Toán 8 Chuyên đề 1: Nhân đa thức20653

Χηυψν đề : ΝΗℜΝ ĐA THỨC ∗ KIẾN THỨC CƠ BẢN − Muốn νην đơn thức với đa thức, τα νην đơn thức với hạng tử đa thức cộng χ〈χ τχη lại với νηαυ Α Β  Χ  D   ΑΒ  ΑΧ  ΑD − Muốn νην đa thức với đa thức, τα νην hạng tử đa thức ν◊ψ với hạng tử đa thức κια cộng χ〈χ τχη τm với νηαυ Α  Β Χ  D  Ε   ΑΧ  ΑD  ΑΕ  ΒΧ  ΒD  ΒΕ ΧℑΧ DẠNG ΤΟℑΝ ςℵ PHƯƠNG ΠΗℑΠ GIẢI Dạng 1) Τνη γι〈 trị biểu thức Α(ξ, ψ) ξ = ?, ψ = ? Phương πη〈π : − Τηαψ trực tiếp − Ρτ gọn τηαψ γι〈 trị ς dụ : Χηο biểu thức Ε  ξ  6ξ  6ξ  6ξ  6ξ  6ξ  Ηψ τνη γι〈 trị biểu thức với ξ = Giải Χ〈χη : Τηαψ ξ = ϖ◊ο Ε τα : Ε  56  6.55  6.54  6.53  6.52  6.5   56  (5  1).55  (5  1).54  (5  1).53  (5  1).52  (5  1).5   56  56  55  55  54  54  53  53  52  52   1 Χ〈χη : Dο ξ = νν = ξ + Ε  ξ  (ξ  1)ξ  (ξ  1)ξ  (ξ  1)ξ  (ξ  1)ξ  (ξ  1)ξ  ξ   ξ6  ξ6  ξ5  ξ5  ξ  ξ  ξ3  ξ3  ξ  ξ  ξ  ξ  1 Dạng 2) Τνη γι〈 trị biểu thức biết điều kiện χηο Phương πη〈π : − Biến đổi biểu thức để sử dụng điều kiện xuất điều kiện − Biến đổi biểu thức ϖ◊ điều kiện ς dụ : Χηο biểu thức D  Đặt α   2011  6033  3  2015  2013  2015 2013 2013.2015 2011 ϖ◊ β  2015 2013 α) Ρτ gọn D τηεο α ϖ◊ β Giải : Nhận ξτ β) Τνη γι〈 trị D 2011 6033 2011 ;  1  2013 2013 2013.2015 2015 2013 Dο : D  4α 3  β   α 1  β   3αβ  12α  4αβ  α  αβ  3αβ  13α β) 2015   155 D 13 Dạng 3) Chứng mινη γι〈 trị biểu thức κηνγ phụ thuộc ϖ◊ο γι〈 trị biến Phương πη〈π : ℑπ dụng χ〈χ θυψ tắc νην, χηια, cộng, trừ đa thức để biến đổi, kết biểu thức λ◊ số ∗ ΒℵΙ TẬP TỰ LUYỆN Β◊ι tập : Χηο Α  ξ  ξ  ; Β  2ξ  3ξ  ; Χ  4ξ  4ξ  15 α) Τνη D = ΑΒ – Χ β) Τνη γι〈 trị D biết ξ   1 ThuVienDeThi.com Β◊ι tập Χηο α + β + χ = − ; αβ + βχ + χα = 11 ϖ◊ αβχ = − Ηψ τνη γι〈 trị biểu thức Ε  (ξ  α)(ξ  β)(ξ  χ) với ξ  Β◊ι tập Τνη γι〈 trị χ〈χ đa thức : α) φ (ξ)  ξ  50ξ  50ξ  50ξ  50ξ  50ξ  50 ξ = 49 β) γ(ξ)  1969  80ξ  80ξ  80ξ  80ξ   80ξ1968  ξ1969 ξ = 79 Β◊ι tập Chứng mινη γι〈 trị χ〈χ đa thức σαυ κηνγ phụ thuộc ϖ◊ο ξ : α) η(ξ)  (ξ  1)(ξ  ξ  1)  (ξ  1)(ξ  ξ  1) β) κ(ξ)  2ξ(4ξ  1)  8ξ (ξ  1)  (2ξ)3  2ξ  Β◊ι tập Τνη Μ     1974 1946   1    1   1975  1945  1945  1975  1975 1945 1975.1945 Χηυψν đề : PHƯƠNG ΠΗℑΠ GIẢI ΧℑΧ DẠNG ΤΟℑΝ ĐA THỨC Ι Kiến thức Πηπ χηια đa thức: −Χηο ηαι đa thức φ (ξ ), γ (ξ ) ∈ ϒ ξ , γ (ξ ) ≠ Κηι đó, tồn δυψ cặp đa thức θ (ξ ), ρ (ξ ) σαο χηο φ (ξ ) = γ (ξ ).θ (ξ ) + ρ (ξ ), τρονγ đó: ≤ bậc r (x ) < bậc g (x ) Nếu ρ (ξ ) = , τα φ (ξ ) = γ (ξ ).θ (ξ ) τη τα ν⌠ι φ (ξ ) χηια hết χηο γ (ξ ), tức λ◊: φ (ξ )Μγ (ξ ) ⇔ ∃θ (ξ ) σαο χηο φ (ξ ) = γ (ξ ).θ (ξ ) − Định λ Βεζουτ (Bơdu): Dư πηπ χηια đa thức φ (ξ ) χηο ξ − α λ◊ γι〈 trị φ (α ) -Sơ đồ Ηορνερ (Ηοοχνε): Χηο đa thức φ (ξ ) = αν ξ ν + αν − 1ξ ν − + + α1ξ + α0 (αν ≠ 0) χηια χηο ξ − α dư λ◊ φ (α ), thương θ (ξ ) χ⌠ bậc ν−1 với θ (ξ ) = βν − 1ξ ν − + βν − 2ξ ν − + + β1ξ + β0 Τρονγ βι , ι = 0, ν − τνη sơ đồ Ηοοχνε: α αν αν=βν−1 αν−1 αβν−1+αν−1=βν−2 … … α1 αβ1+α1=β0 α0 αβ0+α0=φ(α) ΙΙ Χ〈χ dạng β◊ι tập ϖ◊ phương πη〈π giải: Ξ〈χ định đa thức: 1.1 Phương πη〈π: −Dνγ định λ Βεζουτ −Dνγ phương πη〈π hệ số bất định: τα ξ〈χ định biểu diễn ηαι đa thức νηαυ χ〈χη giải hệ phương τρνη sơ cấp 1.2 ς dụ: ς dụ 1: Τm đa thức φ (ξ ), biết φ (ξ ) χηια χηο ξ − ϖ◊ ξ − χ⌠ dư λ◊ ϖ◊ φ (ξ ) χηια χηο ξ − 4ξ + thương λ◊ ξ + ϖ◊ χ∫ν dư Giải: Τα χ⌠: φ (ξ ) χηια ξ − dư λ◊ νν φ (ξ ) = (ξ − 1)γ (ξ ) + Συψ ρα: φ (1) = (1) φ (ξ ) χηια ξ − dư λ◊ νν φ (ξ ) = (ξ − 3)γ (ξ ) + Συψ ρα: φ (3) = (3) ThuVienDeThi.com Mặt κη〈χ: φ (ξ ) χηια χηο ξ − 4ξ + ξ + ϖ◊ χ∫ν dư νν: φ (ξ ) = (ξ − 4ξ + 3)(ξ + 1) + αξ + β Dο đó: φ (1) = α + β ϖ◊ φ (3) = 3α + β (3) Kết hợp (1), (2) ϖ◊ (3) τα hệ phương τρνη:  α + β =  α =  ⇔    3α + β =  β =   Vậy φ (ξ ) = ξ − 4ξ + (ξ + 1) + ( ) ς dụ 2: Chứng mινη đa thức φ (ξ ) = (ξ + 1)(ξ + 2)(ξ + 3)(ξ + 4) + χ⌠ thể biểu diễn dạng βνη phương ταm thức bậc ηαι Giải: Χ〈χη 1: (Dνγ phương πη〈π hệ số bất định) Ξτ φ (ξ ) = (ξ + 1)(ξ + 2)(ξ + 3)(ξ + 4) + = (ξ + αξ + β) ( )( ) ( ) ⇔ ξ + 3ξ + ξ + 7ξ + 12 + = ξ + αξ + β ⇔ ξ + 7ξ + 12ξ + 3ξ + 21ξ + 36ξ + 2ξ + 14ξ + 24 + = ξ + αξ + β2 + 2αξ + 2βξ + 2αβξ ⇔ ξ + 10ξ + 35ξ + 50ξ + 24 = ξ + α 2ξ + β2 + 2αξ + 2βξ + 2αβξ ⇔ 10ξ + 35ξ + 50ξ + 24 + = 2αξ + α + 2β ξ + 2αβξ + β2 ( ) Đồng χ〈χ hệ số, τα được:  2α = 10   α + 2β = 35  α =  ⇔   2αβ = 50  β =    β = 25 Vậy φ (ξ ) = (ξ + 5ξ + 5) (χ⌠ dạng βνη phương ταm thức) Χ〈χη 2: (biến đổi biểu thức) Τα χ⌠: φ (ξ ) = (ξ + 1)(ξ + 2)(ξ + 3)(ξ + 4) + (ξ + 2)(ξ + 3)+ =  (ξ + 1)(ξ + 4)     2 = ξ + 5ξ + ξ + 5ξ + + ( = (ξ = (ξ )( ) )( ) 2 + 5ξ + − ξ + 5ξ + + + + 5ξ + − + = ξ + 5ξ + ) ( ) Vậy φ (ξ ) = (ξ + 5ξ + 5) (χ⌠ dạng βνη phương ταm thức) ς dụ 3: α) Τm điều kiện để đa thức φ (ξ ) = αξ + βξ + χξ + δ λ◊ lập phương nhị thức bậc β) Τm đa thức bậc bốn φ (ξ ) σαο χηο φ (ξ )− φ (ξ − 1) = ξ Giải: χ) Từ συψ ρα χνγ thức lập phương ν số νγυψν tố đầu τιν α) Giả sử: φ (ξ ) = (Αξ + Β ) ⇔ αξ + βξ + χξ + δ = Α 3ξ + 3Α 2Βξ + 3ΑΒ 2ξ + Β 3 ThuVienDeThi.com Συψ ρα: α = Α 3; β = 3Α 2Β ; χ = 3ΑΒ 2; δ = Β Dο đó: Α = α ; Β = δ Τηαψ ϖ◊ο đẳng thức χ∫ν lại τα được: β = 33 α2 δ ; χ = 33 α δ β3 = 27α 2δ; χ = 27αδ Ηαψ Vậy điều kiện để đa thức φ (ξ ) λ◊ lập phương nhị thức bậc λ◊ β3 = 27α 2δ; χ3 = 27αδ β) Giả sử đa thức bậc bốn χ⌠ dạng: φ (ξ ) = αξ + βξ + χξ + δξ + ε Συψ ρα: φ (ξ − 1) = α (ξ − 1) + β (ξ − 1) + χ (ξ − 1) + δ (ξ − 1) + ε = αξ + (− 4α + β)ξ + (6α − 3β + χ)ξ + (− 4α + 3β − 2χ + δ )ξ + α − β + χ − δ + ε Dο đó: φ (ξ )− φ (ξ − 1) = 4αξ − (6α − 3β)ξ − (− 4α + 3β − 2χ)ξ − (α − β + χ − δ ) Ξτ: φ (ξ )− φ (ξ − 1) = ξ ⇔ 4αξ − (6α − 3β)ξ + (4α − 3β + 2χ)ξ − (α − β + χ − δ ) = ξ   α =  4α =     − (6α − 3β) =  β= ⇔  Συψ ρα:   4α − 3β + 2χ =   χ =  − (α − β + χ − δ ) =   δ =  1 Vậy đa thức cần τm φ (ξ ) = ξ + ξ + ξ + ε; ε ∈ ϒ 4 χ) Τα χ⌠: φ (1)− φ (0) = φ (2)− φ (1) = 23 φ (ν )− φ (ν − 1) = ν Cộng vế τηεο vế χ〈χ đẳng thức τρν τα được: φ (ν )− φ (0) = 13 + 23 + + ν ν + ν + ν + ε; φ (0) = ε 4 1 Συψ ρα: 13 + 23 + + ν = ν + ν + ν 4 ς dụ 4: α) Τm đa thức φ (ξ ) = ξ + πξ + θ σαο χηο κηι χηια χηο (ξ − 1) ϖ◊ (ξ + 1) τη ς φ (ν ) = χ⌠ dư λ◊ ϖ◊ β) Τm đa thức bậc βα σαο χηο κηι χηια χηο (ξ − 1), (ξ + 1) ϖ◊ ξ − , τα dư λ◊ 7, biết φ (ξ ) χηια hết χηο 2ξ − Giải: α) ς φ (ξ ) = ξ + πξ + θ χηια χηο ξ − dư νν τα χ⌠: φ (1) = + π + θ = (1) ThuVienDeThi.com Tương tự: φ (ξ ) = ξ + πξ + θ χηια χηο ξ − dư νν τα χ⌠: φ (− 1) = − − π + θ = (2)   π = −  π + θ = Từ (1) ϖ◊ (2) συψ ρα:  ⇔   − π + θ =    θ =  Vậy φ (ξ ) = ξ − ξ + 2 β) Χ〈χη 1: Giả sử đa thức bậc βα χ⌠ dạng φ (ξ ) = αξ + βξ + χξ + δ Τα χ⌠: φ (1) = ⇒ α + β + χ + δ = φ (− 1) = ⇒ − α + β − χ + δ = φ (2) = ⇒ 8α + 4β + 2χ + δ = 1 1  φ   = ⇒ α + β + χ + δ = ⇔ α + 2β + 4χ + 8δ =  2 Κηι τα χ⌠ hệ phương τρνη:   α = − 56   α + β + χ + δ =  112   β =  − α + β − χ + δ = ⇔    8α + 4β + 2χ + δ =  56   χ =  α + 2β + 4χ + 8δ =  49  δ = −  56 112 56 49 Vậy φ (ξ ) = − ξ + ξ + ξ− 9 9 Χ〈χη 2: ς đa thức bậc βα κηι χηια χηο (ξ − 1), (ξ + 1) ϖ◊ ξ − , τα dư λ◊ νν τα χ⌠: φ (ξ ) = α (ξ − 1)(ξ + 1)(ξ − 2) + 1  Mặt κη〈χ: φ   = Συψ ρα: 1 1  −  φ   = α  2  2  1  +  1  2  1   − 2   + 7= 1   2     2 − 3 56  α+ 7= ⇔ α= − ⇔ α= − ⇔ −     2   Dο đó: φ (ξ ) = − 56 56 112 56 49 ξ − 1)(ξ + 1)(ξ − 2) + = − ξ + ξ + ξ− ( 9 9 2) Τm dư τρονγ πηπ χηια: 3.1.Phương πη〈π: − Dνγ định λ πηπ χηια χ⌠ dư − Dνγ định λ Bơdu − Πην τχη đa thức 3.2.ς dụ: ς dụ Ξ〈χ định đa thức dư πηπ χηια đa thức: Π (ξ )  ξ  ξ  ξ  ξ 27  ξ 81 Χηο đa thức Θ(ξ )  ξ  (23 χηυψν đề giải 1001 β◊ι το〈ν sơ cấp) ThuVienDeThi.com Giải: Τα χ⌠ Π (ξ )  ξ  ξ  ξ  ξ 27  ξ 81  (ξ  ξ )  (ξ  ξ )  (ξ 27  ξ )  (ξ 81  ξ )  5ξ  ξ(ξ  1)  ξ(ξ  1)  ξ(ξ 26  1)  ξ(ξ 80  1)  5ξ Vậy đa thức dư λ◊ Ρ(ξ )  5ξ ς dụ Χηο φ(ξ) λ◊ đa thức bậc 3; γ(ξ) χ⌠ dạng ξ  αξ  β φ(ξ) ϖ◊ γ(ξ) χηια χηο ξ  dư 1, χηια χηο ξ  dư φ(ξ) χηια χηο (ξ  1)(ξ  2) thương λ◊ ξ  ϖ◊ χ∫ν dư α) Τm dư τρονγ πηπ χηια φ(ξ) χηο γ(ξ) β) Τm φ(ξ) Giải: α) Τα χ⌠ φ (ξ )  γ(ξ )(ξ  1)  χξ  δ (1) Τηεο định λ Bơ δυ τα χ⌠:  φ (1)  γ(1)    φ (2)  γ(2)  (2) Từ (1) ϖ◊ (2) συψ ρα 1   χ  δ  2   2χ  δ χ  3  δ  Vậy dư πηπ χηια φ(ξ) χηο γ(ξ) λ◊ Ρ(ξ )  3ξ  β)Τα χ⌠ γ(1)   γ(2)  1  α  β   4  2α  β  α  β   2α  β  2 α  2  β   γ(ξ )  ξ  2ξ  Συψ ρα φ (ξ )  γ(ξ )(ξ  1)  Ρ(ξ )  (ξ  2ξ  2)(ξ  1)  3ξ   ξ  ξ  3ξ  3) Τm điều kiện để φ(ξ) χηια hết χηο γ(ξ) 4.1.Phương πη〈π: − Χηια trực tiếp φ(ξ) χηο γ(ξ) χηο đa thức dư ρ(ξ) = − Dνγ phương πη〈π hệ số bất định 4.2.ς dụ: ThuVienDeThi.com ... Τνη γι〈 trị χ〈χ đa thức : α) φ (ξ)  ξ  50ξ  50ξ  50ξ  50ξ  50ξ  50 ξ = 49 β) γ(ξ)  1969  80 ξ  80 ξ  80 ξ  80 ξ   80 ξ19 68  ξ1969 ξ = 79 Β◊ι tập Chứng mινη γι〈 trị χ〈χ đa thức σαυ κηνγ... Dνγ định λ Bơdu − Πην τχη đa thức 3.2.ς dụ: ς dụ Ξ〈χ định đa thức dư πηπ χηια đa thức: Π (ξ )  ξ  ξ  ξ  ξ 27  ξ 81 Χηο đa thức Θ(ξ )  ξ  (23 χηυψν đề giải 1001 β◊ι το〈ν sơ cấp)...  ξ  ξ 27  ξ 81  (ξ  ξ )  (ξ  ξ )  (ξ 27  ξ )  (ξ 81  ξ )  5ξ  ξ(ξ  1)  ξ(ξ  1)  ξ(ξ 26  1)  ξ(ξ 80  1)  5ξ Vậy đa thức dư λ◊ Ρ(ξ )  5ξ ς dụ Χηο φ(ξ) λ◊ đa thức bậc 3; γ(ξ)