Toán 8 Chuyên đề 6: Tìm só dư khi chia A cho B42114

CHUN ĐỀ TÌM SĨ DƯ KHI CHIA A CHO B CÁC DẠNG CƠ BẢN Số bé 10 chữ số Số lớn 10 chữ số Tìm số dư chia lũy thừa cho số tự nhiên PHƯƠNG PHÁP VÀ KIẾN THỨC LIÊN QUAN Dùng quan hệ chia hết , chia có dư Kiến thức lũy thừa Kiến thức đồng dư Kiến thức phần nguyên ThuVienDeThi.com I TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN a) Khi đề cho số bé 10 chữ số: Số bị chia = số chia thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b) Suy r = a – b q Ví dụ : Tìm số dư phép chia sau: 1) 9124565217 cho 123456 2) 987896854 cho 698521 b) Khi đề cho số lớn 10 chữ số: Phương pháp: Tìm số dư A chia cho B ( A số có nhiều 10 chữ số) - Cắt thành nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái) Tìm số dư phần đầu chia cho B - Viết liên tiếp sau số dư phần lại (tối đa đủ chữ số) tìm số dư lần hai Nếu cịn tính liên tiếp Ví dụ: Tìm số dư phép chia 2345678901234 cho 4567 Ta tìm số dư phép chia 234567890 cho 4567: Được kết số dư : 2203 Tìm tiếp số dư phép chia 22031234 cho 4567 Kết số dư cuối 26 Bài tập: Tìm số dư phép chia: a) 983637955 cho 9604325 b) 903566896235 cho 37869 c) 1234567890987654321 : 123456 c) Dùng kiến thức đồng dư để tìm số dư * Phép đồng dư: + Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a b chia cho c (c khác 0) có số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu a  b(mod c) + Một số tính chất: Với a, b, c thuộc Z+ a  a (mod m) a  b(mod m)  b  a (mod m) a  b(mod m); b  c(mod m)  a  c(mod m) a  b(mod m); c  d (mod m)  a  c  b  d (mod m) a  b(mod m); c  d (mod m)  ac  bd (mod m) a  b(mod m)  a n  b n (mod m) Ví dụ 1: Tìm số dư phép chia 126 cho 19 Giải: 122  144  11(mod19)    11 126  122 3  1(mod19) Vậy số dư phép chia 126 cho 19 Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia 2004376 cho 1975 Giải: Biết 376 = 62 + Ta có: ThuVienDeThi.com 20042  841(mod1975) 20044  8412  231(mod1975) 200412  2313  416(mod1975) 200448  4164  536(mod1975) Vậy 200460  416.536  1776(mod1975) 200462  1776.841  516(mod1975) 200462.3  5133  1171(mod1975) 200462.6  11712  591(mod1975) 200462.6  591.231  246(mod1975) Kết quả: Số dư phép chia 2004376 cho 1975 246 Bài tập thực hành: Tìm số dư phép chia : a) 138 cho 27 b) 2514 cho 65 c) 197838 cho 3878 d) 20059 cho 2007 e) 715 cho 2001  A A  B   B II Số d phép chia A cho B là: :  A   (trong đó:  B  phần nguyên thương A cho B) Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm số d phép chia 22031234 : 4567  A A 22031234   4824, 005693    4824  B 4567 Ta có: B  A A  B    22031234  4567.4824  26 B  Đáp số : 26 Ví dụ 2: Tìm số d phép chia 22031234 cho 4567  A A 22031234   4824, 005693    4824  B 4567 Ta có: B  A A  B    22031234  4567.4824  26 B  Đáp số : 26 VD3 : a) Tìm số dư r chia 39267735657 cho 4321 b) dư r1 chia 186054 cho 7362 x  7 c) Tìm số dư r2 chia x  11x  17 x  28 cho  d) Chia 19082007 cho 2707 có số dư r1 , chia r1 cho 209 có số dư r2 Tìm r1 r2 ? Giải: ThuVienDeThi.com  A A 39267735657   9087650, 002    9087650  B 4321 a) Ta có: B  A A  B    39267735657  4321.9087650  B  Đáp số : r =7 VD4: a) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư chia 20052006 cho 2005105 Tìm số dư chia 20052006 cho 2005105 b) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư chia 3523127 cho 2047 Tìm số dư chia 3523127 cho 2047 c) Tìm số dư r phép chia 2345678901234 cho 4567 Giải: a) Qui trình tính số d chia 20052006 cho 2005105 A 20052006   10, 00047678  B 2005105  A  B   10  A A  B    20052006 - 2005105 10 = 956 B  Số d phép chia A cho B là: Ta làm nh sau: ấn 20052006  2005105 = Ta có kết 10, 00047678 Lấy 20052006 - 2005105  10 = Ta đợc kết quả: 956 Vậy số d phép chia là: 956 Tìm số dư phép chia số a cho số b: 21.Định lí: Với hai số nguyên a b, b  0, tồn cặp số nguyên q r cho: a = bq + r  r < |b| * Từ định lí cho ta thuật tốn lập quy trình ấn phím tìm dư phép chia a cho b: + Bước 1: Đưa số a vào ô nhớ A , số b vào ô nhớ B + Bước 2: Thực phép chia A cho B {ghi nhớ phần nguyên q} + Bước 3: Thực A - q  B = r ThuVienDeThi.com Bài 1: a) Viết quy trình ấn phím tìm số dư chia 18901969 cho 3041975 b) Tính số dư c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư chia 3523127 cho 2047 Tìm số dư Giải: a) Quy trình ấn phím: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B ANPHA A  ANPHA B = (6,213716089) SHIFT A -  B = (650119) b) Số dư là: r = 650119 c) Tương tự quy trình câu a), ta kết là: r = 240 Bài 2: (Thi giải Toán MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2002-2003) Tìm thương số dư phép chia: 123456789 cho 23456 Đáp số: q = 5263; r = 7861 Bài 3: (Thi giải Toán MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 20032004) Tìm số dư phép chia: a) 987654321 cho 123456789 b) 815 cho 2004 H.Dẫn: a) Số dư là: r = b) Ta phân tích: 815 = 88.87 - Thực phép chia 88 cho 2004 số dư r1 = 1732 - Thực phép chia 87 cho 2004 số dư r2 = 968  Số dư phép chia 815 cho 2004 số dư phép chia 1732 x 968 cho 2004  Số dư là: r = 1232 2.2 Một số tốn sử dụng tính tuần hoàn số dư nâng lên luỹ thừa: Định lí: Đối với số tự nhiên a m tuỳ ý, số dư phép chia a, a2, a3, a4 cho m lặp lại cách tuần hồn (có thể khơng đầu) Chứng minh Ta lấy m + luỹ thừa đầu tiên: a, a2, a3, a4 , am, am+1 xét số dư chúng chia cho m Vì chia cho m có số dư {0, 1, 2, , m - 2, m - 1}, mà lại có m + số, nên số phải có hai số có số dư chia cho m Chẳng hạn hai số ak ak + l, l > Khi đó: ak  ak + l (mod m) (1) Với n  k nhân hai vế phép đồng dư (1) với an - k được: an  an + l (mod m) Điều chứng tỏ vị trí tương ứng với ak số dư lặp lại tuần hoàn ThuVienDeThi.com Số l gọi chu kỳ tuần hoàn số dư chia luỹ thừa a cho m Sau ta xét số dạng tập sử dụng định lí trên: Bài tốn: Xét luỹ thừa liên tiếp số 2: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, Tìm xem chia luỹ thừa cho nhận loại số dư ? Giải: Ta có: 21 = 2, 22 = 4, 23 =  (mod 5), 24 = 16  (mod 5) (1) Để tìm số dư chia cho ta nhân hai vế phép đồng dư (1) với được: 25 = 24.2  1x2  (mod 5) 26 = 25.2  2x2  (mod 5) 27 = 26.2  4x2  (mod 5) Ta viết kết vào hai hàng: hàng ghi luỹ thừa, hàng ghi số dư tương ứng chia luỹ thừa cho 5: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 (2 (2 1) 1) (2  hàng thứ hai cho ta thấy số dư lập lại cách tuần hoàn: sau số dư (2, 4, 3, 1) lại lặp lại theo thứ tự Bài 4: Tìm số dư chia 22005 cho Giải: * Áp dụng kết trên: ta có 2005  (mod 4)  số dư chia 22005 cho Bài 5: Tìm chữ số cuối số: 23 Giải: - Xét luỹ thừa chia cho 10 (sử dụng MTBT để tính luỹ thừa 2, ta thực theo quy trình sau: SHIFT STO A  ANPHA A ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA ta kết sau: ThuVienDeThi.com A + = = ) 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 (2 6) (2 6) (2  hàng thứ hai cho ta thấy số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ số (2, 4, 8, 6) ta có 34 = 81  (mod 4)  số dư chia 23 cho 10 Vậy chữ số cuối số 23 4 Bài 12: Tìm hai chữ số cuối số: A = 21999 + 22000 + 22001 Giải: Xét luỹ thừa chia cho 100 (sử dụng MTBT để tính luỹ thừa 2, thực theo quy trình 11), ta kết sau: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 (4 16 32 64 28 56 12 24 48 96 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 92 84 68 36 72 44 88 76 52) (4 16  số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số đến số 52) Ta có: 1999  19 (mod 20)  số dư chia 21999 cho 100 88 2000  (mod 20)  số dư chia 22000 cho 100 76 2001  (mod 20)  số dư chia 22001 cho 100 52 88 + 76 + 52 = 216  16 (mod 100)  số dư A = 21999 + 22000 + 22001 chia cho 100 16 hay hai chữ số cuối số A 16 II CÁC BÀI TỐN Bài 1: Tìm số dư phép chia sau điền kết vào ô trống: a) 19001989 : 2008 b) 234123 : 456 BÀI 2: VIẾT MỘT QUI TRÌNH BẤM PHÍM ĐỂ TÌM SỐ DƯ KHI CHIA 63819690 CHO 9122006 ThuVienDeThi.com Bài 3: Tìm số dư phép chia sau: 15 a) 1234567890987654321 chia cho 207207 b) chia cho 2007 Bài 4.Chia 143946 cho 23147 a) Viết quy trình bấm phím để tìm số d phép chia b) Tìm số dư r phép chia c) Tìm số dư r phép chia 2007157 cho 1999 Bài 5: Tìm số dư a = 3356 cho 737 ThuVienDeThi.com Bài : Tìm dư phép chia 200720082009 chia cho 20082009 Bài 7:Lập quy trình bấm phím tìm số dư phép chia a=1357911131517cho b= 2468 Bài Tìm số dư chia 122007 cho 2008 Bài 9: Tìm số dư phép chia cho ThuVienDeThi.com Bài 10: Tìm số dư : a) 333 cho b) 17762003 cho 4000 32 Bài 11: Chia 6032002 cho 1905 dư r1, chia r1 cho 209 dư r2.Tìm r2? Bài 12:Tìm số dư phép chia : a) 1234567890987654321:123456 b) 715 :2001 c) Tìm số dư phép chia 520 cho 19 ThuVienDeThi.com Bài 13 Tìm số dư 717 chia cho 2005 Bài 14a)Viết quy trình bấm phím để tìm số dư chia 18901969 cho 2382001.Tìm số dư b) Viết quy trình bấm phím tìm số dư chia 3523127 cho 2047.Tìm số dư Bài 15: Chia 143946 cho 23147 Viết quy trình bấm phím để tìm số dư phép chia Tìm số dư phép chia ThuVienDeThi.com Bài 16: Tìm số dư phép chia : 1234567890987654321:123456 715: 2001 Bài17: Tìm số dư chia 39267735657 cho 4321 Bài 18: Chia 19082002 cho 2707 có số dư r1 Chia r1 cho 209 có số dư r2 Tìm r2 ThuVienDeThi.com Bài 19: Viết quy trình bấm phím tìm số dư phép chia sau 26031931 cho 280202 Bài 20: Viết quy trình tìm phần dư phép chia 21021961 cho 1781989 Bài 21: Viết quy trình tìm phần dư phép chia 19052002:20969 ThuVienDeThi.com Bài 22: Tìm số dư chia 39267735657 cho 4321 Bài 23: Tính phần dư số 70; 71; 72; 73; 74; 75; 76; 77; 78; 79; 710; 711khi chia cho 13 điền vào bảng sau 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 710 711 Số dư Bài 24:1 Viết quy trình tìm số dư chia 2002200220 cho 2001 2.Tìm số dư chia 2002200220 cho 2001 Nêu phương pháp tìm số dư chia 200220022002 cho 2001 Tìm số dư chia 200220022002 cho 2001 ThuVienDeThi.com Bài 25 : Tìm số dư phép chia sau: 1)9124565217 cho 123456 2)987896854 cho 698521 Bài 26: Viết quy trình tìm số dư tìm số dư phép chia a, 3523127 chia 2047 ĐS : 240 b, Tìm số tự nhiên k nhỏ cho (3456789 + k) chia hết cho 1234 ĐS : Số dư : 355 số k : 1234 - 355 = 879 c, 103200610320061032006 chia 2010 (tách số ) ĐS : 396 d, 124567890987654321 chia 123456 (tách số ) ĐS : 8817 Bài 27: Tìm số dư phép chia a, 715 chia 2001 ĐS : 1486 2007 b, chia 33 ThuVienDeThi.com Bài 28: a) Viết quy trình ấn phím tìm số dư chia 18901969 cho 3041975 b) Tính số dư c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư chia 3523127 cho 2047 Tìm số dư Giải: a) Quy trình ấn phím: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B (6,213716089) ANPHA A  ANPHA B = SHIFT b) Số dư là: r = 650119 r = 240 A -  B = (650119) c) Tương tự quy trình câu a), ta kết là: Bài 29: (Thi giải Toán MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2002-2003) Tìm thương số dư phép chia: 123456789 cho 23456 Đáp số: q = 5263; r = 7861 Bài 30: (Thi giải Toán MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 20032004) Tìm số dư phép chia: a) 987654321 cho 123456789 b) 815 cho 2004 H.DẪN: a) Số dư là: r = ThuVienDeThi.com b) Ta phân tích: 815 = 88.87 - Thực phép chia 88 cho 2004 số dư r1 = 1732 - Thực phép chia 87 cho 2004 số dư r2 = 968 ị Số dư phép chia 815 cho 2004 số dư phép chia 1732 x 968 cho 2004 ị Số d là: r = 1232 Bài 31: Tìm số dư 1112 cho 2001 Bài 32:Tìm số dư phép chia a cho b: 1/ a=736; b=2003 2/ a=7218 ; b=2009 3/ a= 1318+1320; b=6954 4/ a=1358+2475 ; b= 3311 ThuVienDeThi.com Bài 33: Chứng minh 1318-1 chia hết cho 6954 Bài 34:Tìm số dư phép chia 56758966395349 cho 5675 Bài 35: Tìm số dư phép chia sau: 1) 506507508 : 2006 2)506507508506507508 : 2006 ThuVienDeThi.com Bài 36:A = 20052006 chia cho dư Bài 37 : a) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư chia 20052006 cho 2005105 b) Tìm số dư chia 20052006 cho 2005105 c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư chia 3523127 cho 2047 d) Tìm số dư chia 3523127 cho 2047 Bài 38: a.Trình bày cách tìm tìm số dư chia 21000 cho 25 b Tìm số dư r chia 17762003 cho 4000 ThuVienDeThi.com Bài 39: a)Tìm số dư phép chia sau: 1)1357902468987654321 : 20072008 2) 200708 : 111007 102007 b)Chứng minh rằng: 2004 2006 2) (7   73   2008) 400 (2001  2003 )10 Bài 40: Chia 19082007 cho 2707 có số dư r1 , chia r1 cho 209 có số dư r2 Tìm r1 r2 ? Bài 41 : a)Tìm số dư r1 chia 1234567890987654321 cho 60027002 b)Tìm số dư r2 chia 1313 cho 2007 ThuVienDeThi.com ... 20032004) Tìm số dư phép chia: a) 987 654321 cho 123456 789 b) 81 5 cho 2004 H.Dẫn: a) Số dư là: r = b) Ta phân tích: 81 5 = 88 .87 - Thực phép chia 88 cho 2004 số dư r1 = 1732 - Thực phép chia 87 cho 2004... b) Ta phân tích: 81 5 = 88 .87 - Thực phép chia 88 cho 2004 số dư r1 = 1732 - Thực phép chia 87 cho 2004 số dư r2 = 9 68 ị Số dư phép chia 81 5 cho 2004 số dư phép chia 1732 x 9 68 cho 2004 ị Số d... a m tuỳ ý, số dư phép chia a, a2 , a3 , a4 cho m lặp lại cách tuần hồn (có thể khơng đầu) Chứng minh Ta lấy m + luỹ th? ?a đầu tiên: a, a2 , a3 , a4 , am, am+1 xét số dư chúng chia cho m Vì chia cho