Tìm hiểu 1 số phương pháp Giải phương trình vô tỉ

A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI I Cơ sở nghiên cứu Cơ sở lý luận: Toán học đời gắn liền với người, với lịch sử phát triển sống xã hội lồi người nói chung, người nói riêng Nó có lí luận thực tiễn lớn lao quan trọng, đồng chí Phạm Văn Đồng nói: “Tốn học mơn thể thao trí tuệ, giúp rèn luyện tính thơng minh sáng tạo” Đại số môn đặc biệt toán học Nếu sâu vào nghiên cứu môn đại số thấy không gian ba chiều lí thú mà khơng vơi cạn Chính mà dạy tốn khơng ngừng bổ xung đổi để đáp ứng với đời nhu cầu xã hội Vì người giáo viên nói chung phải ln ln tìm tịi, sáng tạo, đổi phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi Đảng Nhà nước đặt Trong chương trình mơn tốn lớp THCS kiến thức phương trình vơ tỉ khơng nhiều song lại quan trọng tiền đề để học sinh tiếp tục học lên THPT Khi giải toán phương trình vơ tỉ địi hỏi học sinh nắm vững kiến thức thức, phương trình, hệ phương trình, phép biến đổi đại số Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức, kỹ từ đơn giản đến phức tạp “Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ” giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo giải toán Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh 22 Cơ sở thực tiễn: Phương trình vơ tỉ loại tốn khó học sinh THCS, nhiều học sinh giải phương trình vơ tỉ nào, chưa nắm vững có phương pháp Các tốn phương trình vơ tỉ dạng tốn hay khó, có nhiều đề thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, tài liệu, sách tham khảo, sách giáo viên chưa có sách đề cập chi tiết cụ thể phương pháp giải loại tốn Có gợi ý chung, sơ lược đưa lời giải toán cách rời rạc Đặc biệt sách giáo khoa lớp dạng toán chưa đưa vào phân phối chương trình mà lồng ghép phần tập chương I bậc hai, bậc ba Đây vấn đề quan trọng thiết Lâu tìm kiếm phương pháp dạy học sinh giải dạng toán cho đạt hiệu cao Vì việc nghiên cứu phương pháp giải phương trình vơ tỉ thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung xác định phương pháp giảng dạy phần đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, dặc biệt chất lượng học sinh giỏi giáo viên giỏi trường THCS - Bài kiểm tra khảo sát trước áp dụng sáng kiến: Lớp Sĩ số 9A 9B 31 30 Giỏi SL % 3,2% 6,7% Khá Trung bình SL % SL % 9,7% 25,8% 13,3% 20% Yếu Kém SL % SL % 14 45,2% 16,1% 12 40% 20% II Mục đích nghiên cứu: + Nghiên cứu “phương pháp giải phương trình vơ tỉ chương trình tốn THCS” Giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp tri thức học, mở rộng, đào sâu hồn thiện hiểu biết Từ có phương pháp giảng dạy phần có hiệu + Nghiên cứu vấn đề để nắm thuận lợi, khó khăn dạy học phần phương trình vô tỉ bồi dưỡng học sinh giỏi, từ định hướng nâng cao chất lượngdạy học mơn tốn + Nghiên cứu vấn đề cịn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo dạy thành cơng phương trình vơ tỉ III Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu tình hình dạy học học vấn đề nhà trường 22 Tìm hiểu mức độ kết đạt triển khai đề tài Phân tích rut học kinh nghiệm Hệ thơng hố số phương pháp giải phương trình vơ tỉ IV Phạm vi đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: a) Các tài liệu b) Giáo viên, học sinh giỏi trường THCS Thụy Lương Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp để giải phương trình vơ tỉ thường gặp THCS V Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu tài liệu Phương pháp điều tra, khảo sát Phương pháp thử nghiệm Phương pháp ttổng kết kinh nghiệm VI Giả thuyết khoa học: Nâng cao chất lượng dạy học sau nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu cao hơn, học sinh ham thích học dạng toán B NỘI DUNG  Khái niệm phương trình vơ tỉ: - Khái niệm: Phương trình vơ tỉ phương trình đại số chứa ẩn dấu thức (ở đề cập đến phương trình mà ẩn nằm dấu bậc hai bậc ba)  Một số phương pháp giải phương trình vơ tỉ: * Phương trình vơ tỉ phong phú đa dạng, hướng chung để giải phương trình vơ tỉ làm cho phương trình chuyển dạng hữu tỉ Sau số phương pháp giải phương trình vơ tỉ I Phương pháp nâng lên luỹ thừa: Kiến thức vận dụng: + (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 22 + (A ± B)3 = A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3 g(x) ≥ f(x) = g(x) ⇔  f(x) = [ g(x)] + + A = m ⇔ A = m3 Ví dụ:  Ví dụ 1: Giải phương trình sau: + x − = x (1) Giải: Điều kiện có nghĩa: x − ≥ ⇔x≥ (2) (1) ⇔ x − = x − Với điều kiện x − ≥ (3) (4) (3) ⇔ 2x - = (x-2)2 (5) ⇔ 2x − = x − 4x + ⇔ x − 6x + = Giải ta x1=1 không thoả mãn (4) x2 = thoả mãn (2) (4) nghiệm phương trình: x =  Ví dụ 2: Giải phương trình: x − − x − = 3x − (1) Giải: x − ≥  Phương trình (1) có nghĩa: ⇔ 5 x − ≥ ⇔ x ≥ (2) 3 x − ≥  (1) ⇔ x − = 3x − + x − Hai vế dương, bình phương hai vế ta x − = 3x − + x − + (3x − 2)(5 x − 1) ⇔ − x = 15 x − 13 x + 2 − x ≥ ⇔ 2 4(15 x − 13x + 2) = (2 − x) (3) Giải (3) ta được: x ≤ không thoả mãn (1) - Vậy phương trình vơ nghiệm  Ví dụ 3: Giải phương trình x + − x − = (1) 22 Giải: Điều kiện: x ≥ (2) Viết PT (1) dạng x +1 = x − +1 (3) Hai vế (3) không âm, bình phương hai vế ta x +1 = x − +1+ x − ⇔ 2= x−2 ⇔ x − = ⇔ x − = ⇔ x = thoả mãn điều kiện (2) - Vậy phương trình có nghiệm x= 3 Lưu ý: + Nếu để (1) bình phương ta phải đặt ĐK x+1 ≥ x − (Đk đúng) + Nếu biến đổi (1) thành x − = x + − bình phương hai vế ta phải đặt ĐK: x +1 ≥ ⇔ x ≥  Ví dụ 4: Giải phương trình: x + = − − x (1) Giải: (1) ⇔ x + + − x = ⇔ (3 x + + − x ) = ⇔ ( x + 1)(7 − x) = Giải (1) ⇔ ( x + 1)(7 − x) = ⇔ x1 = −1; x = Vậy x1 = -1; x2 = nghiệm phương trình Chú ý: - Khi bình phương hai vế phương trình cần ý điều kiện hai vế dương - Trước lên luỹ thừa cần biến đổi phương trình dạng thuận lợi để hạn chế trường hợp có lời giải ngắn gọn  Ví dụ 5: Giải pt: x − x + + x = (1) Giải: ( x − 2) + x = ⇔ x−2 +x =8 + Nếu x ≥ x − + x = ⇔ x = 22 + Nếu x < − x + x = vô nghiệm - Vậy x = nghiệm pt Bài tập tương tự: Giải pt sử dụng phép bình phương 1) x2-4x =8 x − 2) x + x + + x − = 2x+2 (x = + 2 ) 7 + x− = x x x x + - x + = x + - x + 10 x2 − 3) 4) (x = 2) (x = -1) * HD: Sử dụng phép lập phương: 1) x − + x − = 2x − (x = 4; 2) 2) x + + x − = 5x (x = 0; ± 3) x + + 3x + = x − (x = - 1) 4) + x + − x =1 (x = ) 28 ) 27 II Phương trình đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối 1.Kiến thức vận dụng : f(x) nêu f(x) ≥ f(x) = f(x) =  − f(x) nêu f(x) < +) +) Phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ:  Ví dụ 6: Giải phương trình : x + − x x − + x + − x − = (1) Giải: Điều kiện : x-2 ≥ hay x ≥ (2) ⇔ ( x − − 2) + ( x − − 3) = ⇔ x−2 −2 + x − −3 =1 - Cách 1: Chia trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối - Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b , dấu “=” xảy a,b > Khi x −2 −2 + 3− x −2 ≥ Dấu “=”xảy khi: ( )( x −2 −2+3− x −2 =1 (3) ) x − − − x − ≥ (4) Giải (4) ta được: ≤ x ≤ 11 Thoả mãn (2) - Vậy nghiệm phương trình (1)là : ≤ x ≤ 11 22 Chú ý : + Phương pháp thường áp dụng biểu thức dấu bậc hai viết thành bình phương biểu thức + Có phương trình cần phải biến đổi có dạng Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 1) x + 2x + + x − 2x + = ( x ≥ 1) 2) x + x2 −1 − x − x2 −1 = ( x = 2) 3) x + + 2x − + x − − 2x − = 2 5   ≤ x ≤ 3 2  III Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ đưa phương trình ẩn mới:  Ví dụ 7: Giải phương trình x − x + 13 = x − x + (1) Giải:  11  Ta có : x − x + =  x −  + >  Đặt: 2 x − 5x + = y ≥ ⇒ x − 5x + = y Khi (1) ⇔ y2 + = 4y ⇔ y=2 ⇔ x − 5x + = ⇔ x − 5x + =  5+ x = ⇔ 5−  x =   Ví dụ 8: Giải phương trình: x + x + + x + =2 (1) Giải: Điều kiện: x ≥ Đặt: x+ (2) = y≥0 ⇒ x = y2 − 4 Khi (1) trở thành y − + ( y + ) = 22  − 2 −1 〈0 y = 2  ⇔ 4y + 4y − = ⇔  2 −1 y =  Trường hợp y = − 2 −1 < (loại) ⇒ x = − , thoả mãn điều kiện (2) - Vậy nghiệm phương trình : x = −  Ví dụ 9: Giải phương trình: x + + x + + x + = (1) Giải: Đặt: x+2 = y (1) ⇔ y − + y + = − y Lập phương hai vế ta có : y = y y − y = ⇔ y = y −1  (+) Nếu: y = ⇔ x + = ⇔ x = −2 (+) Nếu y = y − ⇔ y = y − , vơ nghiệm Vậy nghiệm phương trình : x = -2 Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình: a Dạng: ax + b = r (ux + v) + dx + e (1) Với a, u, r ≠ Đặt u y + v = ax + b Khi phương trình (1) đưa dạng : u ( x − y )(ruy + rux + 2ur + 1) =  Ví dụ 10: Giải phương trình: x + 15 = 32 x + 32 x − 20 (1) Giải: Điều kiện: x + 15 ≥ ⇔ x ≥ − 15 Khi đó: (1) ⇔ x + 15 = 2(4 x + 2) − 28 (2) Đặt: y + = x + 15 (3) 22 Điều kiện: y + ≥ ⇔ y ≥ −1 Khi (2) trở thành (4x + 2)2 = 2y + 15 (4) (4y + 2)2 = 2x + 15 (5) Từ (3) ta có : ( 4x + 2) = 2y + 15 Từ (4) (5) có hệ:  (4y + 2) = x + 15 (4) (5) Trừ vế với vế (4) cho (5) ta (x- y)(8x + 8y + 9) = +) Nếu: x-y = ⇔ x = y thay vào (5) ta : 16x2 + 14x-11 =0  x = ⇔  x = − 11   với x = − 11 , loại +) Nếu 8x + 8y + = ⇔ y = −8 x − , Thay vào (4) ta được: 64x2 + 72x-35 =  − − 221 (loai) x = 16 ⇔  − + 221 x = 16  - Vậy nghiệm phương trình là: x1 = − + 221 ; x2 = 16 b) Dạng: ax + b = r (ux + v ) + dx + e (1) Đặt uy + v = ax + b (1) đưa dạng: u ( y − v)(rP + rPQ + rQ + 1) = Trong đó: P = uy + v ; Q = ux + v  Ví dụ 11: Giải phương trình: 3x − = x − 36 x + 53x − 25 (1) Giải: (1) ⇔ 3x − =(2x-3)3-x+2 (2) Đặt :2y-3= 3x − ⇔ x − = (2 y − 3) (3) (2) ⇔ y + x − = (2 x − 3) (4) 22 3 x − = (2 y − 3)  Từ (3),(4) có hệ :  2 y + x − = (2 x − 3)  Trừ vế với vế ta : ( x − y )( P + Q + PQ + 1) = (5) Trong : P = y − Q = 2x − ∀x, y Vì: P + Q + P.Q + > Do :(5) ⇔ x = y Thay vào (3) ta được: (x-2).(8x -20+11) = ⇔ x1 = ; x2 = + ; x3= − 2 c Một số dạng khác:  Ví dụ 12: Giải phương trình: x − + x + = (1) Giải : Điều kiện: x ≥ −1 (2) Đặt: x − = y ⇒ x − = y3 x +1 = z ≥ ⇒ x +1 = z2 ⇒ z2 − y2 = Với điều kiện (2) (1) đưa hệ: y + z =  2 z − y = z ≥  y = z = Giải hệ ta được:  Từ suy ra: x = nghiệm phương trình (1) 1 =2  Ví dụ 13: Giải phương trình: x + − x2 (1) Giải: x ≠ Điều kiện:  − < x < Đặt: − x = y > ⇒ x + y = 22 x + y =  Ta có hệ: (1)  1 x + y =  Đặt: x + y = S ; xy = P  P = 1, S = S − P = ⇔ (1) ⇔   P = − , S = −1 S = 2P   + Trường hợp 1: Ta x=y=1; Trường hợp 2:  −1 + x =   y = −1−   - Vậy x = 1; x =  −1 − x =   y = −1+   −1− nghiệm phương trình Chú ý: * Giải phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải nhiều toán khó, nhiên để đặt làm ẩn phụ có ẩn phụ phải biết nhận xét tìm mối liên quan biểu thức phương trình, liên quan ẩn * Cần phải có kỹ giải phương trình hệ phương trình Bài tập áp dụng: 1) x + x − = + x + x 2) x + x − + x − x − = 3) x + − x + x + − x = (Đặt x − = y ≥ 0; x = ) 4) x + = x − x + (Đặt: x + = a, x − x + = b ) 5) x + = 2( x + 2) (Đặt: a = x + ; b = x − x + ; x = ± 37 ) 6) 7) 8) x 1 + 1− = x x x (Đặt: x − = a; − = b; x = + ) x x 2 − x + x −1 = (Đặt − x = a; x − 1;2;10 ) x + = −4 x + 13x − (Đặt y − = 3x + 1, x = 1; 11 ; 11 + 37 ) 9) x − x − = x − 10) (Đặt x = y;1 ≤ x ≤ ) x + = 33 − (Đặt x + = y − 2, x = −1; + 29 ) (Đặt 3x − = y, x = 1;−2) 22 IV Phương pháp bất đẳng thức: Chứng tỏ tập giá trị hai vế rời phương trình vơ nghiệm: * Phương trình: f(x) = g(x) Nếu tập giá trị f(x), g(x) là: S1, S2 mà S1 giao với S2 rỗng phương trình vơ nghiệm  Ví dụ 14: Giải phương trình: x − − x − = x − (1) Giải: Điều kiện: x ≥ Với điều kiện thì: x − < 7x − Khi vế trái (1) âm, cịn vế phải dương phương trình (1) vơ nghiệm Sử dụng tính đối nghịch hai vế: * Phương trình F(x) = G(x) (1) Nếu: F(x) ≥ K, dấu đẳng thức sảy x = a G(x) ≤ K, dấu đẳng thức sảy x=b (k,a,b số) +) a = b ⇒ (1) có nghiệm là: x = a +) a ≠ b ⇒ (1) vơ nghiệm  Ví dụ 15: Giải phương trình: 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x (1) Giải: Vế trái: 3( x + 1) + + 5( x + 1) + ≥ + = Vế phải: 4-2x –x2 = 5- (x+1)2 ≤ Do hai vế x = -1, với giá trị hai bất đẳng thức đẳng thức - Vậy x = -1 nghiệm phương trình  Ví dụ 16: Giải phương trình: − x + x + = x − x + 13 (1) Giải: Sử dụng bất đẳng thức: a1b1 + a b2 ≤ a1 + a 2 b1 + b2 a a (Với dấu “=” xảy b = b ) Vế trái: − x + x + ≤ 12 + 12 − x + x − = 22 Dấu “=” xảy x=3 - Vậy phương trình vơ nghiệm Sử dụng tính đơn điệu hàm số: * Ta nghiệm cụ thể chứng minh trường hợp khác ẩn khơng nghiệm phương trình  Ví dụ 17: Giải phương trình: x − + x + = (1) Giải: Ta thấy x = nghiệm phương trình + Với x > x − > 1, x + < ⇒ vế trái (1) lớn + Với -1 ≤ x < x − > 1, x + < ⇒ vế trái (1) nhỏ - Vậy x = nghiệm phương trình Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức khơng chặt  Ví dụ 18: Giải phương trình: x 4x − + 4x − =2 x (1) Giải: Điều kiện: x > (2) Sử dụng bất đẳng thức: a b + ≥2 b a Với a,b > dấu “=” xảy a = b Do đó: x 4x − + 4x − ≥2 x Dấu “=” xảy ⇔ x = x − ⇔ x − 4x + = ⇔ x = 2± Thoả mãn (2) - Vậy nghiệm phương trình là: x = ± Bài tập áp dụng: 1) x − + − x = x − 10 x + 27 (x = 5) 2) 3x 2−12 x + + y − y + 13 = (x = y = 2) 3) x + = x − x − (Vô nghiệm) 4) x − + x + + ( x − 1)( x − 3x + 5) = − x 22 5) 16 x−3 + y −1 + 1225 z − 665 V Phương pháp đưa phương trình hệ phương trình: Ví dụ: x+2 − x−6 =2  Ví dụ 19: Giải phương trình: Giải: Điều kiện x ≥ Đặt a = x + , b = x − ; a, b khơng âm Ta có hệ: a − b = a − b = a =  x + = x + =  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = (TM)  x − =1 a − b = a + b = b =  x − =1    Vậy x = nghiệm phương trình  Ví dụ 20: Giải phương trình: x −1 − x − = Giải: Đặt a = x − ; b = x − , từ ta có hệ phương trình 3   a − b = a − b = a − b = a − b = ⇔ ⇔ ⇔  3 (a − b) + 3ab = ab = a − b = a + ab + b =   a = b = − ⇔  b = a = b = − - Nếu  suy x = a =0  a = - Nếu  suy x = b=0  Vậy nghiệm phương trình S = {1 ; 3}  Ví dụ 21: Giải phương trình: x+ 1 + − x =1 2 Giải: Điều kiện x ≤ 22 Đặt a = x + 1 ;b= − x ; (b ≥ 0), từ ta có hệ 2 a + b = a + b = a + b = ⇔ ⇔  2 a + b = a + (1 − a) = a + a − 2a = a = a = a = −2 ⇔ ⇔  ⇔  b = b = b = Từ ta tính giá trị x 1 17 ;- ;2 2 Vì b x thỏa mãn điều kiện nên tập nghiệm phương trình là: S={ 1 17 ;- ;- } 2  Ví dụ 22: Giải phương trình: -x2 + = − x Giải: Điều kiện x ≤ Đặt y = − x ≥ 0, từ ta có hệ: − x + = y  x + y = x + y = x + y = ⇔ ⇔   − y + = x x − y = x − y x − y = x + y =  x + y =  x = y = ⇒ Nếu  x−y=0  x = y = −2   1± x = x + y = 2 ⇒ Nếu   1± x + y = y =  Đối chiếu với ĐK ta suy tập nghiệm phương trình là: S = {1 ; 1− }  Ví dụ 23: Giải phương trình: x3 + = 2x − Giải: Đặt y = (1) x + = 2y x + = 2y ⇔ , từ ta có hệ:  2x −  y + = 2x x − y = 2(x − y) (2) (2) ⇔ (x − y)(x + xy + y ) = ⇔ x − y=0⇒ x = y 22 Thay vào (1) ta được: x = x3 - 2x + = ⇔  x = ±   Vậy tập nghiệm phương trình là: S = {1 ; 1± }  Ví dụ 24: Giải phương trình: x.3 35 − x (x + 35 − x ) = 30 Giải: Đặt y = 35 − x , từ ta có hệ: xy(x + y) = 30 xy(x + y) = 30 xy(x + y) = 30 xy = ⇔ ⇔ ⇔  x + y 35 (x + y)3 − 3xy(x + y) = 35 (x + y)3 = 125 x + y =   x = x = ⇔  y = y = Vậy tập nghiệm phương trình S = {2 ; 3} Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau : 1) x − x + = 2) x −1 + x − = 3) x − + x + = 2x + 4) − x −1 + x + =1 5) x + (16 − x ) = 4 6) (x + 3) + (x + 5) = VI Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ phương trình vơ tỉ: Phương pháp : Xét đẳng thức A c = B , với A, B∈Q, c∈ N khơng số phương A , vơ lí B Do AB = suy A = B = Một số ví dụ : Khi , AB c=  Ví dụ 25: Tìm số hữu tỉ m, n thỏa mãn: c ∈ I m+ n= A ∈Q B 22 Giải: Điều kiện m, n ≥ Bình phương hai vế ta ( m + n ) = ⇒ m + n + m.n = ⇔ m.n = − m − n ⇒ (2 m.n ) = ( − m − n) ⇔ 4mn = + (m + n) − 2 (m + n) Vì (m-n)2 > nên khơng tồn m,n thỏa mãn  Ví dụ 26: Tìm nghiệm hữu tỉ phương trình: 3−3= x − y Giải: Điều kiện x ≥ y ≥ Bình phương hai vế ta − = x − xy + y  xy = x + y + −  xy − ( x + y − 2) − = ( x + y + − 2) Từ x + y = ; xy = 3 ⇔x= ;y= (vì x ≥ y) 2  Ví dụ 27: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm hữu tỉ x + y = 1+ Giải: Bình phương hai vế ta (x + y ) = + ⇔ x + 3y + 3xy = + ⇔ x + 3y − = (1 − 2xy) ⇔ xy = ; x + 3y − = ⇒ xy ≠ y = ;x + −1= 2x 4x Vậy phương trình khơng có nghiệm hữu tỉ 22  Ví dụ 28: Chứng minh khơng tồn x, y∈ Q, n∈N thỏa mãn đẳng thức : (x + y 3) n = 1+ Giải: Với n = ta giải ví dụ Xét với n > triển khai đa thức ta được: A + B = + , với A, B  Q khơng có nghiệm hữu tỉ  Ví dụ 29: Tìm số hữu tỉ a b biết nghiệm phương trình: x3 + ax2 + bx – = Giải: Thay x = ta được: 2 + 2a + b - = ⇔ (b + 2) = − 2a ⇒ b + = ; – 2a = ⇔ a = ; b = -2 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm nghiệm hữu tỉ phương trình: x + y = 2− Bài : Chứng minh số : 99999 + 11111 viết dạng ( A + B ) , A, B∈ N Bài : Cho đẳng thức : a + b + c3 = , với a, b,c ∈ Q Chứng minh a = b = c =0 VII Những sai lầm thường gặp giải phương trình vơ tỉ: Sai lầm thường gặp: * Khi giải phương trình vơ tỉ cần tránh sai lầm sau: + Không ý đến điều kiện có nghĩa thức + Khơng đặt điều kiện có nghĩa thức * Để giải phương trình vơ tỉ thành thạo kiến thức sau cần nắm vững + Các phép biến đổi thức + Các phép biến đổi biêủ thức đại số + Các kiến thức phương pháp giải phương trình hệ phương trình + Các kiến thức bất đẳng thức 2.Ví dụ:  Ví dụ 30: Giải phương trình: (x+3) = (1) - Lời giải sai: Ta có (1)   22 * Nhận xét: Rõ ràng x = -3 khơng nghiệm phương trình - Ghi nhớ rằng: A =   Ví dụ 31: Giải phương trình: = x+2 = x+2   - Lời giải sai:    * Nhận xét: Rõ ràng x = -3 không nghiệm phương trình - Ghi nhớ rằng: = B   Ví dụ 32: Giải phương trình: = - Lời giải sai: =  =1  =   Vậy phương trình cho vơ nghiệm * Nhận xét: Em nghĩ x = -7 nghiệm phương trình - Ghi nhớ rằng:   A  = B    −A A ≤ ; B < −B A A ≥ ; B > B Như lời giải bỏ sót trường hợp A ≤ 0; B< nên nghiệm x = -7  Ví dụ 33: Giải phương trình: + = + - Lời giải sai: Ta có + = +  + = +  =   Vậy phương trình cho có nghiệm x = * Nhận xét: Ta thấy x = không nghiệm phương trình - Ghi nhớ rằng: + = +   Ví dụ 34: Giải phương trình: + = - Lời giải sai: + =2  + =2  + = ( Căn thức có nghĩa x ≥ 3) Khi ta có: => + > Do phương trình vơ nghiệm 22 * Nhận xét: Ta dễ thấy x = nghiệm phương trình Việc chia hai vế cho làm nghiệm - Ghi nhớ rằng:  A B A ≥ ; B ≥  A.B =   − A − B A < ; B <  Do lời giải cần bổ xung thêm trường hợp =  x = x < đưa phương trình dạng: + = Vì ≥ ta chia hai vế cho ta được: + = Với x < thì: => +  − A B A < Lời giải xét thiếu trường hợp A ≤  Ví dụ 37: Giải phương trình: = - Lời giải sai: (3)  (3) x − ≠   x2 + x − = x −1  =   22 x ≠   x + ≥  x + x − = (x + 1)  x ≠  x ≥ −1 x = −3  Vậy phương trình cho vô nghiệm * Nhận xét: Dễ thấy lời giải sai từ đầu trục thức mẫu, đưa bình phương khỏi bậc hai mà không đặt dấu giá trị tuyệt đối  AB A ≥ ; B ≥   B - Ghi nhớ rằng: = =  − AB A < ; B <   B Do trường hợp A< ; B < nên sót nghiệm x = -3  Ví dụ 38: Giải phương trình: (x+5) = x+2 (4) - Lời giải sai: (4)  = x+x     Vậy phương trình cho vơ nghiệm * Nhận xét: Em nghĩ x = -14 nghiệm phương trình (4)  AB A ≥ ; B >  - Ghi nhớ rằng: B =  − AB A < ; B <  Do trường hợp A< ; B < nên sót nghiệm x = -14 C KẾT LUẬN I Bài học kinh nghiệm: Phương trình vơ tỷ dạng tốn khơng thể thiếu chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nếu dừng lại yêu cầu sách giáo khoa chưa đủ, địi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tịi sáng tạo thường xuyên bổ xung kiến thức tích luỹ kinh nghiệm vấn đề Để dạy học cho học sinh hiểu vận dụng tốt phương pháp giải phương trình vơ tỷ thân giáo viên phải hiểu nắm vững phương trình vơ tỷ: dạng phương trình vơ tỷ, phân biệt khác phương trình vơ tỷ 22 với dạng phương trình khác, đồng thời phải nắm vững phương pháp giải phương trình vơ tỷ Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho thân nâng cao kiến thức nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngồi cịn giúp thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để tiếp tục nghiên cứu vấn đề khác tốt suốt trình dạy học Qua thời gian nghiên cứu, áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tế giảng dạy lớp nhận thấy: + Với phương pháp dạy trước áp dụng sáng kiến học sinh sợ gặp loại toán “ giải phương trình vơ tỉ ” chí có học sinh cịn khơng cần đọc đề nhìn thấy loại toán bỏ qua + Sau tơi vận dụng phương pháp nêu hầu hết em cảm thấy khơng cịn sợ loại tốn có học sinh cịn cảm thấy thích thú với loại tốn Kết cụ thể thu là: - Bài kiểm tra khảo sát sau áp dụng sáng kiến: Lớp Sĩ số 9A 9B 31 30 II Giỏi Khá Trung bình SL % SL % SL % 12,9% 25,8% 14 45,2% 10% 10 33,3% 12 40% Yếu Kém SL % SL % 16,1% 0% 16,7% 0 % Kết luận chung đề xuất, kiến nghị: Để thực tốt công việc giảng dạy, đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi người giáo viên phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu Các bậc cha mẹ học sinh cần quan tâm đến việc học tập cuả em Các trường phòng giáo dục đào tạo tổ chức thêm chun đề, ngoại khóa để chúng tơi có điều kiện trao đổi học hỏi thêm kinh nghiệm quý báu đồng nghiệp Trong trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu tham khảo rút số kinh nghiệm nêu ”Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ” tài liệu giúp học sinh học tập tiếp thu dạng toán cách tự nhiên, chủ động nhẹ nhàng hơn, phần nâng cao lực tư duy, sáng tạo rèn kỹ giải phương trình vơ tỷ cho học sinh 22 Trong trình nghiên cứu, với thời gian hạn hẹp, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều khơng thể tránh khỏi thiếu sót, hạn chế mong giúp đỡ, góp ý đồng nghiệp để tài liệu ngày hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thụy Lương, ngày XÁC NHẬN CỦA TỔ tháng năm 201 NGƯỜI VIẾT Nguyễn Xuân Thưởng XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG MỤC LỤC A.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI .1 I.Cơ sở nghiên cứu .1 2.Cơ sở thực tiễn: .2 II.Mục đích nghiên cứu: .2 III.Nhiệm vụ nghiên cứu: .2 IV.Phạm vi đối tượng nghiên cứu: V.Phương pháp nghiên cứu: VI.Giả thuyết khoa học: .3 B NỘI DUNG I Phương pháp nâng lên luỹ thừa: Kiến thức vận dụng: .3 Ví dụ: Chú ý: .5 Bài tập tương tự: II Phương trình đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối 1.Kiến thức vận dụng : .6 Ví dụ: 22 Chú ý : Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: III Phương pháp đặt ẩn phụ: .7 1.Đặt ẩn phụ đưa phương trình ẩn mới: Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình: Chú ý: 11 Bài tập áp dụng: 11 IV Phương pháp bất đẳng thức: 12 Chứng tỏ tập giá trị hai vế rời phương trình vơ nghiệm: 12 Sử dụng tính đối nghịch hai vế: 12 Sử dụng tính đơn điệu hàm số: 13 Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức không chặt 13 Bài tập áp dụng: 13 V Phương pháp đưa phương trình hệ phương trình: 14 1.Ví dụ: 14 VI.Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ phương trình vơ tỉ: 16 VII Những sai lầm thường gặp giải phương trình vơ tỉ: 18 Sai lầm thường gặp: 18 2.Ví dụ: 18 C KẾT LUẬN .21 I.Bài học kinh nghiệm: .21 II.Kết luận chung đề xuất, kiến nghị: 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Toán tập 1- Nhà xuất giáo dục - Nhóm tác giả: Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Trần Phương Dung , Ngô Hữu Dũng , Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo 22 Sách tập Toán tập 1- Nhà xuất giáo dục - Nhóm tác giả: Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Trần Phương Dung , Ngô Hữu Dũng , Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo Sách giáo viên Toán tập 1- Nhà xuất giáo dục – Nhóm tác giả: Tơn Thân, Nguyễn Huy Đoan, Phạm Gia Đức, Trương Công Thành, Nguyễn Duy Thuận Toán phát triển lớp tập 1- Nhà xuất giáo dục – Tác giả Nguyễn Đức Tấn Tốn bồi dưỡng học sinh lớp mơn đại số - Nhà xuất giáo dục – Nhóm tác giả Tô Thân, Đỗ Quang Thiều Một số vấn đề phát triển tốn mơn đại số - Nhà xuất giáo dục - Nhóm tác giả: Tơn Thân,Vũ Hữu Bình Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 9- Nhà xuất giáo dục – Tác giả Bùi Văn Tuyên Toán học tuổi thơ số: 24, 30, 83, 90 22 ... trình vơ tỉ: * Phương trình vơ tỉ phong phú đa dạng, hướng chung để giải phương trình vơ tỉ làm cho phương trình chuyển dạng hữu tỉ Sau số phương pháp giải phương trình vô tỉ I Phương pháp nâng lên... không chặt 13 Bài tập áp dụng: 13 V Phương pháp đưa phương trình hệ phương trình: 14 1. Ví dụ: 14 VI .Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ phương trình vơ tỉ: 16 VII Những... niệm phương trình vơ tỉ: - Khái niệm: Phương trình vơ tỉ phương trình đại số chứa ẩn dấu thức (ở đề cập đến phương trình mà ẩn nằm dấu bậc hai bậc ba)  Một số phương pháp giải phương trình vơ tỉ: