Hệ thức VI-ET và ứng dụng

1/ Nêu công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 2/ Hãy tính x 1 + x 2 , x 1 x 2 . Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) • Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 = • Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = • Nếu ∆ < 0 phương trình vô nghiệm 2 − b a − + ∆ − − ∆ = 2 b b ; x 2a 2a F.Viète 1. HÖ thøc vi- Ðt Phrăng-xoa Vi-ét là nhà Toán học nổi tiếng người Pháp (1540 - 1603). Ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm với các hệ số của phương trình bậc hai §Þnh lÝ vi- Ðt NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax 2 + bx + c= 0 (a≠0) th× 1 2 1 2  + =−     =   b x x a c x .x a § 6 § 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi ét Định lí Vi-ét: Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c= 0 (a 0) thì 1 2 1 2 + = = b x x a c x .x a Đ 6 Đ 6 H THC VI-ẫT V NG DNG Hoạt Động nhóm Nhóm 1 và nhóm 2 ( Làm ) Nhóm 3 và nhóm 4 (Làm ) ?2 ?3 Cho phơng trình 2x 2 - 5x+3 = 0 . a) Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c. b) Chứng tỏ x 1 = 1 là một nghiệm của phơng trình. c) Dùng định lớ Vi- ét để tìm x 2. . ?2 Cho phơng trình 3x 2 +7x+4=0. a) Chỉ rõ các hệ số a,b,c của ph ơng trình và tính a b + c b) Chứng tỏ x 1 = 1 là một nghiệm của phơng trình. c) Tìm nghiệm x 2. ?3 Ho¹t §éng nhãm Nhãm 1 vµ nhãm 2 ( Lµm ) Trả lời: Phương trình 2x 2 - 5x + 3 = 0 a/ a = 2 ; b = - 5 ; c = 3 a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0 ?2 1. HÖ thøc vi Ðt a) §Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax 2 + bx + c= 0 (a ≠ 0) th×  + = −     =   1 2 1 2 b x x a c x .x a b) Áp dụng : § 6 § 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG Tæng qu¸t 1 : NÕu ph¬ng tr×nh ax 2 +bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã a+b+c=0 th× ph¬ng tr×nh cã m«t nghiÖm x 1 =1, cßn nghiÖm kia lµ = 2 c x a b/ Với x 1 = 1 ta có : 2.1 2 – 5.1 + 3 = 2- 5 + 3 = 0 Vậy x 1 = 1 là một nghiệm của phương trình = c 3 a 2 ⇒ = 2 3 x 2 c/ Ta có x 1 .x 2 = Ho¹t §éng nhãm Nhóm 3 và nhóm 4: (làm ) Trả lời Phương trình 3x 2 +7x + 4= 0 a/ a = 3 ; b = 7 ; c = 4 a – b + c = 3 - 7 + 4 = 0 ?3 1. HÖ thøc vi Ðt a) §Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax 2 + bx + c= 0 (a≠0) th× Tæng qu¸t 1 : NÕu ph¬ng tr×nh ax 2 +bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã a+b+c=0 th× ph¬ng tr×nh cã m«t nghiÖm x 1 =1, cßn nghiÖm kia lµ x 2 = c a Tæng qu¸t 2: NÕu ph¬ng tr×nh ax 2 +bx+c=0 (a≠0) cã a-b+c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x 1 = -1, cßn nghiÖm kia lµ x 2 = − c a § 6 § 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG  + = −     =   1 2 1 2 b x x a c x .x a b) Áp dụng : b/ Với x 1 = -1 ta có: 3.(- 1) 2 +7.(-1) + 4 = 0 Vậy x 1 = -1 là một nghiệm của phương trình = ⇒ = − 2 c 4 4 x a 3 3 c/ Ta có x 1 .x 2 = ?4 : Tính nhẩm nghiệm của phơng trình a/ - 5x 2 + 3x + 2 = 0; b/ 2004x 2 + 2005x + 1 = 0 ?4 b/2004x 2 + 2005x + 1 = 0 (a = 2004, b = 2005, c = 1) Ta có : a b + c = 2004 - 2005 + 1 = 0 a/ - 5x 2 + 3x + 2 = 0 (a = -5, b = 3, c = 2) Ta có: a + b + c = - 5 + 3 + 2 = 0. Vậy x 1 = 1, = = 2 c 2 x a 5 Giải Đ 6 Đ 6 H THC VI-ẫT V NG DNG 1. Hệ thức vi ét Tổng quát 1 : Nếu phơng trình ax 2 +bx+c= 0 (a 0 ) có a+b+c=0 thì phơng trình có môt nghiệm x 1 =1, còn nghiệm kia là x 2 = c a Tổng quát 2: Nếu phơng trình ax 2 +bx+c=0 (a 0) có a-b+c = 0 thì phơng trình có một nghiệm x 1 = -1, còn nghiệm kia là x 2 = c a a) Định lí Vi-ét: Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c= 0 (a 0) thì + = = 1 2 1 2 b x x a c x .x a Vậy x 1 =-1, = = 2 c 1 x a 2004 b) p dng : 1.HÖ thøc vi Ðt Tæng qu¸t 1 :(SGK) Tæng qu¸t 2:(SGK) 2. T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng : § 6 § 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG §Þnh lÝ Vi - Ðt: NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax 2 + bx + c= 0 (a ≠ 0) th×  + = −     =   1 2 1 2 b x x a c x .x a Áp dụng 1.Hệ thức vi ét a) Định lí Vi-ét: Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0( a 0) thì + = = 1 2 1 2 b x x a c x .x a Tổng quát 1 : (SGK) Tổng quát 2 : (SGK) 2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng : Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phơng trình x 2 Sx + P = 0 (1). Điều kiện để có hai số đó là S 2 - 4P 0. x(S x) = P Nếu = S 2 - 4P 0 thì phơng trình (1) có nghiệm. Các nghiệm này chính là hai số cần tìm. Ví dụ 1: Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180. Giải : Hai số cần tìm là nghiệm của phơng trình : x 2 _ 27x + 180 = 0 = 27 2 - 4.1.180 = 729 - 720 = 9 > 0 + = = = = 1 2 27 3 27 3 x 15, x 12 2 2 Vậy hai số cần tìm là 15 và 12 + Gi s hai số có tổng b ng S và tích bằng P. S- x Theo giả thiết ta có ph!ơng trình: <=> x 2 - Sx + P= 0 (1) Đ 6 Đ 6 H THC VI-ẫT V NG DNG b) p dng : p dng Gọi một số là x thì số kia là Giải Hai số cần tìm là nghiệm của phơng trình : x 2 x + 5 = 0 = (-1) 2 4.1.5 = -19 < 0. Phơng trình vô nghiệm. Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1 và tích bằng 5. Đ 6 Đ 6 H THC VI-ẫT V NG DNG Vớ d 2 : Tớnh nhm nghim ca phng trỡnh : x 2 5x + 6 = 0. Vỡ 2 + 3 = 5; 2 . 3 = 6 Nờn x 1 = 2, x 2 = 3 l hai nghim ca phng trỡnh ó cho. Giải 1.Hệ thức vi ét a) Định lí Vi-ét: Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0( a 0) thì + = = 1 2 1 2 b x x a c x .x a Tổng quát 1 : (SGK) Tổng quát 2 : (SGK) Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phơng trình x 2 Sx + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S 2 - 4P 0 b) p dng : 2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng : p dng Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5. ?5 [...]...Đ 6 H THC VI-ẫT V NG DNG 1 .Hệ thức vi ét a/ Định lí Vi - ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0 (a 0) thì x1 + x 2 = b a x x = c 1 2 a b/ áp dụng : - Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a+b+c=0 thì phương c trình có môt nghiệm x1=1, còn nghiệm kia là x 2 = a -... nghiệm x1=1, còn nghiệm kia là x 2 = a - Nếu phương trình ax2+bx+c= 0 (a 0 ) có a-b+c=0 thì phương trình c x2 = có môt nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là a 2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng : Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2 Sx + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S2 4P 0 * Bài tập 26 (sgk): Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a b + c =... c/ x2 49x 50 = 0 Do a+b+c= 35 +(37) +2 Do a b + c = 1- (- 49) + ( 50 ) = 35 37 + 2 = 0 c 2 Nờn : x1 = 1 ; x2 = = a 35 = 1 + 49 50 = 0 c Nờn x1 = 1 ; x2 = = 50 a Hc thuc nh lớ Vi-et Vn dng c nhng ng dng ca h thc Vi-et trong gii phng trỡnh bc hai Lm bi tp 27,28; 29; 30; 31; 32 sgk Chun b Luyn tp 1/ Bi 31 (SGK 54) ( ) b / 3x 2 1 3 x 1 = 0 ( a= ( ) 3 ;b = 1 3 ;c = 1 a b + c = 3 +1 3 1 . 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG §Þnh lÝ Vi - Ðt: NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax 2 + bx + c= 0 (a ≠ 0) th×  + = −     =   1 2 1 2 b x x a c x .x a Áp dụng 1 .Hệ thức. bx + c= 0 (a≠0) th× 1 2 1 2  + =−     =   b x x a c x .x a § 6 § 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức vi ét Định lí Vi-ét: Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2. 1 + 49 50 = 0 Nờn x 1 = 1 ; x 2 = = c 50 a • Học thuộc định lí Vi-et. • Vận dụng được những ứng dụng của hệ thức Vi-et trong giải phương trình bậc hai • Làm bài tập 27,28; 29; 30; 31;