TOÁN CHUYÊN ĐỀ : BIẾN ĐỔI & RÚT GỌN CĂN THỨC BẬC HAI A – LÝ THUYẾT I Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai: Đưa thừa số dấu căn: Đưa thừa số vào dấu căn: Khử mẫu biểu thức lấy căn: Trục thức mẫu: A 2B A B (B ≥ 0) A B A 2B (với A ≥ B ≥ 0) A B A 2B (với A < B ≥ 0) AB AB B B (với AB ≥ 0, B ≠ 0) M M A A (A > 0) A M Am B M AB A� B (A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B) II Rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai: Bước 1: Dùng phép biến đổi đơn giản để đưa thức bậc hai phức tạp thành thức bậc hai đơn giản Bước 2: Thực phép tính theo thứ tự biết B – BÀI TẬP DẠNG 1: Tính giá trị biểu thức Bài tập 1: Tính: a) 5 2 1 ; 52 1 5; b) 2 1 3 d) 2 3 ; c) Bài tập 2: Tính: a) A = b) B = c) C = 29 20 13 48 ; ; 48 10 2 � 2 2 � � :� � � � � Bài tập 3: Thực phép tính: B = � 1 a a �� a 1 a � : � �� � a a a a �� � Bài tập 4: Thực phép tính: A = � Bài tập 5: Tính giá trị biểu thức: M = Bài tập 6: Cho a (x 1) x2 x với x 1 1 b 2 Tính a b7 , Bài tập 7: Cho biết: x 6x 13 x 6x 10 x 6x 13 x 6x 10 Tính: Bài tập 8: Cho biểu thức x 6x 19 x 6x 10 Tính giá trị biểu thức: M = x 6x 19 x 6x 10 DẠNG 2: Rút gọn biểu thức 16 a Bài tập 9: Trục thức mẫu: a 29 12 Bài tập 10: Rút gọn biểu thức: A = Bài tập 11: Rút gọn biểu thức: a) 200 32 72 ; 20 125 45 15 c) Bài tập 12: Rút gọn biểu thức: b) 5; d) a) 20 ; b) c) 343a 63a 28a với a ≥ 0; 36b 1 54b 150b với b ≥ 175 112 63 ; 2 3 7 72 20 2 Bài tập 13: Trục thức mẫu rút gọn (nếu có thể): 14 a) ; 5 3 5 ; c) 3 b) ; d) 2 10 2 Bài tập 14: Rút gọn biểu thức: A = 2 2 2 Bài tập 15: Rút gọn biểu thức: a) 24 24 ; 1 1 1 1; c) Bài tập 16: Rút gọn biểu thức: a) A = 2 5 ; 3 1 1 b) 3 3 1 1 ; 3 3 3 3 d) 1 1 �2 3� �2 3� 2� � 3� � � � �4 � 1 1 �2 � �3 � � � � � 12 12 � � � � c) C = 3 ; b) B = Bài tập 17: Rút gọn biểu thức: 1 a) A = 3 1 3 ; � � � 1 a a 1 a � a� � � � 1 a � a � � � b) B = ; � x y � �1 � :� �x y � xy xy � x y xy � � � c) C = với x y � �1 � � � � � � y� � x y �x � � 1 x 1 x x 1 Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: P = x x y2 x x y2 2(x y) Bài tập 19: Rút gọn biểu thức: Q = với x > y > Bài tập 20: Rút gọn biểu thức: �� 1 � � a b2 : � �� � x x �� x x �với 2ab b > a > A = � x 1 Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: B = 2a x x2 x Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: M = (a 1)(b 1) (a b) c2 1 �1 a a � x � � 2� a 1 a � với < a < với a, b, c > ab + bc + ca = x x 1 x x 1 x 2x x 2x Bài tập 23: Rút gọn biểu thức: A = a a(a 1) a Bài tập 24: Rút gọn biểu thức: A = Bài tập 25: Rút gọn biểu thức: A = x x2 2x x a 1 a x 5x x x 2 Bài tập 26: Rút gọn biểu thức: B = 3x x (x 2) x Bài tập 27: Rút gọn tính giá trị biểu thức x = x2 M= x 4x Bài tập 28: Rút gọn biểu thức: x2 x 4x 2x a) A = 1 1 1 2 3 n 1 n ; b) B = 1 1 1 2 3 24 25 Bài tập 29: Trục thức mẫu biểu thức sau: a) A = a b 2c a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện c trung bình nhân hai số a b b) B = a b c d a, b, c, d số dương thỏa mãn điều kiện ab = cd a + b ≠ c + d DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình Bài tập 30: Giải phương trình: a) 2x ; c) 3x 4x 2x ; x 6x ; (7 x) x (x 5) x 2 7 x x 5 d) b) Bài tập 31: Giải phương trình: a) 4x 12 9x 27 x x ; b) 25x 75 x x 9x 18 ; c) d) 49x 98 14 x2 9x 18 49 ; x 2x x 2x x2 x Bài tập 32: Cho A = x x x � Xác định x để giá trị A số tự nhiên Bài tập 33: Tìm số tự nhiên x, y cho x > y > thỏa mãn điều kiện: x y 931 Bài tập 34: Tìm số tự nhiên n nhỏ cho n n 0,05 DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN biểu thức Bài tập 35: Tính giá trị lớn biểu thức: S = x y , biết x + y = DẠNG 5: Chứng minh biểu thức Bài tập 36: Khơng dùng máy tính bảng số, so sánh số sau: a) 3 11 7 ; b) 12 ; c) 27 26 Bài tập 37: Khơng dùng máy tính bảng số, chứng minh rằng: Bài tập 38: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: a) c(a c) c(b c) ab �0 với a > c, b > c b) Nếu b c �2 a b + c ≥ 2a Bài tập 39: Cho biểu thức: P = (x 2) 8x x x Chứng minh rằng: P = � x x � � � x x 1 1 2 2018 2019 Bài tập 40: Chứng minh rằng: Bài tập 41: Chứng minh rằng: 1 9 2 99 100 a) ; b) 1 28 225 Bài tập 42: Chứng minh A < B với: A= 1 1 1 1 2 120 121 B = 35 Bài tập 43: Chứng minh đẳng thức: a) 10 60 24 40 ; b) 24 12 Bài tập 44: Cho A = 10 24 40 60 Hãy biểu diễn A dạng tổng ba thức Bài tập 45: Chứng minh đẳng thức sau với x ≥ 2: x2 x x Bài tập 46: Chứng minh Áp dụng tính x2 2x x x x mn m n mn m n mn 10 2 5 1 n n với n �* Bài tập 47: Chứng minh (n 1) n n n Áp dụng tính tổng: S 1 1 400 399 399 400 Bài tập 48: Tính giá trị biểu thức: M 1 1 1 25 24 24 25 Bài tập 49: Cho a = a) Viết a2, a3 dạng m m m số tự nhiên b*) Chứng minh với số nguyên dương n, số an viết dạng Bài tập 50: Chứng minh với x > 0, y > x ≠ y, giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x, y x4 2y y x y x x x8 A= Bài tập 51: Cho x, y, z > khác đôi Chứng minh giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị biến P= x x y x z y y z y x z z x z y Bài tập 52: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến: � x 1 x 1 x 1 x 1 � � � x � x 1 x 1 x 1 x 1 � a) Q = với x > 2x x 1 x 10 b) R = x x x x x x với x ≥ DẠNG 6: Các toán tổng hợp Bài tập 53: Cho: M = a 6 a 1 a) Tìm số nguyên a để m số nguyên; b) Chứng minh với a = M số nguyên; c) Tìm số hữu tỉ a để M số nguyên Bài tập 54: Cho biểu thức: M = a 2 a 2 a) Tìm số nguyên a để m số nguyên b) Tìm số hữu tỉ a để M số nguyên 3x 9x x 1 x 2 x 1 x Bài tập 55: Cho biểu thức: C = x x d) Tìm điều kiện x để C có nghĩa; e) Rút gọn biểu thức C; f) Tìm giá trị nguyên x để giá trị C số nguyên Bài tập 56: Cho biểu thức: A = x 3x y 2y a) Phân tích A thành nhân tử; b) Tính giá trị A Bài tập 57: Cho biểu thức: x 1 y 52, 94 �2 x x 3x ��2 x � : 1� � �� x x x x �� �với x ≥ x ≠ P= � a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị x để P < c) Tìm giá trị x để P có giá trị nhỏ x 9 x x 1 x 2 3 x Bài tập 58: Cho biểu thức: Q = x x a) Tìm giá trị x để Q có nghĩa; b) Rút gọn Q; c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị Q số nguyên Bài tập 59: Cho biểu thức P = x 2 x x x 6 3 x a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị lớn P �x y x y �� x y 2xy � :� 1 � � �1 xy � xy � xy � � � Bài tập 60: Cho biểu thức P = � a) Rút gọn P; b) Tính giá trị P với x = ; c) Tìm giá trị lớn P x Bài tập 61: Cho P = Biết xyz = 4, tính P xy x y yz y z zx z ... trị biểu thức: M = x 6x 19 x 6x 10 DẠNG 2: Rút gọn biểu thức 16 a Bài tập 9: Trục thức mẫu: a 29 12 Bài tập 10: Rút gọn biểu thức: A = Bài tập 11: Rút gọn biểu thức: a)... 23: Rút gọn biểu thức: A = a a(a 1) a Bài tập 24: Rút gọn biểu thức: A = Bài tập 25: Rút gọn biểu thức: A = x x2 2x x a 1 a x 5x x x 2 Bài tập 26: Rút gọn biểu thức: ... 1 x 1 x x 1 Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: P = x x y2 x x y2 2(x y) Bài tập 19: Rút gọn biểu thức: Q = với x > y > Bài tập 20: Rút gọn biểu thức: �� 1 � � a b2 : � ��