Toán 8 Chuyên đề: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức7998

Chun đề BDHSG Tốn Tìm GTLN, GTNN biểu thức - CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC A Các kiến thức thường sử dụng là: + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: ab  ab ; Dấu “=” xảy a = b” + Bất đẳng thức: ac  bd   a  b c  d (BĐT: Bunhiacopxki); Dấu “=” xảy a b  c d + a  b  a  b ; Dấu “=” xảy ab  + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nếu y  a   f ( x) y = a f(x) = Nếu y  a   f ( x) max y = a f(x) = + Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách ví dụ dạng 2) C CÁC DẠNG TỐN VÀ CÁCH GIẢI  Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài tốn 1: Tìm GTNN biểu thức: a) A  x  x  11 b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) c) C  x  x  y  y  Giải: a) A  x  x  11  x  x   10  2 x  1  10  10  Min A = 10 x   b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36  -36  Min B = -36 x = x = -5 c) C  x  x  y  y  = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + = (x – 1)2 + (y – 2)2 +   Min C = x = 1; y = Bài tốn 2: Tìm GTLN biểu thức: a) A = – 8x – x2 Gv: Nguyễn Bá Thiện ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm Chuyên đề BDHSG Tốn Tìm GTLN, GTNN biểu thức - b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y Giải: a) A = – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21  21  Max A = 21 x = -4 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + = -(x – 1)2 – (2y + 1)2 +   Max B = x = 1, y   Bài tốn 3: Tìm GTNN của: a) M  x   x   x   x  b) N  2 x  1  x   2 Giải: a) M  x   x   x   x  Ta có: x 1  x   x 1   x  x 1   x  Dấu “=” xảy (x – 1)(4 – x)  hay  x  x   x 3  x   3 x  x  3 x 1 Dấu “=” xảy (x – 2)(3 – x)  hay  x  Vậy Min M = + =  x  b) N  2 x  1  x    x   x   2 Đặt t  x  t  1 N  4 3 Dấu “=” xảy t    t  2   2x 1  x   3  Do N   t   x      2  x   2x 1     Vậy N    x  hay x   4 Do N = t2 – 3t + = (t  32 )2  Bài toán 4: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức M = x3 + y3 Giải: M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2 Gv: Nguyễn Bá Thiện ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm Chun đề BDHSG Tốn  Tìm GTLN, GTNN biểu thức - x2 y x2 y2 y   x    xy   (x  y2 )     2 2 2   M  ( x2  y ) 2 Ngoài ra: x + y =  x2 + y2 + 2xy =  2(x2 + y2) – (x – y)2 = => 2(x2 + y2) ≥ 1 1 x  y   x  y  2 2 1 1 Ta có: M  ( x  y ) ( x  y )   M   2 2 1 Do M  dấu “=” xảy  x  y  1 Vậy GTNN M   x  y  Do x  y  Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = Tìm GTLN GTNN biểu thức x2 + y2 Giải: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 =  [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 =  x4 + 2x2 + + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 =  x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + =  x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + = -4x2  (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2 Đặt t = x2 + y2 Ta có: t2 – 3t + = -4x2 Suy ra: t2 – 3t + ≤  t  .t    4  3  t     t   2  2 5 t  2 3 3  t  2  Vì t = x2 + y2 nên : Gv: Nguyễn Bá Thiện ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm Chun đề BDHSG Tốn Tìm GTLN, GTNN biểu thức - 3 3 GTNN x2 + y2 = GTLN x2 + y2 = Bài toán 6: Cho ≤ a, b, c ≤ Tìm GTLN GTNN biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca Giải: Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca) = a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) (vì  a, b, c  ) Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = b = c = Vậy GTNN P = Theo giả thiết ta có: – a  0; – b  0; – c  0;  (1-a)(1-b)(1-c) = + ab + bc + ca – a – b – c – abc   P = a + b + c – ab – bc – ac   abc  Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý  0;1 Vậy GTLN P = Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm GTLN GTNN x + y Giải: Ta có: (x + y)2 + (x – y)2  (x + y)2  2(x2 + y2)  (x + y)2 Mà x2 + y2 =  (x + y)2   x y     x y  - Xét x  y  x  y Dấu “=” xảy    x  y  x y 2 - Xét x  y   x  y Dấu “=” xảy    x  y   x y Vậy x + y đạt GTNN   x  y  Gv: Nguyễn Bá Thiện  2  ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm Chuyên đề BDHSG Toán Tìm GTLN, GTNN biểu thức - Bài tốn 8: Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2  27 Tìm GTLN GTNN biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx Giải: Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2   2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx   (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx)  3(x2 + y2 + z2)  81  x + y + z  (1) Mà xy + yz + zx  x2 + y2 + z2  27 (2) Từ (1) (2) => x + y + z + xy + yz + zx  36 Vậy max P = 36 x = y = z = Đặt A = x + y + z B = x2 + y2 + z2 A2  B ( A  1) B  B 1    2 2 B 1 Vì B  27    -14  P  -14  x  y  z  1 Vậy P = -14  2  x  y  z  27  P  A Hay x   13; y  13; z  1 Bài toán 9: Giả sử x, y số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 Tìm giá trị x y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN Tìm GTNN Giải: Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + Đặt t = xy thì: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100 Do đó: P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + = t4 + 2t2 – 40t + 101 = (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45  P  45 dấu “=” xảy  x + y = 10 xy = Vậy GTNN P = 45  x + y = 10 xy = Bài toán 10: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Gv: Nguyễn Bá Thiện ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm Chuyên đề BDHSG Toán Tìm GTLN, GTNN biểu thức Giải: Ta có: x + y =  y = – x Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 = x2 + – 4x + x2 = 2x2 – 4x + = 2( x2 – 2x) + = 2(x – 1)2 +  Vậy GTNN A x = y =  Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài tốn 1: Tìm GTLN GTNN của: y  4x  x2  Giải: * Cách 1: y 4x  ax  x   a  a  x2  x2  Ta cần tìm a để ax  x   a bình phương nhị thức  a  1 a  Ta phải có:  '   a(3  a)    - Với a = -1 ta có: y 4x  x2  4x  ( x  2)  1     x 1 x2  x2   y  1 Dấu “=” xảy x = -2 Vậy GTNN y = -1 x = -2 - Với a = ta có: 4x  -4x  x  (2 x  1)  4   4 x 1 x2  x2  1 Dấu “=” xảy x = Vậy GTLN y = x = y * Cách 2: Vì x2 +  nên: y  4x   yx  x  y   (1) x 1 y giá trị hàm số  (1) có nghiệm Gv: Nguyễn Bá Thiện ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm Chun đề BDHSG Tốn Tìm GTLN, GTNN biểu thức - - Nếu y = (1)  x   - Nếu y  (1) có nghiệm   '   y ( y  3)   ( y  1)( y  4)   y 1   y 1    y   y    1  y  Vậy GTNN y = -1 x = -2 Vậy GTLN y = x = x2  x  x2  x  Bài tốn 2: Tìm GTLN GTNN của: A  Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau có nghiệm: a x2  x  (1) x2  x  1 2 Do x2 + x + = x2 + .x +  1  x   0 4  2 Nên (1)  ax2 + ax + a = x2 – x +  (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = (2)  Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x =  Trường hợp 2: Nếu a  để (2) có nghiệm, điều kiện cần đủ   , tức là: (a  1)  4(a  1)(a  1)   (a   2a  2)(a   2a  2)   (3a  1)(a  3)    a  3(a  1) (a  1) a 1  Với a  a = nghiệm (2) x  2(a  1) 2(1  a ) Với a  x = Với a = x = -1 Kết luận: gộp trường hợp 2, ta có: GTNN A  x = GTLN A = x = -1 Bài toán 3: a) Cho a, b số dương thỏa mãn ab = Tìm GTNN biểu thức: A  (a  b  1)(a  b )  Gv: Nguyễn Bá Thiện ab ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm Chuyên đề BDHSG Tốn Tìm GTLN, GTNN biểu thức - b) Cho m, n số nguyên thỏa 1   Tìm GTLN B = mn 2m n Giải: a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 b2 a  b  a 2b  2ab  (vì ab = 1) 4  A  (a  b  1)(a  b )   2(a  b  1)    (a  b  )  ( a  b) ab ab ab Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b ab 4  (a  b) 4 Ta có: (a + b) + ab ab Mặt khác: a  b  ab  Suy ra: A   (a  b  )  ( a  b)     ab Với a = b = A = Vậy GTNN A a = b = b) Vì 1   nên hai số m, n phải có số dương Nếu có 2m n hai số âm B < Vì ta tìm GTLN B = mn nên ta xét trường hợp hai số m, n dương Ta có: 1    3(2m  n)  2mn  (2m  3)(n  3)  2m n Vì m, n  N* nên n –  -2 2m –  -1 Ta có: =1.9 = 3.3 = 9.1; Do xảy ra:  2m    m   B = mn = 2.12 = 24 n   n  12  2m    m   +  B = mn = 3.6 = 18 n   n   2m   m   +  B = mn = 6.4 = 24 n   n  m  m  Vậy GTLN B = 24  hay  n  12 n  +  Bài toán 4: Giả sử x y hai số thỏa mãn x > y xy = Tìm GTNN biểu thức: A  x2  y x y Giải: Gv: Nguyễn Bá Thiện ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm Chun đề BDHSG Tốn Ta viết: A  Tìm GTLN, GTNN biểu thức - x  y x  xy  y  xy ( x  y )  xy   x y x y x y Do x > y xy = nên: A  ( x  y )  xy x y x y  x y    x y x y x y Vì x > y  x – y > nên áp dụng bất đẳng thức côsi với số khơng âm, ta có: x y x y  x y x y   ( x  y )   ( x  y )  (Do x – y > 0) Dấu “=” xảy  x y Từ đó: A    x  y  Vậy GTNN A    xy  A   x   x  1  hay  Thỏa điều kiện xy =  y  1   y  1  Bài tốn 5: Tìm GTLN hàm số: y  x  x 1 Giải: 1 y  x  x 1  1 x   2  Ta viết: 1 3 Vì  x     Do ta có: y  Dấu “=” xảy  x   2 4  1 Vậy: GTLN y  x  Bài tốn 6: Cho t > Tìm GTNN biểu thức: f (t )  t  4t Giải: Ta viết: f (t )  t  4t  (2t  1)  4t (2t  1)    1 4t 4t 4t 4t Vì t > nên ta có: f (t )  Dấu “=” xảy  2t    t  2 Vậy f(t) đạt GTNN t  Bài tốn 7: Tìm GTNN biểu thức: g (t )  Ta viết: g (t )  t 1  1 2 t 1 t 1 t 1 t2 1 Giải: Gv: Nguyễn Bá Thiện ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm Chun đề BDHSG Tốn Tìm GTLN, GTNN biểu thức - g(t) đạt GTNN biểu thức đạt GTLN Nghĩa t2 + đạt GTNN t 1 Ta có: t2 +   (t2 + 1) = t =  g(t) = – = -1 Vậy GTNN g(x) -1 t = Bài toán 8: Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = Tìm GTNN biểu thức: E  1   x ( y  z ) y ( z  x) z ( x  y ) Giải: 1 1 1 Đặt a  ; b  ; c   abc  x y z xyz 1 Do đó:   a  b  x  y  (a  b).xy  x  y  c(a  b) x y Tương tự: y + z = a(b + c) z + x = b(c + a) E 1 1 1   x ( y  z ) y ( z  x) z ( x  y ) a2 b2 c2 1  b3  c3    a (b  c) b (c  a ) c ( a  b) b  c c  a a  b a b c    Ta có: (1) bc ca ab  a3 Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z x yz yzx zx y x yz a ;b  ;c  2 a b c yzx zx y x yz VT       bc ca ab 2x 2y 2z 1 y x 1 z x 1 z y 3               111  2 x y 2 x z  2 y z  2  abc  Khi đó, Nhân hai vế (1) với a + b + c > Ta có: a ( a  b  c ) b( a  b  c ) c ( a  b  c )    (a  b  c) bc ca ab 2 2 a b c a  b  c abc 3       E bc ca ab 2 2  GTNN E a = b = c = Gv: Nguyễn Bá Thiện ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm 10 Chuyên đề BDHSG Tốn Tìm GTLN, GTNN biểu thức - Bài toán 9: Cho x, y số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 2x  3y Tìm GTLN, GTNN biểu thức: a  2x  y  Từ a  2x  3y 2x  y  (*) Giải:  a(2x+y+z) = 2x+3y  2ax + ay + 2a – 2x +3y =  2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số (2x; y) (a – 1; a – 3) Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2] => 4a  (a  1)  (a  3) (vì 4x2+y2 = 1) Do ta có: 4a  (a  1)2  (a  3)2  a  2a   a  6a   2a  8a  10   a  4a   a    (a  1)(a  5)    (Vì a + > a – 1)   a  a   * Thay a = vào (1) ta được: -2y = -2  y = Thay y = vào (*) ta có: x =  (x; y) = (0;1) * Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5)  12 x  y  10  x  y  5  y  Thay vào (*) ta được: 6 x   6 x   4x2    1    100 x  60 x    x    3 4   y    ( x; y )   ;  10  10  Vậy GTLN a x = 0; y = GTNN a -5 x   ;y 10 Bài toán 10: Giả sử x, y hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = Hãy tìm gái trị nhỏ cảu biểu thức:  1 M =  x     y   x  y  2 Giải: Gv: Nguyễn Bá Thiện ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm 11 Chuyên đề BDHSG Tốn  1 Ta có: M =  x     y   x y   Tìm GTLN, GTNN biểu thức   1 = x2    y   x y = + x2 + y2 +  x2  y    x  y 1  2  2 x y  x y  Vì x, y > nên ta viết:  x y    x  y  2 xy 1   2  16 (1) x y xy Dấu “=” xảy x  y  Mà x + y = nên  xy  Ngoài ta có: ( x  y )   x  y  xy  2( x  y )  xy  x  y  2( x  y )  ( x  y )  2( x  y )  (vì x + y = 1) (2)  x2  y  Dấu “=” xảy x  y  Từ (1) (2) cho ta: M   ( x  y )(1  Do đó: M  1 25 )   (1  16)  x y 2 25 Dấu “=” xảy đồng thời (1) (2) xảy dấu “=” nghĩa x y Vậy GTNN M  25 x  y  2 * Dạng 3: CÁC BÀI TỐN MÀ BIỂU THỨC CHO CĨ CHỨA CĂN THỨC Bài tốn 1: Tìm GTLN hàm số: y  x    x Giải: * Cách 1: x     x  4(*) 4  x  Điều kiện:  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2) Dấu “=” xảy Gv: Nguyễn Bá Thiện a b  c d ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm 12 Chun đề BDHSG Tốn Tìm GTLN, GTNN biểu thức - Chọn a  x  2; c  1; b   x ; d  với  x  Ta có: y2   x2  4 x    x2     x   1   2 2  y  x    4  x   y2   y  Vì y > nên ta có:  y  Dấu “=” xảy  x    x  x    x  x  (Thỏa mãn (*)) Vậy GTLN y x = * Cách 2: Ta có: y  x    x x   2 x4 4  x  Điều kiện:  Vì y > nên y đạt GTLN y2 đạt GTLN Ta có: y  x    x  ( x  2)(4  x)  y   ( x  2)(4  x) x   nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm 4  x  Do  x    cho ta: ( x  2)(4  x)  ( x  2)  (4  x)  Do y    Dấu “=” xảy  x    x  x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTLN hàm số y x = Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số: y  x    x (1  x  5) Giải: a) GTLN: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số: (3; 4) ( ( x  1;  x ) ta có: y  (3 x    x )  (32  42 )       x    100 x 1  y  100 => y  10 Dấu “=” xảy x = * b) Gía trị nhỏ nhất: Ta có: y = x    x  x    x   x =  x    x   x Đặt: A = x    x t2 = + x  15  x   => A  dấu “=” xảy x = x = Vậy y  + = Dấu “=” xảy x = Do GTNN y x = Bài toán 3: GTNN y x = Tìm GTNN biểu thức: M = x  1994   ( x  1995)2 Giải: M = x  1994   ( x  1995)2 = x  1994  x  1995 Áp dụng bất đẳng thức: a  b  a  b ta có: M = x  1994  x  1995  x  1994  1995  x => M  x  1994  1995  x  Dấu “=” xảy (x – 1994) (1995 – x)  1994  x  1995 Vậy GTNN M =  1994  x  1995 Bài tốn 4: Tìm GTNN B = 3a +  a với -1  a  Giải: B = 3a +  a    a   16  1  a  25 Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta 3 16  1  a    a 16 5  a   1  a        25 25 2 2   25a  41  25a  => B    5  25   Gv: Nguyễn Bá Thiện ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm 14 Chuyên đề BDHSG Tốn Tìm GTLN, GTNN biểu thức - => Do B  dấu “=” xảy  a  a =   16   a  25 Vậy GTNN B = a = Bài toán 5: Tìm GTNN biểu thức: A=  x  x2  Giải: Điều kiện: x  x     x  x  1  -(x-1)2 +   x  1   2  x   2   2  x  2  Với điều kiện ta viết: x  x    x  1    x  x    2 => + x  x    2    1 Do đó:  2x  x  Vậy A      1  1 2 1 dấu “=” xảy x -1 = x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTNN A =   1 x  Bài tốn 6: Tìm GTNN biểu thức: A =  3x  x2 Giải: Điều kiện: – x2 > x2 < - < x < => A > => GTNN A  A2 đạt GTNN Gv: Nguyễn Bá Thiện ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm 15 Chuyên đề BDHSG Toán 5  3x  Ta có: A2 =   x2  Tìm GTLN, GTNN biểu thức - 25  30 x  x 3  x    16  16  x2  x2  Vậy GTNN A = x  Bài toán 7: Cho x > ; y = thỏa mãn x + y  Tìm GTNN biểu thức: A = x   x Giải: Điều kiện: – x2   1  x  Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2  – x2  Ta có: x2 + – x2  x 1  x     x   x 2  Vậy GTLN A = x =  hay x = 2   A  A  Bài tốn 8: Tìm GTLN biểu thức: y = x  1996  1998  x Giải: Biểu thức có nghĩa 1996  x  1998 Vì y  với x thỏa mãn điều kiện 1996  x  1998 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x  1996 1998  x   ( x  1996)  (1998  x)  Dấu “=” xảy x – 1996 = 1998 – x x = 1997 Do y2   y  Vậy GTLN y x = 1997 Bài toán 9: Cho  x  Tìm GTLN biểu thức y = x + 1  x  Giải: Ta có: y  x  1  x  = x +  1  x  Vì  x  nên – x  Gv: Nguyễn Bá Thiện ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm 16 Chun đề BDHSG Tốn Tìm GTLN, GTNN biểu thức - Áp dụng bất đẳng thức Cô si số: (1 – x) cho ta: 1 1  x   x   1  x   2 1 Dấu “=” xảy   x  x  2 Vậy GTLN y x = 2 y  x  2 Bài toán 10: Cho M = a   a   a  15  a  Tìm TGNN M Giải: M = a   a   a  15  a  = a   a    a   a   16 =  a 1  2   a 1  4 2 Điều kiện để M xác định a –   a  Ta có: M  a    a   Đặt x = a  điều kiện x  Do đó: M = x   x  Ta xét ba trường hợp sau: 1) Khi x  x    x     x Và x    x     x => M = – x + – x = – 2x   2.2  Vậy x < M  2) Khi x  x   x  x-4 =x-4 => M = x   x   x      Vậy x > M  3) Khi < x < x   x  x    x => M = x – + – x = (không phụ thuộc vào x) Trong trường hợp thì:  a    a   16  a  17 Cả ba trường hợp cho ta kết luận: GTNN M = tương ứng với:  a  17 Gv: Nguyễn Bá Thiện ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm 17 Chun đề BDHSG Tốn - Tìm GTLN, GTNN biểu thức D CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: A = (2x – 3)2 – với x  1 x  Gợi ý: - Xét trường hợp: x ≥ x ≤ -1 - Kết luận: Min A = x = Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 –  7 Xảy đẳng thức x = giá trị không thỏa mãn x  1 , không thỏa mãn x  Do khơng thể kết luận GTNN A – Bài 2: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = Tìm giá trị m để x12  x22 có giá trị nhỏ Gợi ý:  = 4(m - )2 + > Phương trình cho có nghiệm với m theo hệ thức Vi-ét, ta có: x12  x22  ( x1  x2 )  x1 x2  (2m  1)  2(m  2)  4m  6m  11 11 =  2m     2 4  11 => Min ( x12  x22  với m = 4 Bài toán 3: Cho x, y hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2 Gợi ý: Rút x theo y vào E Bài tốn 4: Tìm GTLN GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Biết x y số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = Gợi ý: Gv: Nguyễn Bá Thiện ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm 18 Chuyên đề BDHSG Tốn Tìm GTLN, GTNN biểu thức - Từ x2 + y2 – xy = 2x2 + 2y2 – 2xy = A + (x – y)2 = Max A = x = y Mặt khác: 2x2 + 2y2 = + 2xy 3A = + (x + y)2  8 => A   A = x = - y Bài toán 5: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN GTNN biểu thức: M = x + 2y Giải: Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki (x +2y)2  ( x  y ) (12 + 12) = 50 x  y  50   50  M  50 5 ;y 2 5 Min M = -5 x = ;y=2 2 Vậy Max M = 50 x = Bài tóan 6: Cho x, y hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = Tìm GTLN biểu thức: A= x y  2 x y x  y4 Gợi ý: Từ (x2 – y)2   x  y  x y x x   x y 2x y y  y x => Tương tự:  x2  y  => A  => Max A =  y  x  x  y   xy   Bài tóan 7: Tìm GTNN biểu thức: A=    x  1 x 1  x  1 x 1 Gv: Nguyễn Bá Thiện  ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm 19 Chun đề BDHSG Tốn Tìm GTLN, GTNN biểu thức - Gợi ý: B = x     x   Min B = -  x  Bài tốn 8: Tìm GTNN biểu thức: B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước Gợi ý: Biểu diễn B =  x   => GTNN B = a  b  c  abc  2   a  b  c  3  2 a  b  c  - (a2 + b2 + c2) Bài tốn 9: Tìm GTNN biểu thức: P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45 Gợi ý: Biểu diễn P = (x – – y)2 + 5(y – 1)2 + Vậy Min P = y = ; x = Bài tốn 10: Tìm GTLN biểu thức: E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – Gợi ý: Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – (y – 2)2 => GTLN E = 10  y = ; x = Bài toán 11: Tìm GTLN biểu thức: P = x  y   z Biết x, y, z biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169 Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Max P = 65 x  y  z    x  265      y  525     z  13    Bài tốn 12: Tìm GTNN biểu thức sau: x2  x2 8 b) B = 3x  a) A = Với x  Gv: Nguyễn Bá Thiện Với x ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm 20 ... tốn 8: Tìm GTLN biểu thức: y = x  1996  19 98  x Giải: Biểu thức có nghĩa 1996  x  19 98 Vì y  với x thỏa mãn điều kiện 1996  x  19 98 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x  1996 19 98 ... = giá trị không thỏa mãn x  1 , không thỏa mãn x  Do khơng thể kết luận GTNN A – Bài 2: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = Tìm giá trị m để x12  x22 có giá trị nhỏ. .. ThuVienDeThi.com Trường THCS Hạnh Lâm Chuyên đề BDHSG Toán Tìm GTLN, GTNN biểu thức - Bài tốn 8: Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2  27 Tìm GTLN GTNN biểu thức: x + y + z + xy + yz