Chuyên đề tốt nghiệp một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit

LỜI CẢM ƠN Để hồn thành chun đề này, tơi xin chân thành cảm ơn: Ban giám hiệu Trường Đại học Tây Nguyên, lãnh đạo khoa Khoa học Tự nhiên Công nghệ tạo điều kiện thuận lợi để tơi thực hồn thành tốt khóa luận Q thầy Bộ mơn Tốn, tồn thể quý thầy cô giáo Trường Đại học Tây Nguyên dạy dỗ truyền đạt cho kiến thức quý báu suốt trình học tập trường Thầy ThS Mai Quốc Vũ, Bộ mơn Tốn, khoa Khoa học Tự nhiên Công nghệ, Trường Đại học Tây Nguyên, người trực tiếp hướng dẫn, truyền đạt cho kiến thức, kinh nghiệm quý báu trình học tập q trình hồn thành khóa luận Thầy giúp củng cố lại kiến thức sở đồng thời bổ sung thêm kiến thức làm bước vào làm khóa luận Trong suốt q trình thực khóa luận, thầy ln định hướng, góp ý, sửa chữa chỗ sai giúp hướng Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình tập thể lớp SP Toán K10 giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho trình học tập hồn thành khóa luận Đắk Lắk, tháng năm 2014 Sinh viên Nguyễn Văn Thiện MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tóm tắt lũy thừa hàm số mũ 1.1.1 Các phép tính lũy thừa với số mũ thực 1.1.2 Hàm số mũ 1.2 Hàm số ngược 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Điều kiện đủ để có hàm số ngược 1.2.3 Đồ thị hàm số ngược 1.3 Tóm tắt hàm số lơgarit 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Tính chất 1.3.3 Các phép tính lơgarit 1.3.4 Công thức đổi số 1.4 Một số kiến thức khác 1.4.1 Bất đẳng thức Cô-si 1.4.2 Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki 1.4.3 Bất đẳng thức Bernoulli 1.4.4 Định lí rolle 8 8 9 10 10 10 10 11 11 11 12 12 12 12 12 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT 14 2.1 Phương trình lơgarit 14 2.2 2.3 2.4 2.1.1 Phương pháp đưa số 2.1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 2.1.3 Phương pháp hàm số 2.1.4 Phương pháp đồ thị 2.1.5 Một số phương pháp khác Giải biện luận nghiệm phương trình lơgarit có chứa tham số Bất phương trình lơgarit 2.3.1 Phương pháp mũ hóa đưa số 2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 2.3.3 Phương pháp hàm số 2.3.4 Phương pháp đồ thị 2.3.5 Một số phương pháp khác Giải biện luận nghiệm bất phương trình lơgarit có chứa tham số 14 18 24 27 28 31 34 34 35 36 38 39 40 Kết luận 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT R - tập số thực T - tập giá trị hàm số L - loại V N - vô nghiệm V T - vế trái V P - vế phải MỞ ĐẦU Đặt vấn đề Lôgarit phát minh Nê-pe (J Napier hay J Neper 1550 – 1617) – điền chủ nhà thần học Xcôt-len Nê-pe đam mê tốn học ơng coi tốn học niềm vui giải trí Trong vịng 20 năm trời, lúc rảnh rỗi, Nê-pe phát triển lí thuyết lơgarit ơng trình bày vấn đề sách viết chữ La-tinh in năm 1614 với đầu đề “Mô tả bảng Lơgarit kì diệu” ( từ “lơgarit” có gốc từ từ Hi Lạp: logos nghĩa tỉ lệ, arithmos nghĩa số) Ơng hi vọng phát minh giúp đơn giản hóa nhiều phép tính thiên văn, phép tính địi hỏi nhiều cơng sức thời gian Thực tế, lôgarit Nê-pe làm cách mạng thiên văn nhiều lĩnh vực toán học cách thay việc thực “phép tính nhân, chia, tính bậc hai, bậc ba số lớn mà bên cạnh việc tiêu phí thời gian cách tẻ nhạt, người ta cịn hay bị nhầm lẫn” thực phép tính cộng, trừ đơn giản số tương ứng Phát minh Nê-pe phương thức tiết kiệm thời gian đơn giản Ở Việt Nam, số tài liệu liên quan đến giải tốn Lơgarit nói chung phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit nói riêng kể đến như: Ngơ Viết Diễn, Phương pháp chọn lọc giải tốn hàm số mũ lơgarit, 2004; Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí, Phương pháp giải tốn mũ – lơgarit, 2012; Nguyễn Phú Khánh, Phân dạng phương pháp giải chuyên đề giải tích 12, 2012 Phương trình bất phương trình lơgarit nội dung tương đối khó đóng vai trị quan trọng chương trình giải tích lớp 12, nội dung thiếu kì thi quốc gia quan trọng đặc biệt kì thi đại học hàng năm Nhưng chương trình phổ thông chưa cung cấp hệ thống phương pháp giải đầy đủ, để em học sinh có tài liệu tương đối đầy đủ phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit dùng để ôn thi để chuẩn bị tốt cho kì thi quan trọng Do đó, chun đề tài liệu cần thiết giáo viên học sinh, tác giả hi vọng chuyên đề tài liệu tham khảo người quan tâm đến chuyên đề phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit, đặc biệt dành cho học sinh THPT, tài liệu hữu ích để em ôn luyện thi đại học Mục tiêu đề tài • Làm rõ phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit • Vận dụng phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit để giải hầu hết dạng phương trình bất phương trình lơgarit Ý nghĩa khoa học Chun đề giúp cách nhìn tổng quan dạng phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit Ý nghĩa thực tiễn Tác giả hi vọng chuyên đề tài liệu tham khảo người quan tâm đến chuyên đề phương pháp giải phương trình bất phương trình lôgarit, đặc biệt dành cho học sinh THPT, tài liệu hữu ích để em ơn luyện thi đại học Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu • Sưu tầm tài liệu qua sách, báo, internet • Sử dụng phương pháp: phân tích, so sánh, khái quát hóa, tổng kết kinh nghiệm Giới hạn đề tài • Nghiên cứu tài liệu liên quan đến phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit Trình bày phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit • Nội dung khóa luận trình bày chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm tính chất lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit số kiến thức cần thiết khác cho nội dung đề tài: Bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacốpki, Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit Đây chương chun đề Trong chương chúng tơi trình bày phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit, giải biện luận nghiệm phương trình bất phương trình lơgarit có chứa tham số Chun đề trình bày phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit nghiên cứu ứng dụng phổ thông, kết trình sưu tầm, đọc sách báo tài liệu tham khảo tác giả liên quan Các phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit nghiên cứu tác giả khác trình bày chi tiết [1]; [2]; [3]; Ở tơi xin trình bày hệ thống lại cách rõ rành hơn, đồng thời bổ sung ví dụ đặc sắc sát thực, tài liệu tham khảo nhỏ giúp em học sinh trung học phổ thông học học tập tốt phần giúp thầy cô giáo làm tốt công tác giảng dạy Mặc dù tác giả dành nhiều tâm huyết cho chuyên đề này, song sai sót điều khó tránh khỏi Chúng mong nhận phản biện góp ý quý báu quý độc giả để chuyên đề hoàn thiện Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm tính chất lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit số kiến thức cần thiết khác nhằm làm sở để giải tập chương 1.1 1.1.1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Tóm tắt lũy thừa hàm số mũ Các phép tính lũy thừa với số mũ thực ax ay = ax+y ax = ax−y y a x (ab) = ax bx y (ax ) = axy a x ax = x b b Chú ý 1.1.1 1) Nếu a < 0, ax xác định ∀x ∈ Z 2) Với n ∈ Z, n ≤ an có nghĩa ⇔ a = 1.1.2 Hàm số mũ a) Định Nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Hàm số mũ số a (a > 0) hàm số xác định công thức: f : R → (0; +∞) x → y = f (x) = ax b) Các tính chất: * Hàm số y = ax có tập xác định R * Hàm số y = ax có tập giá trị (0; +∞) * Hàm số y = ax liên tục điểm x ∈ R * ax > 0, ∀x ∈ R * Nếu a = hàm số y = ax không đổi R: y = * a > 1: Hàm số y = ax đồng biến R * < a < 1: Hàm số y = ax nghịch biến R c) Từ tính chất đơn điệu hàm số mũ, ta suy với a > : aM = aN a > Ta có: aM > aN ax > < ax < < a < aM > aN ax > < ax < ⇔ M, N tùy ý a = M = N a = ⇔ ⇔ ⇔ M >N x > x < ⇔ ⇔ ⇔ M < N x < x > d) Công thức đổi số Từ hàm số mũ số a đổi sang hàm mũ số b ta có cơng thức: ax = bxlogb a (ĐK:a = 1, b = 1) 1.2 1.2.1 Hàm số ngược Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm số: f :X→R x → y = f (x) với tập xác định X tập giá trị T = {y ∈ R, ∃ x ∈ X|f (x) = y} Nếu với giá trị y ∈ Y , có x ∈ X cho f (x) = y, tức phương trình f (x) = y với ẩn x có nghiệm cách cho tương ứng y ∈ Y với phần tử x ∈ X đó, ta xác định hàm số: g:X→R y → x = g(y), (x : f (x) = y) Hàm số g xác định gọi hàm số ngược hàm số f Khi kí hiệu y = g(x) hàm số ngược hàm số y = f (x) Nhận xét 1.2.1 (i) Về mặt hình học, xét đồ thị hàm số y = f (x), rõ ràng đường thẳng song song với trục Ox qua điểm (0, y) với y ∈ Y , cắt đồ thị hàm số thị hàm số điểm, hàm số y = f (x) có hàm số ngược (ii) Từ định nghĩa hàm số ngược ta suy ra: •Tập xác định hàm số ngược y = g(x) tập giá trị hàm số y = f (x) •Tập giá trị hàm số ngược y = g(x) tập xác định hàm số y = f (x) 1.2.2 Điều kiện đủ để có hàm số ngược Định lý 1.2.1 Mọi hàm số đồng biến (hay nghịch biến) tập xác định có hàm số ngược 1.2.3 Đồ thị hàm số ngược Định lý 1.2.2 Trong hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy đồ thị hai hàm số ngược y = f (x) y = g(x) đối xứng qua đường phân giác thứ (y = x) 1.3 1.3.1 Tóm tắt hàm số lơgarit Định nghĩa Định nghĩa 1.3.1 Hàm số lôgarit số a (a > 0, a = 1) hàm số xác định công thức: f : (0; +∞) → R x → y = loga x Trường hợp riêng: + Lôgarit số 10 gọi lôgarit thập phân Ta thường viết log10 b lg b log b lg b = α ⇔ b = 10α + Lôgarit số e gọi lôgarit tự nhiên Ta thường viết loge b ln b ln b = α ⇔ b = eα 10 Giải: Điều kiện: 6x − > ⇔ x > Đặt: y − = log7 (6x − 5) Khi phương trình chuyển thành hệ:   x−1 x−1   = 6(y − 1) + = 6y − ⇔  y − = log (6x − 5)  7y−1 = 6x − Trừ theo vế hai phương trình hệ ta được: 7x−1 + 6x=7y−1 + 6y (2*) t−1 Xét hàm số f (t) = + 6t hàm đơn điệu R Khi (2*) viết lại dạng: f (x) = f (y) ⇔ x = y x−1 Xét hàm số: g(x) = − 6x + 5 ; +∞ + Miền xác định D = + Đạo hàm: g (x) = 7x−1 ln − 6; g (x) = 7x−1 ln2 > 0, ∀x ∈ D ⇒ g (x) hàm đồng biến D Vậy theo định lí Rolle phương trình g(x) = có khơng q hai nghiệm D Mặt khác ta thấy g(1) = g(2) = Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1; x = 2.2 Giải biện luận nghiệm phương trình lơgarit có chứa tham số Phương pháp chung Bằng cách biến đổi: Đặt ẩn phụ dựa vào tính chất hàm số để quy việc giải biện luận phương trình lơgarit thành giả biện luận phương trình đại số quen thuộc sử dụng phương pháp điều kiện cần đủ để giải biện luận Lưu ý 2.2.0.1 Cho hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a; b) Khi phương trình f(x) = m có nghiệm x ∈ (a; b) : ⇔ M in f (x) ≤ m ≤ M ax f (x) (a;b) (a;b) Ví dụ 2.2.0.4 Cho phương trình m log21 (x − 4) − 2(m2 + 1).t + m3 + m + = (2.22) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: < x1 < x2 < Giải: 31 Đặt t = log (x − 4), (2.22) ⇔ mt2 − 2(m2 + 1).t + m3 + m + = (2) Yêu cầu tốn tương đương với phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: −1 < t1 < t2 (*) Với m = ta có ∆ = (m − 1)2 Phương trình (2) có hai nghiệm: m2 + m + t1 = ; t2 = m + m      m = 0; m = m = 0; m =       m = 0; m =       2 m +m+2 m +m+2 Khi (*) ⇔  > −1 ⇔  > −1 ⇔  m >    m m     m > −2     m + > −1 m > −2 ⇔ < m = Ví dụ 2.2.0.5 Tìm a để phương trình sau có nghiệm log5 ax = 2.log5 (x + 1) Giải:   (2.23)   x > −1 x+1>0 (2.23) ⇔  ⇔  x2 + (2 − a)x + = ax = (x + 1) (2) Phương trình (2.23) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm x > −1 Ta có: ∆ = a2 − 4a •Nếu ∆ = ⇔ a = ∨ a = + Với a = pt có nghiệm x = −1 (loại) + Với a = pt có nghiệm x = (loại) •Nếu ∆ > ⇔ a < ∨√a > Khi phương√trình có hai nghiệm phân biệt: a − + a2 − 4a a + a2 − 4a = −1 + x1 = √ √2 a − − a2 − 4a a − a2 − 4a x2 = = −1 + 2 Nhận xét: + Nếu a < x2 < −1, để thỏa mãn u cầu x1 > −1 √ √ ⇔ a + a2 − 4a > ⇔ a2 − 4a > −a ⇔ −4a > 0luôn a < + Nếu a > ⇒ x1 + −1, để thỏa mãn tốn x2 < −1 √ √ ⇔ a − a2 − 4a < ⇔ a2 − 4a > a ⇔ −4a > vơ lí a > Vậy tóm lại a = a < thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 2.2.0.6 Tìm a để phương trình sau có nghiệm nhất: log3√2 √ 4−x+ 32 √ 5+x =a (2.24) Lưu ý 2.2.0.2 Đối với toán ta giải theo phương pháp điều kiện cần đủ để giải Ta thực theo bước sau: Bước : Đặt điều kiện để biểu thức phương trình có nghĩa Bước : Tìm điều kiện cần cho hệ dựa vào việc đánh giá tính đối xứng hệ Bước : Kiểm tra điều kiện đủ Giải: Điều kiện cần: Giả sử (2.24) có nghiệm x = x0 , đó: √ √ log3√2 − x0 + x0 + = a ⇔ log3√2 (−1 − x0 ) + + − (−1 − x0 ) = a Tức −1 − x0 nghiệm (2.24) Vậy để (2.24) có nghiệm ta có: x0 = −1 − x0 ⇔ x0 = − Với x0 = − ta được: 1 (2.24) ⇔ log3√2 + + − + = a ⇔ a = 2 Vậy a = điều kiện cần để phương trình có nghiệm Điều kiện đủ: Với a = 1, phương trình (2.24) có dạng: √ √ √ √ √ log3√2 − + x + = ⇔ − + x + =    4−x≥0   −5 ≤ x ≤  ⇔ ⇔ x+5≥0  (4 − x) (x + 5) =   − x + x + + (4 − x) (x + 5) = 18    −5 ≤ x ≤  −5 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔x=− 4(4 − x)(x + 5) = 81 4x + 4x + = Vậy a = thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập tương tự 1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm x ∈ [32; +∞) log22 x + log x2 − = m log4 x2 − 2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm log2√2+√7 (x − m + 1) + log2√2−√7 (mx − x2 ) = √ 3) Tìm m để phương trình sau có nghiệm x ∈ 1; log23 x + log23 x + − 2m − = 33 2.3 Bất phương trình lơgarit Tương tự giải phương trình lơgarit giải bất phương trình lơgarit ta tiến hành tương tự có phương pháp giải tương tự Lưu ý 2.3.0.3 Chúng ta có lưu ý sau giải bất phương trình lơgarit:      f (x) > + Nếu a > loga f (x) < loga g(x) ⇔  g(x) > ⇔ < f (x) < g(x)    f (x) < g(x)    f (x) >   + Nếu < a < loga f (x) < loga g(x) ⇔  g(x) > ⇔ f (x) > g(x) >    f (x) > g(x) 2.3.1 Phương pháp mũ hóa đưa số Phương pháp chung: Để chuyển ẩn số khỏi lôga ta mũ hóa theo số hai vế bất phương trình Ví dụ 2.3.1.1 Giải bất phương trình sau: a) b) Giải: a + 2x >0 1+x √ lg (x − 1) > lg (5 − x) + log log2 (2.25a) (2.25b)  x + 2x + 2x      >0 log2 >0 >1   1+x 1+x 1+x (2.25a) ⇔  ⇔ ⇔ −1 + 2x + 2x         −1 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = (0; +∞) b   x−1>0 Đk:  ⇔ < x < 5−x>0 2 (2.25b) ⇔ lg 5(x − 1) > lg [10 (5 − x)] ⇔ 5(x − 1) > 10 (5 − x) x>3 ⇔ x2 > ⇔  x < −3 Kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình là: S = (3; 5) Bài tập tương tự       34 1) 2) 3) 2.3.2 x2 + x log21 (x − 5) + 3log5√5 (x − 5) + 6log (x − 5) − 4log25 (x − 5) + ≤ log0,7 log6 25 Phương pháp đặt ẩn phụ Mục đích phương pháp chuyển tốn bất phương trình lơgarit cho bất phương trình đại số quen thuộc cách giải, đặc biệt đưa bất phương trình bậc hai hệ bất phương trình Phương pháp chung: Ta có cách đặt ẩn phụ bất phương trình lơgarit tương tự với phương trình lơgarit Ví dụ 2.3.2.1 Giải bất phương trình sau: x3 32 + 9log2 < log21 x − log 2 x √ b) log x < log 1 + x − 3 a) log42 x Giải: a.Điều kiện: x > 32 x3 + 9log2 < logx2−1 x ⇔ log42 x − log2 x3 − log2 + log2 32 − log2 x2 < log22 x ⇔ log x − [3log2 x − 3] + [5 − 2log2 x] (3) √ Đặt t = x − 1, x > ⇒ t > −1 (2.26a) ⇔ log32 x − log22−1 35 (2.26a) (2.26b) (3) ⇔ t3 − t2 − 2t > ⇔ t t2 − t − > ⇔ t(t + 1)(t − 2) >  √ t>2 x−1>2 ⇔ √ ⇔ t(t − 2) > 0(do t + > 0) ⇔  x−18 ⇔ ⇔ 0 k Bước 2: Xét hàm số y = f (x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến) Bước 3: Nhận xét + Với x ≤ x0 ⇔ f (x) ≤ f (x0 ) ⇔ f (x) ≤ k, bất phương trình vơ nghiệm + Với x > x0 ⇔ f (x) > f (x0 ) ⇔ f (x) > k, x > x0 nghiệm Với k = f (x0 ), hay x0 nghiệm phương trình f (x) = k Nên ta phải nhẩm nghiệm x0 Bước 4: Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a; b) thì: f (u) ≤ f (v) ⇔ u ≤ v(u ≥ v) với u, v thuộc (a; b) Ví dụ 2.3.3.1 Giải bất phương trình sau: √ √ a)log2 x + + log3 x + > √ √ x2 − x − 12 b)log3 + x ≤ − x2 − x − 12 7−x 36 (2.27a) (2.27b) Giải:   x+1>0 ⇔ x > −1  x+9>0 √ √ Ta thấy hàm số f1 (x) = x + 1; f2 (x) = x + đồng biến miền x > −1 √ √ Suy hàm số f (x) = log2 x + + log3 x + đồng biến miền x > −1 Ta có f (0) = 1, đó: √ √ + Nếu x > ⇒ f (x) > f (0) ⇔ log2 x + + log3 x + > 1, nên x > nghiệm bất phương trình √ √ + Nếu −1 < x ≤ f (x) ≤ f (0) ⇔ log2 x + + log3 x + ≤ nên −1 < x ≤ nghiệm bất phương trình Vậy bất phương trình (2.27a) có tập nghiệm S = (0; +∞) a.Điều kiện:      x√2 − x − 12 ≥ 4 với x xác định x ln trên, nên suy f (x) hàm số đồng biến √ √ Khi ta có (∗) ⇔ f ( x2 − x − 12) ≤ f(7 − x) ⇔ x2 − x − 12 ≤ − x 61 61  4 x2 − 3x + 2x − 2x + √ √ 2) log6 ( x + x x) ≥ log64 x 3) x2 + (log2 x − 2) x + log2 x − > 37 2.3.4 Phương pháp đồ thị Phương pháp chung: Ta có cách làm tương tự giải phương trình lơgarit Ví dụ 2.3.4.1 Giải bất phương trình 5+x 5−x 0  −5 < x < 5−x Điều kiện:  x = ⇔  x=1    x=1 Bất phương trình tương đương với hai hệ sau:   + x 5+x    lg  lg >0 Giải hệ (I) 5+3 5+x 2x + lg >0⇔ >1⇔ >0⇔0 ⇔ log2 x − + ≥ ⇔ V T ≥ √ +8≤9 + x≥2⇔x−1≥1⇔ x−1≥1⇔ √ x−1 ⇔ log3 √ + ≤ ⇔ V P ≤ x−1 Vậybất phương trình  √có nghiệm:  VT =2  x−2=0 ⇔ ⇔ ⇔x=2 x=2 VP =2 Vậy bất phương trình có nghiệm x = Nhận xét 2.3.2 Như biết việc đặt điều kiện để phương trình có nghĩa cần thiết, bước giải bất phương trình Từ điều kiện để loại 39 giá trị khơng thỏa mãn bất phương trình cho Đó ý nghĩa chung việc đặt điều kiện bất phương trình Hơn nhiều trường hợp, từ bước cho ta đơn giản hóa phép giải Sau ta tiếp tục giải câu b); c) để thấy rõ điều b Để log9 (3x − 9) có nghĩa, ta cầncó 3x > ⇔ x > (a)    x>2    3x − > Với điều kiện (a) (2.29b) ⇔  log9 (3x − 9) > ⇔  x  − < 9x   log (3x − 9) < x   t > 10 ⇔ t > 10 ⇔ 3x > 10 ⇔ x > log3 10 Đặt 3x = t(t > 0), ta có hệ  t −t−9>0 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (log3 10; +∞)  x>0 c Điều kiện:  ⇔ < x ≤ + x − x2 ≥ √ (2.29c) ⇔ (xlog2 x − 5) + x − x2 + − x > (b) Do x ≤ ⇒ xlog2 x ≤ 3log2 ≤ log2 32 = Vậy < x ≤ thì:  0 log (x + 1) log 2x2 − 3x + 2.4 Giải biện luận nghiệm bất phương trình lơgarit có chứa tham số Cách giải biện luận nghiệm bất phương trình lơgarit tương tự cách giải biện luận nghiệm phương trình lơgarit Ta có lưu ý sau: Lưu ý 2.4.0.1 Cho bất phương trình f (x) > m Hàm số f(x) liên tục xác định D 1) Bất phương trình có nghiệm với x ∈ D ⇔ M in f (x) > m x∈D 2) Bất phương trình có nghiệm x ∈ D ⇔ M ax f (x) > m x∈D 40 Lưu ý 2.4.0.2 Với tìm m để bất phương trình f(x, m) > có nghiệm với x ∈ D trường hợp không cô lập tham số m ta thường làm sau: + Giải bất phương trình f (x, m) > tập nghiệm x ∈ S + Bất phương trình có nghiệm với x ∈ D S ∈ D Ví dụ 2.4.0.2 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với x ≥ m log4 (2x2 + 3x − 1) + m < log2 2x2 + 3x − Giải:  Điều kiện: 2x2 + 3x − ≥ ⇔ 2x2 + 3x − ≥ ⇔   (2.30) x ≤ −2 x≥ Đặt t = log4 (2x2 + 3x − 1), x ≥ nên t ≥ Khi bất phương trình (2.30) có dạng: mt + m < 2t2 ⇔ m(t + 1) < 2t2 ⇔ m < 2t2 t+1 (*) Bất phương trình (2.30) có nghiệm với x ≥ ⇔ bất phương trình (*) có nghiệm với t ≥ : 2t2 ⇔ M in >m t∈[1;+∞) t + (**) 2t2 + 4t 2t2 ,t ≥ ⇒ f (t) = Đặt f (t) = > 0, ∀t ≥ t+1 (t + 1) Suy f (t) hàm đồng biến với t ≥ Do (**) ⇔ M in f (t) = f (1) = Vậy m < giá trị cần tìm t∈[1;+∞) Ví dụ 2.4.0.3 Cho bất phương trình: log24 x − (k − 1)log2 x + (k − 2k + k) < Tìm k để bất phương trình (2.31) có nghiệm với x ∈ (2; 4) Giải: Điều kiện: x > Đặt t = log2 x, x ∈ (2; 4) nên t ∈ (1; 2) (2.31) ⇔ t2 − (k − 1)t + (k − 2k + k) < (2) Nhận xét: k − = k − k + (k − 1) ; k − 2k + k = (k − k)(k − 1) Do f (t) = t2 − (k − 1)t + (k − 2k + k) = có hai nghiệm là: 41 (2.31) t1 = k − k; t2 = k − Xét hiệu t1 − t2 = (k − 1)2 > ⇒ t1 > t2 Do bất phương trình (2) có nghiệm t ∈ (t2 ; t1 ) Bất phương trình (2.31) có nghiệm với x ∈ (2; 4) ⇔ bất phương trình (2) có nghiệm với t ∈ (1; 2)  k2 − k ≥ ⇔ (1; 2) ∈ (t2 ; t1 ) ⇔  k −1≤1      k≥2   k2 − k − ≥   k≥2 ⇔  k ≤ −1 ⇔  ⇔  k−1≤1 k ≤ −1   k ≤2 Vậy giá trị cần tìm k ≥ ∨ k ≤ −1 Ví dụ 2.4.0.4 Xác định a để bất phương trình sau có nghiệm √ √ loga 11 + log ax2 − 2x + 3.loga ax2 − 2x + + ≤ (2.32) Giải: Điều kiện: < a = 1; ax2 − 2x + ≥ √ Đặt ax2 − 2x + = t ≥ √ (2.32) ⇔ loga 2.log2 11 ≤ loga (t + 1) log2 t2 + √ + Nếu a > f (t) = loga (t + 1).log2 t2 + hàm đồng biến t ≥ 0, có: √ f (3) = loga 4.log2 11 = loga 2.log2 11 Do (2.32) ⇔ t ≥ ⇔ ax2 − 2x + ≥ Bất phương trình khơng thể có nghiệm + Nếu < a < Khi f(t) hàm nghịch biến với t ≥ Do (1) ⇔ t ≤ hay:    ax2 − 2x + ≥  ax2 − 2x + ≥ ⇔ (3)  ax2 − 2x + ≤  ax2 − 2x − ≤ Cần xác định a (0 < a < 1) để (3) có nghiệm Nhận xét với a (0 < a < 1) hệ (3) có nghiệm x = x = thỏa mãn Suy (3) khơng thể có nghiệm Kết luận: Không tồn a để bất phương trình có nghiệm Ví dụ 2.4.0.5 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm logm2 +1 − √ x2 + ≥ (m − 1) (2.33) Giải: Điều kiện cần: Giả sử (2.33) có nghiệm x = x0 suy −x0 nghiệm (2.33) 42 Vậy (2.33) có nghiệm x0 = −x0 ⇔ x0 = Thay vào (2.33) ta được: 2 logm2 +1 ≥ (m − 1) ⇔ (m − 1) ≤ ⇔ m = Đây điều kiện cần Điều kiện đủ:√Giả sử m = 1, √(1) có dạng: √ log2 − x + ≥ ⇔ − x2 + ≥ ⇔ x2 + ≤ ⇔ x2 + ≤ ⇔ x2 ≤ ⇔ x = Là nghiệm Vậy m = bất phương trình có nghiệm Lưu ý 2.4.0.3 Ở ví dụ ta sử dụng phương pháp điều kiện cần đủ để giải Phương pháp ta có có bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện để biểu thức bất phương trình có nghĩa Bước 2: Tìm điều kiện cần tốn dựa vào việc: + Tính đối xứng phương trình + Lựa chọn điểm thuận lợi + Đánh giá Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ Bài tập tương tự 1) Tìm m để bất phương trình log x2 − 2x + m > −3 có nghiệm, nghiệm khơng phải nghiệm bất phương trình: logx x3 + logx+1 x − ≥ 2) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: logm2 +1 x3 + (m − 3)x2 + mx − m2 + 2m + > logm2 +1 − x2 3) Tìm điều kiện m để bất phương trình nghiệm với x ∈ (−2; 4) lg (2 + x) (4 − x) ≤ lg x2 − 2x + m 43 KẾT LUẬN Mục tiêu chuyên đề trình bày số phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit thường gặp Để làm điều này, trình bày hệ thống khái niệm, tính chất lũy thừa hàm số mũ, hàm số lơgarit tính chất chúng, hàm số ngược, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacốpki, bất đẳng thức Bernoulli số định lí tính chất cần thiết Sau trình bày kiến thức sở này, chúng tơi sâu vào trình bày chi tiết phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit cách hệ thống Mỗi phương pháp giải trình bày rõ ràng phương pháp chung, sau ví dụ minh họa rõ ràng cuối tập tương tự cho người đọc tự rèn luyện kĩ Sau dựa phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit phần mở rộng trình bày thêm phương pháp giải biện luận nghiệm phương trình bất phương trình lơgarit có chứa tham số Trong q trình trên, ngồi việc tìm hiểu trình bày chi tiết phương pháp vốn trình bày vắn tắt tài liệu, (trong tài liệu tham khảo tài liệu [2]) chúng tơi tìm tịi, tham khảo đưa số ví dụ tham khảo chứng minh chi tiết số định lí Cụ thể là: Ví dụ 2.1.1.1, Ví dụ 2.1.1.2, Ví dụ 2.1.1.5, Ví dụ 2.1.1.6, Ví dụ 2.1.1.7, Ví dụ 2.1.2.1, Ví dụ 2.1.2.2, Ví dụ 2.2.0.4, Ví dụ 2.4.0.4; Định lí 1.4.1 Với kết đạt chuyen đề này, hy vọng đề tài hữu ích cho bạn đọc quan tâm đến phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit tiếp tục nghiên cứu thêm để tìm cách giải hay xúc tích phương trình bất phương trình lơgarit 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ngô Viết Diễn (2004), Phương pháp chọn lọc giải tốn hàm số mũ lơgarit, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí (2012), Phương pháp giải tốn mũ - lơgarit, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Nguyễn Phú Khánh (2012), Phân dạng phương pháp giải chuyên đề giải tích 12, NXB ĐHQG Hà Nội 45 ... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Trong chương chúng tơi trình bày phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit, bao gồm: phương pháp mũ hóa đưa số; phương. .. phương trình bất phương trình lơgarit Đây chương chun đề Trong chương chúng tơi trình bày phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit, giải biện luận nghiệm phương trình bất phương trình. .. dạng phương pháp giải phương trình bất phương trình lơgarit Ý nghĩa thực tiễn Tác giả hi vọng chuyên đề tài liệu tham khảo người quan tâm đến chuyên đề phương pháp giải phương trình bất phương trình