chuyên đề bất ĐẲNG THỨC và bất phương trình

WWW.TOANTRUNGHOC.COM BÀI TẬP ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNGIV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 30 1. Tính chất 2. Một số bất đẳng thức thông dụng a) aa 2 0, . a b ab 22 2 . b) Bất đẳng thức Cô–si: + Với a, b  0, ta có: ab ab 2   . Dấu "=" xảy ra  a = b. + Với a, b, c  0, ta có: a b c abc 3 3   . Dấu "=" xảy ra  a = b = c. Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất  x = y. – Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất  x = y. c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có: + a, b, c > 0. + a b c a b    ; b c a b c    ; c a b c a    . e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki Với a, b, x, y  R, ta có: ax by a b x y 2 2 2 2 2 ( ) ( )( )    . Dấu "=" xảy ra  ay = bx. CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I. BẤT ĐẲNG THỨC Điều kiện Nội dung a < b  a + c < b + c (1) c > 0 a < b  ac < bc (2a) c < 0 a < b  ac > bc (2b) a < b và c < d  a + c < b + d (3) a > 0, c > 0 a < b và c < d  ac < bd (4) n nguyên dương a < b  a 2n+1 < b 2n+1 (5a) 0 < a < b  a 2n < b 2n (5b) a > 0 a < b  ab (6a) a < b  33 ab (6b) Điều kiện Nội dung x x x x x0, ,    a > 0 x a a x a     xa xa xa       a b a b a b     Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 31 VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản  Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết. – Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.  Một số BĐT thường dùng: + A 2 0 + AB 22 0 + AB.0 với A, B  0. + A B AB 22 2 Chú ý: – Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức. – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức. Bài 1. Cho a, b, c, d, e  R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b c ab bc ca 2 2 2      b) a b ab a b 22 1     c) a b c a b c 2 2 2 3 2( )      d) a b c ab bc ca 2 2 2 2( )     e) a b c a ab a c 4 4 2 2 1 2 ( 1)       f) a b c ab ac bc 2 22 2 4      g) a b b c c a abc 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) 6      h) a b c d e a b c d e 2 2 2 2 2 ()        i) a b c ab bc ca 1 1 1 1 1 1      với a, b, c > 0 k) a b c ab bc ca     với a, b, c  0 HD: a)  a b b c c a 222 ( ) ( ) ( ) 0      b)  a b a b 222 ( ) ( 1) ( 1) 0      c)  a b c 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 0      d)  abc 2 ( ) 0   e)  a b a c a 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( 1) 0      f)  a bc 2 ( ) 0 2       g)  a bc b ca c ab 222 ( ) ( ) ( ) 0      h)  a a a a b c d e 2 2 2 2 0 2 2 2 2                                 i)  a b b c c a 222 1 1 1 1 1 1 0                         k)        a b b c c a 222 0      Bài 2. Cho a, b, c  R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b a b 3 33 22      ; với a, b  0 b) a b a b ab 4 4 3 3    c) aa 4 34 d) a b c abc 3 3 3 3   , với a, b, c > 0. e) ab ab ba 66 44 22    ; với a, b  0. f) ab ab 22 1 1 2 1 11    ; với ab  1. g) a a 2 2 3 2 2    h) a b a b a b a b 5 5 4 4 2 2 ( )( ) ( )( )     ; với ab > 0. HD: a)  a b a b 2 3 ( )( ) 0 8    b)  a b a b 33 ( )( ) 0   Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 32 c)  a a a 22 ( 1) ( 2 3) 0    d) Sử dụng hằng đẳng thức a b a b a b ab 3 3 3 2 2 ( ) 3 3     . BĐT  a b c a b c ab bc ca 2 2 2 ( ) ( ) 0           . e)  a b a a b b 2 2 2 4 2 2 4 ( ) ( ) 0    f)  b a ab ab a b 2 22 ( ) ( 1) 0 (1 )(1 )(1 )    g)  a 22 ( 1) 0 h)  ab a b a b 33 ( )( ) 0   . Bài 3. Cho a, b, c, d  R. Chứng minh rằng a b ab 22 2 (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: a) a b c d abcd 4 4 4 4 4    b) a b c abc 2 2 2 ( 1)( 1)( 1) 8    c) a b c d abcd 2 2 2 2 ( 4)( 4)( 4)( 4) 256     HD: a) a b a b c d c d 4 4 2 2 2 2 2 2 2 ; 2    ; a b c d abcd 2 2 2 2 2 b) a a b b c c 2 2 2 1 2 ; 1 2 ; 1 2      c) a a b b c c d d 2 2 2 2 4 4 ; 4 4 ; 4 4 ; 4 4        Bài 4. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu a b 1 thì a a c b b c    (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: a) a b c a b b c c a 2      b) a b c d a b c b c d c d a d a b 12             c) a b b c c d d a a b c b c d c d a d a b 23                  HD: BĐT (1)  (a – b)c < 0. a) Sử dụng (1), ta được: a a c a b a b c      , b b a b c a b c      , c c b c a a b c      . Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm. b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: a a a a b c d a b c a c        Tương tự, b b b a b c d b c d b d        c c c a b c d c d a a c        d d d a b c d d a b d b        Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. c) Chứng minh tương tự câu b). Ta có: a b a b a b d a b c d a b c a b c d              Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm. Bài 5. Cho a, b, c  R. Chứng minh bất đẳng thức: a b c ab bc ca 2 2 2      (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: a) a b c a b c 2 2 2 2 ( ) 3( )     b) a b c a b c 2 2 2 2 33         c) a b c ab bc ca 2 ( ) 3( )     d) a b c abc a b c 4 4 4 ()     Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 33 e) a b c ab bc ca 33      với a,b,c>0. f) a b c ab c 4 4 4    nếu a b c 1 HD:  a b b c c a 222 ( ) ( ) ( ) 0      . a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1) b, c) Vận dụng a) d) Sử dụng (1) hai lần e) Bình phương 2 vế, sử dụng (1) f) Sử dụng d) Bài 6. Cho a, b  0 . Chứng minh bất đẳng thức: a b a b b a ab a b 3 3 2 2 ()     (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: a) abc a b abc b c abc c a abc 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1          ; với a, b, c > 0. b) a b b c c a 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 111          ; với a, b, c > 0 và abc = 1. c) a b b c c a 1 1 1 1 111          ; với a, b, c > 0 và abc = 1. d) a b b c c a a b c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4( ) 4( ) 4( ) 2( )        ; với a, b, c  0 . e*) A B C A B C 33 3 3 3 3 sin sin sin cos cos cos 2 2 2      ; với ABC là một tam giác. HD: (1)  a b a b 22 ( )( ) 0   . a) Từ (1)  a b abc ab a b c 33 ()      ab a b c a b abc 33 11 ()    . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. b, c) Sử dụng a). d) Từ (1)  a b a b ab 3 3 2 2 3( ) 3( )    a b a b 3 3 3 4( ) ( )   (2). Từ đó: VT  a b b c c a a b c( ) ( ) ( ) 2( )        . e) Ta có: C A B C ABsin sin 2cos .cos 2cos 2 2 2     . Sử dụng (2) ta được: a b a b 33 3 4( )   .  CC A B A B 33 3 33 sin sin 4(sin sin ) 4.2.cos 2 cos 22      Tương tự, A BC 3 3 3 sin sin 2 cos 2  , B CA 3 3 3 sin sin 2 cos 2  Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. Bài 7. Cho a, b, x, y  R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): a x b y a b x y 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )       (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: a) Cho a, b  0 thoả ab1 . Chứng minh: ab 22 1 1 5    . b) Tìm GTNN của biểu thức P = ab ba 22 22 11    . c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 1   . Chứng minh: x y z x y z 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82      . Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 34 d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 3   . Tìm GTNN của biểu thức: P = x y z 2 2 2 223 223 223     . HD: Bình phương 2 vế ta được: (1)  a b x y ab xy 2 2 2 2 ( )( )    (*)  Nếu ab xy 0 thì (*) hiển nhiên đúng.  Nếu ab xy 0 thì bình phương 2 vế ta được: (*)  bx ay 2 ( ) 0 (đúng). a) Sử dụng (1). Ta có: a b a b 2 2 2 2 1 1 (1 1) ( ) 5        . b) Sử dụng (1). P  a b a b a b a b 22 22 1 1 4 ( ) ( ) 17                     Chú ý: a b a b 1 1 4   (với a, b > 0). c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: x y z x y z x y z x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ()                x y z x y z 2 2 9 ( ) 82         . Chú ý: x y z x y z 1 1 1 9     (với x, y, z > 0). d) Tương tự câu c). Ta có: P    x y z 2 2 3 223 ( ) 2010    . Bài 8. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: a) ab bc ca a b c ab bc ca 2 2 2 + <2( )      b) abc a b c b c a a c b( )( )( )       c) a b b c c a a b c 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 0      d) a b c b c a c a b a b c 2 2 2 3 3 3 ( ) ( ) ( )        HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c a b bc c 2 2 2 2      . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. b) Ta có: a a b c a a b c a b c 2 2 2 2 ( ) ( )( )         . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. c)  a b c a b c b c a c a b( )( )( )( ) 0         . d)  a b c b c a c a b( )( )( ) 0       . Bài 9. a) Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 35 VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si 1. Bất đẳng thức Cô–si: + Với a, b  0, ta có: ab ab 2   . Dấu "=" xảy ra  a = b. + Với a, b, c  0, ta có: a b c abc 3 3   . Dấu "=" xảy ra  a = b = c. 2. Hệ quả: + ab ab 2 2      + a b c abc 3 3      3. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: + Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất  x = y. + Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất  x = y. Bài 1. Cho a, b, c  0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b b c c a abc( )( )( ) 8    b) a b c a b c abc 2 2 2 ( )( ) 9     c)   a b c abc 3 3 (1 )(1 )(1 ) 1     d) bc ca ab a b c a b c      ; với a, b, c > 0. e) a b b c c a abc 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) 6      f) ab bc ca a b c a b b c c a 2        ; với a, b, c > 0. g) a b c b c c a a b 3 2       ; với a, b, c > 0. HD: a) a b ab b c bc c a ca2 ; 2 ; 2       đpcm. b) a b c abc a b c a b c 3 2 2 2 2 2 2 3 3 ; 3       đpcm. c)  a b c a b c ab bc ca abc(1 )(1 )(1 ) 1            a b c abc 3 3    ab bc ca a b c 3 2 2 2 3      a b c abc a b c abc abc 3 3 2 2 2 33 (1 )(1 )(1 ) 1 3 3 1         d) bc ca abc c a b ab 2 22   , ca ab a bc a b c bc 2 22   , ab bc ab c b c a ac 2 22    đpcm e) VT  a b b c c a 2 2 2 2( )  a b c abc 3 3 3 3 66 . f) Vì a b ab2 nên ab ab ab ab ab 2 2   . Tương tự: bc bc ca ca b c c a ; 22   .  ab bc ca ab bc ca a b c a b b c c a 22            (vì ab bc ca a b c     ) g) VT = a b c b c c a a b 1 1 1 3                            =   a b b c c a b c c a a b 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 3 2                93 3 22  .  Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b. Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 36 Khi đó, VT = x y z x z y y x x z y z 1 3 2                           13 (2 2 2 3) 22     . Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b c a b c a b c 3 3 3 2 1 1 1 ( ) ( )           b) a b c a b c a b c 3 3 3 2 2 2 3( ) ( )( )       c) a b c a b c 3 3 3 3 9( ) ( )     HD: a) VT = a b b c c a a b c b a c b a c 3 3 3 3 3 3 2 2 2                           . Chú ý: ab a b ab ba 33 22 22   . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. b)        a b c a b b a b c bc c a ca 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2( )        . Chú ý: a b ab a b 33 ()   . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. c) Áp dụng b) ta có: a b c a b c a b c 3 3 3 2 2 2 9( ) 3( )( )       . Dễ chứng minh được: a b c a b c 2 2 2 2 3( ) ( )      đpcm. Bài 3. Cho a, b > 0. Chứng minh a b a b 1 1 4   (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: a) a b c a b b c c a 1 1 1 1 1 1 2            ; với a, b, c > 0. b) a b b c c a a b c a b c a b c 1 1 1 1 1 1 2 222                  ; với a, b, c > 0. c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1 1 1 4 . Chứng minh: a b c a b c a b c 111 1 222          d) ab bc ca a b c a b b c c a 2        ; với a, b, c > 0. e) Cho x, y, z > 0 thoả x y z2 4 12   . Chứng minh: xy yz xz x y y z z x 2 8 4 6 2 2 4 4       . f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: p a p b p c a b c 1 1 1 1 1 1 2          . HD: (1)  ab ab 11 ( ) 4       . Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si. a) Áp dụng (1) ba lần ta được: a b a b b c b c c a c a 1 1 4 1 1 4 1 1 4 ;;         . Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. b) Tương tự câu a). c) Áp dụng a) và b) ta được: a b c a b c a b c a b c 1 1 1 1 1 1 4 222               . d) Theo (1): a b a b 1 1 1 1 4       ab ab ab 1 () 4   . Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm. e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a b c 12  đpcm. f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c. Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 37 Áp dụng (1) ta được: p a p b p a p b c 1 1 4 4 ( ) ( )         . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm. Bài 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh a b c a b c 1 1 1 9     (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: a) a b c a b c a b b c c a 2 2 2 1 1 1 3 ( ) ( ) 2              . b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1   . Tìm GTLN của biểu thức: P = x y z x y z1 1 1     . c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1   . Tìm GTNN của biểu thức: P = a bc b ac c ab 2 2 2 1 1 1 2 2 2     . d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1 . Chứng minh: ab bc ca a b c 2 2 2 1 1 1 1 30     . e*) Cho tam giác ABC. Chứng minh: A B C 1 1 1 6 2 cos2 2 cos2 2 cos2 5       . HD: Ta có: (1)  a b c a b c 1 1 1 ( ) 9         . Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si. a) Áp dụng (1) ta được: a b b c c a a b c 1 1 1 9 2( )         .  VT  a b c a b c a b c a b c a b c 2 2 2 2 2 2 9( ) 3 3( ) 3 . ( ) 2( ) 2 2             Chú ý: a b c a b c 2 2 2 2 ( ) 3( )     . b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau: P = x y z x y z 1 1 1 1 1 1 1 1 1           = x y z 1 1 1 3 1 1 1          Ta có: x y z x y z 1 1 1 9 9 1 1 1 3 4           . Suy ra: P  93 3 44  . Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau: Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1   và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN của biểu thức: P = x y z kx ky kz1 1 1     . c) Ta có: P  a bc b ca c ab a b c 2 2 2 2 99 9 2 2 2 ( )         . d) VT  ab bc ca a b c 2 2 2 19    = ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c 2 2 2 1 1 1 7               ab bc ca a b c 2 9 7 9 7 30 1 1 () 3       Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 38 Chú ý: ab bc ca a b c 2 11 () 33       . e) Áp dụng (1): A B C A B C 1 1 1 9 2 cos2 2 cos2 2 cos2 6 cos2 cos2 cos2           96 3 5 6 2   . Chú ý: A B C 3 cos2 cos2 cos2 2    . Bài 5. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau: a) x yx x 18 ;0 2    . b) x yx x 2 ;1 21     . c) x yx x 31 ;1 21      . d) x yx x 51 ; 3 2 1 2     e) x yx xx 5 ; 0 1 1      f) x yx x 3 2 1 ;0   g) xx yx x 2 44 ;0   h) y x x x 2 3 2 ;0   HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny = 3 2 khi x = 3 c) Miny = 3 6 2  khi x = 6 1 3  d) Miny = 30 1 3  khi x = 30 1 2  e) Miny = 2 5 5 khi x 55 4   f) Miny = 3 3 4 khi x = 3 2 g) Miny = 8 khi x = 2 h) Miny = 5 5 27 khi x = 5 3 Bài 6. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau: a) y x x x( 3)(5 ); 3 5      b) y x x x(6 ); 0 6    c) y x x x 5 ( 3)(5 2 ); 3 2       d) y x x x 5 (2 5)(5 ); 5 2       e) y x x x 15 (6 3)(5 2 ); 22       f) x yx x 2 ;0 2   g)   x y x 2 3 2 2   HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3 c) Maxy = 121 8 khi x = 1 4  d) Maxy = 625 8 khi x = 5 4 e) Maxy = 9 khi x = 1 f) Maxy = 1 22 khi x = 2 ( xx 2 2 2 2 ) g) Ta có: x x x 3 2 2 2 2 1 1 3      xx 2 3 2 ( 2) 27  x x 2 23 1 27 ( 2)   [...]... y  2  3  2x  y    www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 41 Bất đẳng thức – Bất phương trình 8 5  minD = –7 khi x   , y  www.toantrunghoc.com 9 ; 5 Trần Sĩ Tùng 8 9 maxD = 3 khi x  , y   5 5 Bài 9 a) II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 1 Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 Điều kiện Kết quả tập nghiệm... S= a=0 b 0 x    ;    a  VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 Bài 10 Giải các bất phương trình sau: 2x  1 3... các bất phương trình sau vô nghiệm: a) (m  2) x 2  2(m  1)x  4  0 b) (m  3) x 2  (m  2) x  4  0 c) (m2  2m  3) x 2  2(m  1) x  1  0 d) mx 2  2(m  1) x  4  0 e) (3  m) x 2  2(2m  5) x  2m  5  0 f) mx 2  4(m  1) x  m  5  0 Bài 4 a) VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai 1 Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương. .. S  (m  2; ) Bài 5 Giải các bất phương trình sau: a)   m 1  ;    m  0 : S  (;1)    m    m 1  ;1 b)  m  0 : S     m   m  0 : S  (;1)  www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 44 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com III BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 Dấu của tam thức bậc hai 0 f(x) =... mx  4 d) 3  mx  2( x  m)  (m  1)2 Bài 13 a) www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 42 Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Bài 1 a) d) g) Bài 2 a) Bài 3 a) Giải các hệ bất phương trình sau:  4  4x  5 15 x  8 1 8 x  5  2  3  12 x  x  2  7  x 3 b)  c) ...  m) x 2  2mx  2m  0 c) mx 2  2 x  4  0 HD: Giải và biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành như sau: – Lập bảng xét dấu chung cho a và  – Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm của BPT Bài 4 Giải các hệ bất phương trình sau: www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 45 Bất đẳng thức – Bất phương trình 2 x 2  9 x  7  0  a)  2 x  x  6  0  x2... Không nên qui đồng và khử mẫu 3 Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ  Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ g( x )  0  Dạng 1: f ( x )  g( x )   g( x )  f ( x )  g( x ) www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 43 Bất đẳng thức – Bất phương trình  Dạng 2: Trần... a) x  2  x 2  8 Bài 12 Giải các phương trình sau: a) b) 3 3 2 x 2  1  3x 2  1 c) 3 x 1  x  3 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 48 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a3  b3  c3  a  b  c , với a, b, c > 0 và xyz = 1 abc abc abc b)  ...  x  2 f) g) x2  x  2 Bài 3 Giải các phương trình sau: i) x 2  5x  6 3x 2  9 x  1  x  2 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 47 Bất đẳng thức – Bất phương trình 3x  7  x  1  2 g) Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com x2  9  x2  7  2 h) 21  x  21  x i) 21  x  21  x  21 x Bài 4 Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa) a) 3 x  5 ... biểu thức sau: 1 5 4 1 a) A  x  , với x > 1 b) B   , với x, y > 0 và x  y  4 x 1 x 4y Tương tự: c) C  a  b  1 1  , với a, b > 0 và a  b  1 a b d) D  a3  b3  c3 , với a, b, c > 0 và ab  bc  ca  3 1 1  2 1  3 HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = ( x  1)  x 1 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 49 Bất đẳng thức – Bất phương trình . Bài 4. a) VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai 1. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu. www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , Trang 35 VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si 1. Bất đẳng thức. CHƯƠNGIV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi