Chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng bất đẳng thức54077

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC I Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm a , a , , a n Ta có a  a   a n  n a 1a a n n Dấu “=” xảy  a = a = = a n Bất đẳng thức Bunhia: Cho dãy số a , , a n b1 , , b n Ta có ( a 12 + + a 2n )( b12 + + b 2n )  (a b1   a n b n ) a a a Dấu “=” xảy  = = = n b1 b2 bn Ví dụ Cho x, y > Tìm f(x, y) = x + xy( x  y) Giải x x x  x+ f(x, y) = x + = x + =     yxy x xy( x  y) 3 x x( ) x  12 y  x  y   Vậy f(x, y)  Dấu “=” xảy   x   12  y   x   Ví dụ Tìm GTNN S = xy với x, y, z > x + y + z = xy z Giải  y y y y 44 x   x   3 3  S= 3 xy z xy z 3 44 44  S  3 12 = 3 12 3 12  x   y 9  z 12 x y z           12  56 4 S  36 12 = 12 24 3  x y z     12  12   3   12       14 S DeThiMau.vn  x    Dấu “= ” xảy   y    z   Ví dụ Cho A, B, C góc tam giác Tìm GTNN hàm số:         1  1   1   f(A, B, C) = 1   sin A   sin B   sin C      2 2 2  Giải Ta có: 1 1 f(A, B, C) = + + + + + + A B C A B B C sin sin sin sin sin sin sin 2 2 2     1 1  +  1+3 + 33  C A A B C A B C C B A  sin sin sin sin sin sin sin sin  sin sin sin  2 2 2 2 2    1 + = 1  A B C A B C  sin sin sin sin sin sin  2 2 2   f = 27 tam giác ABC       1           = 27    Bài tập áp dụng bất đẳng thức Cosi: 1) Tìm min, max hàm số: xy z   xz y   yz x  f(x, y, z) = xyz Trên D = x , y, z  : x  3; y  2; z  1 2) Cho x, y, z > x + y + z = xy Tìm f(x, y, z ) = xyz 3) Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị nhỏ hàm số 1 1 f(x, y, z) = + + + 2 xy yz xz x y z DeThiMau.vn (Đ/s: f = 30 x = y = z = 4) Cho ac > ) 1 ab bc + = Tìm f(a, b, c ) = + a c b 2a  b 2c  b Ví dụ Tìm hàm số: a cos x  b sin y a sin x  b cos y f(x, y) = + c cos x  d sin y c sin x  d cos y (với a, b, c số dương) Giải cos x sin x cos y f(x, y) = a[ + ] + b[ + c cos x  d sin y c sin x  d cos y c sin x  d cos y sin y ] c cos x  d sin y = a f1 + b f Áp dụng bất đẳng thức Bunhia: [(c sin x + d cos y ) + (c cos x + d sin y )][ cos x sin x + c cos x  d sin y c sin x  d cos y ]1 f1  cos x sin x Dấu “=” xảy  = = 2 2 cd c cos x  d sin y cd c sin x  d cos y  sin x = cos y tương tự: f  Dấu “=” xảy  sin x = cos y cd ab f(x, y)  Dấu “=” xảy  sin x = cos y cd ab f = sin x = cos y cd Bài tập áp dụng Bunhia:  Tìm Min biểu thức f(x, y, z) =  tgxtgy + 1 tgytgz + 1 tgxtgz 1) Cho x, y, z > 0; x + y + z = 2) Tìm max hàm số: f(x, y) = x +  y  Trên miền D= ( x , y); x  0; y  0; x  y  3) Cho A, B, C góc tam giác Tìm biểu thức: 1 M= + +  cos 2A  cos 2B  cos 2C 3 DeThiMau.vn 1  Ví dụ Cho x, y, z, t   ;1 Tìm hàm số: 4  1 1 f(x, y, z, t) = log x ( y  ) + log y (z  ) + log z ( t  ) + log t ( x  ) 4 4 Giải 1 1  Vì x, y, z, t   ;1 ta có x  x –  log t x  log t ( x  ) 4 4  Tương tự cộng vế với vế ta có: f(x, y, z, t)  2( log x y + log y z + log z t + log t x )  log x y log y z log z t log t x =  f(x, y, z, t)  Dấu “=”  x = y = z = t = II Sử dụng bất đẳng thức khác: Bất đẳng thức trị tuyệt đối: a + b  ab a  b  ab Dấu “=” xảy  ab > Ví dụ Cho a , , a n số cho trước Tìm biểu thức T = x  a + x  a + + x  a n Giải Không tính tổng quát giả sử a   a n TH1: n = 2k x  a + x  a n  a n – a Dấu “=”  a  x  a n x  a k 1 + x  a k  a k 1 – a k Dấu “=”  a k  x  a k 1  T  ( a n + + a k 1 ) – ( a1 + + a k ) Dấu “=”  a k  x  a k 1 Với n = 2k minT = ( a n + + a k 1 ) – ( a1 + + a k ) a k  x  a k 1 TH2: n = 2k + x  a + x  a n  a n – a Dấu “=”  a  x  a n x  a k  + x  a k  a k  – a k Dấu “=”  a k  x  a k  x  a k 1  Dấu “=”  a k 1 =  T  ( a n + + a k  ) – ( a1 + + a k ) Dấu “=”  a k 1 = Với n = 2k + minT = ( a n + + a k  ) – ( a1 + + a k ) a k 1 = DeThiMau.vn ... xy Tìm f(x, y, z ) = xyz 3) Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị nhỏ hàm số 1 1 f(x, y, z) = + + + 2 xy yz xz x y z DeThiMau.vn (Đ/s: f = 30 x = y = z = 4) Cho ac > ) 1 ab bc + = Tìm. .. “=”  x = y = z = t = II Sử dụng bất đẳng thức khác: Bất đẳng thức trị tuyệt đối: a + b  ab a  b  ab Dấu “=” xảy  ab > Ví dụ Cho a , , a n số cho trước Tìm biểu thức T = x  a + x  a +... sin sin sin sin sin  2 2 2   f = 27 tam giác ABC       1           = 27    Bài tập áp dụng bất đẳng thức Cosi: 1) Tìm min, max hàm số: xy z   xz y   yz x  f(x, y, z)