Đang tải... (xem toàn văn)
B×nh ph¬ng cña mét hiÖu... LËp ph¬ng cña mét hiÖu.[r]
(1)ChơngI: Nhân chia đa thức I Nhân đa thức
- Nhõn n thc vi đa thức A(B + C) = AB + AC - Nhân đa thức với đa thức
(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD VÝ dơ. Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
a) 4x2 (5x3 + 3x 1)
2 2 2
4x 5x 4x 3x 4x 4.5 (x x ) (4.3)(x x) (4.1)x 20x 12x 4x
2
3 2 3
b) 5x 4x x 5x x 4x x 5x x 5x 4x.x 4x
5x 10x 4x 8x 5x (10 4)x 8x 5x 14x 8x
c) (3x + 4x2 2)(x2 +1+ 2x)=3x(x2 +1+ 2x) + 4x2(x2 +1+ 2x) -2(x2 +1+ 2x)
2 2 2
3
4 3 2
4
3x.( x ) 3x.1 3x.2x 4x ( x ) 4x 4x 2x 2.( x ) 2.1 2.2x
3x 3x 6x 4x 4x 8x 2x 4x
4x 3x 8x 6x 4x 2x (3x 4x)
4x 5x 12x x
B i tËp: à 1) T×m x biÕt:
3x(12x - 4) – 9x(4x - 3) = 30
3x.12x - 3x.4 – 9x.4x – (- 9x).3 = 30 36x2 - 12x – 36x2 + 27x = 30
15x = 30 x= 2.
2)Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) (x2- 2x + 3)(
1
2 x - 5)
= x2
2 x + x2.(- 5)+ (- 2x)
2 x + (- 2x).(- 5)+
2 x + 3.(- 5)
=
1
2 x3 - 6x2 + 23
2 x - 15.
b) (x2y2 -
2xy + 2y)(x - 2y)
= x2y2.x + x2y22y) + (-1
2 xy).x + (-1
2xy)(-2y) + 2y.x + 2y.(-2y)
= x3y2 - 2x2y3 -
1
2x2y + xy2 + 2xy - 4y2
II Các đẳng thức đáng nhớ
- B×nh phơng tổng Bình phơng hiệu (A B)2 = A2 2AB + B2,
- Hiệu hai bình phơng
(2)- LËp ph¬ng cđa mét tỉng LËp ph¬ng cđa mét hiÖu (A B)3 = A3 3A2B + 3AB2 B3, - Tỉng hai lËp ph¬ng HiƯu hai lËp ph¬ng
A3 + B3 = (A + B) (A2 AB + B2), A3 B3 = (A B) (A2 + AB + B2),
(trong đó: A, B số biểu thức đại số)
VÝ dô: a) (a + )2 = a2 + 2.a.1 + 12 = a2 + 2a +
b) 512 = (50 + 1)2 = 502 + 2.50.1+ 12 = 2500 + 100 + = 2601.
c) (2x - 3y)2 = (2x)2 - 2.2x.3y + (3y)2 = 4x2 - 12xy + 9y2.
d) 992 = (100 - 1)2= 1002 - 2.100.1 + 12= 10000 - 200 + 1= 9801
e) (x - 2y)(x + 2y) =x2 - (2y)2 = x2 - 4y2.
f) 56.64 = (60 - 4)(60 + 4) = 602- 42 = 3600 - 16 = 3584.
g) (x + 2y)3 = x3 + 3.x2.2y + 3.x.(2y)2 + (2y)= x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3.
h) 8x3- y3 = (2x)3 -y3 = (2x -y)((2x)2 + 2x.y + y2)= (2x - y)(4x2 +2xy + y2)
i) 342 + 662 + 68.66 = 342+ 2.34.66 + 662 = (34 + 66)2=1002= 10 000
Bµi tËp:
1) Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
(x2 2xy + y2)(x y) = (x- y)2(x- y) = (x- y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3. 2) Rút gọn tính giá trị cđa biĨu thøc
(x2 xy + y2)(x + y) 2y3 t¹i x =
5 vµ y = 3. (x2 xy + y2)(x + y) y3 = x3 + y3 - y3 = x3 thay x =
4
5 vµ y =
3 ta cã:
x3=
3 3
4 64
5 125
III Phân tích đa thức thành nhân tử + Phơng pháp đặt nhân tử chung + Phơng pháp dùng đẳng thức + Phơng pháp nhóm hạng tử
+ Phối hợp phơng pháp phân tích thành nhân tử
Ví dụ. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
1) 15x2y + 20xy2 25xy = 5xy.3x + 5xy.4y - 5xy.5 = 5xy(3x + 4y - 5) 2) a 2y + y2 = 12 - 2.1.y + y2 = (1- y)2;
b 27 + 27x + 9x2 + x3 = 33 + 3.32.x + 3.3.x2 + x3 = (3 + x)3 ; c 27x3 = 23 - (3x)3 = (2 - 3x)(4 + 6x + 9x2)
d 4x2 = 12 - (2x)2 = (1 - 2x)(1 + 2x);
e.(x + y)2 25 = (x + y)2 - 52 = (x+ y + 5)(x + y - 5) ;
3) a 4x2 + 8xy 3x 6y = (4x2 + 8xy) - (3x + 6y) = 4x(x + 2y) - 3(3 + 2y) = (x + 2y)(4x - 3);
b 2x2 + 2y2 x2z + z y2z = (2x2 + 2y2 - 2) - (x2z + y2z - z) = 2(x2 + y2 - 1) - z(x2 + y2 - 1) = (x2 + y2 - 1)(2 - z)
(3)b) 16x3 + 54y3 = 2(8x3 + 27y3)
3 2
2
2 2x 3y 2x 3y 2x 2x.3y 3y
2 2x 3y 4x 6xy 9y
;
c) x2 2xy + y2 16 = (x2 - 2xy + y2) - 42 = (x - y)2 - 42 = (x - y + 4)(x - y - 4);
Bµi tËp: TÝnh nhanh:
a)34.76 + 34.24 = 34( 76 + 24 ) = 34.100 = 3400
b)1052 – 25 = 1052 – 52 = ( 105 + 5)(105 – 5)= 110.100 = 11000 c)15.64+ 25.100+ 36.15+ 60.100
15.64+ 25.100+ 36.15+ 60.100 = (15.64+ 36.15)+ (25.100+ 60.100) = 15(64+ 36)+ 100(25+ 60) = 15.100+ 100.85 = 100.100 = 10 000
2 T×m x biÕt:
3x2 – 6x = ⇔ 3x(x – 2) = ⇔ 3x = hc x – = ⇔ x = hc x =
VËy x = hc x =
3 Tính giá trị biểu thức x22x y2tại x = 94,5 y = 4,5 x22x 1 y2= (x2 2x1) y = (x +1) 2 y2 (x 1 y x)( 1 y) Víi x = 94,5, y = 4,5 ta cã: 94,5 4,5 94,5 4,5 100.91 9100 Phân tich đa thức thành nhân tö:
x6 x4 + 2x3 + 2x2 = x2(x4- x2 + 2x + 2)
2 2 2
2
2 2
x x x 2x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
IV Chia ®a thøc.
- Chia đơn thức cho đơn thức - Chia đa thức cho đơn thức Ví dụ Làm phép chia :
3
7
5
) x : x
) 15 : 5 ) 20 : 12
3
a x
b x x x
c x x x
d) (15x2y3 12x3y2) : 3xy =15x2y3 : 3xy - 12x3y2 : 3xy = (15:3).(x2:x).(y3:y) - (12:3).(x3:x).(y2:y) = 5xy2 - 4x2y
3
3 2
2
e) x - x x - 3x x 2x
2x
x x
x x
x x x
(4)Bµi tËp: Lµm phÐp chia :
a) (3x y2 26x y2 3 12xy) : 3xy xy 2xy2 b) (2x4 - 3x3- 3x2 + 6x - 2): (x2 - 2)
4 2
4 2
3
3 2
2 3 x 2
x x
x x x x
x x x x
x x x
x x
VËy: 2x4 3x3 3x2 6x 2 = (x2 2)(2x2 3x1)
c) Tìm số a để đa thức x3- 3x2 + 5x + a chia hết cho đa thức x-2
3
3 2
2
x - 3x x - 2x x - x
- x
x a x x x a
x x a x
a
VËy : x3- 3x2 + 5x + a = (x2 - x + 3)(x - 2) + (a + 6) => (x3- 3x2 + 5x + a) ( x - 2) a + = => a = -6
ChngII: Phõn thc i s
I. Định nghĩa:
Một phân thức đại số (hay nói gọn phân thức) biểu thức có dạng A B, A, B đa thức B khác đa thức
A đợc gọi tử thức (hay tử), Bđợc gọi mẫu thức (hay mẫu) Hai phân thức nhau
A C
A D C B B D
TÝnh chÊt c¬ phân thức
A A M
B B M (M lµ ®a thøc kh¸c 0)
: : A A N
B B N (N lµ nh©n tư chung)
Rót gän ph©n thøc
Nhận xét: để rút gọn phân thức ta có thể:
(5)+ Chia tử mẫu cho nhân tử chung Quy đồng mẫu thức nhiu phõn thc
* Để tìm MTC ta cã thĨ lµm nh sau:
- Phân tích MT phân thức thành nhân tử - MTC lµ mét tÝch gåm:
+ Nhân tử số mẫu
+ Với luỹ thừa biểu thức cã mỈt mÉu thøc ta chän l thõa cã sè mò cao nhÊt
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thứcta làm nh sau: - Phân tích mẫu thành nhân tử tìm mẫu thức chung
- Tìm nhân tử phụ phân thức(chia mẫu thức chung cho mẫu thức phân thức)
- Nhân tử mẫu phân với nhân tử phụ tơng ứng
Ví dụ a)
2
3
3
6
x y x
xy y V× 3x y y2 2 6x y2 3;6xy x3 6x y2
b)
3 ( 5) 2( 5)
x x x x
v×
2
2.3 ( 5) 30
2.3 ( 5) 2( 5) 2( 5) 30
x x x x
x x x x
x x x x
c) Rút gọn phân thức:
*)
2 2 2
5
6 :
8 :
x y x y xy x xy xy xy y
*)
2
2
7x 14x 7(x 1) 7(x 1) 3x(x 1) 3x
3x 3x
d) Qui đồng mẫu thức
5
x y vµ 12x y MTC:12x y5
*)
5 5
5 5.12y 60y
x y x y 12y 12x y
*)
2
3 4
7 7.x 7x
12x y 12x y x 12x y Bµi tËp:
a)
2 ( 2)( 1)
1
x x x
x x
v×
2
2
( 3)( 1)
( 3)
x x x x x
x x x x x x
b) Rút gọn phân thức:
*)
2 2 ( 1) ( 1) : ( 1) 2
1 ( 1) ( 1) : ( 1)
x x x x x x x x
x
x x x x
(6)*) 2
( ) ( )
( ) ( )
( )( 1)
( 1)( 1)
x xy x y x x y x y x xy x y x x y x y
x y x x y
x x x y
c) Qui đồng mẫu thức hai phân thức:
x 5x vµ
5 2x 10
3
x 5x x(x 5) ;
5
2x 10 2(x 5) MTC = 2x(x- 5)
*)
3 3.2
x 5x x(x 5) x(x 5).2 2x(x 5)
*)
5 5.x 5x
2x 10 2(x 5) 2(x 5).x 2x(x 5)
II Cộng trừ phân thức đại số - Phép cộng phân thức đại số Cộng hai phân thức mẫu
A C A C
B B B
Céng hai phân thức có mẫu khác nhau
A C E F E F
B D M M M
- Phép trừ phân thức đại số
Khái niệm phân thức đối phân thức A
B (B ) (là phân thức A B
đợc kí hiệu
A B ). * Qui t¾c:
A C A C
B D B D
VÝ dơ Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh:
a)
2 2
3 2 (3 1) (2 2)
7 7
x x x x x
(7)b) 2
5
2
x x y xy y
2 3
2 3 3
25 10 25 10
10 10 10 10
y xy x y xy x
x y x y x y x y
c) 1 x x
x x =
2
3 ( )
1 1
x
x x x x
x x x x ;
d)
1 (1 )
3
x x x x
x x x
1 (1 )
(2)
3 ( 3)( 3)
x x x x
x x x x
MTC = (x 3)(x3)
( 1)( 3) (1 )( 3) (1 ) (2)
( 3)( 3)
x x x x x x
x x
2( 3)
( 3)( 3)
x
x x x
III Nhân chia phân thức đại số Biến đổi biểu thức hữu tỉ. - Phép nhân phõn thc i s
+ Quy tắc nhân hai ph©n thøc:
A B C D = A.C B.D - Các tính chất phép nhân phân thức đại số:
A B C D= C D A
B (tÝnh giao ho¸n);
A C E A C E
B D F B D F
(tÝnh kÕt hỵp);
A C E A C A E
B D F B D B F
(tính chất phân phối phép nhân phép cộng) - Phép chia phân thức đại số
*)
A
B có phân thức nghịch đảo B A
B
A có phân thức nghịch đảo A B
* Qui t¾c: SGK
:
A C A D
B D B C
0 C D
- Biến đổi biểu thức hữu tỉ Ví dụ.
a)
3 3
5 3
8x y 9z 8.9x y z 6x
15z 4xy 15.4xy z 5yz ;
b)
2
2 2
x y x y (x y)(x y) 3xy x y
:
(8)c) Cho ph©n thøc
x C
x x
§KX§:
2
( 1)
1
x
x x x x
x
Bµi tËp:
2 3 2
2 2
2 2
2 2
1
) : :
( )( )
x y x x y x xy y
a
x y x
y y xy xy
x y x xy y xy
x y
xy x xy y
b) Cho ph©n thøc:
2
2
1
x x
x
§KX§: x2 0 x 1
ChơngIII Phơng trình bậc ẩn
I Khái niệm phơng trình, phơng trình tơng đơng. - Phơng trình ẩn
Một phơng trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), vế trái A(x) vế phải B(x) hai biểu thức biến x
VÝ dô:
a) 2x + = (x - 1)+ b) (t + 1)2 = 3t +
c)
3
1
x
- Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng
Hai phơng trình đợc gọi tơng đơng chúng có tập hợp nghiệm
VÝ dô: x + = x = -
II Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn.
- định nghĩa phơng trình bậc nhất: ax + b = (x ẩn; a, b số, a Nghiệm phơng trình bậc nhất: Có nghiệm
b x
a
VÝ dô:
20
)4 20 20
4
a x x x
VËy nghiÖm cđa pt lµ x =
12
)2 12 12
3
b x x x x
Vậy nghiệm pt x = - - Phơng trình đa đợc dạng ax + b =
Cách giải phơng trình:
(9)+ Bc 2: Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế, số sang vế + Bớc 3: Thu gn v gii phng trỡnh nhn c
Giải phơng tr×nh: b) 8x 35x12 8x 5x 123
3x 15
x 5
Vậy tập nghiệm phơng trình S 5
5
6
x x
x
12 2(5 2) 3(7 )
12 12
x x x
12x 10x 421 9 x
12x 10x 9x 21 4
25 11
x
Phơng trình cã tËp nghiÖm
25 11
S
3
1
5
x x
(x 1) (2 x 1) 9 x
x 2 x 1 x
x 9 x
0x 9
ph¬ng trình vô nghiệm - Phơng trình tích phơng trình cã d¹ng:
A(x).B(x).C(x) = (A(x), B(x), C(x) đa thức chứa ẩn x Ví dụ: giải phơng trình
(x1)(2x 3)0
1
3
2
2
x x
x x
VËy nghiƯm cđa ph¬ng trình x = - x = 3/2
2 ( 3) 5( 3) ( 3)(2 5)
3
5
2
2
x x x
x x
x x
x x
(10)
2
( 1) ( 1)( 3)
1
3
x x x
x x
x x
VËy tËp nghiƯm cđa PT lµ S 1;3
)3 15 ( 5) 3( 5) ( 5) (3 )( 5)
c x x x
x x x
x x
3
3
2
5
x x
x
x
VËy tËp nghiệm phơng trình
;5
S
- Phơng trình chøa Èn ë mÉu
quy tắc giải phơng trình chứa ẩn mẫu: + Tìm điều kiện xác định
+ Quy đồng mẫu khử mẫu(Nhân hai vế với MTC) + Giải phơng trình vừa nhận đợc
+ Xem xét giá trị x tìm đợc có thoả mãn ĐKXĐ khơng kết luận nghiệm phơng trình
III Giải toán cách lập phơng trình bậc ẩn. bớc giải toán cách lập phơng trình:
Bớc 1: Lập phơng trình:
+ Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số
+ Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng biết + Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ đại lợng
Bíc 2: Giải phơng trình