Toán 9 Chuyên đề 1: Thực hiện tính và rút gọn biểu thức39395

Năm học 2015 - 2016 Giáo án Ôn thi HSG Tốn CHUN ĐỀ 1: THỰC HIỆN TÍNH VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC I Kiến thức: - Sử dụng phép tính, phép biến đổi thức để giải - Các dạng tập: + Thực tính với biểu thức số + Rút gọn biểu thức đại số + So sánh biểu thức số II Bài tập tổng hợp: Tiết 1: Bài : 1) Đơn giản biểu thức : 2) Cho biểu thức : P = 14   14   x 2 Q =   x  x 1  x   x 1  x   x a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm x để Q > - Q c) Tìm số ngun x để Q có giá trị nguyên Hướng dẫn : P = a) ĐKXĐ : x > ; x  Biểu thức rút gọn : Q = x 1 b) Q > - Q  x > c) x = 2;3 Q  Z Bài : Cho biểu thức P = a) Rút gọn biểu thức sau P x 1  x x x b) Tính giá trị biểu thức P x = Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x > ; x  Biểu thức rút gọn : P = b) Với x = x 1 1 x P = - – 2 ThuVienDeThi.com Năm học 2015 - 2016 Giáo án Ơn thi HSG Tốn x x 1 x 1  x 1 x 1 Bài : Cho biểu thức : A = a) Rút gọn biểu thức sau A b) Tính giá trị biểu thức A x = c) Tìm x để A < d) Tìm x để A = A Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x  0, x  Biểu thức rút gọn : A = b) Với x = x x 1 A = - c) Với  x < A < d) Với x > A = A  1    Bài : Cho biểu thức : A =   1   a   a  a 3 a) Rút gọn biểu thức sau A b) Xác định a để biểu thức A > Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a > a  Biểu thức rút gọn : A = b) Với < a < biểu thức A > a 3 Tiết 2:  x 1 Bài : Cho biểu thức: x 1   A=   x 1 x 1 1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rút gọn A 3) Với x  Z ? để A  Z ? Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x ≠ ; x ≠  b) Biểu thức rút gọn : A = x  4x   x  2003  x2   x x  2003 với x ≠ ; x ≠  x c) x = - 2003 ; 2003 A  Z ThuVienDeThi.com Giáo án Ơn thi HSG Toán Năm học 2015 - 2016    x x 1 x x 1  x  x 1  : x 1 x  x   x x Bài : Cho biểu thức: A =  a) Rút gọn A b) Tìm x để A < c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Hướng dẫn : x 1 a) ĐKXĐ : x > ; x ≠ Biểu thức rút gọn : A = x 1 b) Với < x < A < c) x = 4;9 A  Z  x2 Bài : Cho biểu thức: A =   x x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng: < A < Hướng dẫn :   x 1 : x  x  1  x  x  a) ĐKXĐ : x > ; x ≠ Biểu thức rút gọn : A = b) Ta xét hai trường hợp : +) A >  +) A <  x  x 1 x  x 1 x  x 1 > với x > ; x ≠ (1) <  2( x  x  ) >  x  x > theo gt x > (2) Từ (1) (2) suy < A < 2(đpcm) Bài : Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P b) Tính giá trị P với a = a 3 a 2  a 1 a 2  a 4 (a  0; a  4) 4a Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a  0, a  Biểu thức rút gọn : P = b) Ta thấy a =  ĐKXĐ Suy P = 4 a 2 Tiết 3: ThuVienDeThi.com Năm học 2015 - 2016 Giáo án Ơn thi HSG Tốn  Bài : Cho biểu thức: N =   1) Rút gọn biểu thức N 2) Tìm giá trị a để N = -2004  a  a  a  a   1   a    a   Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a  0, a  Biểu thức rút gọn : N = – a b) Ta thấy a = - 2004  ĐKXĐ Suy N = 2005 Bài 10 : Cho biểu thức P  x x  26 x  19 x   x2 x 3 x 1 x 3 x3 a Rút gọn P b Tính giá trị P x   c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ Hướng dẫn : a ) ĐKXĐ : x  0, x  Biểu thức rút gọn : P  x  16 x 3 103  3 b) Ta thấy x    ĐKXĐ Suy P  22 c) Pmin=4 x=4  x 3x    x    1 x 3  x Bài 11 : Cho biểu thức P     : x  x     x 3 a Rút gọn P b Tìm x để P   c Tìm giá trị nhỏ P Hướng dẫn : a ) ĐKXĐ : x  0, x  Biểu thức rút gọn : P  b Với  x  P   3 x3 c Pmin= -1 x =  a 1 a 1   Bài 12: Cho A=    a   a   với x>0 ,x  a 1 a  a 1  a Rút gọn A  b Tính A với a = 4  15  10    15  ( KQ : A= 4a ) Tiết 4: ThuVienDeThi.com Giáo án Ơn thi HSG Tốn Năm học 2015 - 2016  x 3 x   9 x x 3 x 2  1 :    Bài 13: Cho A=   với x  , x  9, x  x 2 x    x 9   x x 6 a Rút gọn A b x= ? Thì A < c Tìm x  Z để A  Z ) x 2 (KQ : A= 15 x  11 x  2 x    x  x  1 x x 3 Bài 14: Cho A = với x  , x  a Rút gọn A b Tìm GTLN A c Tìm x để A = d CMR : A  Bài 15: Cho A = a Rút gọn A 2 (KQ: x2 x 1   x x 1 x  x 1  x b Tìm GTLN A Bài 16: Cho A = a Rút gọn A b CMR : A= 25 x ) x 3 với x  , x  ( KQ : A = x ) x  x 1   với x  , x  x 1 x x 1 x  x 1  A 1 ( KQ : A= III Bài tập nhà: x ) x  x 1  x  x   25  x x 3 x 5  1 :     x 5 x    x  25   x  x  15 Bài 17: Cho A =  a Rút gọn A b Tìm x  Z để A  Z a 9 a  a 1   a 5 a 6 a  3 a Bài 18: Cho A = với a  , a  , a  a Rút gọn A b Tìm a để A < c Tìm a  Z để A  Z  x x 7   x 2 x 2 x      :   x  x   x  x  x     Bài 19: Cho A=  với x > , x  ThuVienDeThi.com Năm học 2015 - 2016 Giáo án Ơn thi HSG Tốn a Rút gọn A b So sánh A với A 3  x y x  y  :  Bài 20: Cho A =   x y yx     x y  xy với x  , y  0, x  y x y a Rút gọn A b CMR : A  x x 1 x x 1    x 1 x 1    x      x x x x  x   x  x   Bài 21 : Cho A = Với x > , x  a Rút gọn A b Tìm x để A =    1 x 2     :    x 1 x x  x  x 1   x 1 x 1  Bài 22: Cho A=  với x  , x  a Rút gọn A b Tìm x  Z để A  Z c Tìm x để A đạt GTNN  x x 3x    x      1 : x  x    x   x 3  Bài 23 : Cho A =  với x  , x  a Rút gọn A b Tìm x để A < -  x 1 x 1 x   x  x       :   x 1 x 1   x 1 x    x 1 Bài 24 : Cho A =  với x  , x  a Rút gọn A b Tính A với x =  c CMR : A  ThuVienDeThi.com Năm học 2015 - 2016 Giáo án Ôn thi HSG Toán CHUYÊN ĐỀ : GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Phương pháp chung : Để giải phương trình chứa dấu ta tìm cách khử dấu - Tìm ĐKXĐ phương trình - Biến đổi đưa phương trình dạng học - Giải phương trình vừa tìm - So sánh kết với ĐKXĐ kết luận nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vơ tỉ: a/ Phương pháp1: Nâng lên luỹ thừa (Bình phương lập phương vế PT):  Giải phương trình dạng : Ví dụ 1: f ( x)  g ( x) Giải phương trình : x   x  (1) ĐKXĐ : x+1   x  -1 Với x  -1 vế trái phương trình khơng âm Để phương trình có nghiệm x-1   x  1.Khi phương trình (1) tương đương với phương trình : x+1 = (x-1)2  x2 -3x=  x(x-3) =  x  Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn  x  điều kiện x  Vậy phương trình cho có nghiệm x =3 Ví dụ 2:  Giải phương trình: x   13  x x  x   13 x   x    13  x   x  13 ( 1) ĐKXĐ :  Bình phương hai vế (1) ta : x   (13  x)   x  13 (2)  x  27 x  170  Phương trình có nghiệm x1  10 x  17 Chỉ có x1  10 thỗ mãn (2) Vậy nghiệm phương trình x  10 * Giải phương trình dạng : Ví dụ 3: f ( x )  h( x )  g ( x ) Giải phương trình:  1 x  1  x ĐKXĐ: 1 x  2 x  1 x   x  (1)  x 1 x  2    x 1 ThuVienDeThi.com Giáo án Ơn thi HSG Tốn Bình phương hai vế phương trình (1) ta : Năm học 2015 - 2016 1 x  1 2  x   x  x2  x 1  Phương trình có nghiệm x  Vậy nghiệm phương trình x  Giải phương trình: Ví dụ 4: 1 thỗ mãn (2) 1 x    x  (1) Lập phương trình hai vế (1) ta được: x    x  33 ( x  1)(7  x)    (đều thoả mãn (1 ) x =-1 x =7 (x-1) (7- x) = (đều thoả mãn (1 ) Vậy x  1; x  nghiệm phương trình * Giải phương trình dạng : Giải phương trình Ví dụ5:  f ( x )  h( x )  g (x) x  - x  = 12  x x  = 12  x + x  (1) x   ĐKXĐ: 12  x   x     x  1   x  12   x  12 x   Bình phương hai vế ta được: x- = (12  x)( x  7) (3) Ta thấy hai vế phương trình (3) thỗ mãn (2) bình phương vế phương trình (3) ta : (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)  5x2 - 84x + 352 = Phương trình có nghiệm x1 = Vậy x1 = 44 x2 = nghiệm phương trình * Giải phương trình dạng : Ví dụ 6: 44 x2 = thoả mãn (2) f ( x )  h( x )  g (x) + q (x) Giải phương trình : x  + x  10 = x  + x  (1) ThuVienDeThi.com Giáo án Ơn thi HSG Tốn x    x  10  ĐKXĐ :  x    x   Năm học 2015 - 2016  x  1  x  10    x  2  x  5  x ≥ -1 (2)  Bình phương hai vế (1) ta : x+1 + x+ 10 + ( x  1)( x  10) = x+2 + x+ + ( x  2)( x  5)  2+ ( x  1)( x  10) = ( x  2)( x  5) (3) Với x  -1 hai vế (3) dương nên bình phương hai vế (3) ta Điều kiện x  -1 (4) ( x  1)( x  10) = 1- x  x  1   x  1 Ta việc kết hợp (2) (4)  x = nghiệm nhầt phương trình (1) + / Bài tập nhà: x  45 - x  16 =1 x  = x-  x =  x -  (2 x  5)  x x  = x+  x +  x =3 x 1 + x2 = 2x  b / Phương pháp : đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối : Ví dụ1: ĐKXĐ: Giải phương trình: x  24 x  16   x  9 x  24 x  16    x   Phương trình (1)  (1) (3 x  4)  0x  x   3 x    x  x  = -x +   3 x   x  x≤4  x   x   Với x= x = nghiệm phương trình (đều thoả mãn x  ) Ví dụ : Giải phương trình : x  4x  + x  x  16 = ĐKXĐ: x  R Phương trình tương đương : x  + x  = Lập bảng xét dấu : x x- 2 - + + ThuVienDeThi.com Năm học 2015 - 2016 Giáo án Ôn thi HSG Toán x- - - + Ta xét khoảng :  x = 0,5(thoả mãn x  2) + Khi x < ta có (2)  6-2x =5 + Khi  x  ta có (2)  0x + =5 + Khi x > ta có (2)  2x – =5 vô nghiệm x =5,5 (thoả mãn x > )  Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0,5 x = 5,5 Ví dụ : Giải phương trình: x  x 1  + x  x   = ; ĐKXĐ: x  Phương trình viết lại : ( x  1)  x   + ( x  1)  x   =  ( x   2) + ( x   3) = - Nếu  x < ta có (1)  2- x  + -  x 1  + x 1 =  x   =1 (1) x  =2  x= không thuộc khoảng xét - Nếu  x  10 (1)  0x = Phương trình có vơ số nghiệm - Nếu x> 10 (1)  -5 = phương trinh vô nghiệm Vậy phương trình có vơ số nghiệm :  x  10 Bài tập nhà: x  6x  + x  10 x  25 = x   x  + x   x  = x   x  + x   x  = 2 c.Phương pháp : đặt ẩn phụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x2 + 3x + x  3x  =33 ĐKXĐ :  x  R Phương trình cho tương đương với: 2x2 + 3x +9 + x  3x  - 42= (1) Đặt 2x2 + 3x +9 = y > (Chú ý học sinh thường mắc sai lầm không đặt điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y) Ta phương trình : y2 + y – 42 =  y1 = , y2 = -7 Có nghiệm y =6 thoả mãn y> 10 ThuVienDeThi.com Năm học 2015 - 2016 Giáo án Ơn thi HSG Tốn Từ ta có x  3x  =6  2x2 + 3x -27 = =- Phương trình có nghiệm x1 = 3, x2 Cả hai nghiệm nghiệm phương trình cho Giải phương trình: Ví dụ 2: Đặt x =y   x+ (ĐKXĐ : x  0) x = 12 x = y2 ta có phương trình y2 + y -12 = phương trình có nghiệm y= y = - (loại)  x =  x = 81 nghiệm phương trình cho + / Bài tập nhà: 1/ x2 – + x  = - 2x x 2/ x 3/ x - 3 x =20 x = 20 4/ x  = 2x2 – 6x +4 d Phương pháp : đưa phương trình tích : Giải phương trình: Ví dụ 1: x  10 x  21 = x  + x  - (1) ĐKXĐ : x  -3 Phương trình (1) có dạng : ( x  3)( x  7) - x  + x  +6 =  x    x  ( x   3) -2( x   3) ) =3  ( x   3) ( x   ) =0    x     x   x      x   ĐKXĐ Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1; x =  x  Giải phương trình: Ví dụ 2: Đặt  x  = t  Khi dó 3 1 x + 1 x = x  =1 ĐKXĐ : x  -2  t Phương trình (1)  3t2 + t =  t = 1- t  3- t3 = (1-t)  t3 - 4t2 + 3t + =0  (t-2) ( t2 -2t -1) = Từ phương trình ta tìm x=2 ; x= + 2 nghiệm phương trình (1) + /.Nhận xét : 11 ThuVienDeThi.com Năm học 2015 - 2016 Giáo án Ơn thi HSG Tốn Khi sử dụng phương pháp đưa phương trình tích để giải phương trình vơ tỉ ta cần ý bước sau + Tìm tập xác định phương trình Dùng phép biến đổi đại số, đưa phương trình dạng f(x) g(x) ….= Từ + ta suy f(x) = ; g( x) = ;… phương trình quen thuộc + Nghiệm phương trình tập hợp nghiệm phương trình f(x) = g( x) = ;… thuộc tập xác định + /.Bài tập nhà: 1/ x3  7x  = 3/ x(x+5) = x  x   2/ x  x  - x  x  = x 1 4/ 2( x2 + 2x + 3) = x  3x  3x  e Phương pháp : đưa hệ phương trình : Ví dụ 1: Giải pt: 25  x - 15  x =2 (ĐKXĐ:  x2  15)Đặt: 25  x = a (a  0) (* ) 15  x = b ( b  0) ( ** ) Từ phương trình cho chuyển hệ phương trình : a  b   (a  b)(a  b)  2(a  b) a  b   a  b   a  b   Thay vào phương trình (*) ta có 25 –x2 = 49 Vậy phương trình cho có nghiệm x =  Ví dụ 2: Giải phương trình: Đặt: x  = a ; 3   x2 = 51 51  x=  (  ĐKXĐ ) 51 ( x  1) + x  = b nên ta có:  a   b   ( x  1) + a2 = ( x  1) x2 1 = ; b2 = ( x  1) ab = x  Ta phương trình : a2 + b + ab = ( 1) 12 ThuVienDeThi.com Năm học 2015 - 2016 Giáo án Ơn thi HSG Tốn a  x   b  x  Ta phương trình : a3 – b3 = (2) a  b  ab  Từ (1) (2) ta có hệ phương trình :  3 a  b  Từ hệ phương trình ta suy a –b =  b = a – Thay vào hệ phương trình (1) ta đợc : (a -1 )2 =  a =1 Từ ta x = Vậy nghiệm phương trình : x = + /.Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau : 1 + x 2 x =2 x  + x  21 = x  2 x  = x3+ 4 4 x = x 3 1 x + 13 ThuVienDeThi.com  x =1 Năm học 2015 - 2016 Giáo án Ôn thi HSG Tốn CHUN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH (tiết 9-12) Tiết I CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Các phương pháp giải hệ phương trình: a/ Phương pháp b/ Phương pháp cộng đại số c/ Phương pháp đặt ẩn phụ d/ Phương pháp dùng định thức: (Để nhớ định thức ta nhớ câu: Anh Bạn Cầm Bát Ăn Cơm) Từ hệ phương trình (I) ta có: D a b a' b'  ab ' a ' b; Dx  c b c' b'  cb ' c ' b Dy  a a' c' D Dx y = y D D - Nếu D = Dx  Dy  , hệ phương trình vơ nghiệm - Nếu D = Dx = Dy = 0, hệ phương trình có vô số nghiệm Các hệ pt đặc biệt cách giải a) Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp với x, y: - Nếu D  , hệ phương trình có nghiệm nhất: x   ax  bxy  cy  d (1) -Hệ có dạng:  2 a ' x  b ' xy  c ' y  d '(2) - Cách giải: Nhân vế phương trình (1) phương trình (2) với k k’ cho: k.d = k’.d’ trừ vế hai phương trình cho ta phương trình dạng: Ax2 + Bxy + Cy2 = (*) +/ Xét y = +/ Xét y  0, ta đặt: x = yt 14 ThuVienDeThi.com c  ac ' a ' c Giáo án Ơn thi HSG Tốn  pt (*) trở thành: Ay2t2 + By2t + Cy2 =  At2 + Bt + C = Năm học 2015 - 2016 Giải phương trình tìm t b) Hệ đối xứng loại - Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà ta thay đổi vai trò x y cho phương trình hệ khơng thay đổi - Cách giải: (đưa pt bậc hai) Ta quy hệ phương trình biết tổng tích hai nghiệm: Biến đổi phương trình hệ dạng: x + y x.y x  y  S Đặt:  ĐK: S2 – 4P  (*)  x y  P Thay vào hệ phương trình (I), ta hệ phương trình có hai ẩn S P  Hệ phương trình (I) có nghiệm  Hệ phương trình ẩn S P có nghiệm thỏa mãn (*) c) Hệ đối xứng loại 2: - Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà ta thay đổi vai trị x y cho phương trình (1) trở thành phương trình (2) phương trình (2) trở thành phương trình (1)  f ( x; y )  0(1) (I ) Hệ có dạng:   g ( x; y )  0(2) - Cách giải: (đưa pt tích) Trừ vế phương trình (1) (2) ta phương trình dạng:  x y 0  (x – y) [A(x; y)] =  A( x; y )    x y 0 ( II )   f x y ( ; )   Hệ phương trình (I)   A( x; y )    ( III )   f ( x; y )  Giải hệ (II) (III) để tìm nghiệm II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PT BIỂU THỨC SỐ Phương pháp * Cơ sở phương pháp Ta rút ẩn (hay biểu thức) từ phương trình hệ vào phương trình cịn lại * Nhận dạng Phương pháp thường hay sử dụng hệ có phương trình bậc ẩn (1) 2 x  y  Bài Giải hệ phương trình  2 3 x  y  y  (2) Lời giải 15 ThuVienDeThi.com Năm học 2015 - 2016 Giáo án Ơn thi HSG Tốn Từ (1) ta có x   3y vào (2) ta   3y  3   y  2y      3(25  30 y  y )  y  y  16  23 y  82 y  59   y  1, y  59 23   31 59   Vậy tập nghiệm hệ phương trình 1;1;   ;    23 23     x  x3 y  x y  x  (1) Bài Giải hệ phương trình  (2)  x  xy  x  Phân tích Phương trình (2) bậc y nên ta dùng phép Lời giải TH : x = không thỏa mãn (2) x   x2 vào (1) ta TH : x  0, (2)  y  2x  x   x2   x   x2  x  2x   x    2x  2x 2x     x  (6 x   x )  x  x (6 x   x )   x   x( x  4)3     x  4  17  Do x  nên hệ phương trình có nghiệm  4;  4  Chú ý.: Hệ phương trình theo phương pháp sau:  x  x  2 2 x  xy   x     2x      - Hệ   x  x   x  xy   x2  x    x  xy  - Phương pháp thường công đoạn cuối ta sử dụng phương pháp khác Tiết 2: Phương pháp cộng đại số * Cơ sở phương pháp Kết hợp phương trình hệ phép tốn: cộng, trừ, nhân, chia ta thu phương trình hệ mà việc giải phương trình khả thi có lợi cho bước sau * Nhận dạng Phương pháp thường dùng cho hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k Bài 1: Giải hệ phương trình 16 ThuVienDeThi.com Năm học 2015 - 2016 Giáo án Ôn thi HSG Toán  y 2 3 y   x  3 x  x  2  y  Lời giải.(hệ đối xứng loại 2) - ĐK: xy  2 3 x y  y  - Hệ   2 3 y x  x  (1) (2) Trừ vế hai phương trình ta x  y  x y  xy  y  x  xy ( x  y )  ( x  y )( x  y )    3 xy  x  y  - TH x  y   y  x vào (1) ta x3  x    x  y2  x2  - TH xy  x  y  Từ y   y  , 3x   x0 x2 y2  xy  x  y  Do TH khơng xảy - Vậy hệ phương trình có nghiệm (1 ; 1) 3 x  xy  y  38 Bài Giải hệ phương trình  2 5 x  xy  y  15 Phân tích Đây hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta cân số hạng tự thực phép trừ vế Lời giải 45 x  75 xy  60 y  570 2 - Hệ    145 x  417 xy  54 y  2 190 x  342 xy  114 y  570 145 - Giải phương trình ta y  x, y   x vào hai phương 18 trình hệ ta thu kết (3;1); (3; 1) * Chú ý - Cách giải áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao - Cách giải chứng tỏ hệ phương trình hồn tồn giải cách đặt y  tx, x  đặt x  ty, y  Tiết 3: Phương pháp đặt ẩn phụ 17 ThuVienDeThi.com Năm học 2015 - 2016 Giáo án Ôn thi HSG Toán  x  y  xy  1 Bài Giải hệ phương trình  2  x  y  xy  Lời giải Đây hệ đối xứng loại I đơn giản nên ta giải theo cách phổ biến ( x  y )  xy  1 Hệ   ( x  y )  xy   S  P  1 x  y  S  S  1, P  2 Đặt  x, y  S  P  ta     xy  P  S  4, P   S  3P  S   x  y   x  1, y  TH        P xy    x  2, y  1  S  4  x  y  4  x  1, y  3 TH  Vậy tập nghiệm hệ         P xy x 3, y    S = (1;2); (2; 1); (1; 3); (3; 1) Chú ý - Nếu hệ pt có nghiệm ( x; y ) tính đối xứng, hệ có nghiệm ( y; x) Do vậy, để hệ có nghiệm điều kiện cần x  y - Không phải lúc hệ đối xứng loại I giải theo cách Đơi việc thay đổi cách nhìn nhận phát cách giải tốt  x  y  xy  Bài 2: Giải hệ phương trình :   x   y   - ĐK: x  1, y  1, xy   x  y  xy   x  y  xy  - Hệ     x  y   ( x  1)( y  1)  16  x  y  x  y  xy   14 - Đặt x  y  a, xy  b a  2, b  0, a  4b ta hệ pt a  b  a   b a   b      2 3b  26b  105  a  a  b   14 2 b  b   11  b b   x  (thỏa mãn đk)   a   y  Tiết 4: III GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Giải biện luận hệ phương trình Phương pháp giải: 18 ThuVienDeThi.com Năm học 2015 - 2016 Giáo án Ôn thi HSG Tốn Cách 1: Từ phương trình hệ tìm y theo x vào phương trình thứ hai để phương trình bậc x  Giả sử phương trình bậc x có dạng: ax = b (1)  Biện luận phương trình (1) ta có biện luận hệ i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b - Nếu b = hệ có vơ số nghiệm - Nếu b  hệ vơ nghiệm ii) Nếu a  (1)  x = b , Thay vào biểu thức x ta tìm y, lúc hệ phương a trình có nghiệm Cách 2: Dùng định thức để giải biện luận hpt mx  y  2m(1) 4 x  my  m  6(2) Ví dụ 1: Giải biện luận hệ phương trình:  Từ (1)  y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m +  (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) (2m  3)(m  2) 2m   m2 m2  m 2m  m Khi y = Hệ có nghiệm nhất: ( ;) m2 m2 m2 Nếu m2 –  hay m   x = ii) Nếu m = (3) thỏa mãn với x, y = mx -2m = 2x – Hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với x  R iii) Nếu m = -2 (3) trở thành 0x = Hệ vô nghiệm 2m  m ;) m2 m2 - Nếu m = hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với x  R Vậy: - Nếu m   hệ có nghiệm nhất: (x,y) = ( - Nếu m = -2 hệ vơ nghiệm Bài tập: Giải biện luận hệ phương trình sau: mx  y  3m  mx  y  10  m 2)   x  my  m   x  my  1)  (m  1) x  my  3m  2 x  y  m  3)  Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải:  Giải hệ phương trình theo tham số  Viết x, y hệ dạng: n + k với n, k nguyên f (m)  Tìm m nguyên để f(m) ước k Ví dụ 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: HD Giải: mx  y  m   2 x  my  2m  19 ThuVienDeThi.com Năm học 2015 - 2016 Giáo án Ôn thi HSG Toán 2mx  y  2m  mx  y  m    2 2 x  my  2m  2mx  m y  2m  m (m  4) y  2m  3m   (m  2)(2m  1)  2 x  my  2m  để hệ có nghiệm m2 –  hay m   Vậy với m   hệ phương trình có nghiệm (m  2)(2m  1) 2m     2  y  m2 m2 m 4  x  m     m2 m2 Để x, y số nguyên m +  Ư(3) = 1;1;3;3 Vậy: m + =  1,  => m = -1; -3; 1; -5 VD 2: Định m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước mx  y   x  my  Cho hệ phương trình:  Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 2x + y + 38 =3 m 4 HD Giải: - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m   - Giải hệ phương trình theo m 8m   y  mx  y  (m  4) y  8m  mx  y   m 4      x  my  mx  m y  8m  x  my   x  9m  32  m2  9m  32 8m  - Thay x = ;y= vào hệ thức cho ta được: m 4 m 4 9m  32 8m  38 2 + + =3 m 4 m 4 m 4 => 18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12  3m2 – 26m + 23 =  m1 = ; m2 = Vậy m = ; m = 23 (cả hai giá trị m thỏa mãn điều kiện) 23 IV BÀI TẬP VỀ NHÀ (Bài tập tổng hợp) Bài 1: mx  y  10  m (m tham số)  x  my  Cho hệ phương trình  20 ThuVienDeThi.com ... thi HSG Toán x x 1 x 1  x 1 x 1 Bài : Cho biểu thức : A = a) Rút gọn biểu thức sau A b) Tính giá trị biểu thức A x = c) Tìm x để A < d) Tìm x để A = A Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x  0, x  Biểu. .. ĐKXĐ : a > a  Biểu thức rút gọn : A = b) Với < a < biểu thức A > a 3 Tiết 2:  x 1 Bài : Cho biểu thức: x 1   A=   x 1 x 1 1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rút gọn A 3) Với... Cho biểu thức P  x x  26 x  19 x   x2 x 3 x 1 x 3 x3 a Rút gọn P b Tính giá trị P x   c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ Hướng dẫn : a ) ĐKXĐ : x  0, x  Biểu thức rút