Chñ ®Ò 2 Chia ®a thøc Gi¸o viªn T« Quang C¶nh Trêng THCS T©n LÔ – Hng hµ Th¸i B×nh D§ 0975633142 Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp Bµi 1 Hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm A vµ B Gäi EF lµ mét[.]
Giáo viên: Tô Quang Cảnh - Trờng THCS Tân Lễ Hng hà - Thái Bình - DĐ 0975633142 a) Bèn ®iĨm O, I, M, N cïng thc mét ®êng tròn b) AIM = BIN Bài Cho tam giác ABC víi ®êng cao AH Gäi E, F theo thø tự điểm đối xứng H qua c¹nh AB, AC Giao cđa EF víi AB, AC theo thứ tự K, I Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AEHI, AFHK nội tiếp b) BI CK đờng cao tam giác ABC Bài Cho hai đờng tròn (O), (O1) cắt A, B Các tiếp tuyến A (O), (O 1) cắt (O1), (O) lần lợt điểm E, F Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF a) Chứng minh tứ giác OAO1I hình bình hành OO1//BI b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O1 thuộc đờng tròn c) Kéo dài AB phía B đoạn CB = AB Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp Bài Cho đờng tròn (O) hai tiếp tuyến SA, SB đờng tròn Kẻ dây cung BC Đờng kính vuông góc với dây AC cắt BC I Chứng minh: a) Bốn điểm S, A, I, B nằm đờng tròn b) Tứ giác SAOI nội tiếp c) SI //AC Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Tia phân giác góc BAC cắt BC I, cắt đờng tròn (O) P Kẻ đờng kính PQ Các chuyên đề: Đường tròn Chứng minh tứ giác nội tiếp Bài Hai đờng tròn (O1) (O2) cắt hai điểm A B Gọi EF tiếp tuyến chung chúng AB cắt EF I a) Chứng minh hai tam giác IEA IBE đồng dạng b) Chứng minh I trung điểm EF c) Gọi C điểm đối xứng cđa B qua I Chøng minh tø gi¸c AECF néi tiếp đợc Bài Cho nửa đờng tròn đờng kính AB đờng thẳng d vuông góc với AB H, M điểm di động nửa đờng tròn Đờng thẳng d giao với MA, MB lần lợt C, D a) Chứng minh HC.HD = HA.HB b) Gọi B điểm đối xứng B qua H Chøng minh tø gi¸c ACDB’ néi tiÕp c) Khi M di động đờng tròn (O) tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADC chạy đờng nào? Bài Cho đờng tròn tâm O điểm C đờng tròn Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE, CF, cát tuyến CMN tới đờng tròn Đờng thẳng nối C với O cắt đờng tròn hai điểm A B Gọi I giao AB với EF Chứng minh rằng: Giáo viên: Tô Quang Cảnh - Trờng THCS Tân Lễ Hng hà - Thái Bình - DĐ 0975633142 tia phân giác góc ABC ACB cắt AQ theo thứ tù t¹i E, F Chøng minh: a) PC2 = PI.PA b) Bèn ®iĨm B, C, E, F cïng thc mét đờng tròn Chứng minh đờng thẳng tiếp tuyến đờng tròn Bài Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB hai tiếp tuyến Ax, By Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn C (C khác A, B) cắt Ax, By lần lợt E, F Chứng minh rằng: a) EO vuông góc với OF b) Tam giác EOF đồng dạng với tam giác ACB c) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác EOF tiếp xúc với AB Bài Cho tam giác cân ABC (CA = CB), I trung điểm AB Đờng tròn (O) tiếp xúc với AB A cắt CI H C a) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC b) Gọi B điểm đối xứng với B qua AC Chứng minh B thuộc đờng tròn (O) c) Chứng minh điều ngợc lại H trực tâm tam giác cân ABC đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHC tiếp xúc với AB Bài 10 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB C, D hai điểm AC AD cắt tiếp tuyến Bx nửa đờng tròn lần lợt E, F a) Chøng minh ABD = AFB, ABC = AEB b) Chøng minh tø gi¸c CDFE néi tiÕp c) Gọi I trung điểm FB, chứng minh DI tiếp tuyến nửa đờng tròn d) Giả sử CD cắt Bx G, phân giác góc CGE cắt AE, AF lần lợt N, M Chứng minh tam giác AMN cân Bài 11 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) E điểm cung AB Hai dây EC, ED cắt AB theo thứ tự P, Q Các dây AD EC kéo dài cắt I Các dây BC ED kéo dài cắt K Chứng minh r»ng: a) Tø gi¸c CDIK néi tiÕp b) Tø gi¸c CDQP nội tiếp c) IK // AB d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA A Chứng minh hai đờng thẳng song song vuông góc Bài 13 Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng phân giác góc B, C lần lợt cắt đờng tròn E, F Dây cung EF cắt AC, AB lần lợt H, I K giao điểm CF BE a) Chứng minh tam giác FKB EAK cân b) Chứng minh tứ giác FIKB nội tiếp Từ suy IK // AC c) Cã nhËn xÐt g× vỊ tứ giác AIKH? Giáo viên: Tô Quang Cảnh - Trờng THCS Tân Lễ Hng hà - Thái Bình - DĐ 0975633142 Bài 14 Trong đờng tròn (O) cho hai dây AC BD vuông góc với I Chứng minh rằng: a) Khoảng cách từ O tới AB nửa độ dài CD b) Đờng thẳng qua I trung điểm BC vuông góc với AD Bài 15 Cho đờng tròn đờng kính BC Một điểm P đờng tròn có hình chiếu BC điểm A đờng tròn Giao PB, PC với đờng tròn lần lợt M, N Giao AN với đờng tròn E Chứng minh r»ng: a) Bèn ®iĨm A, B, N, P n»m đờng tròn b) EM vuông góc với BC Bài 16 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) có hai đờng chéo AC BD vuông góc với I Gọi E, F, G, H lần lợt trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh: a) EFGH hình chữ nhật b) GIEO hình bình hành c) Hình chiếu I cạnh trung điểm cạnh tứ giác ABCD nằm đờng tròn Bài 17 Tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp đờng tròn (O), ACB = 450 Các đờng cao AA, BB tam giác cắt H cắt đờng tròn lần lợt P, Q Hai đờng thẳng AQ BP giao S a) Chứng minh PQ đờng kính đờng tròn (O) b) Chứng minh ACBS hình bình hành c) Chứng minh tam giác ASH APQ d) NÕu tam gi¸c ABC cã gãc B tï kết không? Chứng minh điều Bài 18 Cho tam giác ABC, có góc A nhọn, nội tiếp đờng tròn tâm O, bán kính R Hai đờng cao BI CJ lần lợt cắt đờng tròn I,J a) Chứng minh IJ // I’J’ b) Chøng minh OA IJ c) Cho B, C cố định, A di chuyển cung lớn BC đờng tròn (O) Chứng minh bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIJ không đổi Chứng minh ba điểm thẳng hàng Bài 19 Cho hình thang ABCD (AD đáy lớn, BC đáy nhỏ) nội tiếp đờng tròn tâm O Các cạnh bên AB CD cắt E; tiếp tuyến B D đờng tròn (O) cắt F K giao điểm BF ED a) Chứng minh r»ng tø gi¸c BEFD néi tiÕp b) Chøng minh EF // BC c) Khi tứ giác AEFD hình bình hành Khi hÃy chứng minh EC.EK = ED.CK d) Vẽ hình bình hành BDFP Đờng tròn ngoại tiếp tam giác BFP cắt đờng tròn (O) ®iÓm thø hai Q Chøng minh r»ng D, P, Q thẳng hàng Bài 20 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), với trực tâm H Kéo dài AH cắt đờng tròn E Kẻ đờng kính AOF Giáo viên: Tô Quang Cảnh - Trờng THCS Tân Lễ Hng hà - Thái Bình - DĐ 0975633142 a) Chứng minh tứ giác BCFE hình thang cân b) Chứng minh BAE = CAF c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh H, I, F thẳng hàng Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy Bài 21 Hai đờng tròn (O), (O) cắt A B Đờng thẳng vuông góc với AB B cắt đờng tròn (O) (O) lần lợt C, D Các đờng thẳng CA, DA cắt (O), (O) theo thứ tự E, F Chứng minh a) Tứ giác CFED nội tiếp b) AB phân giác góc FBE c) Các đờng thẳng CF, DE, AB đồng quy Bài 22 Cho hai đờng tròn (O;R) (O;R) tiếp xúc A (R > R) Đờng nối tâm OO cắt đờng tròn (O) (O) theo thứ tự B C (B C khác A) EF dây cung đờng tròn (O) vuông góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đờng tròn (O) D a) Tứ giác BECF hình gì? b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng c) CF cắt đờng tròn (O) G Chứng minh ba đờng EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng tròn (O) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn Bài 23 Cho ba điểm thẳng hàng theo thø tù lµ A, B, C VÏ hai nưa đờng tròn đờng kính AB BC (về phía so với AC) Trên đờng thẳng vuông góc với AC B lấy điểm D cho ADC = 900 Giao DA, DC với hai nửa đờng tròn E, F Chøng minh r»ng: a) EF lµ tiÕp tuyÕn chung hai nửa đờng tròn b) Tứ giác AEFC nội tiếp đợc Bài 24 Hai đờng tròn (O; R) (O;R) cắt A, B Đờng thẳng AO cắt (O), (O) lần lợt C, E; đờng thẳng AO cắt (O), (O) lần lợt D, F Chứng minh rằng: a) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc b) Tứ giác ODEO nội tiếp đợc c) A tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE d) Nếu DE tiếp tuyến chung hai đờng tròn AB=R=R Cho trớc hai đờng tròn tiếp xúc Bài 25 Hai đờng tròn (O1) (O2) tiếp xúc A Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt B, C Tiếp tuyến A với hai đờng tròn (O1), (O2) cắt BC I a) Chứng minh tam giác ABC vuông b) Chứng minh O1IO2 = 900 c) Các tia BA CA cắt (O 2) (O1) lần lợt D, E Chứng minh diện tích hai tam giác ADE ABC Chứng minh điểm cố định Giáo viên: Tô Quang Cảnh - Trờng THCS Tân Lễ Hng hà - Thái Bình - DĐ 0975633142 Bài 26.Cho đờng tròn (O) dây cung AB Trên tia AB lấy điểm C nằm đờng tròn Từ điểm P cung lớn AB kẻ đờng kính PQ, cắt dây AB D Tia CP cắt đờng tròn điểm thứ hai I Các dây AB QI cắt K a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp đợc b) Chứng minh CI.CP = CK.CD c) Chứng minh IC tia phân giác góc đỉnh I tam giác AIB d) Cố định A, B, C Chứng minh đờng tròn (O) thay đổi nhng qua A, B đờng thẳng QI qua điểm cố định Bài 27 Cho đờng tròn (O) bán kính R đờng thẳng d cắt (O) C, D Một điểm M di động d cho MC > MD đờng tròn (O) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB Gọi H trung điểm CD giao AB với MO, OH lần lợt lµ E, F Chøng minh r»ng: a) OE.OM = R2 b) Tứ giác MEHF nội tiếp c) Đờng thẳng AB qua điểm cố định Xác định vị trí đặc biệt để có hình đặc biệt Bài 28 Từ điểm M nằm đờng tròn (O) kẻ tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn Gọi I trung điểm MA K giao điểm BI với đờng tròn Tia MK cắt đờng tròn (O) C a) Chứng minh tam giác MIK BIM đồng d¹ng b) Chøng minh BC song song víi MA c) Gọi H trực tâm tam giác MAB Chứng minh khoảng cách HA không phụ thuộc vị trí M d) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AMBC hình bình hành Bài 29 Trong đờng tròn (O) nội tiếp tam giác ABC với trực tâm H, M điểm cung BC không chứa A a) Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành b) Gọi điểm đối xứng M qua AB, AC lần lợt N, E Chứng minh tứ giác AHBN, AHCE nội tiếp đợc c) Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng Quỹ tích Bài 30 Hai đờng tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn (O) (I) lần lợt P, Q Gọi C giao điểm hai đờng thẳng PO QI a) Chứng minh r»ng c¸c tø gi¸c BCQP, OBCI néi tiÕp b) Gäi E, F lần lợt trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đờng thẳng d quay quanh A K chuyển động đờng nào? Giáo viên: Tô Quang Cảnh - Trờng THCS Tân Lễ Hng hà - Thái Bình - DĐ 0975633142 c) Tìm vị trí d để tam giác PQB cã chu vi lín nhÊt Chøng minh quan hƯ vỊ đại lợng Bài 31 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, với trực tâm H Vẽ hình bình hành BHCD Đờng thẳng qua D song song với BC cắt đờng thẳng AH E a) Chứng minh điểm A, B, C, D, E thuộc đờng tròn b) Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh BAE = OAC BE = CD c) Gọi M trung điểm BC, đờng thẳng AM cắt OH G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC Bài 32 Cho dây cung BC cố định đờng tròn (O;R) Điểm A chuyển động cung lớn BC ( A khác B, C) Hai đờng cao AE, BF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh CE.CB = CF.CA b) Đờng thẳng AE cắt đờng tròn (O) H Chứng minh H H đối xứng qua BC c) Gọi hình chiếu O BC I Chứng minh tỉ số không đổi d) Chứng minh H chạy cung tròn cố định Bài 33 Hai đờng tròn (O;R) (O;R) cắt A B Đờng vuông góc với AB B cắt đờng tròn (O) (O) lần lợt C D Một đờng thẳng d qua B cắt (O) (O) lần lợt E F a) Chứng minh tam giác ACD cân b) Chứng minh AE = AF c) Gäi K lµ giao cđa CE DF Chứng minh tứ giác AEKF nội tiếp đợc d) Khi d quay quanh B trung điểm I EF chuyển động đờng nào? Bài 34 Cho đờng tròn (O) bán kính R dây cung AB = R , C điểm thay đổi cung lớn AB Gọi H trực tâm tam giác ABC Các đờng thẳng AH, BH cắt đờng tròn (O) lần lợt M, N Giao AN với BM P a) Chứng minh MN đờng kính đờng tròn (O) b) Chứng minh CO // PH c) Gäi L lµ giao cđa AB víi MN Chøng minh r»ng: CHP = ALM vµ hiƯu AOM - ALM không phụ thuộc vào vị trí C Bài 35 Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) có AC > AB Gọi D điểm cung nhỏ BC, P giao điểm AB CD Tiếp tuyến đờng tròn C cắt tiếp tuyến đờng tròn D cắt AD lần lợt E, Q a) Chứng minh DE // BC b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đợc c) Chøng minh DE // PQ d) Chøng minh r»ng nÕu F giao điểm AD BC Giáo viên: Tô Quang Cảnh - Trờng THCS Tân Lễ Hng hà - Thái Bình - DĐ 0975633142 a) Xác định vị trí CD để CD có độ dài lín nhÊt b) Gäi E lµ giao cđa OC vµ OD Chứng minh tứ giác OOEB nội tiếp đợc đờng tròn c) Khi CD quay quanh A trung điểm I PQ chuyển động đờng nào? Bài 36 Cho đờng tròn đờng kính AB điểm C AB Trên đờng tròn lấy điểm D I điểm cung nhỏ DB, IC cắt đờng tròn E, DE cắt AI K a) Chứng minh tứ giác AKCE nội tiếp b) Chứng minh CK vuông góc với AD c) Kẻ Cx // AD cắt DE F Chứng minh tứ gi¸c CBEF néi tiÕp d) Chøng minh CF = CB Toán cực trị Bài 37 Xét tam giác ABC có góc B, C nhọn Các đờng tròn đờng kính AB AC cắt điểm thứ hai H Một đờng thẳng d qua A lần lợt cắt hai đờng tròn nói M, N a) Chứng minh H thuộc cạnh BC b) Tứ giác BCNM hình gì? c) Gọi P,Q lần lợt trung ®iĨm cđa BC, MN Chøng minh ®iĨm A, H, P, Q thuộc đờng tròn d) Xác định vị trí d để MN có độ dài lớn Bài 38 Hai đờng tròn (O) (O) cắt A B Một đờng thẳng biến thiên qua A cắt (O) (O) theo thứ tự C D Gọi P Q hình chiếu O O CD Bài kiểm tra Bài 39 Cho tam gi¸c ABC (AC > AB, BAC > 900); I, K theo thứ tự trung điểm AB, AC Các đờng tròn đờng kính AB, AC cắt điểm thứ hai D; tia BA cắt đờng tròn (K) điểm thứ hai E; tia CA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai F a) Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đợc c) Chứng minh ba đờng thẳng AD, BF, CE đồng quy d) Gọi H điểm thứ hai tia DF với đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF HÃy so sánh độ dài đoạn thẳng DH, DE Giáo viên: Tô Quang Cảnh - Trờng THCS Tân Lễ Hng hà - Thái Bình - DĐ 0975633142 Bài 40 Cho đờng tròn (O) bán kính R, dây AB cố định (AB < 2R) điểm M cung lớn AB (M khác A, B) Gọi I trung điểm dây AB (O) đờng tròn qua M, tiếp xúc với AB A Đờng thẳng MI cắt (O), (O) lần lợt giao điểm thø hai lµ N, P Chøng minh r»ng: a) IA2 = IP.IM b) Tứ giác ANBP hình bình hành c) IB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác MBP d) Khi M di chuyển trọng tâm G tam giác PAB chạy cung tròn cố định ... trớc hai đờng tròn tiếp xúc Bài 25 Hai đờng tròn (O1) (O2) tiếp xúc A Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt B, C Tiếp tuyến A với hai đờng tròn (O1), (O2) cắt BC I a) Chứng minh tam... Bài 20 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), với trực tâm H Kéo dài AH cắt đờng tròn E Kẻ đờng kính AOF Giáo viên: Tô Quang Cảnh - Trờng THCS Tân Lễ Hng hà - Thái Bình - DĐ 09756331 42 a)... minh a) Tứ giác CFED nội tiếp b) AB phân giác góc FBE c) Các đờng thẳng CF, DE, AB đồng quy Bài 22 Cho hai đờng tròn (O;R) (O;R) tiếp xúc A (R > R) Đờng nối tâm OO cắt đờng tròn (O) (O) theo thứ