Chuyên đề: Các bài tập về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức14932

GV Nguyễn Ngọc Hưng Sưu tầm biên soạn Chuyên đề: CÁC BÀI TẬP VỀ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC I) LÝ THUYẾT: Cho biểu thức f(x,y) Ta nói M GTLN biểu thức f(x,y), ký hiệu maxf = M , hai điều kiện sau thỏa mãn: a Với x, y để f(x,y) xác định f(x,y)  M b Tồn x0 ; y0 cho f( x0 ; y0 )  M Cho biểu thức f(x,y) Ta nói m GTNN biểu thức f(x,y), ký hiệu minf = m , hai điều kiện sau thỏa mãn: a Với x, y để f(x,y) xác định f(x,y)  M b Tồn x0 ; y0 cho f( x0 ; y0 )  m II BÀI TẬP: Bài 1: Cho biểu thức A = a3 +b3 + c3+a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b), với a+b+c = Hãy tìm giá trị nhỏ A Giải: Ta có : A = a3 +b3 + c3+a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b) = a2(a+b+c) + b2(a+b+c)+c2(a+b+c) = (a+b+c)(a2+b2+c2) Với a+b+c = A = a2+b2+c2 Ta c ó a2+b2  2ab a2+ c2  2ac b2 + c2  2bc 2(a2 + b2 +c2)  2(ab + bc + ac) (1) Cộng thêm vào hai vế (1) với a2 + b2 + c2  3(a2 + b2 + c2)  (a+b+c)2  3A   A  a+b+c = nên a =b=c = Dấu “ = ” xảy a= b =c Mà 3 Do A đạt giá trị nhỏ a =b=c = Bµi 2: Cho x+y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2+y2 Giải: Cách 1: áp dụng bất đẳng thøc Bunhiac«pski : (ac+bd)2  (a2 + b2)(c2+d2) dÊu = x¶y  a b  (*) c d Chän a = x ; c=1 ; b=y d =1 Ta cã : (x.1+y.1)2  (x2+y2)(1+1) (x+y)2  (x2+y2)(1+1)  (x2+y2).2  (x2+y2) VËy B  DÊu “= ’’xÈy x=y = ThuVienDeThi.com GV Nguyễn Ngọc Hưng Sưu tầm biên soạn VËy Min B = x = y =1 C¸ch 2: Ta cã : x+y =2  y =2- x Do ®ã: B = x2 + (2-x)2 = x2 +x2- 4x + = 2x2 – 4x + = 2(x2 – 2x+1 +1) = 2(x-1)2 +2  VËy Min B = x-1 =0 hay x= ; y =1 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy – 4y + Giải: 2 Ta có : C = (x - 2xy + y ) + ( y – 4y+4)+1 = (x –y)2 + (y -2)2 + Vì (x – y)2  ; (y-2)2  Do vậy: C  với x;y Dấu “ = ” Xảy x-y = y-2 =0  x=y =2 Vậy: Min C = x = y =2 Bài 4: Tìm giá trị nhỏ cuả biểu thức D = 2x2 – 2xy +5y2 + Giải: Ta có : D = x2 – 4xy + 4y2 + x2 +2xy +y2 +5 D = (x - 2y)2 + (x+y)2 + Ta thấy : (x-2y)2  ; (x+y)2  Nên: D  Dấu “ = ” Xảy : x – 2y = x+ y = x=y=0  Vậy Min D = x = y =0 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức E = 5x2 +8xy + 5y2 – 2x + 2y Giải: Ta có : E = (4x2 + 8xy +4y2 )+(x2 - 2x +1) + (y2 +2y +1) – E = (2x +2y)2 +(x- 1)2 +( y+1)2 - Do E  - Dấu “ = ” xảy 2 x  y  x    x    y  1 y 1   Vậy Min B = -2 x =1 y =-1 Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức F = a3 + b3 + ab (với a + b = 1) Giải: Ta có : F = (a+b)(a2 –ab+b2) +ab Thay a+ b =1 vào F ta F = a2 – ab +b2 + ab F = a2 +b2 ThuVienDeThi.com GV Nguyễn Ngọc Hưng Sưu tầm biên soạn (a+b)2 F= – 2ab F = – 2ab Do a+b =1  a = 1-b thay vào F ta có : F = 1- 2(1-b)b F = -2b+2b2 1 2 1 F = 2(b - ) +  Với b 2 1 Dấu “ = ” xảy : b - =  b = a = 2 1 Vậy Min F = Khi a =b = 2 Bài : Tìm giá trị nhỏ : G (x) = x + (x > 0) 4x Giải: Ta có: G = x + 4x x  x  x   x (2 x  1)  x (2 x  1) = = = 1+  4x 4x 4x 4x V ì x > nên G  (2 x  1) Vậy giá trị nhỏ G : =  (2x -1)2 =  x = 4x F = 2(b2 – b+ ) + Bài 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: H = x(x+1)(x+2)(x+3) Giải: Ta có: H = x(x+3)(x+1)(x+2) H = (x2+ 3x)(x2 + 3x +2) H = (x2+3x)2 + 2(x2+3x) H = (x2+3x)2 + 2(x2+3x)+1 – H = (x2 + 3x +1)2 – H  - 1, dấu ‘ = ’ xảy x2 + 3x +1 =  x = 3 3 2 x 1 Bài 9: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : I(x) = x 1 x 1 2 Giải : Ta có : I(x) = = 1- Do vậy, I(x) đạt giá trị nhỏ biểu thức đạt x 1 x 1 x 1 Vậy giá trị nhỏ H -1 x = giá trị lớn nghĩa x2 + đạt giá trị nhỏ Ta có: x2 +  với x  Min (x2 + 1) = x =  Min I(x) = 1- = -1 Vậy Min I(x) = -1 x = Bài 10: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : J = 3( x2 + y2 + z2 + t2) – 2(xy + yz + zt + tx) – ( x + y + z + t ) + 10 ThuVienDeThi.com GV Nguyễn Ngọc Hưng Sưu tầm biên soạn Giải : Ta có : J = ( x2 – 2xy + y2 ) + ( y2 – 2yz + z2 ) + (z2 – 2zt + t2 ) + ( t2 – 2tx + x2 ) + ( x2 – x + ) + ( y2 – y + ) + ( z2 – z + 1 ) + ( t2 – t + ) + 4 2 2 = ( x – y)2 + ( y – z )2 + ( z – t)2 + (t – x)2 + (x – )2 + (y – )2 + (z – )2 + (t – )2 + Do J  Với x ; y ; z ; t Dấu “ = ” xảy x = y = z = t = Vậy giá trị nhỏ J x = y = z = t = Bài 11: Cho biểu thức: K = x2 + y2 + 2z2 + t2, với x ; y ; z ; t số ngun khơng âm Tìm giá trị nhỏ K giá trị tương ứng x ; y ; z t , biết : x2 – y2 + t2 = 21 Giải: x2 + 3y2 + 4z2 = 101 Theo giả thiết , ta có : x2 – y2 + t2 = 21 x2 + 3y2 + 4z2 = 101  x2 – y2 + t2 + x2 + 3y2 + 4z2 = 122  2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122  2K + t2 = 122  2K = 122 - t2 Do : 2K  122  K  61 Dấu “ = ” xảy t = Vậy K đạt giá trị nhỏ 61 t = Ta có : x2 – y2 + t2 = 21 (1) 2 x + 3y + 4z = 101 (2) Vì x ; y  N nên từ (1) => x > y   x + y  x – y > Do : (x + y)( x – y) = 21 1=  x  y  21  x  11  x  y   y  10 x  y  x     x  y  y  =>  Từ (2) => 3y2  101 => y2  33 =>  y  Ta chọn x = ; y = (2) => z = Vậy Min K =61 x = ; y = ; z = ; t = ThuVienDeThi.com GV Nguyễn Ngọc Hng Su tm v biờn son Bài 12: Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc A = 3xy – trình 5x+2y = 10 Giải: Từ : 5x +2y = 10  y = x2 – y2 BiÕt x; y nghiệm phương 10 x Thay y vµo biĨu thøc A ta cã: 10  x 10  x - x2 – ( ) 2 60 x  30 x  x  100  100 x  25 A= A = (-59x2 +160x-100) 160 100 A = 59 ( -x2 + x ) 59 59 80 6400 5900 6400  A = 59  ( x  2.x   )  59 3481 3481 3481   59 80 500  A =  ( x  )   59 3481 125 59 80 125 A=  (x  )2  59 59 59 125 80 10  x 95 VËy Max A = Khi x = vµ y = = 59 59 59 A = 3x Bµi 13: Cho biÓu thøc B = - a2 – b2 +ab +2a+2b, B đạt giá trị lớn nào? Giải: Ta có B = - a2 b2 +ab +2a+2b  2B = -2a2 – 2b2 +2ab +4a+4b = - (a2 - 2ab +b2) –( a2- 4a +4) – (b2 -4b +4) + = – (a-b)2 – (a-2)2 – (b -2 )2  2B   B  DÊu ‘ = ’ x¶y a = b =2 Vậy B đạt giá trị lớn a = b =2 Bài 14: Tìm giá trị lớn biểu thức C = - 5y2 – 5x2 + 8x – 6y – Gi¶i: C = - (5x2 – 8x ) – (5y2 + 6y) – 16 ) - 5( y2 +2 y  ) + 25 25 C = - ( x  )  ( y  )  5   Do ®ã ta cã : C  4 DÊu ‘ = ’ x¶y ( x  )  ( y  )  =  x  5   VËy giá trị lớn C x  vµ y =  5 C = - 5( x2 - x  vµ y =  Bài 15: Tìm giá trị lớn biÓu thøc D = - 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y -1 Gi¶i: Ta cã D = - 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y -1 ThuVienDeThi.com GV Nguyễn Ngọc Hưng Sưu tầm biên soạn 49 49 = - ( x2 +2xy + y2) – (4x2 - 14x + ) – (y2 - 10 y +25) + +25 – 4 145 =  ( x  y )  (2 x  )  ( y  5) 145  D DÊu ‘ = ’ xảy x y x   y   7   x     x     y    y  ( kh«ng tháa m·n ) VËy giá trị lớn D không tồn Bài 16: Tìm giá trị lớn hàm số y = x    x Gi¶i: Sư dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski : (ac+bd)2 (a2 + b2)(c2+d2) dÊu = x¶y  a b  (*) c d x   a ; c =1  x  b ; d =1 §KX§ :  x  ta cã y2 = ( x    x )2  ( x  2)  (4  x)(1  1) Chän:  y2   y  V× y > nªn ta cã < y  DÊu ‘ = ’ x¶y x    x  x -2 = –x x =3 ( thỏa mÃn ĐKXĐ) Vậy : Giá trị lớn hàm số y t¹i x = Bài 17: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = 2x2 – 8x +1 (với x số thực bất kỳ) Giải: Ta có A = 2x2 – 8x +1 = 2( x- )2 – Ta có với x (x- )2  Nên ta có 2( x2 )2 –  -7 Vậy Ax đạt giá trị nhỏ -7 x=2 Bài 18) Tìm giá trị lớn biểu thức: M = - 5x2 – 4x + (với x số thực bất kỳ) Giải: Ta có Mx = - 5x2 – 4x + = -5 ( x + Với giá trị x ta ln có : -5 ( x + có GTLN M = 2 ) + 5 2 )  Vậy Mx  (dấu = xảy x = - Ta 5 với x = - 5 x  15 x  16 Bài 19) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 3x ThuVienDeThi.com ( Với x số thực dương) GV Nguyễn Ngọc Hưng x  15 x  16 Giải: Ta có Ax = 3x 23 với x= GTNN Ax = Sưu tầm biên soạn ( x  4) 23  = 3x ( x  4) 23 23   với x > Vậy 3x 3 x  x  10 Bài 20) Tìm giá trị lớn biểu thức: M = (với x thuộc tập hợp số thực) x  2x  3 x  x  10 1 Giải: Ta có Mx= =3+ Vì nên ta có:  2 x  2x  ( x  1)  ( x  1)  2 M=3+  + 0,5 = 3,5 Vậy GTLN Mx = 3,5 với (x+1)2 = hay x= -1 ( x  1)  Bài 21) Tìm giá trị lớn biểu thức: Fx,y = xy  y ( y  x)  với x, y số thực x2 y4  2y4  x2  xy  y ( y  x)  y4 1 = y4 +1  với giá trị x nên 4 x y  2y  x  ( y  1)( x  2) x2  với x nên x2 +  với ta chia tử mẫu cho y4 +1 ta : Fx,y = x 2 1 x ,và ta có Fx,y =  x 2 Vậy Fx,y dật GTLN = với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý 8x  với x > Bài 22) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x 8x  2 Giải: Ta có A = = 8x + Ta thấy 8x hai đại lượng lấy giá trị dương áp x x x dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 8x ta có: x 2 8x +  x  16  dấu = xẩy 8x = = > x = x x x Vậy GTNN Ax = với x = Giải: Ta có Fx,y = Bài 23) Tìm giá trị lớn biểu thức B = 16x3 - x6 với x thuộc tập hợp số thực dương Giải: Trước hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có B = 16x3 - x6 = x3(16- x3) Ta có x3 > , cịn 16 – x3 > 16 > x3 hay x < 16 (*) ta thấy x3 16 – x3 hai đại lượng dương, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x3 16- x3 ta có x (16  x )  x  16  x  16 suy x3( 16 – x3)  64 dấu = xẩy x3 = 16- x3 => x = (Thoả mãn *) GTLN Bx = 64 , với x=2 Bài 24) Với giá trị x biểu thức P = x  16 x  56 x  80 x  356 x  2x  ThuVienDeThi.com đạt giá trị nhỏ GV Nguyễn Ngọc Hưng Giải: Ta có : Px = Sưu tầm biên soạn x  16 x  56 x  80 x  356 x  2x  = 4x2 + 8x+ 20 + 256 x  2x  Vì x2 + 2x +5 = (x+1)2 +4 > (*) nên Px xác định với x ta đặt y = x2 + 2x + + 5, ta 256 256 với y > , ta thấy 4y hai đại lượng dương, áp dụng bất đẳng y y 256 ta có : thức Cơsi cho hai số dương 4y y có Px = 4y + 4y + 256 256 256 => y = y = -8  y  2.2.16  64 Dấu = xẩy 4y = y y y từ tính x= -3 x=1 Vậy với x=-3 x=1 GTNN Px = 64 Bài 25) Tìm giá trị lớn biểu thức Q = (x2- 2x + 2)(4x- 2x2+ 2) với x thuộc tập hợp số thực Giải: Đặt x2- 2x +2 = y ta có 4x – 2x2 + = -y +6 Vậy Q = y ( 6- 2y) Ta có 2Q = 2y(6-2y) , ta thấy x2- 2x+2 = (x- 1)2 +1 >0 => y >0 => 6-2y > y  y (6  y ) =>  Qx dấu = xẩy 2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vào ta có x2- 2x +2 = 1,5 => x = 1+ GTLN Qx = 4,5 với x = 1+ 2 x= - Vậy 2 2 x= - 2 Bài 26) Tìm giá trị lớn biểu thức H = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) với x số thực tuỳ ý Giải: Ta có : # 8+ x2 + x =( x+ 31 ) + >0 với giá trị x # 20 – x2 –x > -5 < x < Như H = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) >0 -5 < x