Tuyển tập các chuyên đề về phương trình, hệ phương trình

Xử lý hệ phương trình vô tỷ bằng phương pháp dùng định lý Crame định thức Đặt vấn đề : Cách sử dụng định lý Crame là một phương pháp nhanh gọn trong giải các hệ phương trình bậc nhất h[r]

Xử lý hệ phương trình vô tỷ phương pháp dùng định lý Crame ( định thức ) Đặt vấn đề : Cách sử dụng định lý Crame là phương pháp nhanh gọn giải các hệ phương trình bậc hai ẩn mà lớp chúng ta đã tiếp xúc Ưu điểm nó lớp 10 đó là biện luận dạng hệ phương trình có chứa tham số và là giải pháp tối ưu thay cho việc tính toán phức tạp Và nó còn áp dụng rộng rãi giải hệ phương trình vô tỷ , các bài toán bất đẳng thức … Kiến thức sở : Chúng ta nhắc lại số kiến thức xoay quanh phương pháp dùng định thức : a1 x  b1 y  c1 giải và biện luận hệ phương trình đã cho a2 x  b2 y  c2 Bài toán Cho hệ phương trình :  Lời giải Thiết lập các định thức : D a1 b1 a2 b2  a1b2  a2b1 ; Dx  c1 b1 c2 b2  c1b2  c2b1 ; Dy  a1 c1 a2 c2  a1c2  a2 c1 Biện luận :   x   Nếu D   a1b2  a2b1  thì hệ phương trình có nghiệm  y    Nếu D   a1b2  a2b1  có hai trường hợp xảy : Dx D Dy D  Dx  suy hệ phương trình vô nghiệm  Dy   Với   Với Dx  Dy  suy hệ phương trình có vô số nghiệm  x  y  x   y y   xy  y  Vận dụng Giải hệ phương trình :  2  2 x x    x  y  y   3xy  x a  x   Lời giải Với điều kiện x, y  ta đặt  đó hệ đã cho trở thành : b  y    x, y     x  y  a  yb  xy  y   2 xa   x  y  b  3xy  x Ta coi hệ phương trình trên là hệ bậc hai ẩn a, b đó thiết lập các định thức ta : D x y 2x y xy  y  x  y ; Dx  x y 3xy  x y x y  y  x  y  ; Dy  x y xy  y 2x 3xy  x   x  x2  y   a  y  x  3  x   2y Vì x  y  là nghiệm hệ phương trình nên với D  x  y  ta có :    b   x y    y   x Do đó hệ phương trình ban đầu có hai nghiệm là  x; y    3;  ;  0;0  2 Khi xem xong lời giải trên Vấn đề đặt đây là dấu hiệu nào để có thể dùng định lý Crame việc giải bài toán hệ phương trình Qua kinh nghiệm , ta đúc kết sau :  Đa số hệ đưa dạng đặt ẩn phụ với hai biến Và đưa ẩn phụ thì hệ phương trình thu xuất ẩn đó là a, b, x, y Vậy thì lại có hai khả lớn xảy sau : o Các biến a, b mũ bậc mà không cần quan tâm đến bậc mũ x, y Thì hệ phương trình đã trở thành hệ hai ẩn bậc với a, b đó định thức ta dùng liên quan đến x, y và rõ ràng ta các nghiệm a, b biểu diễn qua x và y Như bài trên ta nói Giải Đáp Toán Học Nguyễn Thế Duy – duynguyenthe1995@gmail.com o Tương tự trên đây x, y có mũ bậc và rõ ràng ta tìm mối liên hệ a, b, x, y  Hoặc là dùng ẩn phụ Vì ẩn phụ này xuất hai phương trình Và các biến còn lại liên quan đến ẩn phụ đó cách rút Thường với dạng ẩn phụ người ta thường cho x, y có mũ bậc Nhìn chung là không thể có phương pháp cụ thể nào hay công cụ đa nào để giải tất các bài hệ phương trình Mà nó là xoay vần xung quanh kiến thức mà đã học và khai thác tư học sinh Dưới đây ta tiếp tục phân tích số ví dụ để hiểu rõ cách sử dụng ĐỊNH LÝ CRAME   x  y  xy   xy  y   x, y   x  y xy   xy  x  y      Phân tích Ở hệ phương trình này có xuất biến xy  đồng thời liên hệ mật thiết tới hai đại lượng 4xy và 6xy Và điều đó là các biến x, y có mũ bậc Nên ý tưởng đó là đặt ẩn phụ , đưa hệ phương trình hai ẩn x, y và dùng định thức tìm mối liên hệ ẩn phụ , các biến Ví dụ Giải hệ phương trình :  Lời giải Đặt a  xy    xy  a2  đó ta có hệ phương trình :  x  y  a   a  5  y  a.x   a  3 y  2a      2 x  y a  a   x  y         a  1 x   2a   y  3a  21  a a3  a  5a  và Ta xét các định thức : D  a  2a  Dx  2a  a3 3a  21 2a   a  a  5a  3 Dy  ; a 2a  a  3a  21   a  3  a  5a  3  x  Dx   x   a   xy   x  x  y   y  2 D Do đó ta suy :     xy   x xy   y    y  Dy  a    x       D  y  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là :  x; y   1; 2  ;  5;3  z  1 x    z  z  y   z  z    Ví dụ Giải hệ phương trình :  x    z  3 y   z  z   2 x  y  z    x, y, z   Phân tích Đây là hệ phương trình ba ẩn Nhìn khá là phức tạp Nhưng để ý hai phương trình đầu hệ có xuất hai ẩn phụ x  và y  đó biến z lại xuất độc lập Thế nên đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình bậc hai ẩn thì dùng định thức từ hai ẩn phụ đó cho ta mối liên hệ x ; y ; z để vào phương trình ba ta phương trình ẩn z và tìm nghiệm hệ ban đầu u  x  Lời giải Điều kiện : x  Đặt  đó ta có : v  y   z  z  4z z  5z  D  ; Dx  z3 z  4z  2   z  1 u   z  z  v  z  5z  Xét các định thức ta có  u  z  v  z  z      z2  4z z 3  z  ; Dy  z  z  5z  1 z2  4z   3z u  z    x 1  z 1   x  y  z   z  1 vào phương trình ba suy : v  z   y 1  z  Từ đó ta :  Giải Đáp Toán Học Nguyễn Thế Duy – duynguyenthe1995@gmail.com   x2  z   x 1   z   z  1     z 2  2  3z  z   y    y 1  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y      2; 3; ;  2;  3; ;   2;  3; ;  2; 3; Từ bài toán sai Ra số ý tưởng Tại tiêu đề bài viết nhỏ này là Bởi thực tế kỳ thi HỌC SINH GIỎI Môn Toán năm 2013 – 2014 thì câu hệ phương trình đề HSG Nghệ An tốn khá nhiều giấy mực các mạng xã hội các diễn đàn TOÁN HỌC tiếng VIỆT NAM Đã có nhiều ý kiến khác đưa và người ta chờ đợi đáp án từ BỘ GD – ĐT Nghệ An câu trả lời là đề sai lỗi nhỏ không đáng có Nhưng tình cờ nó lại đem lại luồng gió thở cũ Tại lại là cũ Bởi nó theo mô típ cũ sáng tạo Không là phương pháp hàm số mà là hướng tới cách tư cho học sinh Cũng bắt nguồn từ gương mặt thân quen :  x2   x   y   y  là các biểu thức manh nha kiểu này Quá thuộc lòng dạng dùng hàm số đặc trưng : f  t   t  t  đây không phải là cách để xử lý phương trình đó mà còn phương pháp liên hợp , bình phương Và người ta lợi dụng hai phương pháp này để sáng tạo số bài toán hay và khó Dưới đây ta đến ba ví dụ cụ thể cho bài toán này      x2   x y2   y   Ví dụ Giải hệ phương trình :   x   y  x  3  13x3  x   Lời giải Điều kiện 13x  5x   , phương trình hệ viết lại thành :  x2   x  y   y  3       3  x   y  x  2   4 2 x   x  y   y  Hoặc là ta xử lý nó sau :  x, y    x  x2   y   y  x  y  x2   y   x  y  x2      y2  y x  x2   x  x2   x  y  x2   x  x 1        y  1   y  1  y x  x   x  x   4  x2   x  5x  y  x  Với x   y  5x xuống phương trình hai chúng ta có :  x  3x   x  x  x    x  3x  13x3  x      x   3 x     x  3x   13x  x    3 x     Do đó hệ phương trình đã cho có hai nghiệm     x2   x y2   y   Ví dụ Giải hệ phương trình :  2  18 x  16 y  40 xy  34 x   x  3x    1  x  0;  ; y       Vẫn cái mô típ bài toán trên xử lý theo phương pháp liên hợp và bình phương  1   Lời giải Điều kiện x  0;  , phương trình hệ viết lại thành : Giải Đáp Toán Học Nguyễn Thế Duy – duynguyenthe1995@gmail.com  x2   x  y   y   2  2 x   x  y   y  3      3   4 x2   y  5x     Với x   y  5x ta có : 5x  y  x    5x  y   x   25x  40 xy  16 y  x  đó phương trình hai hệ phương trình tương đương với : x3  3x2    x  3x Theo bất đẳng thức AM – GM ta có : x3  3x2    x  3x  1  x 1  x   x3  x   x  x     x    3 4 Suy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y    0;      x  x2  y  y    Ví dụ Giải hệ phương trình :  2  100 x  56 xy  10 y  39 x  y  18  x, y   Lời giải Bài này có cách thức xử lý bình phương phương trình đẹp sau : x     x2  y  y    y  y   x2   x  x  y  x2   y    x  y x2   y2    x  y    xy   x  1 y      xy    x y  x  y    x y  20 xy  25  16 x  y  20 xy   16 x  y  20 xy    2  100 x  56 xy  10 y  39 x  y  18 Kết hợp phương trình hai ta hệ phương trình :   8 1 53  ;  ;  ;    12   Hệ phương trình này đã biết cách giải tổng quát và cho ta nghiệm là :  x; y    Lưu bút Hai phương pháp để giải hệ phương trình mà tác giả chia sẻ trên hi vọng giúp các bạn phần nào đó bổ sung thêm kiến thức phong phú cho cách giải các bài hệ phương trình Nó không khó đòi hỏi tư học sinh kiến thức vận dụng cá nhân Bài viết trên khó tránh sai xót mong bạn đọc bỏ quá Và đây là món quà nho nhỏ để chào mừng các bạn 97er bước vào năm học qua đó chúc các em sức khỏe để hoàn thành nhiệm vụ đề năm học Bách chiến , bách thắng Thân Ái !!! “ Học thuyền ngược nước , không tiến phải lùi “ Facebook : https://www.facebook.com/starfc.manunited Thị Trấn Cồn – Hải Hậu – Nam Định – 11/08/2014 Giải Đáp Toán Học Nguyễn Thế Duy – duynguyenthe1995@gmail.com