Bài 6 Hệ thức Vi – ét và ứng dụng I Lý thuyết 1 Hệ thức Vi – ét Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép thì ta đều có thể viết được dưới dạ[.]
Bài 6: Hệ thức Vi – ét ứng dụng I Lý thuyết Hệ thức Vi – ét Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm dù hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép ta viết dạng: x1 = −b + −b − ;x = 2a 2a Định lí Vi – ét Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) ta có: −b x + x = a x x = c a Nhận xét: Nhờ định lý Vi – ét, biết nghiệm phương trình bậc hai suy nghiệm Ứng dụng định lý Vi – ét a) Ứng dụng giải phương trình (bằng cách nhẩm miệng) + Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có a + b + c = phương trình có c nghiệm x1 = nghiệm lại x2 = a + Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có a - b + c = phương trình có c nghiệm x1 = -1 nghiệm lại x2 = a b) Tìm hai số biết tổng tích + Nếu hai số có tổng S tích P hai số nghiệm phương trình bậc hai x2 - Sx + P = + Điều kiện để có hai số S2 - 4P ≥ II Bài tập tự luyện Bài 1: Phương trình x2 + (2m + 1)x + 3m = (với m tham số) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm x1 = -3 Tìm nghiệm x2 Lời giải: Ta có: a = 1; b = 2m + 1; c = 3m = b − 4ac = ( 2m + 1) − 4.1.3m = 4m − 8m + Vì phương trình có nghiệm x1 = −3 nên thay x = -3 vào phương trình ta có: ( −3) + ( 2m + 1).( −3) + 3m = − 6m − + 3m = −3m + = m = (−6) : (−3) = Với m = = 4.22 − 8.2 + = > phương trình có hai nghiệm phân biệt Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có: x1 + x = −b − ( 2m + 1) − ( 2.2 + 1) = = = −5 a 1 x = −5 − x1 = −5 − ( −3) = −2 Vậy nghiệm cịn lại phương trình -2 Bài 2: Dùng điều kiện a + b + c = a –b + c = để tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x − 4x − = b) x + 6x − = Lời giải: a) x − 4x − = Ta có: a = 1; b = -4; c = -5 Ta có a – b + c = – (-4) – = Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1 = −1;x = −c − ( −5) = =5 a Vậy phương trình cho có nghiệm S = {-1; 5} b) x + 6x − = Ta có: a = 1; b = 6; c = -7 Ta có: a + b + c = + + (-7) = Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1 = 1;x = c −7 = = −7 a Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {-7; 1} Bài 3: Tìm hai số u, v biết: u + v = 32; u.v = 231 Lời giải: S = 32; P = 231 ⇒ S2 – 4P = 322 – 4.231 = 100 > ⇒ Tồn u v hai nghiệm phương trình: x2 – 32x + 231 = Ta có: Δ = (-32)2 – 4.231 = 100 > ⇒ PT có hai nghiệm: x1 = 32 + 100 32 − 100 = 21;x = = 11 2.1 2.1 Vậy u = 21 ; v = 11 u = 11 ; v = 21 Bài 4: Tìm giá trị m để phương trình x − 2x + 4m = có hai nghiệm phân biệt x1 ; x thỏa mãn 3x1 + 5x = Lời giải: ' = b'2 − ac = ( −1) − 1.4m = − 4m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: ' − 4m 4m m Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có: x1 + x = −b −2 =− = (1) a Theo đề lại có: 3x1 + 5x = (2) x + x = Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 3x1 + 5x = 5 x = Giải hệ phương trình ta được: x = −1 2 Mà theo định lý Vi – ét x1.x = c 4m = = 4m a −1 −5 −5 −5 = 4m = 4m m = :4 = 2 4 16 Vậy m = −5 phương trình có hai nghiệm x1 ; x thỏa mãn 3x1 + 5x = 16 ... nghiệm phân biệt thì: '' − 4m 4m m Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có: x1 + x = −b −2 =− = (1) a Theo đề lại có: 3x1 + 5x = (2) x + x = Từ (1) (2) ta có hệ phương... hệ phương trình 3x1 + 5x = 5 x = Giải hệ phương trình ta được: x = −1 2 Mà theo định lý Vi – ét x1.x = c 4m = = 4m a −1 −5 −5 −5 = 4m = 4m m = :4 = 2 4 16 Vậy m... (−6) : (−3) = Với m = = 4.22 − 8.2 + = > phương trình có hai nghiệm phân biệt Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có: x1 + x = −b − ( 2m + 1) − ( 2.2 + 1) = = = −5 a 1 x = −5 − x1