Chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất bằng phương pháp lượng giác55236

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC I Nội dung phương pháp: Phương pháp: _ Nội dung phương pháp hàm số hay biểu thức đại số cần tìm cực trị, cách đặt ẩn phụ hàm số lượng giác thích hợp ta đưa tìm cực trị hàm số lượng giác _ Các dạng đặt ẩn phụ thường gặp:  x  cos    [0; ] Nếu biến x: x  đặt   x  sin    [  ;  ] 2      x  cos    [0; )  ( ; ] Nếu biến x: x  đặt      x  sin    [ ; 0)  (0; ]  x  a sin  Nếu x + y = a đặt    [0;  ]  y  a cos   a x  cos  Nếu a x + b y = 1; a, b  đặt    [0;  ]  b y  sin  x  tg   Nếu biến hàm số thỏa mãn xy + yz + zx = đặt  y  tg với       z  tg  Nếu biến x  R đặt x = tg x = cot g Những điểm cần ý: Khi đặt ẩn phụ, ý điều kiện giới hạn cung, góc Đối với phương trình dạng asinx + bcosx = c điều kiện có nghiệm a + b  c2 Để tính cosna ngồi việc tính dần cos2a, cos3a, ta dùng đa thức Trêbưsep sau: P0 ( x )   P1 ( x )  x P ( x )  xP ( x )  P ( x ) n  n 1 n  n2 Pn (cos a ) = cosnx (cos(n+2)x = 2x.cos(n+1)x – cosnx) II Các ví dụ minh họa: DeThiMau.vn Ví dụ Cho số a, b, c, d thỏa mãn a  b  25  2 c  d  16 ac  bd  20  Tìm GTLN T = a + d; S = a + c Giải a  cos  c  cos  Đặt   ,   2  b  sin  d  sin  Từ ac + bd  20  20 cos  cos  + 20 sin  sin   20  20 cos(  )  20 Vậy cos(  ) =   –  = k2  (k  Z)   =  + k2  cos   cos    sin   sin  T = a + d = cos  + sin  = cos  + sin    cos   sin  = 41  cos  sin    Dấu “=” xảy   5 cos   sin   41  25 Vậy maxT = 41 a = cos  = 41 16 d = sin  = 41 S = a + c = cos  + cos  = cos   Vậy maxS = a = 5, c = Ví dụ Cho x, y, z  (0; 1) thỏa mãn zy + yz + zx = Tìm GTNN của: x y z T= + + 2 1 x 1 y 1 z2 Giải x  tg   Đặt  y  tg Vì x, y, z  (0; 1) nên  ,  ,   (0; ) z  tg  tg tg tg Từ T = + + = ( tg 2 + tg 2 + tg  ) với  ,  ,  2 2  tg   tg   tg    (0; ) Từ giả thiết: xy + yz + zx =  tg tg + tg tg + tg tg = DeThiMau.vn  )   ,  ,  số đo góc tam giác   +  +  =   tg 2 + tg 2 + tg  = tg 2 tg 2 tg   Do  ,  ,   (0; ) nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta có: tg 2 + tg 2 + tg   3 tg 2.tg 2.tg  = 3 tg 2  tg 2  tg  Kết hợp với  ,  ,   (0;  tg 2 + tg 2 + tg   3 tg 2  tg 2  tg    Dấu “=” xảy  mà  ,  ,   (0; ) 2  2       = =  = Vậy minT =   x=y=z= 3 3 đạt x = y = z = Ví dụ Tìm GTLN, GTNN y = x + (1  x ) + x (1 – x ) với x  [– 1; 1] Giải Đặt x = cost, t  [0;  ] y = cos t + (1  cos t ) + cos t (1 – cos t ) = (cos t ) + (sin t ) + cos t sin t = ( cos t + sin t )( cos t – cos t sin t + sin t ) + cos t sin t y = cos t + sin t = + cos t 4  maxy =  cos4t =  t = t = ; t =   x = x =   3 miny =  cos4t = –  t = t =  x=  4 Ví dụ Cho a + b = Tìm GTLN P = 20a  15a  36b  48b Giải a  sin  Vì a + b = đặt  b  cos    [0;  ] Ta có P = 20 sin   15 sin   36 cos   48 cos  = 5(3 sin   sin 3)  15 sin   36 cos   12(cos 3  cos ) =  sin 3  12 cos 3   12 ( sin 3 + cos 3 ) = 13  sin 3 cos 3   Dấu xảy  12 5 sin 3  12 cos 3  13 DeThiMau.vn  sin 3   13   (tồn tại) cos 3   12  13 Vậy maxP = 13 Ví dụ Trong nghiệm bất phương trình log x  y ( x  y)  (1) tìm nghiệm cho A = x + y lớn Giải (1)  log x  y ( x  y)  x  y  ( I)  2     x y x y ( )    2 0  x  y  0  x  y  x  y (II)  (I)  A > (II)  A < 1 1 Xét hệ (I) ta có (2)  x – x + y – y   ( x  ) + ( y  )  2 1 1 Ta thấy ( x  ) + ( y  ) = phương trình đường trịn tâm I( ; ) bán kính 2 2 R= Vì tập hợp điểm M(x, y) mà tọa độ nghiệm (2) hình trịn tâm I, bán kính R =  x   r cos  Đặt   r  0;      y   r sin    Từ x + y = r( cos  + sin  ) + = r sin(  ) +    x + y đạt GTLN r = ; sin(  ) =   = 4 x  1  max(x + y) = + = Khi r = ; =   2 y  1 x x Ví dụ Tìm GTLN y = 1 x + 1 x Giải 2 DeThiMau.vn 1 x 2x y = 1 x + 1 x TH1: x =  y = TH2: x =   y = 2 2x TH3: x  x   : Do 1 x2 1 x2 + 1 x2 =1 1 x2 2x nên đặt = cost; = sint 1 x2 1 x2  Do x  x    < t < cos t sin t Khi y = + = f(t) f ’(t) = (– cos t sint + sin t cost)ln2 f ’(t) =  cost sin t – sint cos t =  sin t cos t = tgt  sint – cost = log tgt = log sin t – log cos t  sint – log sin t = cost – log cos t Hàm đặc trưng g(u) = u – log u , < u < 1 g’(u) = – >  u  (0; 1)  g(u) đồng biến (0; 1) u ln   Từ f ’(t) =  g(sint) = g(cost)  sint = cost  t =  (0; ) Bảng biến thiên:   t f ’(t) + – f(t) Vậy maxy = 2 1  t= 2 1  2x  =  x =  (  1) 1 x Ví dụ Tìm GTLN, GTNN y =  x +  x Giải Từ điều kiện –  x  đặt x = cos  với   [0;  ]     y =  cos  +  cos  = ( sin + cos ) = sin(  ) 2      3 Vì     +  2 4     sin(  )    y  2 DeThiMau.vn Bài tập áp dụng: 1) Tìm GTLN, GTNN y = 8x  x (2 x – 1)(8 x – x + 1) với x  [– 1; 1] 2) Tìm GTLN, GTNN y = 32 x ( x – 1) (2 x  1) + với  x  2x 1 x2 + 1 x2 1 x2 4) Tìm GTLN y = (1  x ) n + (1  x ) n với x  1; n  N * 3) Tìm GTNN y = 5) Tìm GTLN, GTNN y = 1 x4 (1  x ) (HD: đặt x = tg ) 6) Cho x, y, z, t thỏa mãn hệ sau: x  y   2 z  t  16 xt  yz  12  Tìm GTLN S = x + z; T = x + t x  3995    7) Cho x  Tìm GTLN hàm số f(x) =   +   3996   3996  8) Cho x, y, z > xy + yz + zx = Tìm GTLN P = x(1 – y )(1 – z ) + y(1 – z )(1 – x ) + z(1 – x )(1 – y ) (HD: đặt A  x  tg  B  < A, B, C <   y  tg  C  z  tg  Từ đk zy + yz + zx =  A, B, C góc tam giác.) DeThiMau.vn ... (tồn tại) cos 3   12  13 Vậy maxP = 13 Ví dụ Trong nghiệm bất phương trình log x  y ( x  y)  (1) tìm nghiệm cho A = x + y lớn Giải (1)  log x  y ( x  y)  x  y  ( I)  2    ... ( y  )  2 1 1 Ta thấy ( x  ) + ( y  ) = phương trình đường trịn tâm I( ; ) bán kính 2 2 R= Vì tập hợp điểm M(x, y) mà tọa độ nghiệm (2) hình trịn tâm I, bán kính R =  x   r cos  Đặt... Bài tập áp dụng: 1) Tìm GTLN, GTNN y = 8x  x (2 x – 1)(8 x – x + 1) với x  [– 1; 1] 2) Tìm GTLN, GTNN y = 32 x ( x – 1) (2 x  1) + với  x  2x 1 x2 + 1 x2 1 x2 4) Tìm GTLN y = (1  x