Chuyen de He thuc Vi et QH

Trong giảng dạy một số giáo viên chưa chú ý phát huy tác dụng giáo dục, tác dụng phát triển của bài toán, mà chỉ chú trọng đến việc học sinh làm được nhiều bài, đôi lúc biến việc làm thà[r]

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ I PHẦN MỞ ĐẦU

Lí chọn đề tài

Trong chương trình giáo dục nước ta hầu hết môn học cho tiếp cận với khoa học đại khoa học ứng dụng Đặc biệt mơn tốn, em tiếp thu kiến thức xây dựng tinh thần tốn học đại Trong việc tính tổng dãy số em làm quen từ sớm việc vận dụng vào thực tế cịn gặp khơng khó khăn

Do người thầy giáo phải chuyển giao hệ thống kiến thức sở khoa học mà nhân loại dày công nghiên cứu, đồng thời giúp học sinh sáng tạo, tìm tịi phát huy tri thức tạo cho em có hệ thống kiến thức đầy đủ khoa học trở thành người có lực làm chủ thiên nhiên, làm chủ xã hội”

Hơn muốn đạt kết cao giảng dạy, người thầy phải tự trang bị cho vốn kiến thức hồn chỉnh, khoa học, kĩ năng, kinh nghiệm vào giảng dạy mơn tốn Người thầy phải có kĩ khai thác phân loại, cụ thể hoá trừu tượng hố khơng ngừng đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp với kiến thức đối tượng học sinh để phát huy tính độc lập chủ động sáng tạo học học tập, không riêng mơn tốn mà cịn mơn khoa học khác, đảm bảo mục tiêu “ Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Góp phần không nhỏ cho giai đoạn

“ Công nghiệp hoá, đại hoá đất nước”

Qua giảng dạy lớp, bồi dưỡng học sinh - giỏi, qua dự thăm lớp, học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp thấy: Đối với học sinh THCS việc nhận dạng, phát quy luật tổng, tính tổng số hạng dãy số cịn gặp nhiều khó khăn, thường khơng dám bắt tay vào việc giải tốn gặp dạng toán

Để phát huy tính độc lập chủ động sáng tạo phục vụ cho học tập học sinh người thầy cần trang bị cho em vốn kiến thức khả tư khai thác tốn tính tổng giải dạng tốn tính tổng Tơi rút số kinh nghiệm phương pháp tính tổng dãy số

2 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu a) Mục đích

Trong giảng dạy số giáo viên chưa ý phát huy tác dụng giáo dục, tác dụng phát triển toán, mà trọng đến việc học sinh làm nhiều bài, đôi lúc biến việc làm thành gánh nặng, công việc buồn tẻ học sinh Xuất phát từ đặc điểm tâm lý học sinh giáo viên cần dạy rèn cho học sinh phương pháp tìm lời giải tốn

b) Nhiệm vụ

- Giải khó khăn học sinh giải loại tốn tính tổng dãy số

- Trang bị cho học sinh đường tìm lời giải tốn tính tổng từ dạng tổng qt đến tốn cụ thể, từ toán sang toán dạng tương tự

3 Đối tượng sở nghiên cứu a) Đối tượng:

Nhóm học sinh - giỏi THCS

b) Cơ sở nghiên cứu

Cách tính tổng mức độ thấp học sinh học từ lớp đầu cấp tiểu học Nhưng việc tính tổng dãy số cịn gặp nhiều khó khăn như:

Việc tìm hiểu đề, xây dựng chương trình giải

Chưa vận dụng cách linh hoạt từ toán cụ thể sang toán tương tự

II NỘI DUNG

Việc tính tổng biểu thức thông thường ( hữu hạn số hạng) ta áp dụng thứ tự quy tắc phép tốn giải tốn Vấn đề đặt cách khai thác để giải tốn tính tổng có dạng: Sn= a1+a2+a3+ +an (n=1,2,3…) phải làm ?

Sau đưa số dạng phương pháp khai thác để giải dạng tốn

II.1 Phương pháp tách số hạng:

1 Dạng 1:Số hạng tổng quát dãy số có dạng tử mẫu tích hai số tự nhiên liên tiếp

1.1 Ví dụ 1: Tính

2005 2004

1

4

1

1

1

    

S

Học sinh phải nhận dạng số hạng tổng tách sau

1 1 1 1

1.2 2   2 2004 2005

1

; ;

2.3 2004.2005

Cộng vế với vế đẳng thức ta

2005 2004 2005

1 2005

1 2004

1 2004

1 3 2

1    

  

 

 

      

       

  

S

1.2 Ví dụ 2:

Tính tổng 2004.2005

1

11 10

1 10

1

  



S

Nhận xét: Ta thấy tổng giống hệt tổng ví dụ ta dùng cách tách số hạng ví dụ 1:

18045 1996 2005

1

2005 2004

1 11

1 10

1 10

1

 



 

    

S

Nhận xét tổng quát: Nếu số hạng tổng quát có dạng:  1

1



n n

Thì ta tách sau:  

1 1

    n n

n n

Từ ta có cơng thức tổng qt để tính tổng sau:

 

1 1

1

1

       

n n

n S

2 Dạng 2: Số hạng tổng quát dãy số có dạng tử số 1, mẫu tích hai thừa số “k” đơn vị

2.1 Ví dụ 1:

2005 2003

1

5

1

1

   

S Cách 1

Học sinh phải nhận dạng số hạng có dạng

- Mẫu tích hai số tự nhiên hai đơn vị

Ta tách sau:         1 1         5 ………         2005 2003 2005 2003

Cộng vế với vế đẳng thức ta được:

2005 1002 2005 1 2005 2003 3 1                                         S

Nhận xét kết quả:

- Thừa số nhỏ nhất, lớn mẫu số hạng 1; 2005

- Kết tích hiệu nghịch đảo thừa số nhỏ thừa số

lớn với nghịch đảo đơn vị

Cách 2 2005 2003 3 1     S

Ta thấy: ba b a

b a b a a b b

a 1

   



(a,bN, a>b )

Ta phải biến đổi cho tử số tất số hạng phải khoảng cách hai thừa số mẫu tất hạng tử tách được:

2005 1002 : 2005 2004 2005 2004 2005 2003 3 2 2005 2003 2005 2004 2005 1 2005 2003 3 1 2005 2003 3 2005 2003 2005 2003 5 3 1                                                   S S 1.3 S Mµ

Nhận xét tổng quát: ba b a

M 1

  với a-b=M Bài toán tổng quát.

 

  

1 1

( ) ( )( )

n

S

a a m a m a m a n m a nm

   

      với m=1;2;3

n=1;2;3

1 1

n

S

m a a nm

 

    

 

3 Dạng 3: Mẫu số tự nhiên liên tiếp.

3.1 Ví dụ 1: Tính tổng sau:

 1 2

1 1       n n n Sn

Nhận xét đề bài:

- Tử số

- Mẫu số hạng tích số tự nhiên liên tiếp - Số hạng tổng quát có dạng  1 2

1   n n n Ta có                                    1 1 2 1 3 2 2 1 1 n n n n n n n

Cộng vế với vế đẳng thức ta

                   1 1 3 2 1 n n n n Sn

Nhận xét kết quả

Nếu mẫu có thừa số tổng tích nghịch đảo của( 3-1) với hiệu nghịch đảo tích thừa số có giá trị nhỏ tích thừa số có giá trị lớn            1 1 n n Sn

3.2 Ví dụ 2. Tính tổng sau

 1 2 3

1 1        n n n n Sn

Nhận xét đề bài - Tử số hạng

- Mẫu số hạng tích số tự nhiên liên tiếp - Số hạng tổng quát có dạng  1 2 3

1

   n n

n n

1 1

1.2.3.4 1.2.3 2.3.4

1 1

2.3.4.5 2.3.4 3.4.5

                               

1 1

1 3 2

n n n n n n n n n n

 

   

          Cộng vế với vế đẳng thức ta

         

1 1 1 1

3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 2

n

S

n n n n n n

                  =             1 1 n n n

Bài toán tổng quát

   1 2  1

1 1          m n n n n m m Sn

Ta có        

             1 1 1 m n n n n m m Sn

với m=2;3;4 n=1; 2; 3……

Chú ý: Ví dụ 1: Có thể khai thác cho học sinh thấy tổng

 1 2

1 1       n n n Sn Thì 3-1=4-2=… =n+2-n=2        

 1 2

1 1 1 1 3 2 1 2 2 2                                        n n n n n n S n n n S n n

=>            1 1 n n Sn Như vậy:        

a ma ma m aa ma m a ma ma m

a m m a m a m a a m a m a a m 2 3 * 1 2 *                 

Một số tập áp dụng

1 1 1 1 12 20 30 42 56

1 1

1.4 4.7 2002.2005

3 3

15.22 22.29 85.92

A B C

      

   

   

7 §S :

8 668 §S :

2005 11 §S :

460

   

         

1 1

1.3 3.5 2

1 1

1.3.5 3.5.7 2 3 2

D

n n

n E

n n n n n

   

  

    

    

2

n §S :

2n n §S :

II.2 Tính tổng phương pháp giải phương trình ( làm trôi)

Trong số trường hợp gặp tốn tính tổng dãy số viết theo thứ tự tăng (giảm) mà số hạng tổng quan hệ với là:

Mỗi số hạng liền trước( liến sau) (kém) “q” lần ta nhân chia số hạng tổng cho “q” để xuất tổng dãy số có quan hệ tường minh với tổng ban đầu

1 Dạng 1: số hạng tổng nhỏ băng 1

1.1 Ví dụ Tính tổng sau

2005

2 2

1

1

   

S

(1)

Ta thấy số hạng liền sau tổng số hạng liền trước “2” lần

2004

2 2

1

1 1

2S     

(2) Trừ vế với vế (2) cho (1) ta

2005 2005 2005 2

1 2

1

1  



S

1.2 Ví dụ 2. Tính tổng

2005 2003

1

5

1

1

   

S

Ta thấy: ba b a

b a b

a a b

b

a 1

   



(a,bN, a>b )

Ta phải biến đổi cho tử số tất số hạng phải khoảng cách hai thừa số mẫu tất hạng tử tách được:

2005 1002

: 2005 2004

2005 2004 2005

1

2005 2003

1 3 1 2005 2003

2

5

2

2

 

 



   

 

 

      

       

  

  

S S

2 Dạng 2:Các số hạng tổng lớn 1

2.1 Ví dụ 1: Tính tổng sau

100

1

0 3 3 3

3    



Ta thấy số hạng sau gấp số hạng liền trước “2” lần Cách làm tương tự tốn dạng

Ta có :

2

1

3 3

101 101

101 100

1

 

 

    

S S S

2.2 Ví dụ 2: Tính tổng sau

Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1) với nN*

Để tách số hạng thành hiệu số nhằm triệt tiêu cặp số ta nhân số hạng tổng với Thừa số viết dạng:

3-0 số hạng thứ 4-1 số hạng thứ hai 5-2 số hạng thứ ba

(n+2)-(n-1) số hạng thứ cuối Ta có

3Sn=1.2.(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+…+n(n+1){(n+2)-(n-1)} =(1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+ n(n+1)(n+2))-(0.1.2+1.2.3+2.3.4+…+(n-1)n(n+1)) =n(n+1)(n+2)

=>Sn=

  

3

1 

 n

n n

Tổng quát cho trường hợp ta có

1

1

1

       



a a a a

a S

n n n

với nN ; 1<aN

II.3 Tính tổng phương pháp qui nạp toán học

Trong số trường hợp tính tổng dãy số, ta thơng qua số phép tính vài số hạng ta dự đoán kết Phương pháp dễ dàng thực phép tính tổng, nhiên việc vân dụng phương pháp giải số tốn dạng tính tổng dãy số Lí số tốn việc tìm giả thiết quy nạp cịn gặp nhiều khó khăn

Ví dụ: Muốn tính hay chứng minh mệnh đề Sk(k=1;2;3…) mà ta thấy mệnh đề với 1; 2; giá trị k ta dùng phương pháp quy nạp tốn học để tính chứng minh mệnh đề

Các bước giải toán sau:

Bước 1: Thử vài giá trị xem tính đắn mệnh đề

Bước 2: Giả sử mệnh đề với n=k Nghĩa Sk

Bước 3: Ta phải chứng minh mệnh đề với n=k+1, tức Sk+1

Bước 4: Kết luận tốn Ví dụ: Tính tổng

Sn =1 + + + …+ n với nN

Dự đoán kết quả: Sn=

 

2



n n

Với n=2 S2=1+2=

  3

2 2

 

(đúng) Với n=3 S3=1+2+3=

  6

2 3

 

(đúng) Giả sử kết với n=k tức

Sk=1+2+3+…+k=

 

2



k k

Ta phải chứng minh kết với n=k+1 Tức phải chứng minh Sk+1=

  

2

1 

 k

k

Thật Sk+1= 1+2+3+ +k+ (k+1) =

 

2



k k

+ (k+1) =

  

2

1 

 k

k

(ĐPCM) Suy dự đoán

Vậy Sn=1+2+3+…+n=

 

2



n n

Sau số tập tương tự Tính tổng sau:

1 Sn=1 + + +…+ (2n-1) với nN* ĐS : Sn=n2

2 Sn=12+22+32+…+n2 với nN* ĐS: Sn=

  

6

1 

 n

n n

3 Sn=13+23+33+…+n3 với n

N* ĐS: Sn=

 

4 12



n n

4 Sn=13+33+53…+(2n-1)3 với n

N* ĐS: Sn= n2(2n2-1)

II.4 Phương pháp tính tổng thông qua tổng biết.

Qua thực tế giải toán ta gặp tổng dãy số cần tính biểu diễn qua tổng hữu hạn tổng khác mà ta biết ta biến đổi tổng cần tính làm xuất tổng mà ta biết kết Việc làm tính tổng phức tạp thơng qua tổng biết

1 Dạng 1: Tách tổng cho thành tổng biết (tổng tính được)

1.1 Ví dụ 1: Tính tổng sau

Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1) với nN*

Ta thấy n.(n+1)=n2+n

Nên ta có Sn=12+22+32+…+n2+1+2+…+n

    

  

3

2

1

  

   



n n n

n n n

n n

3Sn =1.2.(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+…+n(n+1){(n+2)-(n-1)} =(1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+ n(n+1)(n+2))-(0.1.2+1.2.3+2.3.4+…+(n-1)n(n+1)) =n(n+1)(n+2)

=>Sn=

  

3

1 

 n

n n

1.2 Ví dụ 2: Tính tổng sau:

Sn=1.3+3.5+5.7+…+(2n-1)(2n+1)

Nhận xét đề :

- Khai thác từ số hạng tổng quát ta có (2n-1)(2n+1)=4n2-1

 

  

n  n  n

n

n n

n n

n a a

S

n a

n a

n a n

  



  



 

 

  

  

3 2

6

4

1 1

2

2 Dạng 2:Tính tổng thơng qua việc lập hiệu hai tổng trung gian Ví dụ: Tính tổng sau

Sn=13+33+53+…+(2n+1)3

Nhận xét đề bài: Đây tổng lập phương số lẻ liên tiếp

Muốn tính tổng ta lập tổng tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp bới phần cộng thêm

Giải

Sn=13+23+33+…+(2n)3+(2n+1)3-{23+43+63+…+(2n)3} =13+23+33+…+(2n)3+(2n+1)3-23{13+23+33+…+(2n)3}

=

   

2

2

2 2

   

   

   



 n n nn ={n(2n+1)}2-2{n(n+1)}2 =n2(4n2+4n+1-2n2-4n-2) =n2(2n2-1)

III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Qua thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp tính tổng vào tốn cụ thể tơi thấy: Vấn đề then chốt việc giúp học sinh tự khai thác tự tìm lời giải giải dạng tốn tính tổng nói là:

- Trang bị cho em cách nhìn nhận, phân loại dạng bài, dự đốn kết

quả

- Lập chương trình giải giải tốn

- Tổng qt hố tốn tự lập cho tốn thơng qua việc

Tính tổng : S= 2004.2005

4

3

3

3

   

Ngay từ đề đa số em nhận toán thuộc vào dạng phương pháp tách số hạng, chưa phản ứng nhanh để giải tóan tử số số hạng lại khơng khơng thể tách số hạng Có vài em phát đặt thừa số “3” chung cho tất số hạng sau:

S=  2004.2005 

1

4

1

1

1

3    

Theo toán biết

S= 

 

 



2005 1

Căn vào toán yêu cầu em làm toán khác với tử số số hạng là: 2; 4; 5; 6; …; k

Do ta có tốn tổng qt

S=   

 

 

       

1 1

4 3 2

1 n n k n

k k

k k

Cũng tương tự cách khai thác để tổng quảt tốn có em nhóm tổng quát toán

     

 

 

   

    



2

1

1 2

4 )

n n k

n n n

k k

k S

      

    

 

 

  

   



  

    



1

2

1 )

1 (

1

1

2

1 )

m n n

n m

m k

m n n

n n

k m

k m

k S

Trong thực tế dạy thực nghiêm, yêu cầu học sinh tính tổng dãy số không viết theo thứ tự dãy mà viết theo thứ tự khác nhằm kiểm nghiệm hiểu biết dãy số khả quan sát học sinh Ví dụ Tính tổng sau

S= 12+32+22+52+42+…+20042+20032+20052

Trong ví dụ ta đánh giá nhóm học sinh, học sinh giải tốn nhanh gọn dễ hiểu, học sinh hiểu đề cách giải cịn rườm rà, học sinh khơng thể hiểu khơng giải Đó bước quan trọng để chon học sinh khá, giỏi, chon học sinh có lực nhận thức mơn tốn thi đạt kết cao

Cách 1: Xắp sếp lại tổng

S= 12+32+22+52+42+…+20042+20032+20052 S= 12+22+32+42+52+…+20032+20042+20052 =

  

6

1 2005 2005

2005  

Từ học sinh tính kết dựa vào cơng thức tính tổng Qua q giảng dạy công tác áp dụng bước đầu có kết quả, hầu hết học sinh trang bị phương pháp tính tổng tự tin gặp tốn tính tổng, bước em nắm bắt quy luật, phân loại áp dụng tốn cách sáng tạo, có em đưa lời giải hay, phương pháp giải mới, bước đầu phát huy trí tuệ say mê sáng tạo

Vậy thực tế giảng dạy mơn tốn tính tổng dãy số Để đạt kết mong muốn người thầy giáo phải trang bị cho em kiến thức đồng thời đổi cách đề tập, nhận xét đánh giá thông qua phương pháp giải kết Người thầy phải biết khơi dậy đức tính tị mị nghiên cứu, phát triển cho em có tư sáng tạo “ Từ đơn giản đến phức tạp” Phát triển tư “tổng hợp hoá, khái qt hố” có người thầy thực thành công giảng dạy

Do điều kiện lực thân tơi cịn hạn chế, tài liệu tham khảo chưa đầy đủ nên chắn điều chưa chuẩn, lời giải chưa phải hay ngắn gọn Nhưng tơi mong đề tài nhiều giúp học sinh hiểu kỹ loại tính tổng dãy số

Bằng kinh nghiệm rút sau nhiều năm giảng dạy trường THCS, học rút từ việc dự thăm lớp đồng chí trường dự đồng chí trường bạn Cùng với giúp đỡ tận tình ban giám hiệu nhà trường, tổ chun mơn tơi hồn thành đề tài Tôi mong bảo đồng chí chun mơn, ý kiến đóng góp đồng nghiệp để vốn kinh nghiệm giảng dạy phong phú

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Chất Bình, ngày 10 tháng 04 năm 2012 NGƯỜI VIẾT ĐỀ TÀI

Vũ Quang Hưng

NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA BGH