2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT
2.4 Giải và biện luận nghiệm của bất phương trình lôgarit có chứa
chứa tham số
Cách giải và biện luận nghiệm của bất phương trình lôgarit tương tự như cách giải và biện luận nghiệm của phương trình lôgarit. Ta có các lưu ý sau:
Lưu ý 2.4.0.1
Cho bất phương trình f(x) > m. Hàm số f(x) liên tục và xác định trên D. 1) Bất phương trình có nghiệm với mọi x∈D ⇔ M in
x∈D f(x) > m. 2) Bất phương trình có nghiệm x∈ D⇔ Max
Lưu ý 2.4.0.2
Với bài tìm m để bất phương trình f(x, m) >0 có nghiệm với mọix∈D trong trường hợp không cô lập được tham số m ta thường làm như sau:
+ Giải bất phương trình f(x, m) >0 được tập nghiệm x∈S.
+ Bất phương trình có nghiệm với mọi x∈D khi và chỉ khi S ∈ D.
Ví dụ 2.4.0.2 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x≥ 1
mqlog4(2x2+ 3x−1) +m <log22x2+ 3x−1 (2.30) Giải: Điều kiện: 2x2+ 3x−1≥ 1⇔ 2x2+ 3x−2≥0⇔ x ≤ −2 x ≥ 1 2 Đặt t=qlog4(2x2+ 3x−1), vì x≥ 1 nên t ≥1 . Khi đó bất phương trình (2.30) có dạng: mt+m < 2t2 ⇔ m(t+ 1) <2t2 ⇔ m < 2t 2 t+ 1 (*)
Bất phương trình (2.30) có nghiệm với mọi x ≥ 1 ⇔ bất phương trình (*) có nghiệm với mọi t≥ 1 :
⇔ M in t∈[1;+∞) 2t2 t+ 1 > m (**) Đặt f(t) = 2t 2 t+ 1, t ≥1 ⇒ f0(t) = 2t 2+ 4t (t+ 1)2 >0,∀t≥ 1.
Suy ra f(t) là hàm đồng biến với mọi t≥ 1. Do đó (**) ⇔ M in
t∈[1;+∞)f(t) =f(1) = 1. Vậy m <1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2.4.0.3 Cho bất phương trình:
4 log24x−(k2−1)log2x+ (k3−2k2+k) <0 (2.31)
Tìm k để bất phương trình (2.31) có nghiệm với mọi x∈(2; 4).
Giải: Điều kiện: x >0. Đặt t= log2x, vì x∈(2; 4) nên t∈(1; 2) (2.31)⇔ t2−(k2−1)t+ (k3−2k2+k) <0 (2) Nhận xét: k2−1 =k2−k+ (k−1) ; k3−2k2+k= (k2−k)(k−1) Do đó f(t) =t2−(k2−1)t+ (k3−2k2+k) = 0 có hai nghiệm là: 41
t1 =k2−k;t2 =k−1. Xét hiệu t1−t2 = (k−1)2 >0⇒ t1 > t2.
Do đó bất phương trình (2) có nghiệm t ∈(t2;t1).
Bất phương trình (2.31) có nghiệm với mọi x∈(2; 4) ⇔ bất phương trình (2) có nghiệm với mọi t∈ (1; 2)
⇔ (1; 2)∈ (t2;t1) ⇔ k2−k ≥ 2 k−1≤1 ⇔ k2−k−2≥0 k−1≤1 ⇔ k ≥ 2 k ≤ −1 k ≤2 ⇔ k ≥2 k ≤ −1 Vậy giá trị cần tìm là k ≥2∨k≤ −1.
Ví dụ 2.4.0.4 Xác định a để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất
loga11 + log1 2 √ ax2−2x+ 3.loga√ ax2−2x+ 1 + 1≤ 0. (2.32) Giải: Điều kiện: 0 < a6= 1;ax2−2x+ 1≥ 0. Đặt √ ax2−2x+ 1 =t≥ 0.
(2.32)⇔ loga2.log211≤ loga(t+ 1).log2√
t2+ 1 + Nếua > 1 thì f(t) = loga(t+ 1).log2√
t2+ 2 là hàm đồng biến khi t≥ 0, và có:
f(3) = loga4.log2√
11 = loga2.log211.
Do vậy (2.32) ⇔ t≥ 3 ⇔ ax2−2x+ 1 ≥ 9. Bất phương trình này không thể có nghiệm duy nhất.
+ Nếu 0 < a < 1. Khi đó f(t) là hàm nghịch biến với t ≥0. Do vậy (1) ⇔ t ≤ 3 hay: ax2−2x+ 1≥0 ax2−2x+ 1≤9 ⇔ ax2−2x+ 1≥0 ax2−2x−8≤ 0 (3) Cần xác định a (0< a < 1) để (3) có nghiệm duy nhất.
Nhận xét rằng với mọi a (0 < a <1) hệ (3) đều có nghiệm x = 0 và x = 1 2 thỏa mãn.
Suy ra (3) không thể có một nghiệm duy nhất.
Kết luận: Không tồn tại a để bất phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2.4.0.5 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất
logm2+1
2−√x2+ 1≥(m−1)2 (2.33)
Giải:
Điều kiện cần: Giả sử (2.33) có nghiệm là x=x0 suy ra −x0 cũng là nghiệm của (2.33).
Vậy (2.33) có nghiệm duy nhất khi x0 =−x0 ⇔ x0 = 0.
Thay vào (2.33) ta được:
logm2+11≥(m−1)2 ⇔ (m−1)2 ≤0⇔ m= 1.
Đây chính là điều kiện cần.
Điều kiện đủ: Giả sử m = 1, khi đó (1) có dạng:
log22−√x2+ 1≥ 0⇔2−√x2+ 1≥1⇔ √x2+ 1≤1
⇔ x2+ 1≤ 1⇔x2 ≤ 0⇔ x= 0 Là nghiệm duy nhất.
Vậy khi m = 1 thì bất phương trình có nghiệm duy nhất.
Lưu ý 2.4.0.3 Ở ví dụ trên ta đã sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải. Phương pháp này ta có có các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện để các biểu thức của bất phương trình có nghĩa. Bước 2: Tìm điều kiện cần của bài toán dựa vào việc:
+ Tính đối xứng của phương trình. + Lựa chọn điểm thuận lợi.
+ Đánh giá.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ. Bài tập tương tự
1) Tìm m để bất phương trình log1 2
x2−2x+m > −3 có nghiệm, và mọi nghiệm của nó không phải là nghiệm của bất phương trình:
logxx3+ 1.logx+1x−2≥0.
2) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: logm2+1
h
x3+ (m−3)x2 +mx−m2+ 2m+ 1i>logm2+1
1−x2.
3) Tìm điều kiện của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x∈ (−2; 4) lgq(2 +x) (4−x) ≤ lgx2−2x+m.
KẾT LUẬN
Mục tiêu của chuyên đề này là trình bày một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit thường gặp. Để làm được điều này, chúng tôi đã trình bày hệ thống các khái niệm, tính chất cơ bản về lũy thừa và hàm số mũ, hàm số lôgarit và tính chất của chúng, hàm số ngược, các bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacốpki, bất đẳng thức Bernoulli và một số định lí và tính chất cần thiết. Sau khi trình bày các kiến thức cơ sở này, chúng tôi đi sâu vào trình bày chi tiết các phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit một cách hệ thống. Mỗi phương pháp giải đều được trình bày rõ ràng về phương pháp chung, sau đó là các ví dụ minh họa rõ ràng và cuối cùng là bài tập tương tự cho người đọc tự rèn luyện kĩ năng. Sau đó dựa trên các phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit là phần mở rộng trình bày thêm về phương pháp giải và biện luận nghiệm của phương trình và bất phương trình lôgarit có chứa tham số.
Trong quá trình trên, ngoài việc tìm hiểu và trình bày chi tiết các phương pháp vốn được trình bày vắn tắt trong tài liệu, (trong đó tài liệu được tham khảo chính là tài liệu [2]) chúng tôi đã tìm tòi, tham khảo đưa ra một số ví dụ và tham khảo chứng minh chi tiết một số định lí. Cụ thể là: Ví dụ 2.1.1.1, Ví dụ 2.1.1.2, Ví dụ 2.1.1.5, Ví dụ 2.1.1.6, Ví dụ 2.1.1.7, Ví dụ 2.1.2.1, Ví dụ 2.1.2.2, Ví dụ 2.2.0.4, Ví dụ 2.4.0.4; Định lí 1.4.1.
Với những kết quả đạt được trong chuyen đề này, chúng tôi hy vọng đề tài sẽ hữu ích cho những bạn đọc quan tâm đến phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit cũng như có thể tiếp tục được nghiên cứu thêm để tìm ra các cách giải hay và xúc tích hơn đối với các phương trình và bất phương trình lôgarit.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Ngô Viết Diễn (2004), Phương pháp chọn lọc giải toán hàm số mũ và lôgarit,
NXB ĐHQG Hà Nội.
[2] Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí (2012),Phương pháp giải toán mũ - lôgarit, NXB
ĐHQG Hà Nội.
[3] Nguyễn Phú Khánh (2012), Phân dạng và phương pháp giải các chuyên đề giải tích 12, NXB ĐHQG Hà Nội.