Tìm hiểu 1 số phương pháp Giải phương trình vô tỉ

Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình vô tỉ không nhiều song lại rất quan trọng đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếptục học lên ở THPT.. Khi giải to

Đại số là một môn đặc biệt của toán học Nếu đi sâu vào nghiên cứu về mônđại số chúng ta sẽ thấy được cái không gian ba chiều lí thú mà không bao giờ vơicạn của nó Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ xung và đổi mới đểđáp ứng với sự ra đời của nó và nhu cầu của xã hội Vì vậy mỗi người giáo viên nóichung phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học để đáp ứngvới chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra.

Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình vô

tỉ không nhiều song lại rất quan trọng đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếptục học lên ở THPT

Khi giải toán về phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức

cơ bản về căn thức, phương trình, hệ phương trình, các phép biến đổi đại số Họcsinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức

tạp “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ” giúp học sinh phát triển tư duy,

phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán Đồng thời giáo dục tưtưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh

2 Cơ sở thực tiễn:

Phương trình vô tỉ là loại toán khó đối với học sinh THCS, nhiều học sinhkhông biết giải phương trình vô tỉ như thế nào, chưa nắm vững có những phươngpháp nào Các bài toán về phương trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó, có nhiềutrong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, các tài liệu,các sách tham khảo, sách giáo viên cũng chưa có sách nào đề cập chi tiết cụ thể cácphương pháp giải loại toán này Có chăng chỉ là gợi ý chung, sơ lược và đưa ra lờigiải các bài toán một cách rời rạc Đặc biệt trong sách giáo khoa lớp 9 dạng bàitoán này cũng chưa được đưa vào phân phối chương trình mà chỉ lồng ghép ở phầnbài tập trong chương I căn bậc hai, căn bậc ba Đây là một vấn đề quan trọng vàbức thiết Lâu nay chúng ta đang tìm kiếm một phương pháp dạy học sinh giảidạng toán này sao cho đạt hiệu quả cao nhất

Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ là rất thiếtthực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạyphần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, dặc biệt là chấtlượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường THCS

- Bài kiểm tra khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến:

II Mục đích nghiên cứu :

+ Nghiên cứu về “phương pháp giải phương trình vô tỉ trong chương trìnhtoán THCS” Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụngtổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết Từ đó cóphương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả

+ Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy họcphần phương trình vô tỉ trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nângcao chất lượngdạy và học môn toán

+ Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành công về phương trình vô tỉ

III Nhiệm vụ nghiên cứu :

1 Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường

2 Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài

3 Phân tích rut ra bài học kinh nghiệm

4 Hệ thông hoá một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

IV Phạm vi và đối tượng nghiên cứu :

1 Đối tượng nghiên cứu:

a) Các tài liệu

b) Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trường THCS Thụy Lương

2 Phạm vi nghiên cứu:

Các phương pháp để giải phương trình vô tỉ thường gặp ở THCS

V Phương pháp nghiên cứu :

1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

2 Phương pháp điều tra, khảo sát

3 Phương pháp thử nghiệm

4 Phương pháp ttổng kết kinh nghiệm

VI Giả thuyết khoa học :

Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sángkiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thíchhọc dạng toán này hơn

B NỘI DUNG

 Khái niệm về phương trình vô tỉ:

- Khái niệm: Phương trình vô tỉ là phương trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức(ở đây tôi chỉ đề cập đến những phương trình mà ẩn nằm dưới dấu căn bậc hai vàcăn bậc ba)

 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ:

* Phương trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng, hướng chung để giải quyết phươngtrình vô tỉ là làm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ Sau đây là một sốphương pháp giải phương trình vô tỉ

I Phương pháp nâng lên luỹ thừa:

1 Kiến thức vận dụng:

0 g(x) g(x)

4 4 1

x x x

 Ví dụ 1:Ví Ví dụ 1:dụ Ví dụ 1:2: Ví dụ 1:Giải phương trình: x 1  5x 1  3x 2 (1)

Giải:

0 2 3

0 1 5

0 1

( 4

0 7 2

2 13 15

2 7 2

) 1 5 )(

2 3 ( 2 1 5 2 3 1

2 2

2

x x

x x

x x

x

x x

x x

Viết PT (1) dưới dạng

x 1  x 2  1 (3)

Hai vế của (3) không âm, bình phương hai vế ta được

x 1 x 2  1  2 x 2

- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 3

2 ) 7 1 (

2 2 7 1 )

x x

Giải (1)

7

; 1

0 ) 7 )(

1 (

0 ) 7 )(

1 (

2 1

x x

x x

Chú ý:

- Khi bình phương hai vế của phương trình cần chú ý điều kiện hai vế cùng dương

- Trước khi lên luỹ thừa cần biến đổi phương trình về dạng thuận lợi nhất để hạnchế các trường hợp hoặc có lời giải ngắn gọn

2 ( 2

+ Nếu x < 2 thì 2  xx 8 vô nghiệm

- Vậy x = 5 là nghiệm của pt

0 f(x) nêu f(x) f(x)

2

1 ) 3 2 ( ) 2 2

x x

- Cách 1: Chia các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

3 Chú ý :

+ Phương pháp này thường được áp dụng khi các biểu thức trong dấu căn bậc haiviết được thành bình phương của một biểu thức

+ Có những phương trình cần phải biến đổi mới có dạng trên

4 Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau:

5 9

4 5 5 2

2 2

x x

x x

4

1 2

0 7 4

0 2

1 2 2

y y

Trường hợp

2

1 2

2 





Điều kiện:

2

1 0

2) (4y

(4) 15 2y 2

4x

2 2

x

Trừ vế với vế của (4) cho (5) ta được (x- y)(8x + 8y + 9) = 0

x

(loai) 16

221 9

) 3 2 ( 5 3

x x

y

y x

Trừ vế với vế ta được :

0 ) 1 )(

1

2 2

z x z

z

y z

1

z y

Từ đó suy ra: x = 3 là nghiệm của phương trình (1)

 Ví dụ 1:Ví Ví dụ 1:dụ Ví dụ 1:13: Giải phương trình: 2

2

1 1

0

x x

2

2 2

y x

y x

Đặt: x + y = S ; xy = P

2 1

2 , 1 2

2 2

2

S P

S P P

S

P S

+ Trường hợp 1: Ta được x=y=1; Trường hợp 2:

3 1

3 1

y x

- Vậy x = 1; x =

2

3 1

3 Chú ý:

* Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải được nhiều bài toán khó, tuy nhiên để đặt cái gì làm ẩn phụ và có mấy ẩn phụ thì phải biết nhận xét và tìm mối liên quan giữa các biểu thức trong phương trình, liên quan giữa các ẩn

* Cần phải có kỹ năng giải phương trình và hệ phương trình

; 1

;

1 1

; 4

11

; 1 , 1 3 3

; 1 , 2

x

IV Phương pháp bất đẳng thức:

1 Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau khi đó phương trình vô nghiệm:

* Phương trình: f(x) = g(x)

phương trình vô nghiệm

 Ví dụ 1:Ví Ví dụ 1:dụ Ví dụ 1:14: Giải phương trình: x 3  7x 3  5x 2 (1)

Giải:

Khi đó vế trái của (1) âm, còn vế phải dương do đó phương trình (1) vô nghiệm

2 Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:

* Phương trình F(x) = G(x) (1)

2 2

2 1 2 2 1

1

b

a b

Dấu “=” xảy ra khi x=3

- Vậy phương trình vô nghiệm

3 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

* Ta chỉ ra nghiệm cụ thể và chứng minh được các trường hợp khác của ẩn không

là nghiệm của phương trình

Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phương trình

- Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình

4 Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt

Với a,b > 0 thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

2 b a

2 b

2

suy ra x = 3Vậy nghiệm của phương trình là S = {1 ; 3}

 Ví dụ 1:Ví Ví dụ 1:dụ Ví dụ 1:21: Giải phương trình: x 1

2

1 2

1 x

; 2

1 x

1 a

2 a

Từ đó ta tính được giá trị của x là 12 ; - 21 ; -172

Vì b và x đều thỏa mãn điều kiện nên tập nghiệm phương trình là:

S = {12 ; - 21 ; -172 }

 Ví dụ 1:Ví Ví dụ 1:dụ Ví dụ 1:22: Giải phương trình: -x2 + 2 = 2  x

y 2

2 2 2 2

2 y

(1) 2y 1 x 2x 1 y 2y 1 x

3 3 3 3 3

y x 0 y x

0 ) y xy y)(x (x

1 x

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1 ;





 2 y 3 x

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2 ; 3}

2 Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau :

VI Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình vô tỉ:

n) m 2 ( ) m.n (2 n m 2 m.n

2

2 m.n 2 n m 2 ) n m

(

2

2 2

 Ví dụ 1:Ví Ví dụ 1:dụ Ví dụ 1:26: Ví dụ 1:Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình:

Giải:

Điều kiện x ≥ y ≥ 0 Bình phương hai vế ta được

y xy

3 3 3

; 2

1 xy

2xy) (1 3 1 3y x

3 1 xy 3 2 3y x

3 1 ) 3 y (x

2 2

2 2

2 2

; 2x

Vậy phương trình không có nghiệm hữu tỉ

 Ví dụ 1:Ví Ví dụ 1:dụ Ví dụ 1:28: Chứng minh rằng không tồn tại x, y Q, nN thỏa mãn đẳng thức :

x  y 3n  1  3

Giải:

Với n = 1 ta đã giải trong ví Ví dụ 1:dụ Ví dụ 1:3

cũng không có nghiệm hữu tỉ

 Ví dụ 1:Ví Ví dụ 1:dụ Ví dụ 1:29: Ví dụ 1:Tìm các số hữu tỉ a và b biết 2 là nghiệm của phương trình:

x3 + ax2 + bx – 4 = 0

Giải: Thay x = 2 ta được:

2a 4 2) (b

3 Bài tập áp dụng:

 2

3 B

* Khi giải phương trình vô tỉ cần tránh những sai lầm sau:

+ Không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức

+ Không đặt điều kiện có nghĩa của căn thức

* Để giải phương trình vô tỉ thành thạo thì các kiến thức sau cần nắm vững

+ Các phép biến đổi căn thức

+ Các phép biến đổi biêủ thức đại số

+ Các kiến thức và phương pháp giải các phương trình và hệ phương trình.

+ Các kiến thức về bất đẳng thức

2.Ví dụ:

Ví dụ 1: Ví dụ 1:Ví Ví dụ 1:dụ Ví dụ 1:30: Ví dụ 1:Giải phương trình: (x+3) = 0 (1)

- Lời giải sai: Ta có (1)  

* Nhận xét: Rõ ràng x = -3 không là nghiệm của phương trình trên

* Nhận xét: Em nghĩ như sao nếu x = -7 là nghiệm của phương trình trên

; 0 A khi B A

0 B

; 0 A khi B A B

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2

* Nhận xét: Ta thấy ngay x = 2 không là nghiệm của phương trình trên

Khi đó ta có:

=> + > 2

Do đó phương trình vô nghiệm

* Nhận xét: Ta dễ thấy x = 0 là nghiệm phương trình Việc chia hai vế cho đã làm

; 0 A khi B A

0 B

; 0 A khi B A A.B

Do đó lời giải cần bổ xung thêm trường hợp = 0  x = 0 và khi x < 0 đưa phương trình về dạng: + = 2

Vì ≥ 0 ta chia cả hai vế cho ta được: + = 2

Với x < 0 thì: => + < 2

Do đó với x < 0 không thỏa mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Ví dụ 1: Ví dụ 1:Ví Ví dụ 1:dụ Ví dụ 1:35: Ví dụ 1: Ví dụ 1:Giải phương trình: = x+2 (1)

- Lời giải sai: (1)  = x+2  2x-1 = x+2  x = 3

Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình

* Nhận xét: Em nghĩ như sao nếu x = -31 cũng là nghiệm của phương trình (1)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = 7

* Nhận xét: Em nghĩ như sao nếu x = 2 cũng là nghiệm của phương trình (2).

khi B

A

0 A

khi B

A

0 A

k hi 0

Lời giải trên đã xét thiếu trường hợp A ≤ 0

x x

1 x

1 x

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

* Nhận xét: Dễ thấy lời giải trên sai ngay từ đầu khi trục căn thức ở mẫu, đưa bình

phương ra khỏi căn bậc hai mà không đặt trong dấu giá trị tuyệt đối

; 0 A khi B

AB

0 B

; 0 A khi B

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

* Nhận xét: Em nghĩ như sao nếu x = -14 cũng là nghiệm của phương trình (4).

; 0 A khi AB

0 B

; 0 A khi AB

Do đó mất trường hợp A< 0 ; B < 0 nên sót nghiệm x = -14

C KẾT LUẬN

I Bài học kinh nghiệm :

Phương trình vô tỷ là một dạng toán không thể thiếu được trong chươngtrình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáokhoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìmtòi sáng tạo thường xuyên bổ xung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đềnày

Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phương pháp giải phươngtrình vô tỷ thì bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về phương trình vôtỷ: các dạng phương trình vô tỷ, phân biệt sự khác nhau giữa phương trình vô tỷvới các dạng phương trình khác, đồng thời phải nắm vững các phương pháp giảiphương trình vô tỷ

Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng cao kiến thứcnâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngoài ra còn giúp bảnthân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên cứu cácvấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học của mình

Qua thời gian nghiên cứu, áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tế giảngdạy trên lớp tôi nhận thấy:

+ Với phương pháp dạy trước khi áp dụng sáng kiến học sinh rất sợ khi gặp

loại toán “ giải Ví dụ 1:phương Ví dụ 1:trình Ví dụ 1:vô Ví dụ 1:tỉ Ví dụ 1:” thậm chí có học sinh còn không cần đọc đề bài

cứ nhìn thấy loại toán này là bỏ qua

+ Sau khi tôi vận dụng phương pháp đã nêu trên thì hầu hết các em đã cảmthấy không còn sợ loại toán này nữa và có học sinh còn cảm thấy thích thú với loạitoán này Kết quả cụ thể tôi thu được là:

- Bài kiểm tra khảo sát sau khi áp dụng sáng kiến:

II Kết luận chung và đề xuất, kiến nghị :

sinh khá và giỏi người giáo viên phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu

Các bậc cha mẹ học sinh cần quan tâm hơn nữa đến việc học tập cuả con emmình

Các trường và phòng giáo dục và đào tạo tổ chức thêm các chuyên đề, ngoạikhóa để chúng tôi có điều kiện trao đổi và học hỏi thêm kinh nghiệm quý báu củacác đồng nghiệp

Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệutham khảo tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên ”Một số phương pháp giảiphương trình vô tỷ” là một tài liệu giúp học sinh học tập và tiếp thu dạng toán nàymột cách tự nhiên, chủ động và nhẹ nhàng hơn, phần nào nâng cao năng lực tư duy,

sự sáng tạo và rèn kỹ năng giải các phương trình vô tỷ cho học sinh

Trong quá trình nghiên cứu, với thời gian hạn hẹp, kinh nghiệm giảng dạycũng chưa nhiều không thể tránh khỏi thiếu sót, hạn chế rất mong được sự giúp đỡ,góp ý của đồng nghiệp để tài liệu này ngày một hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thụy Lương, ngày tháng năm 201

Nguyễn Xuân Thưởng

XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG

MỤC LỤC

A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

I Cơ sở nghiên cứu 1

1.Cơ sở lý luận: 1

2 Cơ sở thực tiễn: 1

II Lịch sử của đề tài: 3

III Mục đích, nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu: 3

1 Mục đích : 3

2 Nhiệm vụ: 3

3 Phương pháp: 4

IV Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: 4

V Đổi mới kết quả nghiên cứu: 4

B NỘI DUNG 5

I Làm rõ các khái niệm: 5

1.Tư duy logic : 5

2 Chứng minh toán học: 5

3 Rèn kỹ năng tư duy logic trong học toán : 5

II Thực trạng khả năng tư duy logic trong toán học của học sinh 5

III Quan hệ giữa tư duy lôgic và kết quả học tập môn toán: 7

IV Phân tích nội dung sách giáo khoa giúp rèn luyện tuy duy logic: 7

V Phương pháp: 8

1 Chứng minh trực tiếp: 8

2 Bác bỏ mệnh đề: 12

3 Chứng minh phản chứng: 12

4 Những sai lầm thường gặp 137

VI Kết quả thực nghiệm: 169

VII Bài học kinh nghiệm: 20

C KẾT LUẬN 22

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Toán 9 tập 1- Nhà xuất bản giáo dục - Nhóm tác giả: Tôn Thân,

Vũ Hữu Bình, Trần Phương Dung , Ngô Hữu Dũng , Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo

2 Sách bài tập Toán 9 tập 1- Nhà xuất bản giáo dục - Nhóm tác giả: Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Trần Phương Dung , Ngô Hữu Dũng , Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo

3 Sách giáo viên Toán 9 tập 1- Nhà xuất bản giáo dục – Nhóm tác giả: Tôn Thân, Nguyễn Huy Đoan, Phạm Gia Đức, Trương Công Thành, Nguyễn Duy Thuận

4 Toán phát triển lớp 9 tập 1- Nhà xuất bản giáo dục – Tác giả Nguyễn Đức Tấn

5 Toán bồi dưỡng học sinh lớp 9 môn đại số - Nhà xuất bản giáo dục – Nhóm tác giả Tô Thân, Đỗ Quang Thiều.

6 Một số vấn đề phát triển toán 9 môn đại số - Nhà xuất bản giáo dục - Nhóm tácgiả: Tôn Thân,Vũ Hữu Bình

7 Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9- Nhà xuất bản giáo dục – Tác giả Bùi Văn Tuyên

8 Toán học tuổi thơ 2 các số: 24, 30, 83, 90