta có sin x + cos x = ( sin x + cos x ) − 2sin x.cos x = − sin 2 x = − 2 4 Từ d ( sin x + cos x ) = d + cos4 x = − sin x dx 4 Dạng nguyên hàm thường “ngụy trang” vào hàm số phức tạp, nên bạn cố gắng nhớ vi phân Với nguyên hàm lượng giác mà mẫu số “dài dịng” kinh nghiệm em lấy vi phân mẫu số xem tử số có quan hệ với vi phân hay khơng ? Chú ý: Ngồi hai cơng thức trên, dạng ngun hàm chứa sin6 x + cos x = − sin 2x Ví dụ Tính nguyên hàm sau: sin x sin x dx a) I1 = ∫ b) I = ∫ dx 2 − 2sin x 4cos x + 5cos x cos x + 4sin x Hướng dẫn giải: a) Ta có d ( cos x + 4sin x ) = ( −2sin x.cos x + 8sin x.cos x ) dx = 6sin x.cos x dx = 3sin x dx 2 → sin x dx = d ( cos x + 4sin x ) 2 2 sin x d ( cos x + 4sin x ) d ( cos x + 4sin x ) Từ I1 = ∫ dx = ∫ = ∫ = cos x + 4sin x + C 2 2 2 3 cos x + 4sin x cos x + 4sin x cos x + 4sin x Bình luận: Ngồi cách giải trên, mạnh dạn vận dụng kiến thức lượng giác để biến đổi mẫu số gọn gàng + cos2x − cos2x + = − cos2x + sau cos x + sin x = 2 2 5 5 d − cos2x + d − cos2x + sin 2x dx 2 2 = Khi I = ∫ = ∫ = − cos2x + + C ∫ 3 2 3 5 − cos2x + − cos2x + − cos2x + 2 2 2 Rõ ràng hai kết thu hoàn toàn giống nhau! 5 b) Ta có 2sin x − 4cos x + 5cos x = (1 − cos x ) − 4cos x + (1 + cos x ) = − cos x + 2 sin x dx sin x dx d ( 5cos x − ) Khi I = ∫ = −2 ∫ = ∫ = ln 5cos x − + C x − x − 5cos 5cos − cos x + 2 Ví dụ Tính nguyên hàm sau: 2sin x dx sin x dx a) I1 = ∫ b) I = ∫ 2010 4 sin x + cos x ( sin x + cos x ) c) I = ∫ sin x + 2cos x dx sin x + cos x d) I = sin x cos x dx x + cos6 x ∫ sin Hướng dẫn giải: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Bình luận: Ngoài cách giải truyền thống cho loại nguyên hàm cách lấy vi phân trực tiếp cho biểu thức mẫu số, thầy giới thiệu cách làm thiên biến đối lượng giác kết hợp với vi phân 1 − cos x 2sin x dx 4sin x dx a) Ta có sin x + cos x = − sin 2 x = − = + cos x → I1 = ∫ =∫ = 2 4 3 + cos x + cos x 4 d (cos x) d (3 + cos x) = −∫ = −2 ∫ = −2 + cos x + C → I1 = −2 + cos x + C + cos x + cos x d ( cos x ) sin x dx b) Tương tự, thay sin x + cos x = + cos x → I2 = ∫ =− ∫ = 2010 2010 4 3 3 + cos x + cos x 4 4 3 1 d cos x + 1 4 = −∫ = +C = + C 2010 2009 2009 4 3 3 2009 sin cos x x + ( ) 2009 + cos x + cos x 4 4 sin x + 2cos x sin x + 2cos x 2sin x + 4cos x 2sin x 4cos x c) I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx 2 2 sin x + cos x sin 2 sin 2 sin − − − x x x − sin x 2sin x 2sin x 2sin x d (cos x) ∫ − sin 2 x dx = ∫ − (1 − cos 2 x ) dx = ∫ + cos2 x dx = − ∫ + cos 2 x = arctan ( cos x ) + C1 ( ) ( )( ) ) t+ − t− d (sin x) dt −2 −1 4cos x dx = 2∫ = 2∫ = dt = − dt = 2 ∫ ∫ 2x − sin x 2−t 2 t − t + t− t+ ∫ − sin = ( −1 t − −1 sin x − + C2 = + C2 ln ln t+ 2 sin x + Từ ta I = arctan ( cos2 x ) + C1 + sin x − −1 sin x − ln + C2 = arctan ( cos2 x ) − ln + C sin x + 2 sin x + sin x sin x cos x = sin x −d (cos x) 2sin x d) Ta có → I4 = dx = dx = − 3sin x − + 3cos 2 x sin x + cos6 x = − sin 2 x − sin 2 x Đặt ∫ t = cos x → I = −dt ∫ + 3t =− ∫ dt ( 3t ) +1 =− 3∫ ∫ ∫ ( 3t ) = − arctan 3t + C = − ( ) ( 3t ) + d arctan ( ) cos x + C Ví dụ Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin x dx 3sin x + cos x c) I = ∫ sin x dx sin x + cos x e) I = ∫ sin x dx tan ( sin x + cos x ) b) I = ∫ cos x sin xdx a sin x + b cos x sin x dx d) I = ∫ cos ( sin x + cos x ) Dạng Nguyên hàm lượng giác mẫu số có dạng sina sinb; cos a cos b; sina cos b Cách giải: Nếu mẫu số có chứa sina.sinb ta phân tích tử số theo sin(a – b) Nếu mẫu số có chứa cosa.cosb ta phân tích tử số theo sin(a – b) Nếu mẫu số có chứa sina.cosb ta phân tích tử số theo cos(a – b) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Ví dụ Tính nguyên hàm sau: dx π sin x.cos x + 4 dx c) I = ∫ π cos x.sin x + 6 a) I1 = ∫ dx π π cos x + cos x + 6 3 dx d) I = π sin x.sin x + 6 b) I = ∫ ∫ Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn www.moon.vn ... gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn www.moon.vn Chuyên đề Ngun hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Ví dụ Tính ngun hàm sau: dx π sin.. .Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Bình luận: Ngồi cách giải truyền thống cho loại nguyên hàm cách lấy vi phân trực tiếp cho biểu thức mẫu số, thầy giới thi? ??u... ) b) I = ∫ cos x sin xdx a sin x + b cos x sin x dx d) I = ∫ cos ( sin x + cos x ) Dạng Nguyên hàm lượng giác mẫu số có dạng sina sinb; cos a cos b; sina cos b Cách giải: Nếu mẫu số có chứa sina.sinb