Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Lý do chọn đề tài Phương trình, bất phương trình mũ và logarit là một trong các chủ đề quan trọng trong chương trình toán bậc phổ thông trung học.. Vì vậy học sinh thường gặp khó khăn k

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Phảnbiện 1: TS Lê Hải Trung

Phảnbiện 2: GS TS Lê Văn Thuyết

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đạihọc Đà Nẵng

- Thư viện trường Đi học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình, bất phương trình mũ và logarit là một trong các chủ đề quan trọng trong chương trình toán bậc phổ thông trung học Các dạng bài toán trên thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và có mối liên quan mật thiết với nhau

Việc dạy học các chủ đề này đã được đưa vào chương trình bậc trung học phổ thông và đóng vai trò trọng tâm trong việc trang bị kiến thức cho học sinh Tuy nhiên do thời gian hạn hẹp của chương trình phổ thông, không nêu được đầy đủ chi tiết tất cả dạng bài toán

về phương trình và bất phương trình chứa mũ và logarit Vì vậy học sinh thường gặp khó khăn khi giải các dạng toán nâng cao về phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng

Mặc dù có nhiều tài liệu tham khảo về các chủ đề nói trên với các nội dung khác nhau nhưng chưa có chuyên đề riêng khảo sát về phương trình, bất phương trình mũ và logarit một cách hệ thống Đặc biệt, nhiều dạng bài toán đại số về hàm số mũ và logarit có quan hệ chặt chẽ, khăng khít, không thể tách rời nhau và thường cần đến sự trợ giúp của công cụ đại số, giải tích và ngược lại

Do đó, để có điều kiện tìm hiểu thêm về chủ đề này và được sự gợi ý của thầy giáo hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit” làm đề tài

cho luận văn của mình nhằm hệ thống các kiến thức cơ bản về phương trình, bất phương trình mũ và logarit kết hợp với các kiến thức về đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc và phân loại các phương trình, bất phương trình mũ và logarit và xây dựng một số bài toán mới

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu và tìm hiểu các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit, vận dụng các phương pháp thích hợp trong đại số, giải tích để giải các bài toán nêu trên trong chương trình phổ thông trung học

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các bài toán về phương trình,

bất phương trình mũ và logarit

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là vận dụng các phương pháp giải toán thích hợp trong đại số và giải tích để giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình mũ và logarit

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tổng hợp các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài

5 Cấu trúc của luận văn

Mở đầu

- Chương 1: Các kiến thức cơ sở

- Chương 2: Phương pháp giải phương trình mũ và logarrit

- Chương 3: Phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về Hàm lũy thừa, hàm mũ và hàm logarit có liên quan đến việc nghiên cứu trong chương tiếp theo Các nội dung trình bày trong chương chủ yếu được

tham khảo trong các tài liệu [3], [5], [9]

1.1 HÀM MŨ VÀ HÀM LŨY THỪA

1.1.1 Hàm lũy thừa

a Khái niệm hàm lũy thừa

b Đạo hàm của hàm lũy thừa với số mũ tổng quát

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số phương pháp giải phương trình mũ và logarit.Các kiến thức trình bày trong chương được tham khảo ở các tài liệu [5], [6], [7] và [9]

2.1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ

2.1.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số

*Phương pháp giải: Ta sử dụng phép biến đổi tương đương

Sau đây là một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 2.1 Giải phương trình sau: 2x2 x 841 3x

Ví dụ 2.2 Giải phương trình sau: 8x32x22 4x2 x 1

Ví dụ 2.3 Giải phương trình sau: 2 4 0,125x3 x 3x 4 23

Ví dụ 2.4 Giải phương trình sau: (2 3)3x 1  (2 3)5x 8

2.1.2 Phương pháp logarit hóa

*Phương pháp giải : Ta sử dụng các công thức sau

Sau đây là một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 2.5 (Đại học kinh tế Quốc Dân 1998)

Giải phương trình sau:

sẽ thấy ngay dấu hiệu của một biểu thức chứa biến nào đó lặp đi lặp lại nhiều lần, còn nếu khó hơn, thì ta cần một ít biến đổi khéo léo, chủ yếu đưa về hình dạng sơ khai của bài toán, là một phương trình với các biểu thức chứa biến lặp lại Cũng có trường hợp bài toán yêu

cầu ta phải đặt thêm nhiều ẩn phụ khác nhằm tạo ra một phương trình mới dễ dàng giải quyết hơn Trong phần này, ta có các dạng ẩn phụ chủ yếu sau:

Dạng 1 Ta có dạng tổng quát của bài toán trên là:  f (x)

F a 0 Với dạng này ta đặt t= af (x), t0 và chuyển về phương trình F(t)=0, giải tìm nghiệm dương t của phương trình, từ đó ta tìm được

Sau đây là một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 2.8 Giải phương trình sau: x x

Giải phương trình sau:   x x

Ví dụ 2.13 Giải phương trình sau:

*Phương pháp giải: Đoán nghiệm Chứng minh nghiệm duy

nhất Ta thực hiện theo các bước sau:

+ Chuyển phương trình đã cho về dạng f (x)k Nhẩm một nghiệm xx0, ta chứng minh xx0 là nghiệm duy nhất

+ Xét hàm số yf (x) Dùng lập luận khẳng định tính đơn điệu của hàm số (giả sử hàm số đồng biến)

Nếu hàm số yf (x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

 a, b thì số nghiệm của phương trình: f (x)k (trên (a;b)) không nhiều hơn một và f (u)f (v)  u v, u, v a, b

● Tính chất 2.2

Nếu hàm số y f (x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến); hàm số y g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f (x)g(x) không nhiều hơn một

liên tục trên  a b, và khả vi trên  a b, , đồng thời ( ) f a  f b( ) Khi

đó tồn tại số thực c a b; sao cho f c( )0

Một số hệ quả thường dùng của các định lý này là:

+ Nếu hàm số f (x) : a, b  liên tục trên  a, b và khả vi trên

 a, b và phương trình f(x) = 0 có k nghiệm thuộc (a,b) thì f (x) = 0

có ít nhất k 1 nghiệm thuộc (a,b)

+ Nếu hàm số f (x) : a, b  liên tục trên  a, b và khả vi trên  a, b , đồng thời đạo hàm cấp k của hàm số f (x) không đổi dấu trên f (x)0 thì phương trình f (x)0 có không quá k nghiệm phân biệt thuộc  a, b

Sau đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 2.15

Giải phương trình sau: 4x3x 5x

Ví dụ 2.16 Giải phương trình sau:

*Phương pháp giải: Nhiều bài toán có thể giải bằng cách đánh

giá tinh tế dựa trên các:

● Tính chất của hàm mũ

● Bất đẳng thức

Sau đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 2.18 Giải phương trình sau: x x 1 x x

1 4 2  2 2

Ví dụ 2.19 Giải phương trình sau: 2x 2 3x 2 32x 1 22x 1

Ví dụ 2.20 Giải phương trình sau:

2.2.1 Phương trình đưa về cùng cơ số

*Phương pháp giải: Ta sử dụng công thức:

độ phức tạp của f (x), g(x)

Sau đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 2.22 (Học viện công nghệ bưu chính viễn thông năm 2000)

Sau đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 2.25 Giải phương trình: log3 log x9 1 9x 2x

*Phương pháp giải: Việc giải phương trình logarit bằng phương pháp này cũng tương tự như phương trình mũ Sau đây, chúng ta hãy cùng nhau xét các ví dụ nhỏ nhằm làm sáng tỏ hơn ý tưởng giải quyết các bài toán dạng này

Ví dụ 2.28 Giải phương trình sau:

log x x 1 log x x  1 log x x 1

Ví dụ 2.30 Giải phương trình sau:

Tính chất 2.5

Nếu hàm f (x) tăng (hoặc giảm) trong khoảng  a, b thì

 

f (u)f (v) u v; u, v  a, b

Sau đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 2.31 Giải phương trình sau: lg x 4 5 x

Ví dụ 2.32 Giải phương trình sau:

Sau đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 2.34 Giải phương trình sau:

log x 2x  1 3log xlog x 1

Ví dụ 2.37 Giải phương trình: log3 2 4 x  x51

2.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

2.3.1 Các phép biến đổi tương đương

*Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số,

mũ hóa hoặc logarit hóa đã biết trong việc giải phương trình mũ và logarit để biến đổi hệ ban đầu về hệ mới dễ dàng giải được

Sau đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 2.38 Giải hệ phương trình sau:

Ví dụ 2.40 ( Đại học Quốc gia khối B năm 95)

Giải hệ phương trình sau:

Ví dụ 2.41 (Đại học bách khoa năm 94)

Giải hệ phương trình sau:  2 3  x

x log y 32y y 12 3 81y

*Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp hàm số đối với một

phương trình hoặc các phương trình trong hệ Kết quả cho ta một hệ phương trình đại số mà ta có thể dễ dàng tìm được nghiệm của hệ ban đầu

Sau đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 2.42 Giải hệ phương trình sau:

Ví dụ 2.43 (Đại học Quốc Gia năm 95)

Giải hệ phương trình sau: x y   

*Phương pháp giải: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu

về hệ đại số đã biết( hệ đối xứng, hệ đẳng cấp… )

Sau đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 2.45 Giải hệ phương trình sau:

*Phương pháp giải: Đối với nhiều bài toán ta có thể giải bằng

cách đánh giá tinh tế dựa trên:

+ Tam thức bậc hai

+ Tính chất hàm mũ và logarit

+ Bất đẳng thức

…………

Ta có thể nhanh chóng chỉ ra được nghiệm của hệ hoặc biến đổi

hệ về dạng đơn giản hơn

Sau đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 2.48 (ĐH Thái Nguyên khối A-1997)

Ví dụ 2.49 (Đại học kinh tế TP.HCM năm 99)

VÀ LOGARIT

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit, các bài toán tổng hợp Các kiến thức

trình bày trong chương được tham khảo ở các tài liệu [5], [6], [7] và [9]

3.1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

3.1.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số

*Phương pháp giải: Sử dụng các công thức cơ bản sau

39

3

 

   

3.1.2 Phương pháp logarit hóa

*Phương pháp giải: Sử dụng các công thức cơ bản sau

● f(x)

a

a

b 0f(x) có nghĩa

b 0,a 1

f(x) log b

b 0,0 a 1f(x) log b

cĩ thể sử dụng logarit theo cơ số a hay b

Sau đây là một số ví dụ minh họa

*Phương pháp giải: Các bài tốn giải bất phương trình mà ta cĩ

thể sử dụng phương pháp này, nếu dễ thì sẽ thấy ngay dấu hiệu của một biểu thức chứa biến nào đĩ lặp đi lặp lại nhiều lần, cịn nếu khĩ hơn, thì ta cần một ít biến đổi khéo léo, chủ yếu đưa về hình dạng sơ khai của bài tốn, là một bất phương trình với các biểu thức chứa biến lặp lại Cũng cĩ trường hợp bài tốn yêu cầu ta phải đặt thêm nhiều ẩn phụ khác nhằm tạo ra một bất phương trình mới dễ dàng giải quyết hơn Sau đây, chúng ta hãy cùng nhau xét các ví dụ nhỏ nhằm làm sáng tỏ hơn ý tưởng giải quyết các bài tốn dạng này

Ví dụ 3.7 (Đại học sƣ phạm Hà Nội khối B, D năm 2000)

Hướng 1: Thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Chuyển bất phương trình về dạng : f (x) k

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là :Tx ;0  Hướng 2: Thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Chuyển bất phương trình về dạng f (u) f (v) + Bước 2: Xét hàm số yf (t) Dùng lập luận khẳng định hàm

số đơn điệu

+ Bước 3: Khi đó f (u) f (v)  u v

Sau đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 3.10 ( Đại học Y Hà Nội năm 1999 )

*Phương pháp giải: Đối với nhiều bất phương trình, ta có thể

giải bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên:

● Tam thức bậc hai

● Tính chất hàm mũ

● Các bất đẳng thức cơ bản như: côsi, bunhiacopxki…

● Tính chất giá trị tuyệt đối

Ta có thể nhanh chóng chỉ ra nghiệm của bất phương trình

Sau đây là một số ví dụ minh họa

3.2.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số và mũ hóa

*Phương pháp giải: Ta có các công thức cơ bản sau

a a

a 1

0 f (x) g(x) log f (x) log g(x)

Sau đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 3.16 (Đại học khối B năm 2008)

 2

Sau đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 3.19 (Đại học ngoại thương khối D năm 1998)

Giải bất phương trình: log x2 log x3  1 log x.log x2 3

*Phương pháp giải: Đối với nhiều bất phương trình, ta có thể

giải bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên:

● Tam thức bậc hai

● Tính chất hàm logarit

● Các bất đẳng thức cơ bản như: côsi, bunhiacopxki…

● Tính chất giá trị tuyệt đối

Ta có thể nhanh chóng chỉ ra nghiệm của nó

Sau đây là một số ví dụ minh họa

+ Nếu hàm số f đồng biến trên D thì f (x)f (k) x k + Nếu hàm số f nghịch biến trên D thì f (x)f (k) x k

● Dạng 2: f (u) f (v)

Xét hàm số yf (x) Dùng lập luận để khẳng định hàm số f đơn điệu

+ Nếu hàm số f đồng biến trên D thì f (u)f (v) u v + Nếu hàm số f nghịch biến trên D thì f (u)f (v) u v Sau đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 3.28 Giải phương trình sau: x

2

24 log x0

Ví dụ 3.29 (Tuyển tập 45 năm tạp chí Toán học tuổi trẻ)

Choa, b1 Chứng minh rằng phương trình:

Ví dụ 3.33 Tìm tất cả các giá trị a để bất phương trình sau

nghiệm đúng với mọi x: x   x 2

Luận văn “Một số phương pháp giải phương trình, bất

phương trình mũ và logarit” đã thực hiện được mục tiêu và nhiệm

vụ đề ra, cụ thể luận văn đã đạt được các nội dung sau:

1 Hệ thống một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit

chung và kèm theo nhiều ví dụ minh họa

3 Dựa vào các phương pháp giải phương trình mũ và logarit đi giải một số hệ phương trình mũ và logarit tương ứng

Các kết quả đạt được trong luận văn tuy còn khá khiêm tốn nhưng đã góp phần giúp bản thân tìm hiểu và làm rõ hơn một số vấn

đề liên quan của bài toán giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều trong quá trình làm luận văn, tuy nhiên do thời gian và năng lực còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót trong luận văn này Rất mong quý thầy cô

và các bạn đọc góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn