Toán 9 - Chuyên đề 1: Rút gọn phân thức đại số trình bày phương pháp giải các dạng bài tập trong chuyên đề và các ví dụ minh họa mẫu nhằm giúp các em học sinh nắm chắc các phương pháp giải bài tập, học tốt môn Toán 9. Đây cũng là tài liệu tham khảo hữu ích cho các giáo viên dạy Toán lớp 9.
CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Chuyên đề 1: RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I – Phương pháp giải: - Phân tích tử mẫu thành nhân tử (nếu có) để tìm nhân tử chung - Chia tử mẫu cho nhân tử chung II – Các dạng toán thường gặp: 1- Rút gọn phân thức ( x a)2 x a x 4ax ( x a x )( x a x) (a x) a (2 x a) (2 x a) a 2x a Câu1: a ) c) a 3a a a 2a a 3a a ( a 2a 1) Câu : b) a 2a a a (a 1) (a 1) a a (a 1) (a a )(a a ) (a a 1)(a a 1) (a a 1) (a a 1) y2 y 2 y y 12 y (2 y y ) ( y 2) (2 y y ) (5 y 10 y) (2 y 4) y ( y 2) ( y 2) 2 y ( y 2) y ( y 2) 2( y 2) ( y 2)(2 y 1) ( y 2)(2 y y 2) (2 y 1) (2 y 1)( y 2) y2 Với: y �-2 y �2 2- Chứng minh CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Câu2 : a) Hãy chứng minh: Giải: a 4a a a 1 a 7a 14a a a 4a a a a 14a (a a ) (4a 4) (a 8) (7 a 14 a) a (a 1) 4( a 1) (a 2)(a a 4) a(a 2) (a 4)(a 1) (a 2)(a 5a 4) ( a 4)(a 1)( a 1) (a 2)(a 4)( a 1) a 1 a2 Câu2 : b) Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x: ( x a)(1 a ) a x ( x a)(1 a ) a x Giải: ( x a )(1 a ) a x ( x a )(1 a ) a x x2 x2 a a a a x2 x x2a a a2 a2 x2 x2 x2 a a2 x a a x x2 a a2 x2 a a x (1 a a ) (1 a a ) x (1 a a ) (1 a a ) ( x 1)(1 a a ) ( x 1)(1 a a ) a a2 a a2 Vậy: Phân thức không phụ thuộc vào x 1 1 Câu2: c) Chứng minh x y z x y z ba số x, y, z có cặp số đối Giải: CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 1 1 x y z x yz yz xz xy Ta có: xyz x y z Từ ta có: ( x y z )( yz xz xy ) xyz Hay ( x y z )( yz xz xy ) xyz Từ: Biến đổi vế trái: ( x y z )( yz xz xy ) xyz xyz x z x y y z xyz xy yz xz xyz xyz ( xyz xz y z yz ) ( x y x z xy xyz ) z ( xy xz y yz ) x ( xy xz y yz ) ( xy xz y yz )( x z ) ( x y )( y z )( x z ) Vậy: ( x y )( y z )( x z ) Tích ba nhân tử chứng tỏ phải có nhân tử 0, từ suy có cặp đối 3- Tính giá trị x3 x x Câu3 : a) Tính giá trị phân thức C = với x = 2008 x3 x Giải: C = x3 x x x3 x x( x x 6) x( x 4) x x 3x ( x 2)( x 2) x( x 2) 3( x 2) ( x 2)( x 2) x3 x2 2011 Với x = 2008 C = 2010 Câu 3: b) Cho a+b+c = Tính giá trị phân thức a b3 c 3abc a 3 b 3 c 3 ab bc ac a b c 3abc Ta có: a b3 c 3a b 3ab 3a b 3ab 3abc a 3a b 3ab b3 c3 3a b 3ab 3abc (a b)3 c3 3ab(a b c ) (a b c)[(a b) (a b)c c ] 3ab(a b c ) (a b c)(a b c ab bc ca ) CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Vậy: a b3 c3 3abc (a b c)(a b c ab bc ac ) a bc a b c ab bc ac (a b c ab bc ac) Câu3: c) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn Tính: a b c x y z 0 x y z a b c x2 y z a2 b2 c2 Giải: x y z 1 a b c x y z � ( )2 a b c x y z 2 xy xz yz � 1 ab ac bc a b c x y z 2 xyz c b a � ( ) 1 abc z y x a b c x y z 2 xyz a b c ( ) 1 a b c abc x y z a b c Mà: x y z x2 y z Vậy: a b c � 4- Tổng hợp mn n (n m) Câu4 : a) Cho biểu thức A = m n 2n m a1) Rút gọn A a2) Chứng minh A dương a3) Với giá trị m A đạt giá trị lớn nhất? Giải: 2 a1) A = mn2 4 n (n4 m2) m n 2n m mn n mn m n m 2n n4 ( n 1)( m2 2) m 2 CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ a2) Ta có: m2 �0, m Nên: m2 + > 0, m > 0, m m 2 Vậy: A > 0, m Do đó: a3) Ta có: m2 �0, m Nên: m2 + �2, m 1 � , m m 2 Hay: A � , m Do đó: Vậy: A đạt giá trị lớn A = Suy ra: m2 + = hay m = 2 �x � x 3x x �: Câu4: b) Cho M = � x 1 � x 1 3x � 3x b1) Rút gọn biểu thức M b2) Tìm giá trị M với x = 2008 b3) Với giá trị x M < ? b4) Với giá trị x M nhận giá trị nguyên? Giải: b1) Điều kiện: x �0, x �-1, x � 2 �x � x 3x x : � M =� x 1 � x 1 3x �3x � ( x 2)( x 1) 2.3 x 3.3x.( x 1) � x 3x x � � x.( x 1) 3x � �2 x �x x x x x � x x x � � x.( x 1) 3x � �2 x (8 x 2)( x 1) x x x.( x 1)(2 x) 3x 2(1 x)(1 x) 3x x 2.3x.(1 x) 3x x 3x x 3x x( x 1) 3x x 1 CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ b2) Với x = 2008 M= 2008 669 b3) M < x – < tức x < Kết hợp với điều kiện Vậy: M nhận giá trị âm với x < trừ giá trị 0, -1, b4) M nhận giá trị nguyên (x-1) M3 hay x -1 = 3k Vậy: x = 3k +1 (k �Z) (k �Z) Câu5: a) Rút gọn biểu thức sau: 2 ab � � � ab �a b a a : M= � � � � 2 � a b� �a b �a b 2 Giải: ab � � � ab �a b a a : � � � 2 M= � � a b� �a b �a b �a ab ab � �ab a ab �a b2 � � � � � a b � � ab �a b a a b2 a b2 a b a a b2 Câu5: b) Chứng tỏ: a2 a � , a2 a �R Giải: Ta có: a 1 �0 � a �2a (1) Chia hai vế (1) cho 2(a2+1), ta được: a � 2 a 1 a Do đó: � a 1 a a 1 ۳ a2 a2 a � , Vậy: a2 a �R CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Câu5: c) Tính giá trị biểu thức sau: ab �x a � x 2a b Q� với x � �x b � x a 2b Giải: ab , ta có: ab ba xa a 2 ab a b xb b 2 xa ba � 1 xb a b Với x Ta lại có: ab 3b 3a 3(b a) 2a b 2 ab 3a 3b 3( a b) x a 2b a 2b 2 x 2a b 3(b a) � 1 x a 2b 3(a b ) x 2a b Vậy: Q = (-1)3-(-1) = -1+1 = Câu6: a) Rút gọn biểu thức sau: 1 A = (a b)(a c) (b c)(b a) (c a )(c b) Với a, b, c đôi khác Giải: A= 1 (a b)(a c) (b c)(b a ) (c a )(c b) 1 1 1 (a b)( c a) (b c)(a b) (c a)(b c) (b c ) ( c a ) ( a b ) (a b)(b c)(c a ) b c c a a b (a b)(b c)(c a ) (a, b, c đôi khác nhau) 0 Câu6: b) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc a, b, c CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ B= 4a 4b 4c (a b)( a c) (b c)(b a) (c a)(c b) Với a, b, c đôi khác Giải: B 4a 4b 4c (a b)( a c) (b c)(b a) (c a )(c b) � � a2 b2 c2 � (a b)( a c) (b c)(b a ) (c a)(c b) � � � � � 1 � (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) � � � � a � b c � 0 (a b)(c a) (b c)(a b) (c a)(b c) � � � � a (b c ) b (c a ) c ( a b) � � � (a b)(b c)(c a) � � � a b a c b c ab ac bc � � � (a b)(b c )(c a ) � � 2 2 2 � a c b c ab a b ac bc � � � (a b)(b c)(c a) � � � c(a b ) ab( a b) c (a b) � � � (a b)(b c)(c a) � � � (a b)[c(a b) ab c ] � � � � (a b)(b c )(c a ) � � (a b)(cb c ab ca ) � � � � (a b)(b c)(c a ) � � (a b)(b c)(c a) � � 4 (a b)(b c)(c a) � � � ( a, b, c đơi khác ) Câu6: c) Tính giá trị biểu thức sau: P x 2a x 2b 4ab với x x 2a x 2b ab Giải: CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ x 2a x 2b x 2a x 2b ( x 2a )( x 2b) ( x 2a )( x 2b) ( x 2a )( x 2b) P x 2bx 2ax 4ab x 2bx 2ax 4ab x 2(a b) x 4ab 2( x 4ab) x 2(a b) x 4ab Thay x P 4ab vào P ta có: ab �16a b � 2� 4ab � ( a b) � � 16a b 8ab 4ab ( a b) �16a b � 2� 4ab � ( a b) � � �16a b � 4ab � � ( a b) � � 2 CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 10 ... a a2 a a2 Vậy: Phân thức không phụ thuộc vào x 1 1 Câu2: c) Chứng minh x y z x y z ba số x, y, z có cặp số đối Giải: CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 1 1 x y z x yz... CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ b2) Với x = 2008 M= 2008 6 69 b3) M < x – < tức x < Kết hợp với điều kiện Vậy: M nhận giá trị âm với x < trừ giá trị 0, -1 , b4) M nhận giá trị nguyên (x-1)... a Do đó: � a 1 a a 1 ۳ a2 a2 a � , Vậy: a2 a �R CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Câu5: c) Tính giá trị biểu thức sau: ab �x a � x 2a b Q� với x � �x b � x a