Phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ

Việc tìm hiểu các phương pháp giải phương trình, bất phương trình nói chung và phương trình bất phương trình vô tỉ nói riêng là một việc làm cần thiết và có ý nghĩa đối với những người d

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1: TS Phạm Quý Mười

Phản biện 2: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán bậc phổ thông thì phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình là một trong những chủ đề quan trọng, chứa nhiều dạng toán hay và khó Có nhiều phương pháp giải phương trình bất phương trình mà chưa được giới thiệu đầy đủ trong sách giáo khoa

Việc tìm hiểu các phương pháp giải phương trình, bất phương trình nói chung và phương trình bất phương trình vô tỉ nói riêng là một việc làm cần thiết và có ý nghĩa đối với những người dạy toán Chính vì vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập, tôi chọn đề tài “Phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ” cho luận văn Thạc sĩ của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu một cách tổng quan về phương trình và bất phương trình vô tỉ

- Nghiên cứu các phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ

- Xây dựng quy trình và định hướng cho từng phương pháp giải cùng các ví dụ minh họa

- Nghiên cứu sự trợ giúp của máy tính cầm tay vào việc giải phương trình vô tỉ

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các bài toán về phương trình và bất phương vô tỉ thuộc chương trình phổ thông, cùng các phương pháp giải cho từng lớp phương trình và bất phương trình vô tỉ tương ứng

- Các chức năng của máy tính cầm tay VINACAL 570ES PLUS có thể hỗ trợ cho việc giải phương trình vô tỉ

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu có nội dung liên quan đến đề tài luận văn

- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn

- Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn, của chuyên gia và các đồng nghiệp

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn được chia thành bốn chương

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Phương pháp giải phương trình vô tỉ

Chương 3 Phương pháp giải bất phương trình vô tỉ

Chương 4 Giải phương trình vô tỉ với sự trợ giúp của máy tính cầm tay

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày sơ lược một số tính chất, kết quả của hàm số một biến và những bất đẳng thức quen biết nhằm làm tiền đề cho các chương sau Các chi tiết liên quan có thể tìm xem trong

1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN

1.3 ĐỊNH LÝ VIÈTE

1.3.1 Định lý Viète thuận

1.3.2 Định lý Viète đảo

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Chương này trình bày một số phương pháp giải phương trình

vô tỉ

2.1 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

2.1.1 Phương pháp nâng lên lũy thừa

Nội dung chính của phương pháp này là nâng lên lũy thừa với

Phương trình đã cho tương đương với:

1

13

Vậy tập nghiệm của phương trình là T  1 3; 1 3

Giải: Điều kiện x0

Phương trình đã cho tương đương với:

  thỏa mãn điều kiện của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x2

2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ

Nội dung của phương pháp này là đặt mỗi một biểu thức chứa căn bằng một biểu thức theo ẩn mới mà ta gọi là ẩn phụ, rồi chuyển phương trình đã cho về phương trình hoặc hệ phương trình với ẩn phụ đã đặt Giải phương trình hoặc hệ phương trình theo ẩn phụ để tìm nghiệm rồi thay vào biểu thức vừa đặt để tìm nghiệm theo ẩn ban đầu

Từ đó ta có hệ:

93

a b

 đây là hệ đối xứng loại I

Dễ dàng giải hệ trên ta được 1

2

a a

Ta nhận thấy phương trình đã cho có dạng f x b n( )  a a f x b n ( )

nên ta có thể đưa về hệ phương trình đối xứng loại II

Dạng 1: Giải phương trình f x k trong đó k là một hằng

số, f x là một hàm liên tục, đơn điệu trong   a b , và có ; 

miền giá trị là G f a   ;f b  hoặc G f b   ;f a  Khi đó:

- Nếu kG, thì phương trình vô nghiệm

- Nếu kG, thì tồn tại duy nhất x  a b; để f x k, và

khi đó x là nghiệm duy nhất của phương trình 0

Chú ý: Trong một số phương trình thì nghiệm x nói trên có 0

thể nhận thấy được ngay, trường hợp ngược lại ta có thể nhờ đến sự giúp đỡ của máy tính cầm tay

Dạng 2: Phương trình f x 0 biến đổi được về dạng

6x 1 6x 1 (2 )x 2 x

( )

f t  t t là hàm số đồng biến trên

- Nếu x 1, ta đặt xcos ,t t 0; khi đó phương trình đã cho trở thành

2.4 PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ

Phương pháp này rất hiệu quả cho lớp dạng toán

Tìm điều kiện của tham số để:

Dạng 1: Phương trình có nghiệm duy nhất

Dạng 2: Phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số Dạng 3: Phương trình có nghiệm đúng với mọi xD

Dạng 4: Phương trình đã cho tương đương với một phương

trình hoặc với một bất phương trình khác

Khi đó ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của phương trình có

nghĩa

Bước 2: Tìm điều kiện cần cho phương trình dựa trên việc

đánh giá hoặc tính đối xứng của phương trình

Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ của phương trình

Ví dụ 2.36 Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng  x 0

(1)

2

2 2

điều kiện cần để phương trình nghiệm đúng  x 0

Điều kiện đủ: Với m3, khi đó (1) có dạng:

Ví dụ 2.37 Giải phương trình:

2x 6x 5 x 6x10  x 6x13

Giải: Để giải bài toán này ta có thể thực hiện theo hai cách:

Phương trình đã cho tương đương:

(x1)  (x 2)  (x3)  1 (x3) 4.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn các vectơ:

Đối với một số phương trình mũ có lũy thừa là một biểu thức chứa căn thì việc giải bài toán này là rất phức tạp, lớp bài toán này trở nên khó khăn trong quá trình biến đổi tương đương cũng như sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Chính vì vậy việc sử dụng định lý Lagrange làm cho lớp bài toán này trở nên đơn giản hơn rất nhiều Để giải quyết lớp bài toán này, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong

12772 

2

01

, đều thỏa mãn điều kiện của phương trình

Vậy, phương trình có tập nghiệm là: 1 5; 0; 1; 1 5

f x đơn điệu trên D

Để giải phương trình trên ta thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm điều kiện đề phương trình có nghĩa

Bước 2: Tính f ' x và f'' x để kiểm tra tính đơn điệu của

Giải: Điều kiện: x 1

Phương trình đã cho tương đương với

 f' x luôn nghịch biến trên D

Vậy phương trình (1) có không quá hai nghiệm

và áp dụng linh hoạt các bất đẳng thức quen thuộc từ đó giúp chúng

ta nhìn nhận phương pháp đánh giá một cách gần gũi hơn

x thỏa mãn điều kiện của phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là 1

7

x

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Chương này trình bày một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ

3.1 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

1 1 03

22

.2

1 1 0322

x x

x

x x

Các cách đặt ẩn phụ đã được nêu cụ thể ở mục 2.2 của chương 2

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình là phương pháp quen thuộc Để giải một bất phương trình bằng tính đơn điệu của hàm số ta thực hiện như sau:

Bước 1: Đặt điều kiện của bất phương trình

Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng

Bước 3: Giải bất phương trình u x   v x hoặc u x   v x

từ đó ta tìm được nghiệm của bất phương trình ban đầu

Khi đó (1) được biến đổi như sau: (f x 1) f(3x)

3.4 PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ

Cũng như phương pháp hàm số, phương pháp điều kiện cần và

đủ tỏ ra khá hiệu quả cho lớp bài toán “Tìm điều kiện của tham số để”:

Dạng 1: Bất phương trình có nghiệm duy nhất

Dạng 2: Bất phương trình nghiệm đúng với mọi xD

Khi đó ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện của bất phương trình

Bước 2: Tìm điều kiện cần để bất phương trình có nghiệm duy

Thay x00 vào (1), ta được m0

Vậy m0 chính là điều kiện cần để bất phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 3.23 Giải bất phương trình:

  Nhưng sau khi giải được ẩn t ta phải giải tiếp

bất phương trình bậc bốn sẽ tốn rất nhiều thời gian

- Tuy nhiên cũng với việc nhận xét

nhanh chóng thu được nghiệm

Giải: Điều kiện của bất phương trình x1

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho vế trái ta được:

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x1

CHƯƠNG 4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA

VINACAL 570ES PLUS II là dòng máy tính cầm tay mới nhất dành cho học sinh trung học Năm 2013, Bộ GD&ĐT xác nhận máy tính VINACAL 570ES PLUS II được phép mang vào phòng thi theo văn bản số 3125/BGDĐT-CNTT ngày 13/5/2013 Đây là dòng máy tính có thể hỗ trợ cho người sử dụng trong việc học và thi, đặc biệt trong các kỳ thi giải toán trên máy tính cầm tay do Sở, Bộ GD&ĐT

tổ chức hàng năm

VINACAL 570ES PLUS II ngoài khả năng giải các bài toán

cơ bản, dòng máy này còn có thể giải quyết các dạng toán cao cấp như tích phân, tổ hợp, chỉnh hợp… Đặc biệt, VINACAL 570ES PLUS II còn có thể trợ giúp giải các phương trình vô tỉ

Máy tính cầm tay VINACAL 570ES PLUS II Sau đây là một số chức năng của máy tính VINACAL 570ES PLUS II thường được dùng để hỗ trợ cho việc giải phương trình vô tỉ

Chức năng CALC: Cho phép ta tính giá trị của hàm số f x  

tại một điểm thuộc miền xác định D của f x Để sử dụng chức  

năng này ta thực hiện như sau:

Bước 1: Nhập hàm f x vào máy  

Bước 2: Bấm lần lượt các phím [CALC] + [ x ] + [=], với 0

0

x D, ta được giá trị f x 0

Chức năng TABLE: Cho phép nhận biết được khoảng chứa

nghiệm của phương trình (nếu phương trình có nghiệm) và lập bảng

những giá trị của hàm số (suy được từ phương trình), từ đó giúp ta đoán nhận được tính đơn điệu của hàm số Để sử dụng chức năng này

ta thực hiện như sau:

Bước 1: Giả sử phương trình đã cho có dạng g x h x , với tập xác định  a b Ta biến đổi về dạng ; f x g x   h x , và

xem f là một hàm số xác định trên đoạn  a b ;

Bước 2: Bấm lần lượt các phím [MODE] + [7]

Bước 3: Nhập hàm f x vào máy rồi lần lượt bấm [=] + [=] +  

[a] + [b] + [c] + [=], với c là bước nhảy (khoảng cách giữa hai biến)

Từ đó ta sẽ được một dãy giá trị tăng dần của biến x, cùng với dãy

giá trị tương ứng của hàm f x hiển thị trên màn hình máy tính  

Bước 4: Đoán nhận tính đơn điệu và khoảng chứa nghiệm của

phương trình

Chức năng SOLVE: Cho phép nhận biết phương trình có

nghiệm hay không Để sử dụng chức năng này ta cần thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm khoảng chứa nghiệm (nếu có) của phương trình Bước 2: Nhập phương trình cần giải vào máy

Bước 3: Thực hiện bấm lần lượt các phím [SHIFT] + [CALC]

+ [CONST] + [=], với CONST là một hằng số thuộc khoảng chứa nghiệm, hoặc CONST = 0 khi không tìm được khoảng chứa nghiệm Khi đó máy tính sẽ chỉ ra một nghiệm (nếu có) hoặc cho biết phương trình vô nghiệm

Ví dụ 4.5 Giải phương trình: 3  2

2 7 2 3 2 0

x x x  x   (1)

 Phân tích:

- Điều kiện của phương trình là : x 2

- Dùng chức năng TABLE của máy tính cầm tay ta thu được bảng sau:

Bấm [MODE]+[7] ta được chức năng

- Dùng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay:

- Nhập phương trình đã cho vào máy

- Dùng chức năng CALC của máy tính cầm tay:

- Nhập vào máy biểu thức x2

- Bấm [CALC]+[0.618033988]+[=], ta

thu được hình bên:

- Từ chức năng CALC, ta thay giá trị x0.618033988 vào biểu thức x2 ta được:

Giải: Điều kiện x 2

Phương trình (1) tương đương với: 3  2

x x x  x  (2)

Nhận thấy x0 không phải là nghiệm của (2), nên ta chia cả hai vế của phương trình (2) cho x Khi đó, (2) tương đương với: 3

  thỏa mãn điều kiện của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 1 5

- Điều kiệncủa phương trình: x 2

- Sử dụng chức năng TABLE của máy tính cầm tay ta thu được bảng sau:

Bấm [MODE)]+[7] ta được chức năng

0.5 -2.371

1 -1.964

- Phương trình có hai nghiệm phân biệt,

trong đó một nghiệm là x2, và một

nghiệm nằm trong 3; 3,5 

- Hàm số không đơn điệu trên D nhưng

cho phép ta dự đoáng hàm số đơn điệu tăng

4 -0.792 4.5 -1.531

5 -2.347

- Dùng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay:

- Nhập phương trình đã cho vào

- Dùng chức năng CALC của máy tính cầm tay:

- Nhập vào máy biểu thức x2

- Bấm [CALC]+[3.302775638

]+[=], ta thu được hình bên:

- Từ chức năng CALC, ta thay giá trị x23.302775638

vào biểu thức x2 ta được: x  2 x 1 2 3 13

- Từ các phân tích trên ta dùng phương pháp biến đổi tương

đương để giải phương trình này:

Giải: Điều kiện: x 2

nên ta sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình (1)

- Cũng từ phân tích ở phần trước thì nghiệm 3 13

  thỏa mãn điều kiện của phương trình

Vậy, tập nghiệm của phương trình là: 2; 3 13

Luận văn “Phương pháp giải phương trình và bất phương trình

vô tỉ” đã đạt được mục đích và nhiệm vụ đề ra, cụ thể là luận văn đã thực hiện được các vấn đề sau:

1 Tìm hiểu và trình bày một số phương pháp giải phương trình vô tỉ, bất phương trình vô tỉ Đối với mỗi phương pháp đều có phân tích và định hướng cách giải rõ ràng, đồng thời cũng cho nhiều

ví dụ minh họa cho từng phương pháp

2 Giới thiệu máy tính cầm tay VINACAL 570ES PLUS II, là dòng máy tính được Bộ GD&ĐT cho phép học sinh mang vào phòng thi Trình bày một số chức năng của dòng máy tính này, mà có thể hỗ trợ cho việc giải phương trình vô tỉ , và kèm theo đó là những ví dụ minh họa

Trong thời gian tới, nội dung của luận văn sẽ còn được tiếp tục hoàn thiện và mở rộng hơn nữa, nhằm có thể là một tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên, cũng như cho những ai quan tấm đến việc giải phương trình và bất phương trình vô tỉ