Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 26 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
26
Dung lượng
671,65 KB
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN CHIẾN THẮNG PHƢƠNG PHÁPGIẢI PHƢƠNG TRÌNHVÀBẤT PHƢƠNG TRÌNHVÔTỈ Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2016 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 1: TS Phạm Quý Mười Phản biện 2: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình toán bậc phổ thông phương trình, bấtphương trình, hệ phươngtrình hệ bấtphươngtrình chủ đề quan trọng, chứa nhiều dạng toán hay khó Có nhiều phươngphápgiảiphươngtrìnhbấtphươngtrình mà chưa giới thiệu đầy đủ sách giáo khoa Việc tìm hiểu phươngphápgiảiphương trình, bấtphươngtrình nói chung phươngtrìnhbấtphươngtrìnhvôtỉ nói riêng việc làm cần thiết có ý nghĩa người dạy toán Chính vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập, chọn đề tài “Phương phápgiảiphươngtrìnhbấtphươngtrìnhvô tỉ” cho luận văn Thạc sĩ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu cách tổng quan phươngtrìnhbấtphươngtrìnhvôtỉ - Nghiên cứu phươngphápgiảiphươngtrìnhbấtphươngtrìnhvôtỉ - Xây dựng quy trình định hướng cho phươngphápgiải ví dụ minh họa - Nghiên cứu trợ giúp máy tính cầm tay vào việc giảiphươngtrìnhvôtỉ Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Các toán phươngtrìnhbấtphươngvôtỉ thuộc chương trình phổ thông, phươngphápgiải cho lớp phươngtrìnhbấtphươngtrìnhvôtỉ tương ứng - Các chức máy tính cầm tay VINACAL 570ES PLUS hỗ trợ cho việc giảiphươngtrìnhvôtỉ Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu có nội dung liên quan đến đề tài luận văn - Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài luận văn - Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến người hướng dẫn, chuyên gia đồng nghiệp Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn chia thành bốn chương Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương Phươngphápgiảiphươngtrìnhvôtỉ Chương Phươngphápgiảibấtphươngtrìnhvôtỉ Chương Giảiphươngtrìnhvôtỉ với trợ giúp máy tính cầm tay CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày sơ lược số tính chất, kết hàm số biến bất đẳng thức quen biết nhằm làm tiền đề cho chương sau Các chi tiết liên quan tìm xem 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN 1.1.1 Tính chất hàm số biến 1.1.2 Định lý Rolle Định lý Lagrange 1.2 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 1.2.1 Bất đẳng thức AM – GM 1.2.2 Bất đẳng thức Bunhiacowsky 1.2.3 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 1.2.4 Bất đẳng thức Minkowski 1.3 ĐỊNH LÝ VIÈTE 1.3.1 Định lý Viète thuận 1.3.2 Định lý Viète đảo CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁPGIẢI PHƢƠNG TRÌNHVÔTỈ Chương trình bày số phươngphápgiảiphươngtrìnhvôtỉ 2.1 PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG 2.1.1 Phƣơng pháp nâng lên lũy thừa Nội dung phươngpháp nâng lên lũy thừa với số mũ phù hợp Một số phép nâng lên lũy thừa thường sử dụng: f x g x 2n f x 2n g x f x g x f x g 2n x 2n f x g x g x n 1 f x g x f x g n1 x Ví dụ 2.9 Giảiphương trình: x3 x x2 x x x3 Giải: Điều kiện: x 1 Phươngtrình cho tương đương với: x3 x 3 x3 x2 x x x3 x3 ( x 3) ( x x 1) ( x 1)( x x 1) ( x 1) x3 x3 x2 x x3 x2 x x thỏa điều kiện phươngtrình Vậy tập nghiệm phươngtrình T 3; 2.1.2 Phƣơng pháp liên hợp Như biểt x0 nghiệm phươngtrình f ( x) x0 D f điều có nghĩa ta đưa phươngtrình f ( x0 ) f ( x) dạng ( x x0 ) f1 ( x) Khi việc giảiphươngtrình f ( x) quy phươngtrình f1 ( x) có bậc nhỏ Phươngpháp nhân thêm lượng liên hợp hay tách thành biểu thức liên hợp hỗ trợ đắc lực cho phương án xử lý Ví dụ 2.14 Giảiphương trình: x2 3x x2 5x x Phân tích: - Nhận thấy ( x2 3x 1) (5x 1) x2 x giá trị x để biểu thức nhân liên hợp Từ ta nhân thêm lượng liên hợp để xuất nhân tử chung x x Giải: Phươngtrình cho tương đương với: x x x ( x x) x2 2x x 3x x 3x 1 x 1 ( x x) 2 5x ( x x) 0 2 2 3 x 3x x 3x 1 x 1 x 0, x x x2 x Vậy tập nghiệm phươngtrình T 0;2 x Ví dụ 2.17 Giảiphương trình: x3 x2 x x Phân tích Nhận thấy x nghiệm phương trình, lúc đó: x3 x x x Từ ta thực phép nhân liên hợp để xuất nhân tử ( x 2) Giải: Điều kiện x Phươngtrình cho tương đương với: x3 x x 2x x2 ( x 2) x3 x x x3 x x 2( x 2) 2x 0 2x x3 x x x3 x x x2 0, x x thỏa mãn điều kiện phươngtrình Vậy phươngtrình cho có nghiệm x 2.2 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ Nội dung phươngpháp đặt biểu thức chứa biểu thức theo ẩn mà ta gọi ẩn phụ, chuyển phươngtrình cho phươngtrình hệ phươngtrình với ẩn phụ đặt Giảiphươngtrình hệ phươngtrình theo ẩn phụ để tìm nghiệm thay vào biểu thức vừa đặt để tìm nghiệm theo ẩn ban đầu Ví dụ 2.29 Giảiphương trình: x x x x a x Giải: Đặt: a b3 b x a3 b3 Từ ta có hệ: hệ đối xứng loại I a b ab a 1 Dễ dàng giải hệ ta a - Với a x x - Với a x x 6 Vậy tập nghiệm phươngtrình là: T 6; 1 Ví dụ 2.30 Giảiphương trình: x3 x Phân tích Ta nhận thấy phươngtrình cho có dạng f n ( x) b a n a f ( x) b nên ta đưa hệ phươngtrình đối xứng loại II Giải: Đặt x y y3 x , ta có hệ phương trình: x3 y x3 y x y y 2x x y x2 xy 2 x y x 1 Với x y , ta có: x x x3 x x 1 Vậy tập nghiệm phươngtrình là: T ; 1; 2.3 PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng tính chất hàm số để giảiphươngtrìnhphươngpháp quen thuộc Ta có hướng áp dụng sau đây: Dạng 1: Giảiphươngtrình f x k k a; b , có G f b ; f a Khi đó: số, f x hàm liên tục, đơn điệu miền giá trị G f a ; f b - Nếu k G , phươngtrìnhvô nghiệm - Nếu k G , tồn x0 a; b để f x0 k , x0 nghiệm phươngtrình Chú ý: Trong số phươngtrình nghiệm x0 nói nhận thấy ngay, trường hợp ngược lại ta nhờ đến giúp đỡ máy tính cầm tay Dạng 2: Phươngtrình f x biến đổi dạng f u f v , u u x , v v x f x hàm đơn điệu Khi từ tính đơn điệu f x ta có u x v x , giảiphươngtrình ta tìm nghiệm phươngtrình ban đầu Ví dụ 2.32 Giảiphương trình: x 1 x x 3x x Giải: Phươngtrình cho tương đương: x 1 2 x 1 3x 3x 3 f x 1 f 3x Xét hàm số f t t t , t t t2 f '(t ) t t t 0, t t2 t 3 Do f t hàm đồng biến Từ tính đơn điệu hàm số f ta có: f x 1 f 3x x 3x x Vậy phươngtrình cho có nghiệm là: x Ví dụ 2.33 Giảiphương trình: x 8x3 x Giải: Phươngtrình cho tương đương với: x x (2 x)3 x Xét hàm f (t ) t t hàm số đồng biến Vậy 6x x 8x3 x Nhận xét: - Nếu x x2 8x3 x x (4 x 3) (vô lý) - Nếu x , ta đặt x cos t , t 0; phươngtrình cho trở thành 1 2 cos3t t k , k 2 5 7 Vậy tập nghiệm phươngtrình là: T cos ; cos ; cos 9 4cos3 t 3cos t 2.4 PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ Phươngpháp hiệu cho lớp dạng toán Tìm điều kiện tham số để: Dạng 1: Phươngtrình có nghiệm Dạng 2: Phươngtrình có nghiệm với giá trị tham số Dạng 3: Phươngtrình có nghiệm với x D Dạng 4: Phươngtrình cho tương đương với phươngtrình với bấtphươngtrình khác Khi ta thực theo bước: Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức phươngtrình có nghĩa Bước 2: Tìm điều kiện cần cho phươngtrình dựa việc đánh giá tính đối xứng phươngtrình Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ phươngtrình Ví dụ 2.36 Tìm m để phươngtrình sau nghiệm x x2 x m2 2m x m (1) Giải: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x x nghiệm (1), đó: 10 Đối với số phươngtrình mũ có lũy thừa biểu thức chứa việc giải toán phức tạp, lớp toán trở nên khó khăn trình biến đổi tương đương sử dụng phươngpháp đặt ẩn phụ thông thường Chính việc sử dụng định lý Lagrange làm cho lớp toán trở nên đơn giản nhiều Để giải lớp toán này, ta thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho biểu thức phươngtrình Bước 2: Biến đổi phươngtrình dạng thích hợp f a f b , từ hàm số f (t ) khả vi liên tục a; b Khi theo định lý Lagrange c a; b , cho: f ' c f b f a (1) ba Bước 3: Gọi nghiệm phương trình, vào (1), ta xác định Bước4: Thử lại Để rõ ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2.41 Giảiphương trình: x x 1 12 x2 x x2 x x 1 Giải: Điều kiện: x x x Phươngtrình cho tương đương: 12 x2 x 7 x2 x x2 x x2 x 12 2 x2 x x2 x 27 x2 x Đặt u x x , u Khi phươngtrình có dạng: 12u 7u 7u 2u Giả sử phươngtrình cho có nghiệm , đó: 12 7 7 2 (1) 11 Xét hàm số f t t 5 t , với t Từ (1), ta nhận f f , theo định lý Lagrange tồn c 2;7 cho : f ' c c1 Thử lại thấy u u thỏa mãn, đó: x x 1 x2 x x , thỏa mãn điều kiện phươngtrình x x 1 x 1 Vậy, phươngtrình có tập nghiệm là: T ; 0; 1; c 1 2.6.2 Sử dụng định lý Rolle Xét phương trình: f x , f x hàm khả vi, f ' x đơn điệu D Để giảiphươngtrình ta thực sau: Bước 1: Tìm điều kiện đề phươngtrình có nghĩa Bước 2: Tính f ' x f '' x để kiểm tra tính đơn điệu f ' x Bước 3: Tìm nghiệm phươngtrình Bước 4: Kết luận Để rõ ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2.42 Giảiphương trình: x 3x2 8x Giải: Điều kiện: x 1 Phươngtrình cho tương đương với (1) x 3x2 8x Xét hàm số f ( x) x 3x 8x miền D 1; , 12 ta có: f '( x) f ''( x) x 1 ( x 1)3 x suy ra: 0, x D f ' x nghịch biến D Vậy phươngtrình (1) có không hai nghiệm Dễ thấy: f 0 f 3 Vậy tập nghiệm phươngtrình T 0;3 2.7 PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Để giảiphươngtrìnhvôtỉphươngpháp đánh giá đòi hỏi người giải phải phân tích kỹ điều kiện toán, phải nhận dạng áp dụng linh hoạt bất đẳng thức quen thuộc từ giúp nhìn nhận phươngpháp đánh giá cách gần gũi 2 Ví dụ 2.44 Giảiphươngtrình : x x x 1 Phân tích 2 - Nhận thấy x 1 x x x x , từ đó: x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 x 2 x 1 x9 x x Áp dụng bất đẳng thức Bunyacovsky ta có: 2 2 x x 2 2 2 x x x x x x - x Vì việc sử dụng phươngpháp đánh giá với nhanh gọn hiệu Giải: Điều kiện x 13 Áp dụng bất đẳng thức Bunyacovsky ta có: 2 2 2 x x 2 x x9 x x x 1 Dấu xảy khi: 2 x 1 x x x (1) thỏa mãn điều kiện phươngtrình Vậy nghiệm phươngtrình x Giải (1) ta x CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁPGIẢIBẤT PHƢƠNG TRÌNHVÔTỈ Chương trình bày số phươngphápgiảibấtphươngtrìnhvôtỉ 3.1 PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG Ví dụ 3.8 Giảibấtphương trình: x x 1 x x 1 Giải: Viết lại phươngtrình cho dạng: x 1 x 1 1 x 1 x 1 1 ( x 1) ( x 1) Điều kiện: x Khi phươngtrình trở thành: x 1 | x 1| 14 x x x 2 x x x Kết hợp với điều kiện nghiệm bấtphươngtrình x 3.2 PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Tương tự phươngpháp đặt ẩn phụ chương 2, mục đích phươngpháp chuyển bấtphươngtrình cho bấtphươngtrình hệ bấtphươngtrình gồm phươngtrình Các cách đặt ẩn phụ nêu cụ thể mục 2.2 chương 1 Ví dụ 3.15 Giảibấtphương trình: (1) x x2 x0 Giải: Điều kiện: 2 x Đặt y x kết hợp với (1), ta có hệ: x y 1 2 2 x y xy x2 y ( x y )2 xy x y 2 xy xy ( x y ) (2) (3) Lấy (3) (2) ta ( x y)2 , suy ra: ( x y)2 xy x x x 2 x y 2 Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (1) là: S 2;0 3.3 PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ 3.3.1 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 15 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giảibấtphươngtrìnhphươngpháp quen thuộc Để giảibấtphươngtrình tính đơn điệu hàm số ta thực sau: Bước 1: Đặt điều kiện bấtphươngtrình Bước 2: Biến đổi bấtphươngtrình cho dạng f u f v , u u x , v v x f hàm đơn điệu Khi từ tính đơn điệu hàm số f ta có u x v x u x v x Bước 3: Giảibấtphươngtrình u x v x u x v x từ ta tìm nghiệm bấtphươngtrình ban đầu Ví dụ 3.17 Giảibấtphương trình: x2 x x2 x 11 x x Phân tích - Đưa bấtphươngtrình dạng: x2 x x x x x 11 ( x 1)2 x (3 x)2 x - Nhận thấy bấtphươngtrình có dạng f (u) f (v) nên ta sử dụng phươngpháp hàm số để giải x 1 Giải: Điều kiện: 1 x 3 x Viết lại bấtphươngtrình dạng: ( x 1)2 x (3 x)2 x (1) Xét hàm f (t ) t t , xác định t 1 , t nên f (t ) hàm Ta có f '(t ) t2 t đồng biến 1;3 Khi (1) biến đổi sau: f ( x 1) f (3 x) x 1 x x Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình cho S 2; 3 16 3.4 PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ Cũng phươngpháp hàm số, phươngpháp điều kiện cần đủ tỏ hiệu cho lớp toán “Tìm điều kiện tham số để”: Dạng 1: Bấtphươngtrình có nghiệm Dạng 2: Bấtphươngtrình nghiệm với x D Khi ta thực theo bước: Bước 1: Đặt điều kiện bấtphươngtrình Bước 2: Tìm điều kiện cần để bấtphươngtrình có nghiệm nghiệm Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ Ví dụ 3.20 Tìm m để bấtphương trình: x2 2m mx2 (1) có nghiệm Giải: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x x0 suy x0 nghiệm (1), (1) có nghiệm khi: x0 x0 x0 Thay x0 vào (1), ta m Vậy m điều kiện cần để bấtphươngtrình có nghiệm Điều kiện đủ: Giả sử m , (1) có dạng: x2 x nghiệm bấtphươngtrình Vậy m bấtphươngtrình cho có nghiệm 3.5 PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Để giảibấtphươngtrìnhvôtỉphươngpháp đánh giá đòi hỏi người giải phải phân tích kỹ điều kiện toán, phải nhận dạng áp dụng linh hoạt bất đẳng thức quen thuộc từ giúp nhìn nhận phươngpháp đánh giá cách gần gũi Ví dụ 3.23 Giảibấtphương trình: 17 x x2 x x2 (1) Phân tích - Ta nhận xét x x x x nên ta giải toán cách đặt ẩn phụ t x x x x Nhưng sau giải ẩn t ta phải giải tiếp t bấtphươngtrình bậc bốn tốn nhiều thời gian - Tuy nhiên với việc nhận xét x x x x , ta dùng bất đẳng thức AM-GM, ta nhanh chóng thu nghiệm Giải: Điều kiện bấtphươngtrình x Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho vế trái ta được: VT 4 x x x x x x x x Bấtphươngtrình có nghiệm khi: VT x x2 x x x thỏa mãn điều kiện bấtphươngtrình Vậy, nghiệm bấtphươngtrình x CHƢƠNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNHVÔTỈ VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY Chương trình bày trợ giúp máy tính cầm tay cho việc giảiphươngtrìnhvôtỉ 4.1 GIỚI THIỆU VỀ MÁY TÍNH CẦM TAY VINACAL 570ES PLUS II 18 VINACAL 570ES PLUS II dòng máy tính cầm tay dành cho học sinh trung học Năm 2013, Bộ GD&ĐT xác nhận máy tính VINACAL 570ES PLUS II phép mang vào phòng thi theo văn số 3125/BGDĐT-CNTT ngày 13/5/2013 Đây dòng máy tính hỗ trợ cho người sử dụng việc học thi, đặc biệt kỳ thi giải toán máy tính cầm tay Sở, Bộ GD&ĐT tổ chức hàng năm VINACAL 570ES PLUS II khả giải toán bản, dòng máy giải dạng toán cao cấp tích phân, tổ hợp, chỉnh hợp… Đặc biệt, VINACAL 570ES PLUS II trợ giúp giảiphươngtrìnhvôtỉ Máy tính cầm tay VINACAL 570ES PLUS II Sau số chức máy tính VINACAL 570ES PLUS II thường dùng để hỗ trợ cho việc giảiphươngtrìnhvôtỉ Chức CALC: Cho phép ta tính giá trị hàm số f x điểm thuộc miền xác định D f x Để sử dụng chức ta thực sau: Bước 1: Nhập hàm f x vào máy Bước 2: Bấm phím [CALC] + [ x0 ] + [=], với x0 D , ta giá trị f x0 Chức TABLE: Cho phép nhận biết khoảng chứa nghiệm phươngtrình (nếu phươngtrình có nghiệm) lập bảng 19 giá trị hàm số (suy từ phương trình), từ giúp ta đoán nhận tính đơn điệu hàm số Để sử dụng chức ta thực sau: Bước 1: Giả sử phươngtrình cho có dạng g x h x , với tập xác định a; b Ta biến đổi dạng f x g x h x , xem f hàm số xác định đoạn a; b Bước 2: Bấm phím [MODE] + [7] Bước 3: Nhập hàm f x vào máy bấm [=] + [=] + [a] + [b] + [c] + [=], với c bước nhảy (khoảng cách hai biến) Từ ta dãy giá trị tăng dần biến x, với dãy giá trị tương ứng hàm f x hiển thị hình máy tính Bước 4: Đoán nhận tính đơn điệu khoảng chứa nghiệm phươngtrình Chức SOLVE: Cho phép nhận biết phươngtrình có nghiệm hay không Để sử dụng chức ta cần thực sau: Bước 1: Tìm khoảng chứa nghiệm (nếu có) phươngtrình Bước 2: Nhập phươngtrình cần giải vào máy Bước 3: Thực bấm phím [SHIFT] + [CALC] + [CONST] + [=], với CONST số thuộc khoảng chứa nghiệm, CONST = không tìm khoảng chứa nghiệm Khi máy tính nghiệm (nếu có) cho biết phươngtrìnhvô nghiệm Ví dụ 4.5 Giảiphương trình: x3 x x 3x2 (1) Phân tích: - Điều kiện phươngtrình : x 2 - Dùng chức TABLE máy tính cầm tay ta thu bảng sau: 20 Bấm [MODE]+[7] ta chức TABLE Nhập hàm: f x x3 x x 3x Vì điều kiện : x 2 nên ta bấm: [=]+[=]+[-2]+[2]+[0,5]+[=], ta bảng bên phải Qua bảng ta có nhận xét sau: - Phươngtrình có nghiệm nằm khoảng 0,5; 1 - Dự đoán hàm số đơn điệu tăng x f x -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 -14 -18.29 -10 -3.688 -2 -1.168 10.588 54.39 162 - Dùng chức SOLVE máy tính cầm tay: - Nhập phươngtrình cho vào máy tính - Bấm phím [SHIFT] + [CALC] + [0,6] + [=], ta thu bên cạnh - Từ ta biết nghiệm: x 0.618033988 phươngtrình - Dùng chức CALC máy tính cầm tay: - Nhập vào máy biểu thức x - Bấm [CALC]+[ 0.618033988 ]+[=], ta thu hình bên: - Từ chức CALC, ta thay giá trị x 0.618033988 vào biểu thức x ta được: 1 x 0.618033988 x - Từ phân tích ta dùng phươngpháp hàm số để giảiphươngtrình Giải: Điều kiện x 2 Phươngtrình (1) tương đương với: x3 x x 3x2 (2) x 1.618033988 21 Nhận thấy x nghiệm (2), nên ta chia hai vế phươngtrình (2) cho x Khi đó, (2) tương đương với: 3 x 3 x x x x x x x x 3 (3) x2 3 x2 x x Xét hàm số: f t 2t 3t , với t Ta có: f ' t 6t 0, t , từ (3) ta có: 1 f x2 f x , nên f t hàm đống biến x x 1 x x x2 x x 1 x x 1 x x 1 x x2 1 thỏa mãn điều kiện phươngtrình Vậy phươngtrình có nghiệm x Ví dụ 4.6.Giải phương trình: 1 x2 x x 1 x2 x x2 2 Phân tích: - Điều kiệncủa phương trình: x 2 - Sử dụng chức TABLE máy tính cầm tay ta thu bảng sau: Bấm [MODE)]+[7] ta chức x f x TABLE -2 2,727 Xét hàm: -1.5 -1.707 x2 x -1 -1.5 f x x 1 x x 2x -0.5 -1.671 Vì điều kiện : x 2 nên ta bấm: -2.08 [=]+[=]+[-2]+[5]+[0,5]+[=], ta bảng 0.5 -2.371 bên phải -1.964 Qua bảng ta có nhận xét sau: 22 Phươngtrình có hai nghiệm phân biệt, nghiệm x , nghiệm nằm 3; 3,5 Hàm số không đơn điệu D cho phép ta dự đoáng hàm số đơn điệu tăng 1 ; 2 1.5 2.5 3.5 4.5 -0.899 0.34 0.2223 -0.189 -0.792 -1.531 -2.347 - Dùng chức SOLVE máy tính cầm tay: Nhập phươngtrình cho vào máy tính Bấm phím [SHIFT] + [CALC] + [3,2] + [=], ta thu bên cạnh Từ ta biết thêm nghiệm: x 3.302775638 phươngtrình - Vậy phươngtrình cho có hai nghiệm x1 x2 3.302775638 - Dùng chức CALC máy tính cầm tay: Nhập vào máy biểu thức x Bấm [CALC]+[ 3.302775638 ]+[=], ta thu hình bên: - Từ chức CALC, ta thay giá trị x2 3.302775638 vào biểu thức - x x x2 x ta được: Với x1 thì: 13 x2 2 x2 2 x2 0 x 0 x x22 x x x x x x - Từ phân tích ta dùng phươngpháp biến đổi tương đương để giảiphươngtrình này: 23 Giải: Điều kiện: x 2 x2 x Ta có: x 1 x x 2x x 2 x 4 x x x2 x x2 2 x 1 x4 x 2 x2 2 x 2x x 4 x 2 x 2 x 4 x x 1 x x 3 x x 3 x22 x x3 x x 5 Ta thấy x nghiệm thỏa điều kiện phươngtrình Xét phương trình: x 4 x x3 x2 x (1) Phân tích: - Từ phân tích phần trước ta biết phươngtrình 13 x (1) có nghiệm là: hàm 1 f x x 4 x x3 x2 x có khả đơn điệu ; 2 nên ta sử dụng phươngpháp hàm số để giảiphươngtrình (1) 13 - Cũng từ phân tích phần trước nghiệm x x x Phươngtrình (1) tương đương: x x x3 x x Bằng phươngpháp đồng thức ta có: a x 1 b x 1 c x 1 a x2 b x2 c x2 , dễ dàng tìm a 1, b 2, c Khi phươngtrình (1) tương đương: x 1 x 1 x 1 x2 2 x2 2 x (2) 24 Xét hàm: f (t ) t 2t 2t , với t , ta có: f ' t 3t 4t 0, t Do f (t ) hàm đồng biến liên tục 0; Đồng thời từ (2) ta có: f x 1 f x2 x 1 x x2 x 13 thỏa mãn điều kiện phươngtrình x 13 Vậy, tập nghiệm phươngtrình là: T 2; x 1 KẾT LUẬN Luận văn “Phương phápgiảiphươngtrìnhbấtphươngtrìnhvô tỉ” đạt mục đích nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn thực vấn đề sau: Tìm hiểu trình bày số phươngphápgiảiphươngtrìnhvô tỉ, bấtphươngtrìnhvôtỉ Đối với phươngpháp có phân tích định hướng cách giải rõ ràng, đồng thời cho nhiều ví dụ minh họa cho phươngpháp Giới thiệu máy tính cầm tay VINACAL 570ES PLUS II, dòng máy tính Bộ GD&ĐT cho phép học sinh mang vào phòng thi Trình bày số chức dòng máy tính này, mà hỗ trợ cho việc giảiphươngtrìnhvôtỉ , kèm theo ví dụ minh họa Trong thời gian tới, nội dung luận văn tiếp tục hoàn thiện mở rộng nữa, nhằm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên, cho quan đến việc giảiphươngtrìnhbấtphươngtrìnhvôtỉ ... Chương Phương pháp giải phương trình vô tỉ Chương Phương pháp giải bất phương trình vô tỉ Chương Giải phương trình vô tỉ với trợ giúp máy tính cầm tay CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình. .. điều kiện phương trình Vậy nghiệm phương trình x Giải (1) ta x CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ Chương trình bày số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ 3.1 PHƢƠNG PHÁP BIẾN... tài Phương pháp giải phương trình bất phương trình vô tỉ cho luận văn Thạc sĩ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu cách tổng quan phương trình bất phương trình vô tỉ - Nghiên cứu phương pháp