Toán 9 Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng39370

B t đ ng th c ng d ng Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng Chuyên đ : B t đ ng th c ng d ng Biên so n: Lê Vi t H ng – 9B Tr ng THCS Th Tr n H i L ng (Qu ng Tr ) Nguy n Phúc T ng – 9A10 Tr ng THCS Kim ng ( ng Tháp) I ) Khái ni m b t đ ng th c c b n : 1.1 S th c d ng, s th c âm  N u a s th c d ng, ta ký hi u a   N u a s th c âm, ta ký hi u a   N u a s th c d ng ho c a  , ta nói a s th c khơng âm, ký hi u a   N u a s th c âm ho c a  , ta nói a s th c khơng d ng, ký hi u a  Chú ý:  V i hai s th c a, b ch có m t ba kh n ng sau x y ra: a  b ho c a  b ho c a  b  Ph đ nh c a m nh đ "a > 0" m nh đ " a  "  Ph đ nh c a m nh đ "a < 0" m nh đ " a  " Tính ch t quan tr ng (đ ng th c x y x  ) i) x  R : x2  2k ii) x  0, k  N, x  R (đ ng th c x y x  ) iii) x12 k  x22 k   xn2 k  0, k  N , xi  R (đ ng th c x y x1  x2   xn  ) 1.2 d nh ngh a S th c a g i l n h n s th c b, ký hi u a > b n u a  b m t s ng, t c a  b  Khi ta c ng ký hi u b < a Ta có: a  b  a b   N u a  b ho c a  b , ta vi t a  b Ta có: a  b  a b  ThuVienDeThi.com B t đ ng th c ng d ng 1.3 Quy Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng nh ngh a Gi s A, B hai bi u th c (b ng s ho c ch a bi n) M nh đ : " A l n h n B ", ký hi u A  B " A nh h n B ", ký hi u A  B " A l n h n hay b ng B " ký hi u A  B " A nh h n hay b ng B " ký hi u A  B đ c g i m t b t đ ng th c c:  Khi nói v m t b t đ ng th c mà không ch rõ h n ta hi u r ng m t b t đ ng th c  Ch ng minh m t b t đ ng th c ch ng minh b t đ ng th c 1.4 Các tính ch t c b n c a b t đ ng th c 1.4.1 Tính ch t 1.4.2 Tính ch t m t s ) H qu m ts ) H qu 1.4.3 Tính ch t a  b ac  b  c a  b  a c  b c (B c c u) (C ng hai v v i a  b  a c  b c (Tr hai v v i a c  b  a  b c a  b  a c  b d  c  d (Chuy n v ) (C ng hai v hai bđt chi u) ac  bc c > ac  bc c < 1.4.4 Tính ch t a  b   (Nhân hai v v i m t s ) H qu H qu a  b  a  b a b  c  c c > a b  a  b c <  c c m ts ) ThuVienDeThi.com ( i d u hai v ) (Chia hai v v i B t đ ng th c ng d ng Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng a  b   ac  bd  c  d  1.4.5 Tính ch t (Nhân hai v hai bđt chi u) 1  a b (Ngh ch đ o hai v ) 1.4.6 Tính ch t a b 0 0 1.4.7 Tính ch t a  b  0, n  N *  a n  b n (Nâng l y th a 1.4.8 Tính ch t a  b  0, n  N *  (Khai c n b c b c n) n a nb n) H qu N u a b hai s d ng : a  b  a  b2 (Bình ph ng hai v) N u a b hai s khơng âm : a  b  a  b2 B t đ ng th c liên quan đ n giá tr t đ i Tính ch t x  , x  x2 , x  x , -x  x (Bình ph ng hai v ) V i m i a , b  R ta có :   a b  a  b  a  b  a  b  a.b   a  b  a  b  a.b  a b  a  b B t đ ng th c tam giác N u a, b, c ba c nh c a m t tam giác :  a > 0, b > 0, c >  b c  a  b c II ) M t s B t TT i u ki n  c a  b  c a  a b  c  a b a b c  A B  C  ng Th c Ph c b n : B t đ ng th c i mr i ThuVienDeThi.com B t đ ng th c ng d ng a,b  R a,b  R ab  a,b  R a , b, c  R a2  b2 a=b  a b ab      a,b  Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng ab  a=b a b a=b  a  b   a2  b2  a b a bc a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  abc  a  b  c  4   a , b, c  R a2  b2  c2   a  b  c a bc a , b, c  R a  b  c   ab  bc  ca  a bc a , b  R a, b   a b   a  b  1a  1b     1   a b a b a, b, c   a bc   a  b  c  1a  1b  1c     1    a b c a bc 10 a, b   a  b 11 a , b, c  R  ax  by  cz , x, y, z  R a, b, c, x, y, z, m, n, p > (a + b)   a  b2  c2  x2  y2  z2  a b c   x y z (H qu b t đ ng th c Cauchy-Schwarz ) x, y, z  R a , b, c  R , a b  1   8 a b  1 + 2³ a b 12 14 a  b ho c ab  1 + ³ 2 1+ a 1+ b 1+ ab ab  13 x2 y2 z2  x  y  z     a b c a bc (H qu b t đ ng th c Cauchy - Schwarz d ng phân th c) a b c   x y z a  b3  c3  x3  y3  z3  m3  n3  p3    axm  byn  czp  (H qu b t đ ng th c Holder) * Các b t đ ng th c quan tr ng m r ng : ThuVienDeThi.com Các dãy t ng t l ng B t đ ng th c ng d ng Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng  B t đ ng th c AM - GM _ N u a1 , a , , a n s th c khơng âm a1  a   a n n  a1a a n n ng th c x y ch a1  a   a n B t đ ng th c AM - GM suy r ng Cho s d ng w1 , w2 , , wn tho mãn w1  w2   wn   N u a1 , a , , a n s th c khơng âm w1a1  w2 a   wn a n  a1w1 a 2w2 a nwn ng th c x y ch a1  a   a n B t đ ng th c Cauchy - Schwarz Cho hai dãy s th c a1 , a , , a n b1 , b2 , , bn Ta có:   a1b1  a2b2   anbn    a12  a 22   a n2  b12  b22   bn2  ng th c x y ch a a1 a    n b1 b2 bn B t đ ng th c Cauchy - Schwarz d ng phân th c Cho hai dãy s th c a1 , a , , a n b1 , b2 , , bn Ta có:  a  a  a   a n  a12 a 2    n  b1 b2 bn b1  b2   bn ng th c x y ch a a1 a    n b1 b2 bn B t đ ng th c Holder V i m dãy s d ng  a1,1 , a1,2 , a1,n  ,  a 2,1 , a 2,2 , , a 2,n   a m,1 , a m,2 , , a m,n  ta có:  m m   n   n m a a    i , j     i , j   i 1  j 1   j 1 i 1  ng th c x y m dãy t ng ng t l +B t đ ng th c Cauchy - Chwarz m t h qu c a b t đ ng th c Holder m =  B t đ ng th c Minkowski Cho hai dãy s th c a1 , a , , a n b1 , b2 , , bn Ta có: m a12  b12  a 22  b22   a n2  bn2   a1  a2   an    b1  b2   bn  2 B t đ ng th c Minkowski d ng m r ng Cho hai dãy s th c a1 , a , , a n b1 , b2 , , bn Ta có:  ThuVienDeThi.com B t đ ng th c ng d ng n Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng a1a2 a n  n b1b2 bn  n  a1  b1  a  b2   a n  bn  D u ‘‘=’’ c a b t đ ng th c Minkowski gi ng v i Cauchy - Schwarz  B t đ ng th c Vonicur Schur _ Cho s th c không âm a, b, c N u r  0, a r  a  b  a  c   br  b  c  b  a   c r  c  a  c  b   ng th c x y ch a = b = c, ho c a = 0, b = c hoán v V i b t đ ng th c ta có h qu sau:  Trong tr ng h p r = 1, ta có d ng t ng đ ng sau: 3 a a  b  c  3abc  ab(a  b)  bc(b  c)  ca (c  a ) 3 3 b 4(a  b  c )  15abc  (a  b  c) 2 c a  b  c  d  Trong a 9abc  2(ab  bc  ca ) a b c a b c 4abc    2 b  c c  a a  b (a  b)(b  c )(c  a ) tr ng h p r = 2, ta có d ng t a ng đ ng:  abc(a  b  c)  ab(a  b2 ) 2 b 6abc(a  b  c)  (2ab  a )( a  ab) B t đ ng th c Bernolli _ V i m i s nguyên r  x > -1  1  x r   rx III ) M t s k thu t c b n b t đ ng th c : 1)K thu t ch n m r i: Ví D 1:Cho x  Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : Ax H x ng d n: S d ng b t đ ng th AM-GM d ng a  b  ab ta có: Ax 1  x  x x , v y x x=1, nhiên x=1 l i không n m kho ng giá tr x  mà tốn quy đ nh Vì v y v i l i gi i ta tìm sai m r i cho toán Gi i: đ m b o đc d u “=” x y ta có l i gi i nh sau: Ta th y l i gi i sai đánh giá , d u b ng x y x  ThuVienDeThi.com B t đ ng th c ng d ng A Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng 8x  x  8.3 x 24 10    2    9 x 9 x 3 Ra thêm: Ví D 2:Cho x  Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: B  3x  2x Ví D 3:Cho x>2 Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: C  4x   x 4 Ví D 4:Cho a,b >0 a+2b = Hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: D  ab2 Ví D 5:Cho a,b,c >0 th a mãn a+b+c=1 Ch ng minh r ng: a b  b c  c a  2) K thu t đ i bi n : Ví D 1: Cho x,y,z > , xyz=1 Ch ng minh r ng : x y  y z  z x  (Lê Vi t H ng) L i gi i : T xyz=1 ta có th đ t :    x a b c ; y  ;c  b c a b c a    a c a b b c a c b a c b     b b c c a a T b t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch khi: x=y=z=1 Ví D 2:Cho a,b,c s th c Ch ng minh r ng: (B t đ ng th c Nesbit) a b c a  b2  c  bc ca ab        3 3 a b c  (NguyenDungTN) bc ca ab  x;  y; z b c L i gi i :T ta đ t: a T ta c n ch ng minh: xy  yz  zx x  y  z  3 ThuVienDeThi.com B t đ ng th c ng d ng    Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng xy  yz  zx  x  y  z  ( ây d ng b t đ ng th c ph quen thu c) T b t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch khi: a=b=c=1 Ví D 3: Cho x,y,z > , abc=1 Ch ng minh r ng :   a b 1    b c 1    c a 1  (S u t m) L i gi i : T abc=1 ta có th đ t  a  x y z ;b  ; c  y z x , : yz zx xy 1       x y y z z x xy  zx yz  xy zx  yz (  1) (  1) (  1) y z z x x y (Nesbit) VT T b t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch : a=b=c=1 Ví D 4: Cho a,b,c>0 , abc = 1.Ch ng minh r ng:  1 1 1  a    b     c     b c  a  (IMO 2000) L i gi i :T abc=1 ta có th đ t VT  Ta có: a  x y z ;b  ; c  y z x (x  y  z )(y  z  x )(z  x  y) 1 xyz  (x  y  z )(y  z  x )(z  x  y)  xyz (M t d ng B t ng Th c quen thu c) T b t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch khi: a=b=c=1 Ví D 5: Cho a,c>0 b  Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: a2 c2 a b T    2a a  c b2  c (Nguy n Phúc T ng) a2 c2 a b L i gi i : T  a  c  b2  c  2a  1 1 b      a c2 b2  1 1 a c ThuVienDeThi.com B t đ ng th c ng d ng t: x  c b ;y  a c c: T  Ta đ Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng 1  xy   2 1x 1y T ta có th s d ng b t đ ng th c ph :  T  1   2  xy 1x 1y 1  xy  xy     2 2  xy 1x 1y V y giá tr nh nh t c a T t i x=y=1 Ví D 6:Cho a,b,c s th c d ng th a mãn: abc=1 Ch ng minh r ng: 1a b t: a  x ;b  y ; c  z , ta đ L i gi i: 1x  y6 1 c: 1 S d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz ta có: 1x y   z4  x  1  x y2  1  y6  z  x   y      z4  x  x y2  y2  z2   x  x  x 2yz  z 2x  y2  z2 V y ta ch c n ch ng minh: x  y2  z2   x  y z 2     xyz x  y  z   x y  y z  z x  xyz x  y  z 2 1  xy  yz  yz  zx  zx  xy 2 2  2  2     0 ng th c x y ch khi: a=b=c=1 Ví D 7:Cho a,b,c s th c d ng th a mãn abc=1 Ch ng minh r ng: 1   1 a a 1 b b 1 c c 1 (Võ Qu c Bá C n – Vasile Cirtoage) L i gi i: Vì a,b,c nên ta có th đ t: a  xy yz zx ;b  ; z  2 z x y Khi b t đ ng th c cho tr thành: ThuVienDeThi.com   B t đ ng th c ng d ng Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng 4 x y z  2  2 1 4 y z  x yz  x z x  xy z  y x y  xyz  z 2 S d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz ta có: 4  x y z  2  2  4 y z  x yz  x z x  xy z  y x y  xyz  z 2 x x2  y2  z2     y z  xyz x  y  z 2 V y ta ch c n ch ng minh: x  y2  z2   x  y z 2     xyz x  y  z    x 2y  y 2z  z 2x  xyz x  y  z 2 1 xy  yz  yz  zx  zx  xy   2 T b t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch khi: a=b=c=1 Ví D 8: Cho a,b,c >0 th a mãn abc=1 Ch ng minh r ng:      1   1 2 2  c  bc  a  ca  b  ab2 (Lê Vi t H ng) x y y z L i gi i: Vì abc=1 nên ta có th đ t: a  ;b  ; c  B t đ ng th c đ z x c vi t l i thành: x2 y2 z2   1 x  z  yz y  x  zx z  y  xy x4 y4 z4    1 x  x 2z  x 2yz y  x 2y  xy 2z z  y 2z  xyz Ch ng minh b t đ ng th c t ng t nh ví d ng th c x y ch khi: a=b=c=1 3) S d ng Cauchy- Schwarz đ ch ng minh b t đ ng th c : Ví D 1: Cho a, b, c > Ch ng minh r ng : 1 1    3. a b c a  2b ( TTS l p 10 chuyên Ngo i ng , HNN Hà N i 2007-2008) L i gi i :  1 1 1 ;    ;       (Cauchy-Swcharz) a b b a  2b b c c b  2c c a a c  2a  1 1  1  3     9    a b c   a  2b b  2c c  2a  10 ThuVienDeThi.com  B t đ ng th c ng d ng  Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng  1 1 1     3    a b c  a  2b b  2c c  2a  T b t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch : a=b=c 1    Ch b c 1 c a 1 a b 1 Ví D 2: Cho a,b,c > thõa mãn ng minh r ng : a  b  c  ab  bc  ca ( Romania IBMO Team Selection Test 2007 ) L i gi i : Ta có: b c 1 b c 1 b c 1 b c   b c 1 T s d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz ta đ           a b  b c  c a   VP    b c b c 1  1 a a  b  c  c: 2   ab   a T ta suy đ c: a  b  c  ab  bc  ca Ví D 3: Cho a,b,c >0 th a mãn a+b+c=3 Ch ng minh r ng: 1    2 a b  b c  c a  (Iranian IMO Team Selection Test 2009) a  b2 1   L i gi i:Ta có: 2 a  b  2 a  b2    a  b2  Vi t l i thành:  2 a b  2 S d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz ta có: VT  a  a  b2  b2  c  c  a      b2   b2  c   c  a  Ta l i có:  a  b2  b2  c  c  a          a  b2  b2  c  c  a    a  b2  c     c   a  b  c   a  a  b  c  2  a  b2  c  2 a  bc  a  b2   2 11 ThuVienDeThi.com a  b2 b2  c 2    b2  c  B t đ ng th c ng d ng  VT   a Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng  3 c   a  b2  c   b2 T b t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch khi: a=b=c=1 Ví D 4: Cho a,b,c > thõa mãn a  b2  c  Ch ng minh r ng:  a  b  c  1   a 2 b 2 c 2 L i gi i: S d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz ta có: a2   :    a  b2  c 2  a  b2  c a  b  c     1  b2  c      b2  c a  b  c  a  b  c  D u đ ng th c x y khi: a=b=c=1 Ví D 5:Cho a , b, c > thõa mãn a  b  c  Ch ng minh r ng: 1   1 a bc b ca c a b L i gi i : S d ng B T Bunhia-copsxki cho c p s ta đ a c:        B t đ ng th c đ c đ c ch ng minh D u đ ng th c x y : a=b=c=1 Ví D 6: Cho a,b,c s th c d ng Ch ng minh r ng: a b c a b b c     1 b c a b c a b (Belarusian MO 1998) L i gi i: Có th vi t l i b t đ ng th c thành: a a  b b  c c  b 1        b b c c b c a a b a b           ca b2 bc a  2b     a b b b c c b c a a b    a  b  c  2.3  1b c 1b c     1 2 b c a b c 1b c a b c a b c      S d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz ta có: 12 ThuVienDeThi.com B t đ ng th c ng d ng Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng   b c  c b2  a       a  c b c b a b b c c b c c b c  b  ca b2     B t đ ng th c t a   ng đ    bc  a  2b c a  b  a a  b  a  b a b  c  bc    a  2b     c a  b  a b c ng v i: a b c  c b c a   a 0 ca T , b t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch khi: a=b=c Ví D 7:Cho x,y,z s th c d ng Ch ng minh r ng: 2a 2b 2c   3 a b c a c a (Chinese Western MO 2004) L i gi i:S d ng B t đ ng th c Cauchy – Schwarz ta có:   2a    a  c      a b a c   Ta c n ch ng minh:  2a   b c               a  b  c ab  bc  ca   a b b c c a   a  b  c ab  bc  ca  a  b b  c c  a       ây d ng b t đ ng th c quen thu c ng th c x y ch khi: a=b=c Ví D 8: Cho a,b,c >0 th a mãn a  b2  c  Ch ng minh r ng: a2   b2  ca  (Nguy n Phúc T ng) L i gi i: Ta có:  a  b  c  ab  bc  ca S d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz ta có: a2   b2  ca  Ta l i có:   2 a   b2   c  a  b2  c  ab  bc  ca a2    a  b2  c   2  b     ab  1 13 ThuVienDeThi.com  a   b   a  b2  c  ab  bc  ca B t đ ng th c ng d ng Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng a  a  b2  c   2ab  2bc  2ca    b  ca a  b2  c  ab  bc  ca a  b2  c   2ab  2bc  2ca   a  b2  c  ab  bc  ca    6 a  b2  c  ab  bc  ca a  b2  c  ab  bc  ca     a b c  ng th c x y ch : ) S d ng AM-GM đ ch ng minh b t đ ng th c : Ví D 1: Cho x,y > x + y = Ch ng minh r ng :   x 3y x  y  (S u t m) L i gi i : Ta đ    3 2 2 c : x  y  x  y  x  xy  y  x  xy  y    3 2 Quy v toán ch ng minh: x y x  xy  y  S d ng b t đ ng th c AM-GM cho s ta có:        x 3y x  xy  y  xy xy xy x  xy  y T b t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch khi: x=y=1 Ví D 2: Cho a,b,c >0 Ch ng minh r ng: a a   b2   (Nguy n Phúc T ng) L i gi i:S d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: a  a  b2    1 a2    a 1 b 1 a  b2   a    x y  xy  xy  xy  x  xy  y        4      a  1    a   ng th c x y ch khi: a=b=c=1 Ví D 3: Cho a,b,c>0 tho mãn: a+b+c=3 Ch ng minh r ng: a  b  c  ab  bc  ca (Russian MO 2002) L i gi i : S d ng b t đ ng th c Holder: 14 ThuVienDeThi.com    1   B t đ ng th c ng d ng  a  b c  a 2 Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng    b2  c  a  b  c   27 Theo AM-GM, Ta có: a b c 2  ab  bc  ca   a  b2  c  2ab  2bc  2ca     27    a  b  c  ab  bc  ca B t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch khi: a=b=c=1 Ví D 4: Cho a,b,c > Ch ng minh r ng :  a  b2  3ab  b2  c  3bc  c  a  3ca  a  b  c ( Tr n H u Thiên ) L i gi i: (a  b) (*) 2 Ta c n ch ng minh b t đ ng th c sau: a  b  3ab  (*)  4(a  b2  3ab)  5(a  b)2 Ta có: T  (a  b)2  5 (b  c ); c  a  3ca  (c  a ) 2 ng t ta có: b2  c  3bc  C ng b t đ ng th c theo v ta s đ c đpcm ng th c x y ch khi: a=b=c Ví D 5:Cho x,y,z s th c d ng th a mãn x+y+z=xyz Ch ng minh r ng: 1  x2  1  y2 (Korea MO 1998) L i gi i: 2 Ta th y r ng:  x   x Vì v y ta c n ch ng minh:   1  z2  x y x z x y z  xyz yz  yz x  y x  z    VT  xy  yz  zx    x y x z         S d ng b t đ ng th c Cauchy - Schwarz ta có:     xy  yz  zx x  y  z   x y y z z x    T ta có th s d ng d ng b t đ ng th c quen thu c: 15 ThuVienDeThi.com    B t đ ng th c ng d ng       Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng x  y  z xy  yz  zx  x  y y  z z  x T , b t đ ng th c đ  c ch ng minh ng th c x y ch khi: x  y  z  Ví D 6: Cho a,b,c s th c d ng Ch ng minh r ng: a  ab  abc   a b c  L i gi i:S d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: 1 a 4b  a 4b.16c a  4b a  4b  16c a    a b c 2 3 a  ab  abc  a    ng th c x y ch khi:a=4b=16c Ví D 7: Cho x,y,z >0 x  y  z  xyz Ch ng minh r ng: x cyc x   yz (Di n đàn toán h c VMF) L i gi i:Ta th y: x  y  z  xyz   x y z 1      yz zx xy x y z S d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: x x   yz  x yz x    yz 11 1     x y z  ng th c x y ch khi: x=y=z=3 Ví D 8:Cho a,b,c s th c d ng th a mãn abc=1 Ch ng minh r ng: a b  c  ab  a  1 bc  c  1 ca  c  1 2  a b c (Di n đàn toán h c VMF) L i gi i: Ta th y r ng: a b  c  ab  a  1 bc  c  1 ca  c  1  ac  ca  c   a 2bc   ca  c   c   ca  c    ac  a 2bc  c  ca  c  S d ng B T Cauchy – Schwarz ta có: 16 ThuVienDeThi.com   ac  ac  c ca  c  1 B t đ ng th c ng d ng ac       ac  c a  b  c  ca  c  ac  ac  c ca  c  1 a   Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng  a b c b  c ab  a  1 bc  c  1 ca  c  1 2  a b c ng th c x y ch khi: a=b=c=1 5) K thu t thêm b t : Ví D 1: Cho a,b,c > Ch ng minh r ng: a b c a b2 c      b c a b2 c a (Junior Banlkan 2000) L i gi i: a3 a  b ab(a  b) a b    a b b2 b2 b2 a3 a2    a  b  c   a b c b b a3 a2    b b ng th c x y ch khi: a=b=c Ví D 2: Cho a,b,c,d c nh c a t giác Ch ng minh r ng: a b c d    2 b c d a a b c d a b c d a b c d (Lê Vi t H ng) L i gi i: a a  b  c  d  a   (b  c  d  a  )  a b c d a b c d  2  2  b c d a 2(b  c  d  a ) a b c d 16  2  2(a  b  c  d ) T b t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch khi: a=b=c=d Ví D 3:Cho a,b,c >0 Ch ng minh r ng: a b c a b c      b c c a a b a b b c c a L i gi i: u tiên, ta có th chuy n v trái qua v ph i vi t l i thành: 17 ThuVienDeThi.com B t đ ng th c ng d ng a b b c c a   0 b c c a a b tri t tiêu d u tr ta có th làm nh sau: Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng a b  b c  c a   1    1    1   b  c  c  a  a b  a v tốn ch ng minh : Ta có: a b c a b c   3 c a b c a b a b c a b c a b c a b c    33 3 c a b c a b c a b c a b T b t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch khi: a=b=c Ví D 4:Cho a,b,c,d>0.Ch ng minh r ng: a d d b b c c a    0 b d c b c a d a (Vasile Cirtoaje) L i gi i: tri t tiêu d u tr , ta có th làm theo cách c a ví d nh sau: a d  d b  b c  c a   1    1    1    1   b d  c b  c  a  d  a  T , ta đ a v d ng toán ch ng minh: a b c d a b c d    4 b d c b c a d a Ta có:   1   a b c d a b c d     a b      c d   b d c b c a d a b  d c  a  c  b d  a  4  c d  a b c d 4 VT  a  b a b c d a b c d a b c d           T b t đ n th c đ c ch ng minh ng th c x y ch khi: a=b=c=d Ví D 5: Cho a,b,c đ dài c a m t tam giác Ch ng minh r ng : a b c ab  bc  ca     b  c c  a a  b a  b2  c 2 (Ph m Kim Hùng) L i gi i: B t đ ng th c cho t ng đ ng v i: 18 ThuVienDeThi.com B t đ ng th c ng d ng Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng ab  bc  ca  a   b   c    1    1    1   2 a b c b c   c a   a b    a b c b c a c a b a b c     b c c a a b a  b2  c     Ta th y a,b,c c nh c a tam giác, v y: b+c – a > ; a+b – c > ; c+a – b > S d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz ta có:      a  b  c  a b c a b c      a b  a  b a  b  c a  b2  c   2   ng th c x y ch khi: a=b=c Ví D 6: Cho a,b,c s th c th c d  ng cho a+b+c=1 Ch ng minh r ng: a b c   a b  c 2       b c a  a b c (Japanese MO 2004) L i gi i:Ta th y : 1a 2a  1 1a b c Vì v y , b t đ ng th c cho t ng đ ng v i : b c a a b c       a b c b c c a a b b b  c c  a a             a c a b a b c b c       ab bc ca     c b c a c a b a b       S d ng b t đ ng th c cauchy – Schwarz ta có: ab  bc  ca   c b  c  abc b  c      ab ab  bc  ca   ab  bc  ca   2abc a  b  c  ab  bc  ca  2 2  3 T , b t đ ng th c đ c ch ng minh ng th c x y ch khi: a=b=c Ví D 7:Cho a,b,c s th c d ng th a mãn abc=1 Ch ng minh r ng: a3 b3 c3    (1  b)(1  c ) (1  c )(1  a ) (1  a )(1  b) (IMO Shortlist 1998) L i gi i: S d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: 19 ThuVienDeThi.com B t đ ng th c ng d ng Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng  b  c 3a a    (1  b)(1  c) 8  c  a 3b b3    (1  c)(1  a ) 8  a  b 3c c3    (1  a )(1  b) 8 C ng b t đ ng th c theo v ta đ c: a3 b3 c3     (a  b  c)  (1  b)(1  c) (1  c)(1  a ) (1  a )(1  b) 2 ng th c x y ch khi: a=b=c=1 Ví D 8: Cho a,b,c s th c d ng th a mãn a+b+c=3 Ch ng minh r ng:   a a  2b  c ab  L i gi i: B t đ ng th c cho t ng đ  a a  2b  c   9    ab     a 1   0 ng v i:  ab   S d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: a 1  ab   3 a 1 b 1 c 1 ab  bc  ca  Ta ch c n ch ng minh: a  1b  1c  1  ab  1bc  1ca  1    abc  ab  bc  ca   a  b  c  a 2b2c  abc a  b  c  ab  bc  ca       abc abc  a  b  c  Theo AM – GM ta l i có:  a  b  c  3 abc   abc ng th c x y ch khi: a=b=c=1 6) K Thu t AM-GM ng c d u: Ví D 1: Cho a,b,c >0 th a mãn ab+bc+ca=3 Ch ng minh r ng: a b c     b2  c  a 2 a ab2 ab2 ab       a 1 L i gi i: Ta th y : 2b  b2  b2 a b c ab  bc  ca 3        3  2  b2  c  a ng th c x y ch khi: a=b=c=1 Ví D 2: Cho a , b, c, d >0 th a mãn a  b  c  d  Ch ng minh r ng 20 ThuVienDeThi.com ...   (1  b)(1  c ) (1  c )(1  a ) (1  a )(1  b) (IMO Shortlist 199 8) L i gi i: S d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: 19 ThuVienDeThi.com B t đ ng th c ng d ng Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H...  x  x x , v y x x=1, nhiên x=1 l i không n m kho ng giá tr x  mà toán quy đ nh Vì v y v i l i gi i ta tìm sai m r i cho toán Gi i: đ m b o đc d u “=” x y ta có l i gi i nh sau: Ta th y l i... đ ng th c ng d ng A Nguy n Phúc T ng – Lê Vi t H ng 8x  x  8.3 x 24 10    2    ? ?9 x 9 x 3 Ra thêm: Ví D 2:Cho x  Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: B  3x  2x Ví D 3:Cho x>2