Phòng giáo dục đao tạo vụ Chủ đề Biểu thức đại số Biên soạn : Trần Đại Thắng - Trường THCS Hiển Khánh Nguyễn Minh Đức Trường THCS Hợp Hưng ThuVienDeThi.com A Một số dạng tập thường gặp: 1/ Loại 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa tìm điều kiện cho tồn biểu thức có toán suất trình biến đổi Khi làm câu hỏi cần ý: + Đối với phân thức + Đối với thức A có nghĩa B B A cã nghÜa A 2/ Loai 2: Rút gọn biểu thức đại số: - Khi rút gọn biểu thức đại số ta cần đặt điều kiện cho tồn biểu thức - Sử dụng thành thạo , linh hoạt phép biến đổi - Chú ý số phương pháp : * Thông thường biểu thức cần rút gọn dạng M= ( A C E ): B D F - Tríc hÕt cần rút gọn phân thức A C E ; ; ( nÕu cã thÓ) B D F - BiÕn ®ỉi , quy ®ång , thùc hiƯn phÐp tÝnh * NÕu a x2 + b x + c = cã nghiƯm x1, x2 th× a x2 + b x + c = a ( x – x1)( x- x2) Ví dụ : CMR giá trị biểu thức M 2x x 1 x 10 x3 x 2 x4 x 3 x5 x 6 ( x 0) không phụ thuộc vào biến số x Bµi lµm M 2x x 1 x 10 ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 3) ( x 2)( x 3) x( x 3) (5 x 1)( x 2) ( x 10)( x 1) ( x 1)( x 2)( x 3) x x x 11 x x 11 x 10 x x x 5x x x 2( x x x 11 x 6) 2 x x x 11 x Vậy M không phụ thuộc vào x * Biến đổi biểu thức bên dạng bình phương để khai phương Ví dụ: Rút gọn biểu thøc : A a b c ac bc a b c ac bc (a;b;c ) ThuVienDeThi.com Bµi lµm A a b ( a b )c c a b ( a b )c c ( a b c )2 ( a b c )2 ab c ab c 2 a b 2 c a b c a b c * Trong trình biến đổi biểu thức ta hay sử dụng đẳng thức sau: a - b=( a- b) ( a+ b) a b = ( a b ) ( a ab + b) ( a b ) = a ab + b 3/ Lo¹i 3: Tính giá trị biểu thức đại số Dạng 1: Tính giá trị biểu thức số: Chú ý: Nếu biểu thức có dạng A B Trong A = a+b B = a.b Thì A B = ( a b)2 VÝ dô : = ( 1) 24 = ( 2)2 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức đại số giá trị cho trước biến (tính A(x) x = a) +) Bíc 1: Rót gän A(x) nÕu +) Bước 2: Thay giá trị biến vào biểu thức đà rút gọn thực phép tính +) Bước 3: Kết luận 4/ Loại 4: Tìm ®iỊu kiƯn cđa biÕn sè x ®Ĩ biĨu thøc A(x) thoả mn điều kiện VD: +) Tìm x ®Ĩ A(x) = m (m R ) (1) +) Tìm a để A(x) > m A(x)< m (2) Việc tìm x tìm nghiệm (1); (2) Më réng: A(x) = B(x); A(x) > B(x); A(x) < B(x) +) Tìm x để A(x) thoả mÃn số điều kiện khác như: - Biểu thức A(x) nhận giá trị nguyên - Biểu thức A(x) đạt giá trịlớn nhất, nhỏ nhất: Chú ý: +) Khi tìm giá trị biến số ta cần kết hợp với điều kiện xác định biểu thức để kết luận + Sử dụng tính chất chia hết để tìm giá trị nguyên biểu thức: ThuVienDeThi.com VD: Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A = x2 đạt giá trị nguyên x2 ( x 2)( x 2) x2 x2 Z Z x ¦ (1) Z Z 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x = 2; Víi x = th× A = Víi x = -2 th× A = - 5/ Loại 5: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến số x Chứng minh giá trị biểu thức A(x) không phục thuộc vào biến sốx nghĩa ta rút gọn A(x) để kết sau rút gọn không chứa biến 6/ Loại 6: Chứng minh đẳng thức A(x)= B(x) Thông thường ta biến đổi từ vế phức tạp vế đơn giản B Bài tập trắc nghiệm: Một số câu hỏi trắc nghiệm chương Câu 1: Căn bậc hai (a-b)2 lµ: A a- b B b- a C a b D a- b b - a Câu 2: Căn bậc hai số học (a+ b)2 là: A a + b B – (a + b) C a b D (a + b) vµ - (a+ b) Câu 3: a/ Giá trị x để = 70 lµ A x= 980 B x = 14 C x= 196 D 196 b/ Giá trị x để x : A x=2 B x= 16 C x = D c/ Giá trị x để x < A x3 D x=3 d/ Giá trị x để - x 10 lµ A x< 20 B x>20 C < x< 20 D x > C©u 4: Điều hệ thức cụm từ thích hợp vào chỗ trèng a/ b/ c/ d/ e/ f/ g/ h/ a cã nghÜa … 3a cã nghÜa … 4a 4a cã nghÜa … cã nghÜa khi… 2b x cã nghĩa a xác định a xác định a xác định ThuVienDeThi.com Câu 5: Kết phép khai : (a 5) A a-5 B 5-a C a D điều sai Câu 6: Kết phép tính lµ A 3- B C D điều sai Câu 7: Kết phép tính : x-3 + x x víi x< lµ A 2x – B C 2x – D Cả sai Câu 8: Giá trị x để ( x 4) x lµ: A x = B x< C x D x C©u 9: Điền số thích hợp vào ô trống : a/ 12 = 15 2 b/ + (2 ) c/ 15 = - Câu 10.Điền dấu (>, 0) x x Bài giải: Với x > 0; a > ta cã: A= = = a x 2x a a x 2x a x x (x a )2 (x a )2 x x x a x a x - NÕu x a th× x a x a Nªn A = 2x x 2 x - NÕu < x< a th× x a a x nªn A = ThuVienDeThi.com a x 2 a x 2 x nÕu x ≥ a VËy A = a nÕu x a 2 x NhËn xÐt: BiĨu thøc A lµ mét số dương có dạng phương biểu thức A A B A B nên bình Bài 5: Cho biÓu thøc B=( 2 x 2 x 2 x 2 x x 3 4x ): x4 x a/ Tìm điều kiện xác định A b/ Rút gọn biểu thức A Giải: a/ Điều kiện xác định A x x 2 x x 4 x x x 3 b/ Rót gän A= = = = (2 x ) (2 x ) x (2 x )(2 x ) x 4x (2 x )(2 x ) x ( x 2) (2 x )(2 x ) 2( x 2) x 3 2( x 2) x 3 2( x 2) x 3 8 x x 3 Bµi6: Cho biĨu thøc A = (1 - x x ):( ) x 1 x 1 x x x x 1 a/ Rót gän biĨu thøc A b/ TÝnh gi¸ trÞ cđa A biÕt x = 2000 - 1999 Giải: a/ điều kiện x 0; x A= = x 1 x x :( ) x 1 x ( x 1)( x 1) ( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1) x 1 x = = : x 1 x 1 ( x 1)( x 1) x 1 b/ Thay x = 2000 - 1999 vào biểu thức A ta được: A = 2000 1999 ThuVienDeThi.com x 1 ( 1999 1) = 1999 + = = x Bµi tËp 7: Cho biÓu thøc P = xy y 1999 x x x xy x 1 x 1 x a/ Rót gän P víi x > 0; y > 0; x 1; x 4y b/ Tính giá trị biểu thức P biÕt 2x2 + y2 – 4x – 2xy + = Gi¶i: a/ P = = y( x y) x y( x y) x ( x 1)( x y ) (1 x ) x ( x y) x xy = = x y( x y) x y b/ Ta cã 2x2 + y2 – 4x – 2xy + = x ( x y ) x x y (TM§K) x y Thay x = y = vào biểu thức P ta P= =1 Bµi tËp 8: Cho biĨu thøc A = ( x x x x x ).( ) 2 x x 1 x 1 a/ Rót gän biểu thức A b/ Tìm x để A > - Giải a/ đkxđ: x > 0; x Víi x> 0; x ta cã: A = x 1 x x .( x 1) ( x x ).( x 1) x ( x 1)( x 1) x 4x 4x = 2 x x x 1 x VËy víi x> 0; x th× A = x b/ A> - 2 x 6 x x VËy x x A > - ThuVienDeThi.com Bµi tËp 9: Cho biĨu thøc: 1 x3 x A x 1 x x 1 x x 1 a,Rót gọn biểu thức A b,Tìm x để A (đk: x>1) Bài giải: a,Với x 0; x ta cã: A x 1 x x 1 x x 1 x 2 x x x 1 x x x 1 x x x b) A x x VËy víi x th× A x x ( x 1) x x x x x x x 1 x x 1 x 1 x x x không thoả mÃn ®k x x tho¶ m·n ®k x VËy víi x th× A Bµi tËp 10 : Cho biĨu thøc: x2 x 1 x x 1 x x 1 x a,Rót gän biĨu thøc A b,Chøng minh r»ng x 0; x th× A A Bài giải: a,Đkxđ: x 0; x -Víi x 0; x ta cã: ThuVienDeThi.com x2 A x3 x2 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x x x x 1 x x 1 x 1x x 1 x 1 x x 1 VËy víi x 0; x th× A x x x 1 b,Víi x 0; x x x x 1 VËy x 2 1 1 x x 4 2 x víi mäi x 0; x x x > víi mäi x 0; x A x víi mäi x 0; x x x 1 Bµi tËp 11: Cho biĨu thøc: x 5 x x 3 x 5 25 x A 1 : x 5 x x 25 x x 15 a,Chøng minh A x 0; x 9; x 25 x b) Tìm x Z để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài giải: a,Đkxđ: x 0; x 9; x 25 Khi ®ã ta cã: ThuVienDeThi.com x x 5 25 x 1 : A x 25 x 3 x 3 x 5 x 5 x 3 x 5 25 x x x 25 x 1 : x 5 x 3 x 5 x x x 5 : x 5 x 3 5 : x 5 x 5 5 x 5 x 5 x 3 x 5 x 3 x 3 b,Víi x 0; x th× A x 3 A Z x ước nguyên Mà Ư(5) = 1; 5 Ta cã : x =1 x = -2 ( lo¹i) x +3 = -1 x = -4 (lo¹i) x = -5 x = -8 ( lo¹i) x 3= x = x=4 Ta thÊy x= tho¶ m·n ®iỊu kiƯn x 0; x 9; x 25 KÕt luËn : VËy x = th× A Z Bµi tËp 12 : Cho biĨu thøc : A 1 x2 2(1 x ) 2(1 x ) x a) Rót gän biĨu thøc A b) T×m x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị Bài giải : a) ĐKXĐ : x 0; x - Víi x 0; x ta cã : ThuVienDeThi.com A x2 1 2(1 x ) 2(1 x ) x x2 1 2(1 x ) 2(1 x ) (1 x )(1 x )( x x 1) (1 x )( x x 1) (1 x )( x x 1) 2( x 2) 2(1 x )(1 x )( x x 1) (1 x x )( x x 1) x 2(1 x )(1 x )( x x 1) 2x 2(1 x )(1 x )( x x 1) 2( x 1) 2(1 x)( x x 1) 1 x x 1 1 b) Víi x 0; x ta cã : A x x 1 3 Ta thÊy : x x ( x )2 víi mäi x 4 1 4 VËy x x 1 Đẳng thức xảy x x ( loại- không thoả mÃn đk x 0; x ) 2 Vậy không tìm giá trị x để bểu thức A đạt giá trị nhá nhÊt Bµi tËp 13 : Cho biĨu thøc : a a b b b A ab : (a b) a b a b Chøng minh r»ng biÓu thøc Akhông phụ thuộc vào a b Bài giải : §K : a 0; b 0; a b Khi ®ã ta cã : ( a )3 ( b )3 b ab : (a b) A a b a b (a ab b ab ) : (a b) ( a b )2 b a b b a b ( a b )( a b ) a b b a b a b a b 1 a b ThuVienDeThi.com Ta lu«n cã A = víi mäi a 0; b 0; a b VËy A không phụ thuộc vào a b a a b b a a b b a b : a b a b a b Bµi 14: Cho A (a 0; b 0; a b) *) Rút gọn A *) Tính giá trị A a 3; b Bµi lµm : ( a b )(a ab b) ab( a b ) a b a) A : a b a b a b a b a b a b (a ab b) b) Thay a 3; b A 2 2 Cã : A2 (2 3)(2 A (do A 0) Bµi 15 : Cho biÓu thøc : B x 2 x x x 12 x x x a) Tìm ĐK x để B xác định b) Rút gọn B c) Tìm x Z để biểu thức B nhận giá trị nguyên Bài làm : a) B xác định b) B c) B x 3 BZ x x x 3 x 9 x x 1 x 3 Z x ¦(2) x 3 ThuVienDeThi.com x 1 x 3 x 2 x 3 1 x 4 x 16 x x 2 x 25 x 5 x x 1 a a (TM ĐK) a a Bài 16 : Cho P 1 1 a 1 a a) Rút gọn P b) Tìm a để P > Bµi lµm a) P=1-a b) P a a VËy P a Bµi 17 : Cho Q (a 0; a 1) x2 x 1 x x 1 x x 1 x a) Rút gọnQ b) Tính giá trị Q x 33 Bài làm : ĐK x 0, x c) CMR Q a) Q x2 x 1 ( x 1)( x x 1) x x x 1 x ( x 1)( x 1) ( x x 1) ( x 1)( x x 1) x x 1 x x 1 x ( x 1) x ( x 1)( x x 1) ( x 1)( x x 1) x x b) x 33 33 32 ( 32 1)2 thay x vµo Q ta cã : Q ( 32 1) 33 ( 32 1) 32 33 32 32 ( 32 1)(33 32) 32 32 1 33 ThuVienDeThi.com x x x 1 1 x 1 x 1 Do x 2 x 3 x x Hay Q Q VËy Q x (loại) x x Dấu xảy : x2 x x 1 Bµi 18 : Cho A : x x 1 x x 1 x *) CMR x 0; x th× A *) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên Bµi 19 : Cho C y x xy xy : x xy x y y a) T×m x , y ®Ĩ C cã nghÜa b) Rót gän C c) Tìm x , y để C = Bài làm : xy x a) C cã nghÜa y y x y x y b) xy y y C : x( x y) x x y ( ) x y c) y( x y) y( x y) x y x ( x y )( x y ) xy x C 1 x VËy C y y ThuVienDeThi.com 1 x 1 x 3x x 1 : Bµi 20 : Cho P x 1 x 2 x x 2 x 1 a) Rót gọn P b) Tìm số tự nhiên x để số tự nhiên P c) Tính P x Bµi lµm: x x a) P xác định 3x x 1 P : x 1 x 2 ( x 1)( x 2) x 1 b) x x x x 2( x x 2) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 2) x3 x 2 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2)( x 1) ( x 1) x 2 1 P ( x 1) x N 1 N N P ( x 1) ( x 1) U (1) ( x 1) x ( TM§K) N P c) Thay x vào P ta : VËy x = th× P ( 1) ( ( 1) 1) x 8x x 1 Bµi 21: Cho P : x 2 x 4 x x2 x a) Rút gọn P b) Tìm x để P = -1 ThuVienDeThi.com c) Tìm m để x > ta cã m( x 3) P x Bài làm ĐK : x 0; x 4; x P x (2 x ) x x 2( x 2) : (2 x )(2 x ) x ( x 2) x 4x 3 x : (2 x )(2 x ) x ( x 2) 4x 3x P 1 a) x b) 4x 4x x x 3 ( TM§K ) x 16 m( x 3) P x 4mx x (4m 1).x + NÕu 4m th× tËp nghiƯm chứa giá trị x >9 +Nếu 4m th× x 4m 1 9 Do ®ã bpt tho¶ m·n víi mäi x >9 4m m 18 4m a b ab ab b ab a ab Bµi 22 : Cho N a) Rót gän N b) CMR nÕu a a 1 N có giá trị không đổi b b5 Bµi lµm a) N a b ab b( a b) a( b a ) ab a a ( a b ) b b ( a b ) (a b)(a b) ab ( a b )( b a ) a a ab b ab b a b ab (a b) ab (a b) a b ab (a b) b a b ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã : ThuVienDeThi.com ... 1 b/ Thay x = 2000 - 199 9 vào biểu thức A ta được: A = 2000 199 9 ThuVienDeThi.com x 1 ( 199 9 1) = 199 9 + = = x Bµi tËp 7: Cho biĨu thøc P = xy y 199 9 x x x xy x 1 x... gän biĨu thức đại số: - Khi rút gọn biểu thức đại số ta cần đặt điều kiện cho tồn biểu thức - Sử dụng thành thạo , linh hoạt phép biến đổi - Chú ý số phương pháp : * Thông thường biểu thức cần... điều kiện để biểu thức có nghĩa: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa tìm điều kiện cho tồn biểu thức có toán suất trình biến đổi Khi làm câu hỏi cần ý: + Đối với phân thức + Đối với thức A cã nghÜa