CHUYÊN ĐỀ : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG Truong lee I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : Dạng đặc biệt: Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: 4321x 21x 4300 35 x 37 x x2 – mx + m – 1= ( m tham số) x 500 x 507 ax2 +bx – (a +b ) = ( a, b tham số; a x 49 x 50 Cho phương trình, có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm tìm nghiệm cịn lại hệ số phương trình : Bài tập áp dụng: Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x +m2 -2 = có nghiệm Tìm m tìm nghiệm thứ hai 2.Cho phương trình: x2 –mx + 27 = có nghiệm Tìm m tìm nghiệm phương trình biết nghiệm ba lần nghiệm Cho phương trình: x2 –x - 2m +5 = Biết hiệu hai nghiệm Tìm m tìm nghiệm phương trình Tìm nghiệm phương trình: b) x ( m 5) x m II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ; x2 Bài tập áp dụng: Lập phương trình bậc hai biết nghiệm chúng x1 ; x2 thỏa mãn : x1 = vµ x2 = -3 x1 = 3a vµ x2 = a x1 = 36 vµ x2 = -104 a) x 24 x 19 x1 = 1 vµ x2 = 1 2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: Cách 1: + Tính trực tiếp y1 ; y cách: Tìm nghiệm x1 ; x phương trình cho thay vào biểu thức tính y1 ; y Cách 2: Khơng tính y1 ; y mà áp dụng Định lí Vi-et tính S y1 y ; P y1 y sau lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y Cách thích hợp phương trình ban đầu có nghiệm x1 ; x hữu tỉ nên chọn Cách để việc tính tốn đơn giản nhanh hơn, cụ thể: Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình x x có nghiệm phân biệt trình bậc hai có nghiệm y1 x1 Đáp số: y x1 ; x2 Không giải phương trình, Hãy lập phương 1 y2 x2 x2 x1 y hay y y Trang ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG Truong lee 2/ Cho phương trình : x x có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn y1 x1 y2 x24 (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm phương trình cho) (Đáp số : y 727 y ) 3/ Cho phương trình bậc hai: x x m có nghiệm nghiệm y1 ; y2 cho : a) y1 x1 y2 x2 b) y1 x1 y2 x2 a) y y m Đáp số : x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có b) y y (4m 3) 2 4/: Lập phương trình bậc hai có nghiệm nghịch đảo nghiệm phương trình 5/ Cho phương trình x x m có hai nghiệm x mx = x1 ; x Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 x1 1; y x x1 x 6/Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x thỏa mãn x1 x 26 3 III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình : (điều kiện để có hai số S2 4P ) x Sx P * Lưu ý: lúc ta tìm hai số thỏa mãn yêu cầu đề * Lưu ý: Với trường hợp ta nhận xét Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết tổng S tích P Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết S = P=2 a + b = a2 + b2 = 41 S = P=6 a b = ab = 36 S = P = 20 a2 + b2 = 61 v ab = 30 2 S = 2x P=x y IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( x1 x2 ) x1 x2 Bài tập áp dụng: x1 x2 x1 x2 =…….) x1 x22 ( x23 (= x14 x24 (= x16 x26 (= x16 x26 x1 x1 x2 x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 x x22 x12 x22 =…… ) x1 x2 =…… ) ( x12 )3 ( x22 )3 x12 x22 x14 x12 x22 x24 = …… ) x15 x25 10 x17 x27 x1 x2 Trang ThuVienDeThi.com 1 x1 x2 CHUYÊN ĐỀ : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG Truong lee Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x x 15 Khơng giải phương trình, tính x12 x22 1 x1 x2 x1 x2 x2 x1 x1 x2 b) Cho phương trình : x 72 x 64 Khơng giải phương trình, tính: c) Cho phương trình : x 14 x 29 Khơng giải phương trình, tính: 1 x1 x2 1 x1 x2 x12 x22 x12 x22 d) Cho phương trình : x x Khơng giải phương trình, tính: 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x12 x22 x1 x x2 x1 e) Cho phương trình x x có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính x12 10 x1 x2 x22 Q x1 x23 x13 x2 Nhận xét: Với dạng ta khơng cần giải phương trình để tìm nghiệm V TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHƠNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm toán loại này, ta làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a 0) - Áp dụng hệ thức Vi-et viết S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm - Sau dựa vào hệ thức Vi-et rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bài tập áp dụng: Cho phương trình : x m x 2m 1 có nghiệm cho x1 ; x2 x1 ; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 độc lập m VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC ĐÃ CHO Đối với toán dạng này, ta làm sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a 0) - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Trang ThuVienDeThi.com Nhận xét: CHUYÊN ĐỀ : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG Truong lee Ví dụ khác ví dụ 11 chỗ hệ thức khơng chứa sẵn x1 x2 x1 x2 nên ta áp dụng hệ thức Vi –et để tìm tham số m Bài tập áp dụng Cho phương trình : x m 1 x 5m Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: x1 x2 2 Cho phương trình : x 3m x 3m 1 Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 Cho phương trình : mx m x m Tìm m để phương trình có nghiệm cho nghiệm gấp đơi nghiệm Cho phương trình x x m (*) (x ẩn số) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa điều kiện: x14 x24 x13 x23 Cho phương trình x2 – (m+1)x + m – = x1 x2 Xác định tham số m để phươg trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x x 32 Định m để phương trình x2 –(m-1)x + 2m = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 độ vng tam giác vng có cạng huyền Cho phương trình x – 2(m + 1)x + 4m = (1) dài hai cạnh góc Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12 Cho phương trình x x m (1) (x ẩn) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 x22 3 Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + = Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 + 2mx = VII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: ax bx c (a 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm … P x1 x2 Điều kiện chung P0 0 0 ;P>0 dương, + + S>0 P>0 0 0 ;P>0;S>0 âm S0 0 ; P > ; S < Dấu nghiệm x1 x2 trái dấu dấu, S x1 x2 Trang ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG Truong lee Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm m để phương trình: mx m x m có nghiệm dấu 2 3mx 2m 1 x m có nghiệm âm m 1 x x m có nghiệm khơng âm x2- (2m-3)x +m2 -3m = có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 1< x1 x2 Bài Cho phương trình bậc hai : 2x2+(2m−1)x+m−1=0 a) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm với m b) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thõa mãn −1