Chñ ®Ò 2 Chia ®a thøc Chuyªn ®Ò 5 Ph¬ng tr×nh bËc hai PhÇn II kiÕn thøc cÇn n¾m v÷ng 1 C«ng thøc nghiÖm Ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) cã ∆ = b2 4ac +NÕu ∆ < 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm +NÕu ∆ = 0 t[.]
Chuyên đề 5: Phơng trình bậc hai Hệ thức Vi-ét a) Định lí Vi-ét: Nếu x1; x2 nghiệm phơng trình ax +bx+c = (a 0) Phần II kiến thức cần nắm vững Công thức nghiệm: Phơng trình ax2+bx+c = (a 0) có = b2- 4ac +Nếu < phơng trình vô nghiệm +Nếu = phơng trình cã nghiƯm kÐp: x1 = x2 = th× : S = x1+x2 = +Nếu > phơng trình cã nghiƯm ph©n biƯt: x1 = ; x2 = 1; x2 = -1; x2 = +NÕu ∆’> th× phơng trình có nghiệm phân biệt: b + ' a ; c a c a c) Định lí: (đảo Vi-ét) Nếu hai số x1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P x1; x2 nghiệm phơng trình : x2- S x+P = (x1 ; x2 tån t¹i S2 – 4P ≥ 0) Chó ý: + Định lí Vi-ét áp dụng đợc phơng trình có nghiệm (tức 0) + Nếu a c trái dấu phơng trình cã nghiƯm tr¸i dÊu −b a x1 = c a +Hệ 2: Nếu phơng trình ax2+bx+c = (a 0) có: a- b+c = phơng tr×nh cã nghiƯm: x1 = −b − ∆ 2a Công thức nghiệm thu gọn: Phơng trình ax2+bx+c = (a ≠ 0) cã ∆’=b’ 2ac ( b =2b’ ) +Nếu < phơng trình vô nghiệm +Nếu = phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = ; P = x1.x2 = b) øng dông: +Hệ 1: Nếu phơng trình ax2+bx+c = (a 0) có: a+b+c = phơng trình có nghiÖm: x = −b 2a −b + ∆ 2a −b a x2 = − b − ∆' a Phần II tập rèn luyện Bài 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng, mệnh đề sai A Nếu x1; x2 nghiệm phơng trình ax2+ bx + c = (a ≠ 0) I Toán trắc nghiệm (Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết) Bài 1: Điền vào chỗ để có mệnh đề a) Phơng trình mx2+nx+p = (m 0) có = Nếu phơng trình vô nghiệm Nếu phơng trình có nghiÖm kÐp: x1 = x2 = NÕu ∆ phơng trình có nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = b) Phơng trình px2+qx+k = (p ≠ 0) cã ∆’= (víi q = 2q ) Nếu phơng trình vô nghiệm Nếu phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = Nếu phơng trình cã nghiƯm ph©n biƯt: x1 = ; x2 = th×: S = x1+ x2 = −b a ; P = x1.x2 = c a B NÕu x1; x2 nghiệm phơng trình ax2+ bx + c = (a ≠ 0) th×: S = x1+ x2 = c a ; P = x1.x2 = b a C Nếu phơng trình ax2+bx+c = (a 0) có a+b+c = phơng trình có nghiệm: x = 1; x2 = c a D NÕu ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = (a ≠ 0) cã: a-b+c = phơng trình có nghiệm: x = 1; x2 = c a E Nếu phơng trình ax2+bx+c = (a ≠ 0) cã: a- b+c = th× phơng trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = c a F Nếu phơng trình ax2+bx+c = (a 0) có: a+b+c = phơng trình có nghiệm: x = -1; x2 = −c a G NÕu hai sè u vµ v cã u+v = S ; u.v = P u; v nghiệm phơng tr×nh : x2- S x+P = H NÕu hai sè u vµ v cã u+v = S ; u.v = P u; v nghiệm phơng trình : x2- P x+S = Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn tranh luận mệnh đề sau: A.Nếu phơng trình ax2+bx+c = có a+b+c = phơng trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = Loại toán rèn kỹ áp dụng công thức vào tính toán Bài 1: c a c a C.Phơng trình ax2+bx+c=0 có tổng hai b a tÝch hai nghiƯm lµ x1 = c a vµ tÝch hai nghiƯm lµ =0 − ( −49) − 51 − ( −49) + 51 = −1 ; x2 = = 50 2 + Lêi gi¶i 2: øng dụng định lí Viet Do a b + c = 1- (- 49) + (- 50) = Nên phơng trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = D.Phơng trình 2x2-x+3 = có tổng hai nghiệm a) Giải phơng trình x2 - 49x - 50 = + Lời giải 1: Dùng công thức nghiÖm (a = 1; b = - 49; c = 50) ∆ = (- 49) - 4.1.(- 50) = 2601; = 51 Do > nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt: B.Nếu phơng trình ax2+bx+c = có: a-b+c = phơng trình có nghiƯm: x = -1; x2 = nghiƯm lµ Giải phơng trình a) x2 - 49x - 50 = b) (2- )x2 + x – – Gi¶i: − − 50 = 50 + Lêi gi¶i 3: ∆ = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601 Theo định lí Viet ta có : Hùng nói: bốn mệnh đề Hải nói: bốn mệnh đề sai Tuấn nói: A, B, C D sai Theo em đúng, sai? giải thích rõ x1 + x2 = 49 = (− 1) + 50 x1 = − ⇒ x1.x2 = 49 = − 50 = ( 1).50 x2 = 50 sao? GV:cần khắc sâu a sử dụng ĐL viet phải có ĐK: 0) II Toán tự luận Vậy phơng trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = + Gv: cÇn chó ý rèn tính cẩn thận áp dụng công thức tính toán * Bài tập tơng tự: Giải phơng tr×nh sau: 3x2 – 7x - 10 = x2 – (1+ )x + = x2 – 3x + = x2 – (1- )x – = x2 – 4x – = 7.(2+ )x2 - x – + = 3x2 – x – =0 x2 – x – = − 50 − = 50 b) Giải phơng trình (2- )x2 + x – – =0 Gi¶i: + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm (a = 2- ; b = ; c = – – ) ∆ = (2 )2- 4(2- )(– – ) = 16; ∆ = Do > nên phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = −2 +4 =1; 2( − ) x2 = −2 −4 = −(7 + ) 2(2 − ) Bài 2: Tìm hai số u v biết: u + v = 42 u.v = 441 Giải Du u+v = 42 u.v = 441 nên u v nghiệm phơng trình x2 42x + 441 = (*) Ta cã: ∆’ = (- 21)2- 441 = Phơng trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21 VËy u = v = 21 *Bµi tập tơng tự: Tìm hai số u v biÕt: a) u+v = -42 vµ u.v = - 400 b) u - v = vµ u.v = 24 c) u+v = vµ u.v = - d) u - v = -5 vµ u.v = -10 Tìm kích thớc mảnh vờn hình chữ nhật biết chu vi b»ng 22m vµ diƯn tÝch b»ng 30m2 Bµi 3: Giải phơng trình sau + Lời giải 2: Dùng c«ng thøc nghiƯm thu gän (a = 2- ; b’ = ; c = – – ) ∆’ = ( )2- (2- )(– – ) = 4; ∆ = Do ∆’ > nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = − +2 =1; 2− x2 = − −2 = −(7 + ) 2− + Lời giải 3: ứng dụng định lí Viet Do a + b + c = 2- + + (- - ) = Nên phơng trình có nghiệm: x1 = 1; x1 = − −2 − = −(7 + ) *Yêu cầu: + Học sinh xác định hệ số a, b, c áp dụng công thức + áp dụng công thức (không nhẩm tắt dễ dẫn đến sai sót) (phơng trình quy phơng trình bậc Với t = hai) a) x3 + 3x2 – 2x – = b) x2 = c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 d) 3(x2+x) – (x2+x) – = Giải a) Giải phơng trình x3 + 3x2 2x – = (1) (1) ⇔ (x2 - 2)(x + 3) = ⇔ (x + )(x )(x + 3) = ⇔x = - 2; x = 2; x = - Vậy phơng trình (1) cã nghiÖm x = - ; x = 2; x = - 2x x2 − x +8 = x +1 ( x +1)( x − 4) − (−3) + 23 13 = (tho¶ m·n 2.5 − (−3) − 23 = −2 (lo¹i) = t2 13 ⇔x = ± 13 − 13 ; 13 d) Giải phơng trình 3(x2+x) (x2+x) = (4) Đặt x2+x = t Khi ®ã (4) ⇔ 3t2 – 2t – =0 Do a + b + c = + (- 2) + (- 1) = Nªn t1 = 1; t2 = − t1 = 1⇔ x2+x = 1⇔ x2 + x – = ∆1 = 12 - 4.1.(-1) = > Nªn x1 = (2) ; x2 = Víi §K: x≠ -1; x≠ th× (2) ⇔ 2x(x- 4) = x2 – x + ⇔ x2 – 7x – = (*) Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = nên phơng trình (*) có nghiệm x1 = -1(không thoả mÃn ĐK) ; x2 = (thoả mÃn ĐK) Vậy phơng trình (2) có nghiệm x = c) Giải phơng trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3) Ta cã: (3) ⇔ 5x4 3x2 26 = Đặt x2 = t (t ≥ 0) th× (3) ⇔ 5t2 – 3t – 26 = XÐt ∆ = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529 ⇒ ∆ = 23 Nªn: t1 = ⇔ x2 = Vậy phơng trình (3) có nghiệm x1 = 2x x2 − x +8 = x +1 ( x +1)( x 4) b) Giải phơng trình 13 −1 − −1 + t2 = − (*) ⇔ x2+x = − ⇔ 3x2 + 3x + = ∆2 = 32 - 4.3.1 = -3 < Nªn (*) vô nghiệm Vậy phơng trình (4) có nghiệm x1 = −1 − ; x2 = −1 + * Bài tập tơng tự: Giải phơng trình sau: x3+3x2+3x+2 = (x2 – 4x + 2)2 + x2 (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - 4x - = x + 5)2 1 x + − 4 x + + = x x x – 5x + = x + 0,3 x + 1,8x + +3 = t ≥ 0) ; x −5 2−x 1,5 = x3 + x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2 A= ; B = x12 + x22 ; 1 C= x2+x2; 2 3x12 + x1 x + 3x 22 F= x1 x 22 + x12 x Loại toán rèn kỹ suy luận (Phơng trình bậc hai chứa tham số) Bài 1: (Bài toán tổng quát) Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình ax +bx+c = (a 0) cã: Cã nghiÖm (cã hai nghiÖm) ⇔ ∆ ≥ V« nghiƯm ⇔ ∆ < NghiƯm nhÊt (nghiÖm kÐp, hai nghiÖm b»ng nhau) ⇔ ∆ = Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > Hai nghiÖm cïng dÊu ⇔ P > Hai nghiệm trái dÊu ⇔ ∆ > vµ P < ⇔ a.c vµ P > Hai nghiệm âm(nhỏ 0) 0; S < P > Hai nghiệm đối S = 10.Hai nghiệm nghịch đảo ⇔ ∆≥ vµ P =1 11 Hai nghiƯm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn a.c < S < 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn C= x2+x2; 2 D = x13 + x23 Giải Do phơng trình có nghiệm x1 x2 nên theo định lí Viet ta cã: x1 + x2 = − ; x1.x2 = − A= B = x12 + x22 ; x12 + 10 x1 x + x 22 E= ; x1 x 23 + x13 x Bài 4: Cho phơng trình x2 + x - = cã nghiƯm lµ x1 x2 Không giải phơng trình hÃy tính giá trị biểu thức sau: 1 + x2 x2 ; D = x13 + x23 x x +1 −10 =3 x +1 x A= 1 + x2 x2 1 x1 + x − + = = = 15 ; x2 x2 x1 x − 5 B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= ( − ) − 2( − ) = + x12 + x 22 + = (3 + ) ; C= 2 = x1 x (− ) D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = ( − )[3 + − (− )] = −(3 + 15 ) * Bài tập tơng tự: Cho phơng trình x2 + 2x - = cã nghiƯm lµ x1 x2 Không giải phơng trình hÃy tính giá trị biểu thức sau: a.c < S > (ở đó: S = x1+ x2 = −b a ; P = x1.x2 = c a Gi¶i a) + NÕu m-1 = ⇔ m = (1) có dạng 2x - ) = x = * Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động giải loại toán Bài 2: Giải phơng trình (giải biện luận): x2- 2x+k = ( tham sè k) Gi¶i ’ ∆ = (-1) - 1.k = – k ’ NÕu ∆ < ⇔ 1- k < ⇔ k > phơng trình vô nghiệm Nếu = ⇔ 1- k = ⇔ k = phơng trình có nghiệm kép x1= x2=1 Nếu > ⇔ 1- k > ⇔ k < phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 11 −k ; x2 = 1+ −k KÕt luËn: Nếu k > phơng trình vô nghiệm Nếu k = phơng trình có nghiệm x=1 Nếu k < phơng trình có nghiệm x1 = 1- −k ; x2 = 1+ −k (là nghiệm) + Nếu m Khi (1) phơng trình bậc hai có: =12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) cã nghiÖm ⇔ ∆’ = 3m-2 ≥ m + Kết hợp hai trờng hợp ta cã: Víi m ≥ 3 th× phơng trình có nghiệm b) + Nếu m-1 = m = (1) có dạng 2x = ⇔x = (lµ nghiƯm) + NÕu m Khi (1) phơng trình bậc hai cã: ∆’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) cã nghiÖm nhÊt ⇔ ∆’ = 3m-2 = ⇔ m= (thoả mÃn m 1) Khi x = − 1 =− =3 m −1 +Vậy với m = phơng trình cã nghiƯm nhÊt x = víi m = Bài 3: Cho phơng trình (m-1)x2 + 2x - = (1) (tham sè m) a) T×m m ®Ĩ (1) cã nghiƯm b) T×m m ®Ĩ (1) cã nghiệm nhất? tìm nghiệm đó? c) Tìm m ®Ĩ (1) cã nghiƯm b»ng 2? ®ã hÃy tìm nghiệm lại(nếu có)? phơng tr×nh cã nghiƯm nhÊt x = c) Do phơng trình có nghiệm x1 = nên ta có: (m-1)22 + 2.2 - = ⇔ 4m – = ⇔ m = Khi (1) phơng trình bậc hai (do m -1 = -1= − Do ≠ 0) víi mäi m; 15 >0 ⇒ ∆ > víi mäi m Theo ®inh lÝ Viet ta cã: x1.x2 = −3 −3 = = 12 ⇒ x = m −1 − VËy m = vµ 1 m − ≥ Phơng trình có hai nghiệm phân biệt Hay phơng trình có hai nghiệm (đpcm) b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu a.c < ⇔ – – m < ⇔ m > -3 VËy m > -3 c) Theo ý a) ta có phơng trình có hai nghiệm Khi theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3) Khi phơng trình có hai nghiệm âm S < P > nghiệm lại x2 = * Giáo viên cần khắc sâu trờng hợp hệ số a có chứa tham số (khi toán trở nên phức tạp vàhọc sinh thờng hay sai sót) Bài 4: Cho phơng trình: x2 -2(m-1)x – m = ( Èn sè x) a) Chứng tỏ phơng trình có nghiệm x1, x2 với m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm d) Tìm m cho nghiệm số x 1, x2 phơng trình thoả mÃn x12+x22 10 e) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m f) HÃy biểu thị x1 qua x2 Giải a) Ta có: = (m-1)2 – (– – m ) = 2(m + 0) m< − VËy m < -3 d) Theo ý a) ta có phơng trình có hai nghiệm 1 15 m − + Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3) Khi ®ã A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo bµi A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ ⇔ 2m(2m-3) ≥ e) Theo ý a) ta có phơng trình có hai nghiệm Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: m≥ m≥ m≥ 2m ≥− 03 m≥ ⇔ ⇔ ⇔ m≤ m≤ m≤ 2m ≤− 03 m≤ VËy m ≥ x1 + x2 = 2(m− 1) x1 + x2 = 2m− ⇔ x1.x2 −= (m+ 3) 1.xx −= 2m− ⇒ x1 + x2+2x1x2 = - VËy x1+x2+2x1x2+ = hệ thức liên hệ x1 x2 kh«ng phơ thc m f) Tõ ý e) ta cã: x1 + x2+2x1x2 = - ⇔ x1(1+2x2) = - ( +x2) ⇔ x1 = − 8+ x VËy x1 = − + x + x2 + 2x2 ( x2 ≠− ) Bài 5: Cho phơng trình: x2 + 2x + m-1= ( m tham số) a) Phơng trình có hai nghiệm nghịch đảo b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả m·n 3x1+2x2 = hc m ≤ c) Lập phơng trình ẩn y thoả mÃn y = x2 + x1 y1 = x1 + x2 ; với x1; x2 nghiệm phơng trình Giải a) Ta có = (m-1) = m Phơng trình có hai nghiệm nghịch đảo Từ (1) (3) ta cã: ∆ ≥ − m≥ 02 m≤ ⇔ ⇔ ⇔ m=⇔ P = m− 1= m= ' x+ 21 = −2 2x+ 21 = −42 x1= x1= ⇔ ⇔ ⇔ 3 x 221 =+ 3x 21 =+ 12 x+ 21 = −2 x2= −7 ThÕ vµo (2) ta cã: 5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (thoả mÃn (*)) Vậy m = -34 giá trị cần tìm d) Với m phơng trình đà cho có hai nghiệm Theo định lí Viet ta cã: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – (2) Khi ®ã: VËy m = b) Ta cã ∆’ = 12 – (m-1) = m Phơng trình có nghiệm ⇔ – m ≥ ⇔ m ≤ (*) Khi theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – (2) Theo bµi: 3x1+2x2 = (3) y1 + y = x1 + x + x +x 1 −2 2m + = x1 + x + = −2 + = x1 x x1 x m −1 1− m (m≠1) y1 y = ( x1 + (m≠1) 10 1 1 m2 )( x + ) = x1 x + + = m −1 + +2= x2 x1 x1 x m −1 m −1 ⇒ y1; y2 nghiệm phơng trình: y2 y + m2 m b) Định m để phơng trình có nghiệm x1, x2 tho¶ m·n: < x1 < x2 7 Bµi 191 Cho phơng trình : 2x2 + 2(m + 2)x + 4m + =0 a) Xác định m để phơng tr×nh cã nghiƯm x1 , x b) Chøng minh nghiệm x1, x2 thoả mÃn: x1 +x +3x1 x 2 ≤ 1 + Bài 192 Cho phơng trình : ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh rằng, điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm là: 9ac = 2b2 Bài 193 Cho phơng tr×nh bËc hai: ax2 + bc + c = (a 0) Chứng minh rằng, điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm k lần nghiệm (k > 0) là: kb = (k + 1)2ac y1 y2 + =3 − y − y1 14 Bµi 194 Chøng minh phơng trình : (x a)(x b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = lu«n lu«n cã nghiƯm víi a, b, c Bài 195 Co hai phơng trình : x2 + mx + = (1) X2 + 2x + m = (2) a) Định m để phơng trình có nghiệm chung b) Định m để phơng trình tơng đơng c) Xác định m để phơng trình: (x2+mx+2) (x2+2x+m) = có nghiệm phân biệt Bài 196 Với giá trị tham số a b, phơng trình bậc hai: (2a + 1)x (3a – 1)x + = (1) (b + 2)x2 – (2b + 1)x – = (2) Cã hai nghiệm chung Bài 197 Với giá trị tham số k hai phơng trình sau có nghiệm chung : 2x2 + (3k + 1)x – 9=0 6x2 + (7k – 1)x – 19 = Bµi 198 Với giá trị số nguyên p , phơng trình sau có nghiệm chung 3x - 4x + p–2=0 x2 – 2px + = Bài 199 Cho phơng trình bậc hai: ax + bx + c = víi a, b, c lµ số hữu tỷ, a 0, có nghiệm + HÃy tìm nghiệm lại Bài 200 Tìm tất số nguyên k để phơng tr×nh: kx2 – ( 1-2k) + k – = luôn có nghiệm số hữu tỷ Bài 201 Cho phơng trình bậc hai: 3x2 + 4(a 1)x + a2 4a + = xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thoả mÃn hệ thức : x1 + x 1 = + x1 x2 Bµi 202 Cho biết phơng trình: x2 + px + = có hai nghiệm a b,phơng trình: x2 + qx + = cã hai nghiƯm lµ b vµ c chøng minh hƯ thøc : (b – a)(b – c) = pq – Bµi 203 15 Cho phơng trình : x2 - 5x + k = (1) x2 - 7x + 2k = (2) Xác định k để nghiệm phơng trình (2) lớn gấp nghiệm phơng trình (1) Bài 204 Cho phơng trình : 2x2 + mx – = (1) mx2 - x + = (2) Với giá trị m, phơng trình (1) phơng trình (2) cã nghiÖm chung 6x2 – (2k – 3)x – = a) Có nghiệm chung b) Tơng đơng với Bài 208 Cho phơng trình bậc hai: 2x2 + 6x + m = Với giá trị tham số m, phơng trình có x Bài 209 Cho biết x1 x2 hai nghiệm phân biệt khác phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0, a,b,c ∈ R) H·y lập phơng trình bậc Bài 205 Giả sử x1 x2 hai nghiệm phơng trình bậc hai: 3x2 - cx +2c - = TÝnh theo c giá trị biểu thức: S = x1 + hai có nghiệm : x1 , x2 Bµi 210 BiÕt r»ng x1, x2 hai nghiệm phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = H·y viƯt ph¬ng trình bậc hai nhân x13 x23 làm hai nghiệm Bµi 211 Cho f(x) = x2 – 2(m+ 2)x + 6m + a) CMR: phơng trình f(x) = có nghiệm với m b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn Bài 212 x2 x hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả m·n: x + x ≥ 2 Bµi 206 Xác định a để hai phơng trình sau có nghiÖm chung : x2 + ax + = x2 + x + a = Bài 207 Tìm tất số nguyên k để phơng trình bËc hai: 2x2 + (3k – 1)x – = 16 Cho phơng trình : x2 -2(m + 1)x + m2 + m - =0 a) Định m để phơng trình có hai nghiệm âm b) Định m để phơng trình có hai nghiệm x 1, x2 thoả mÃn: x1 x2 Bài 216 Cho hai phơng trình : x2 + ax + 2b = (1) x2 + bx + ac = (2) ( a,b,c đôi khác khác 0) Cho biết (1) (2) có nghiệm chung Chứng minh hai nghiệm lại phơng trình (1) (2) nghiệm phơng trình x2 + cx + ab = Bài 217 Cho phơng trình: x2 – (m – 1)x – m2 + m - = a) Chứng minh phơng trình luôn cã hai nghiƯm tr¸i dÊu víi mäi m b) Víi giá trị tham số m, biểu thức: E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài 218 Cho hai phơng trình: x2 + a1x + b1 = (1) x2 + a2x + b2 = (2) Cho biÕt a1a2 ≥ 2(b1 + b2) Chøng minh hai phơng trình đà cho có nghiệm Bài 219 Cho ba phơng trình: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) víi a,b,c ≠ Chøng minh r»ng, Ýt nhÊt mét ba phơng trình phải có nghiệm = 50 Bài 213 CMR: phơng trình :( x + 1)(x+3) + m(x + 2)(x + 4) = Lu«n lu«n cã nghiệm số thực với giá trị tham số m Bài 214 Cho phơng trình bậc hai: x2 - 6x + m = Với giá trị tham số m, phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mÃn: x12 + x22 = 72 Bài 215 Giả sử a b hai số khác Chứng minh hai phơng trình: x2 + ax + 2b = (1) x2 + bx + 2a = (2) Có nghiệm chung nghiệm số lại (1) (2) nghiệm chung phơng trình : x2 + 2x + ab = 17 Bài 220 Cho phơng trình: x2 2(m – 1)x + m2 – 3m + 4=0 a) X¸c định m để phơng trình có hai nghiệm pân biệt x1, x2 thoả mÃn: Cho phơng trình; (a 3)x2 – 2(a – 1)x a – = a) giải phơng trình a =13 b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 224 Cho phơng trình bậc hai: 2x2 + (2m 1)x + m 1=0 a) Chứng minh phơng trình luông có nghiệm với m b)Tìm m để phơng trình có nghiệm kép.Tìm nghiệm c) Xác định m để phơng trình có nghiệm phân x1, x2 thoả m·n: -1 < x1 < x2 thoả mÃn: x1 + t1 Bài 228 Cho phơng trình : ax2 + bx + c = (1) cx2 + bx + a = (2) (a, b, c ≠ ) Chøng minh (1) có hai nghiệm tơng đơng x1, x2 (2) có hai nghiệm tơng đơng x3, x4 Ngoài nghiệm thoả mÃn x + x2 + x3 + x4 Bài 229 Không giải phơng trình: 3x2 + 17x 14 = (1) HÃy tính giá trị biểu thức: S= 3x1 + x1 x + 3x 2 a) Không giải phơng trình, hÃy tính hiệu lập phơng nghiệm lớn nghiệm nhỏ phơng tr×nh X2 - 85 x +1 =0 16 b) Với giá trị số nguyên a, nghiệm phơng trình: ax2 + (2a 1)x + a = số hữu tỷ? Bài 231 Cho phơng trình: 2x2 (2m + 1)x + m – 9m + 39 = a) Giải phơng trình m =9 b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm lại Tìm nghiệm Bài 232 Cho phơng trình bậc hai: x2 + ax + b = Xác định a b để phơng trình có hai nghiệm a b Bài 233 Cho f(x) = (4m – 3)x2 – 3(m + 1)x + 2(m + 1) a) Khi m = 1, t×m nghiệm phơng trình 2 x1 x + x1 x Víi x1, x2 lµ hai nghiệm phơng trình (1) Bài 230 19 b) Xác định m để m để f(x) viết đợc dới dạng bình phơng c) Giả sử phơng trình f(x) = cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1x2 lËp mét hệ thức x x2 không phụ thuộc vào m Bài 234 Cho x,y > thoả mÃn hÖ thøc: x( x + y ) =3 y ( x + y) Bài 237 Cho phơng trình: x2 + ax + b = (1) x2 – cx – d = (2) C¸c hƯ sè a, b, c, d tho¶ m·n: a(a–c)+c(c–a) +8(d–b) > Chøng minh hai phơng trình đà cho có hai nghiệm phân biệt Bài 238 Giả sử phơng trình bậc hai: x2 + ax + b = có hai nghiệm nguyên dơng Chứng minh rằng: ax2 + bx2 hợp số Bài 239 Giả sử phơng trình bậc hai: x2 2(m + 1)x + 2m + 10 = Cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1, x2 Xác định m để biểu thức E = x12 + x22 + 10x1x2 đạt giá trị nhỏ Tính E Bài 240 Cho biết phơng trình: x2 – (a – 1)x + = cã hai nghiệm x1, x2; Xác định a để biểu thức M = 3x2 + 5x1x2 + 3x2 đạt giá trị nhỏ HÃy tìm nghiệm trờng hợp M đạt giá trị nhỏ Bài 241 Cho phơng trình: x2 + px = (p số lẻ) có hai nghiƯm ph©n biƯt x1x2; Chøng minh r»ng: (1) H·y tính giá trị biểu thức: E = x + xy + y x + xy − y Bài 235 Cho phơng trình : x2 2(m 1)x – – m = a) Chøng minh phơng trình luôn có hai nghiệm với m b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1x2 thoả mÃn : x12 + x22 10 c) Xác định m để phơng trình có nghiÖm x1, x2 cho: E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài 236 Cho phơng trình bËc hai: ax2 + bx + c = px2 + qx + r = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung Chøng minh r»ng ta cã hÖ thøc: (pc–ar) = (pb–aq)(cq–rb) 20 ... +1 x A= 1 + x2 x2 1 x1 + x − + = = = 15 ; x2 x2 x1 x − 5 B = x 12 + x 22 = (x1+x2 )2- 2x1x2= ( − ) − 2( − ) = + x 12 + x 22 + = (3 + ) ; C= 2 = x1 x (− ) D = (x1+x2)( x 12- x1x2 + x 22) = ( − )[3 +... = x + 0,3 x + 1,8x + +3 = t ≥ 0) ; x −5 2? ??x 1,5 = x3 + x2 – (x - 3 )2 = (x-1)(x2 -2 A= ; B = x 12 + x 22 ; 1 C= x2+x2; 2 3x 12 + x1 x + 3x 22 F= x1 x 22 + x 12 x Loại toán rèn kỹ suy luận (Phơng trình... lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2( m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3) Khi ®ã A = x 12+ x 22 = (x1 + x2 )2 - 2x1x2 = 4(m1 )2+ 2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo bµi A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ ⇔ 2m(2m-3) ≥ e) Theo ý a) ta có