Chuyên đề Hệ thức Vi – ét và ứng dụng Toán 9 A Lý thuyết 1 Hệ thức Vi – ét Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép thì ta đều có thể viết đ[.]
Chuyên đề Hệ thức Vi – ét ứng dụng - Toán A.Lý thuyết Hệ thức Vi – ét Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm dù hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép ta viết dạng: x1=-b+∆2a; x2=-b+∆2a Định lí Vi – ét Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) ta có: x1+x2=-bax1.x2=ca Nhận xét: Nhờ định lý Vi – ét, biết nghiệm phương trình bậc hai suy nghiệm Ứng dụng định lý Vi – ét a) Ứng dụng giải phương trình (bằng cách nhẩm miệng) + Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = nghiệm lại x2 =ca + Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = -1 nghiệm lại x2 = -ca b) Tìm hai số biết tổng tích + Nếu hai số có tổng S tích P hai số nghiệm phương trình bậc hai x2 - Sx + P = + Điều kiện để có hai số S2 - 4P ≥ B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Chọn phát biểu Phương trình ax2 + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm x1; x2 Khi đó: Lời giải: Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c (a ≠ 0) Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình thì: Chọn đáp án A Câu 2: Chọn phát biểu đúng: Phương trình ax2 + bx + c (a ≠ 0) có a - b + c = Khi đó: Lời giải: Chọn đáp án C Câu 3: Cho hai số có tổng S tích P với S2 ≥ 4P Khi hai số hai nghiệm phương trình đây: A X2 - PX + S = B X2 - SX + P = C SX2 - X + P = D X2 - 2SX + P = Lời giải: Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình X2 SX + P = (ĐK: S2 ≥ 4P) Chọn đáp án B Câu 4: Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) phương trình x2 6x + = A 1/6 B C D Lời giải: Phương trình x2 - 6x + = có Δ = (-6x)2 - 4.1.7 = > nên phương trình có hai nghiệm x1; x2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = = ⇔ x1 + x2 = Chọn đáp án C Câu 5: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình x2 - 5x + = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức A = x12 + x22 A 20 B 21 C 22 D 23 Lời giải: Phương trình x2 - 5x + = có hai nghiệm x1; x2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: Chọn đáp án B Câu 6: Biết có hai số u v thỏa mãn điều kiện: u + v = 12 u.v = 27 Biết u < v Tính u2.v? A 54 B 27 C 144 D 72 Lời giải: Chọn đáp án A Câu 7: Biết có hai số u v thỏa mãn u – v = 10 u.v = 11 Tính |u+ v| ? A 11 B 12 C 10 D 13 Lời giải: Ta có: u.v =11 nên u.(-v) = -11 (1) Từ u – v = 10 nên u + (- v) = 10 (2) Khi đó; u (-v) nghiệm phương trình: x2 - 10x - 11 = (*) Do a - b + c = -(-10 ) + (-11) = nên phương trình (*) có nghiệm là: x1 = -1 x2 = 11 * Trường hợp 1: Nếu u = -1 –v = 11 => v = -11 nên u + v = -12 * Trường hợp 2: u = 11 –v = -1 v = Suy ra: u + v = 12 Trong trường hợp ta có: |u + v| = 12 Chọn đáp án B Câu 8: Cho phương trình x2 - 4x + m + 1= Tìm m để phương trình có nghiệm x1 x2 = Tìm m ? A m = - B Khơng có giá trị C m =3 D m = Lời giải: Ta có: Δ' = (-2)2 - 1.(m + 1) = - m Để phương trình cho có nghiệm Δ' = - m ≥ ⇔ m ≤ Với điều kiện phương trình cho có nghiệm x1; x2 Theo hệ thức Vi-et ta có: x1.x2 = m + Để x1 x2 = m + = nên m = ( thỏa mãn điều kiện) Chọn đáp án C Câu 9: Cho phương trình x2 - 4x + (2m - 2) = 0.Tìm m để phương trình có nghiệm dương phân biệt ? A m = B m =1 C m = -1 D Không có giá trị thỏa mãn Lời giải: Ta có: Δ' = (-2)2 - 1.(2m - 2) = - 2m Để phương trình cho có hai nghiệm dương phân biệt khi: Suy khơng có giá trị m thỏa mãn Chọn đáp án D Câu 10: Cho phương trình x2 - (m + 1)x + m = Có giá trị ngun m để phương trình cho có nghiệm âm? A B C D Vô số Lời giải: Ta có: Chọn đáp án A II Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Phương trình x2 + (2m + 1)x + 3m = (với m tham số) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm x1 = -3 Tìm nghiệm x2 Lời giải: Ta có: a = 1; b = 2m + 1; c = 3m ∆=b2-4ac=2m+12-4.1.3m=4m2-8m+1 Vì phương trình có nghiệm x1=-3 nên thay x = -3 vào phương trình ta có: -32+2m+1.-3+3m=0⇔9-6m-3+3m=0⇔-3m+6=0⇒m=-6:-3=2 Với m = ⇒∆=4.22-8.2+1=1> phương trình có hai nghiệm phân biệt Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có: x1+x2=-ba=-2m+11=-2.2+11=5⇒x2=-5-x1=-5 3=-2 Vậy nghiệm cịn lại phương trình -2 Câu 2: Dùng điều kiện a + b + c = a –b + c = để tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x2-4x-5=0 b) x2+6x-7=0 Lời giải: a) x2-4x-5=0 Ta có: a = 1; b = -4; c = -5 Ta có a – b + c = – (-4) – = Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1=-1; x2=-ca= 51=5 Vậy phương trình cho có nghiệm S = {-1; 5} b) x2+6x-7=0 Ta có: a = 1; b = 6; c = -7 Ta có: a + b + c = + + (-7) = Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1=1; x2=ca=-71=-7 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {-7; 1} Câu 3: Tìm hai số u, v biết: u + v = 32; u.v = 231 Lời giải: S = 32; P = 231 ⇒ S2 – 4P = 322 – 4.231 = 100 > ⇒ Tồn u v hai nghiệm phương trình: x2 – 32x + 231 = Ta có: Δ = (-32)2 – 4.231 = 100 > ⇒ PT có hai nghiệm: x1=32+1002.1=21; x2=32-1002.1=11 Vậy u = 21; v = 11 u = 11; v = 21 Câu 4: Tìm giá trị m để phương trình x2-2x+4m=0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn 3x1+5x2=5 Lời giải: ∆'=b'2-ac=-12-1.4m=1-4m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: ∆'>0⇔1-4m>0⇔4m0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=1+163=53;x2=1−163=−33=−1 Kiểm tra hệ thức Vi – et x1+x2=53+−1=23=−ba; x1.x2=53.−1=−53=ca c) Phương trình 13x2+2x−163=0 ⇔x2+6x−16=0 có hệ số a = 1; b = 6; c = –16 Δ'=32−1.−16=25>0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=−3+251=2;x2=−3−251=−8 Kiểm tra hệ thức Vi – et x1+x2=2+−8=−6=−ba x1.x2=2.−8=−16=ca d) Phương trình 12x2−3x+2=0 ⇔x2−6x+4=0 có hệ số a = 1; b = –6; c = Ta có: Δ'=−32−1.4=9−4=5>0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=3+51=3+5;x2=3−51=3−5 Kiểm tra hệ thức Vi – et x1+x2=3+5+3−5=3+3=6=−ba x1.x2=3+53−5=9−5=4=41 Câu 6: Khơng giải phương trình, dùng hệ thức Vi–ét, tính tổng tích nghiệm phương trình a) 2x2−7x+2=0 b) 2x2+9x+7=0 c) 2−3x2+4x+2+2=0 d) 1,4x2−3x+1,2=0 e) 5x2+x+2=0 Lời giải: a) 2x2−7x+2=0 Ta có:Δ =(–7)2 –4.2.2 =49 –16 =33 >0 Phương trình có nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi–ét, ta có: x1+x2=−ba=72;x1.x2=ca=22=1 b) 2x2+9x+7=0 Δ = 92 – 4.2.7 = 81 – 56 = 25 > Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi – et ta có: x1+x2=−ba=−92 x1.x2=ca=72 c) 2−3x2+4x+2+2=0 Ta có: Δ'=22−2−33+2=4−4−22+23+6 =23−22+6>0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1+x2=−ba=−42−3=−42+3 x1.x2=ca=2+22−3=2+22+32+32−3=4+22+23+6 d) 1,4x2−3x+1,2=0 Ta có : Δ = (–3)2 –4.1,4.1,2 =9 – 6,72 =2,28 >0 Phương trình có nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi–ét, ta có: x1+x2=−ba=31,4=157;x1.x2=ca=67 e) 5x2+x+2=0 Δ = 12 –4.5.2 = – 40 = –39 < Phương trình vơ nghiệm Câu 7: Tính nhẩm nghiệm phương trình: a) 7x2−9x+2=0 b) 23x2−9x−32=0 c) 1975x2+4x−1979=0 Lời giải: a) Phương trình 7x2 –9x +2 = có hệ số a = 7, b = –9, c = Ta có: a + b + c = + (–9) + = Suy nghiệm phương trình x1 = 1, x2 =ca=27 b) Phương trình 23x2 – 9x – 32 = có hệ số a = 23, b = –9, c = –32 Ta có: a – b +c = 23 – (–9) + (–32) =0 Suy nghiệm phương trình x1= –1, x2 = −ca=−−3223=3223 c) Phương trình 1975x2 + 4x –1979 = có hệ số a = 1975, b = 4, c = –1979 Ta có: a + b + c =1975 + + (–1979) = Suy nghiệm phương trình x1 = 1, x2 =ca=−19791975 Câu 8: Tính nhẩm nghiệm phương trình: a) 5+2x2+5−2x−10=0 b) 13x2−32x−116=0 c) 31,1x2−50,9x+19,8=0 Lời giải: a) Phương trình 5+2x2+5−2x−10=0 có hệ số a = 5+2 ; b =5−2 ; c = –10 Ta có: a + b + c = 5+2+ 5−2 – 10 = Suy nghiệm phương trình x1 = 1, x2 = ca=−105+2 b) 13x2−32x−116=0 ⇔2x2−9x−11=0 có hệ số a = 2; b = –9; c = –11 Ta có: a – b + c = – (–9) + (–11) = Suy nghiệm phương trình x1 = –1, x2 = −ca=−−112=112 c) Phương trình 31,1x2 – 50,9x + 19,8 = ⇔ 311x2 – 509x +198 = có hệ số a = 311, b = –509, c = 198 Ta có: a + b + c = 311 + (–509) + 198 = Suy nghiệm phương trình x1 = , x2 = ca=198311 Câu 9: a) Chứng tỏ phương trình 3x2 + 2x – 21 =0 có nghiệm –3 Hãy tìm nghiệm b) Chứng tỏ phương trình –4x2 – 3x +115=0 có nghiệm Hãy tìm nghiệm Lời giải: a) Thay x = –3 vào vế trái phương trình, ta có: 3.(–3)2 + 2(–3) – 21 = 27 – – 21 = Vậy x = –3 nghiệm phương trình 3x2 + 2x – 21 =0 Theo hệ thức Vi–ét ta có: x1x2 =ca = −213 = –7 ⇒ x2 =−7x1 =−7−3 =73 Vậy nghiệm lại x =73 b) Thay x = vào vế trái phương trình, ta có: –4.52 – 3.5 + 115 = –100 – 15 + 115 =0 Vậy x = nghiệm phương trình –4x2 – 3x + 115=0 Theo hệ thức Vi–ét ta có: x1x2 = ca=−1154 ⇒ 5x2 = −1154 ⇒ x2 = −234 Vậy nghiệm lại x = −234 Câu 10: Dùng hệ thức Vi–ét để tìm nghiệm x2 phương trình tìm giá trị m trường hợp sau: a) Phương trình x2 + mx – 35 = có nghiệm x1 = b) Phương trình x2 – 13x + m = có nghiệm x1 = 12,5 c) Phương trình 4x2 + 3x – m2 + 3m = có nghiệm x1 = –2 d) Phương trình 3x2 – 2(m – 3)x + = có nghiệm x1 =13 Lời giải: a) Theo hệ thức Vi–ét ta có: x1x2 =ca= –35 Suy 7x2 = –35 ⇔ x2 = –5 Cũng theo hệ thức Vi–ét ta có: x1 + x2 =−ba= –m Suy ra: m = –7 + ⇔ m = –2 Vậy với m = –2 phương trình x2 + mx – 35 = có hai nghiệm x1 = 7, x2 = –5 b) Theo hệ thức Vi–ét ta có: x1 + x2 =−ba= 13 Suy 12,5 + x2 = 13 ⇔ x2 = 0,5 Cũng theo hệ thức Vi–ét ta có: x1x2 =ca= m Suy ra: m = 12,5.0,5 ⇔ m = 6,25 Vậy với m = 6,25 phương trình x2 – 13x + m = có hai nghiệm x1 = 12,5 ,x2 = 0,5 c) Theo hệ thức Vi–ét ta có: x1 + x2 =−ba=−34 Suy ra: –2 + x2 = −34 ⇔ x2 = −34 + =54 Cũng theo hệ thức Vi–ét ta có: x1x2 = ca=−m2+3m4 Suy ra: –2 54 =−m2+3m4 ⇔ m2 – 3m – 10 =0 Δ= (–3)2 – 4.1.(–10) = + 40 = 49 m1=−b+Δ2a=3+492=5 m2=−b−Δ2a=3−492=−2 Vậy với m = m = –2 phương trình 4x2 + 3x – m2 + 3m = có hai nghiệm x1=−2;x2=54 d) Theo hệ thức Vi–ét ta có: x1x2 =53 Suy ra:13 x2 = 53 ⇔ x2 =53 : 13 =53 = theo hệ thức Vi–ét ta có: x1 + x2 =2m−33 Suy ra: 13+ =2m−33 ⇔ 2(m – 3) = 16 ⇔ m– = ⇔ m = 11 Vậy với m = 11 phương trình 3x2 –2(m –3)x +5 =0 có hai nghiệm x1 = 1/3 , x2 = III Bài tập vận dụng Câu 1: Khơng giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, tính tổng tích nghiệm phương trình : a) + 2x – = b) – x + = Câu 2: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm phương trình: a) + 3x – = ; b) – (5 + ) x + + = Câu 3: Cho phương trình + 2(m + 1)x + 2m – =0(1),trong m tham số a) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Câu 4: Cho hàm số y = a) Tìm toạ độ giao điểm đồ thị hàm số với đổ-thị hàm số y = 3x – b) Chứng tỏ đồ thị hàm số y = cất đồ thị hàm số y = 5x + hai điểm nằm hai phía trục Oy Câu 5: Khơng giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, tính tổng tích nghiệm phương trình : a) + 5x – 12 = 0; b) – 60x + 41 = ; c) 13 + 7x + = ; d) -6 – 15x + 31 = Câu 6: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm phương trình : a) + 9x-11 =0; b) – ( + )x + =0; c) – 2x – 15 = ; d) – 10x + 24 = Câu 7: Cho parabol (P) : y = đường thẳng (d) : y = 4mx – + a) Chứng minh với giá trị m, hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt A, B b) Gọi , hoành độ A, B Tính c) Tính toạ độ trung điểm I AB theo m Câu 8: Cho phương trình – (2m – 1)x – + m – =0, m tham số a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm trái dấu với giá trị m b) Gọi , hai nghiệm phương trình Tìm giá trị m cho đạt giá trị nhỏ Câu 9: Tìm m để phương trình – (m – 5)x – = có hại nghiệm , thoả mãn Câu 10: Tìm m để phương trình –( – 2m – 3)x + m – = có hai nghiệm đối Xem thêm Chuyên đề Toán lớp hay, chi tiết khác: Chuyên đề Phương trình quy phương trình bậc hai Chun đề Giải tốn cách lập phương trình Chun đề Bài tập ơn tập chương Chuyên đề Góc tâm Số đo cung Chuyên đề Liên hệ cung dây ... 23, b = ? ?9 , c = –3 2 Ta có: a – b +c = 23 – (? ?9 ) + (–3 2) =0 Suy nghiệm phương trình x1= –1 , x2 = −ca=−−3223=3223 c) Phương trình 197 5x2 + 4x –1 97 9 = có hệ số a = 197 5, b = 4, c = –1 97 9 Ta có:... + 3x – m2 + 3m = có nghiệm x1 = –2 d) Phương trình 3x2 – 2(m – 3)x + = có nghiệm x1 =13 Lời giải: a) Theo hệ thức Vi? ? ?ét ta có: x1x2 =ca= –3 5 Suy 7x2 = –3 5 ⇔ x2 = –5 Cũng theo hệ thức Vi? ? ?ét ta... giải: a) Thay x = –3 vào vế trái phương trình, ta có: 3. (–3 )2 + 2 (–3 ) – 21 = 27 – – 21 = Vậy x = –3 nghiệm phương trình 3x2 + 2x – 21 =0 Theo hệ thức Vi? ? ?ét ta có: x1x2 =ca = −213 = –7 ⇒ x2 =−7x1