CHƯƠNG VI CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Các hệ thức lượng giác sin2 a + cos2 a = t an a = sin a cos a cot a = cos a sin a 1 + cot a = t an a cot a = cos a sin2 a Giá trị lượng giác cung góc có liên quan đặc biệt 2.1 Cung đối nhau: a - a 2.2 Cung bù nhau: a p - a cos(- a ) = cos a sin( p - a ) = sin a sin(- a ) = - sin a cos( p - a ) = - cos a t an(- a ) = - t an a t an( p - a ) = - t an a cot (- a ) = - cot a cot ( p - a ) = - cot a 2.3 Cung p : a a + p p 2.4 Cung phụ nhau: a - a sin(a + p) = - sin a cos(a + p) = - cos a ỉp ỉp ÷ ÷ = cos a = sin a sin ỗ cosỗ ỗ - aữ ỗ - aữ t an(a + p) = t an a ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố2 ø è2 ø cot (a + p) = cot a ổp ổp ữ ữ ỗ ữ ữ = = t an a t an ỗ cot cot a a a ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ è2 ø è2 ø Công thức lượng giác 3.1 Công thức cộng 3.2 Công thức nhân đôi, nhân ba sin(a + b) = sin a cosb + sin b cosa sin 2a = 2sin a cosa sin(a - b) = sin a cosb - sin b cosa cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - cos(a + b) = cosa cosb - sin a sin b = - 2sin2 a cos(a - b) = cosa cosb + sin a sin b 2t an a t an 2a = t an a + t an b t an(a + b) = - t an2 a - t an a t an b sin 3a = 3sin a - 4sin a t an a - t an b t an(a - b) = cos3a = 4cos3 a - 3cosa + t an a t an b 3.3 Công thức biến đổi tổng thành tích 3.4 Cơng thức biến đổi tích thành tổng a+b a- b ù cosa cosb = é cosa + cosb = 2cos cos êcos(a + b) + cos(a - b)û ú 2ë 2 a+b a- b ù sin a sin b = - é cosa - cosb = - 2sin sin êcos(a + b) - cos(a - b)û ú 2ë 2 a+b a- b sin a cosb = é sin(a + b) + sin(a - b)ù sin a + sin b = 2sin cos ê ú ë û 2 a+b a- b sin a - sin b = 2cos sin 2 3.5 Công thức hạ bậc - cos2a + cos2a sin2 a = cos2 a = 2 - cos2a t an2 a = + cos2a + t an2 a = DeThiMau.vn BÀI TẬP GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG ỉp ÷ ÷ Vớ d Cho sin a = 0, ỗ a p < < Tính cos a , t an a , cot a ỗ ữ ỗ ữ è ø Giải: Áp dụng công thức: sin2 a + cos2 a = Þ cos2 a = - sin2 a = - 0, 82 = 0, 36 Þ cos a = ± 0, p < a < p nên cos a < Do cos a = - 0, Vì t an a = sin a 0, = = - 0, cos a cot a = cos a - 0, = = sin a 0, 2sin x + 3cosx biết t an x = - 3sin x - 2cosx ìï sin x ï = - Û sin x = - 2cosx Giải: t an x = - Û ïí cosx ïï cosx ¹ ïïỵ Ví dụ Tính B = B= 2sin x + 3cosx - 2cosx + 3cosx cosx - = = = 3sin x - 2cosx - 2cosx - 2cosx - cosx 2cos2 x - sin x + cosx 2 2cos x - (sin x + cos2 x ) cos2 x - sin2 x (cosx - sin x )(cosx + sin x ) Giải: A = = = = cosx - sin x sin x + cosx sin x + cosx sin x + cosx GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT Ví dụ Tính GTLG cung (góc): 3150 Giải: Ví dụ Đơn giản biểu thức: A = sin 3150 = sin(- 450 + 3600 ) = sin(- 450 ) = - sin 450 = cos3150 = cos(- 450 + 3600 ) = cos(- 450 ) = cos450 = 2 2 - sin 450 sin 3150 = = - cos3150 cos450 cot 3150 = = - t an 3150 Ví dụ Tính A = cos00 + cos200 + cos400 + L + cos1600 + cos1800 Giải: Ta có: cos1800 = - cos00 cos1600 = - cos200 cos1400 = - cos400 Do đó: A = MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐƠN VỊ ĐỘ VÀ RADIAN t an 3150 = DeThiMau.vn Điền giá trị thích hợp vào trống Độ 00 150 300 450 600 750 5p 11p 900 1200 1500 1800 Radian Radian p p 16 - 7p 3p - - 4p 13p 24 p - - 12 3p Độ BIỂU DIỄN CUNG LƯỢNG GIÁC Bài Biểu diễn cung sau đường tròn lượng giác gốc A: 300 ; - 450 ; 7500 ; Bài Xác định điểm cuối cung có số đo: k 2p ; kp ; k Ð Bài Cho hai điểm M N cho sd AM = p p ;k Ð p ;k p ; p + p 15p 2010p k2p p ; ; + kp ; ;- p + k 3p (k Ỵ ¢ ) kp với k Ỵ ¢ Tìm k ẻ Ơ cho: 798 a) M v N trùng b) M N đối xứng qua O GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Bài Xác định dấu giá trị lượng giác biểu thức: ỉ pư ỉ3p ỉ pư ỉ pử p ỗx - ữ ữ ữ ữ; cot ỗ ữ a) sin ỗỗx + ữ ; cosỗỗ - x ữ ; t an ỗ vi < x < çx + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ 4ứ 2ứ 2ứ ố è2 ø è è b) A = sin 400.cos(- 2900 ) ổ 2p 3p ữ ỗữ d) C = cot sin ỗ ữ ữ ỗ ố 3ứ v sd AN = c) B = sin(- 250 ).cos1700 e) D = cos 4p 4p 9p p sin t an cot 3 Bài Tính giá trị lượng giác lại biết: 3p a) sin a = với p < a < b) cosx = với 1800 < x < 2700 13 3p c) t an b = - với < b < 2p d) cot x = - với 900 < x < 1800 Bài Tính giá trị biếu thức lượng giác sau: 5cot x + t an x 2sin x + cosx a) Cho t an x = - Tính A1 = A2 = 5cot x - t an x cosx - 3sin x 3sin x - cosx sin x - 3cosx b) Cho cot x = Tính B1 = B2 = sin x + cosx sin x + 3cosx cot x + t an x t an x - cosx p c) Cho sin x = với < x < Tính C = C = cot x - t an x cot x sin x cot x + t an x p d) cosx = với < x < p Tính D1 = D2 = cot x + + cosx cot x - t an x Bài Cho sin x + cosx = Hãy tính giá trị biểu thức sau: a) A = sin x.cosx b) B = sin x - cosx c) C = sin x - cos3 x Bài Cho t an x - cot x = Hãy tính giá trị biểu thức sau: a) A = t an2 x + cot x b) B = t an x + cot x c) C = t an x - cot x Bài Tính sin x, cosx, t an x, cot x Biết rằng: a) sin x + cosx = b) sin x - cosx = c) t an x + cot x = Bài Dùng cung liên kết (không dùng máy tính), tính giá trị sau: DeThiMau.vn a) sin1500 b) cot 1350 c) cos11p d) sin13p e) cot 7p ỉ 16p ỉ 19p ỉ 159p ỉ 115p ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ f) cosçççg) h) i) cot t an sin ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ø ø è ø è ø è è Bài Rút gọn biểu thức sau: æp ổp ổp ổp ữ ỗ - aữ ỗ + aữ ỗ + aữ ữ+ sin ỗ ữ ữ ữ a) A = cosỗỗỗ - a ữ cos sin ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ2 ỗ2 ỗ2 ÷ ÷ ÷ ÷ è2 ø è ø è ø è ø ỉ3p ỉ3p ỉ 7p ỉ 7p ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ b) B = cosỗỗ - a ữ - sin ỗ + cosỗ - sin ỗ ỗ - aữ ỗa ỗa ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ 2 2 è ø è ø è ø ố ứ ổ7p ổ3p ữ ỗ - xữ ữ+ t an ỗ ữ c) C = 2cosx + 3cos( p - x ) - sin ỗỗỗ - x ữ ữ ỗ2 ữ ữ ố2 ứ ố ứ ổp ổ3p ổp ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ d) D = 2sin ỗỗỗ + x ữ + + + + + p x x x sin(5 ) sin cos ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ÷ ÷ ÷ 2 è ø è ø è ø Bài Chứng minh đẳng thức sau: a) cos2 a - sin2 a = - 2sin2 a b) 2cos2 a - = - 2sin2 a c) - 4sin2 a = 4cos2 a - d) sin a cot a + cos a t an a = sin a + cos a 4 2 e) sin a + cos a = - 2sin a cos a f) cos4 a - sin a = cos2 a - sin2 a g) sin a cos a + sin a cos3 a = sin a cos a h) sin a - cos4 a = - 2cos2 a = 2sin2 a - Bài 10 Chứng minh đẳng thức sau: - cosx sin x 1 + = = a) t an x + cot x = b) c) + t an x + cot x sin x + cosx sin x cosx æ + sin2 x t an x + t an y ửổ ữ ữ ỗ ữ ữ d) ỗỗỗ1 e) = + t an2 x f) t an x t an y = t an + + = x ỗ ữ ữ ç ÷ ÷ cot x + cot y cosx ø - sin x è cosx øè cosx sin x + cosx = + = h) t an x + i) + sin x cosx + cosx sin x sin x sin x sin x Bài 11 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x : a) A = cos4 x - sin x + 2sin2 x b) B = sin x + sin2 x cos2 x + cos2 x c) C = cos4 x + sin2 x cos2 x + sin2 x d) D = cos4 x (2cos2 x - 3) + sin x (2sin2 x - 3) g) - cot x = e) E = sin6 x + cos6 x - 2sin x - cos4 x + sin2 x f) F = cos2 x cot x + 5cos2 x - cot x + sin2 x Bài 12 Chứng minh A, B,C ba góc tam giác thì: a) sin B = sin(A + C ) b) cos(A + B ) = - cosC c) sin A+ B = cos C 2 e) cos(A + B - C ) = - cos2C d) cos(B - C ) = - cos(A + 2C ) f) sin(A + 2B + C ) = - sin B - 3A + B + C = - sin 2A Bài 13 Rút gọn tính giá trị biểu thức (khơng dùng máy tính) a) A = cos00 + cos200 + cos400 + L + cos1600 + cos1800 b) B = cos100 + cos400 + cos700 + L + cos1400 + cos1700 c) C = t an 200 + t an 400 + t an 600 + L + t an 1600 + t an 1800 d) D = cot 150 + cot 300 + cot 450 + L + cot 1500 + cot 1650 e) E = sin 50 + sin 100 + sin 150 + L + sin 3550 + sin 3600 f) F = cot 150.cot 350.cot 550.cot 750 g) cot (A - B + C ) = - cot 2B h) cos DeThiMau.vn g) G = t an10 t an 20 t an 30.K t an 890 h) H = sin2 100 + sin2 200 + sin2 300 + L + sin2 800 + sin2 900 i) I = cos2 100 + cos2 200 + cos2 300 + L + cos2 1700 + cos2 1800 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài Khơng dùng máy tính, tính giá trị biểu thức: a) A = sin 120.cos480 + cos120.sin 480 b) B = cos380.cos220 - sin 380.cos220 c) C = sin100.cos550 - cos100.sin 450 d) D = sin 2000.sin 3100 + cos3400.cos500 e) E = cos110.cos210 + cos690.cos790 - cos100 f) F = cos680.cos780 + cos220 cos120 - sin 1000 Bài Tính giá trị biểu thức: + t an 150 t an 250 + t an 200 a) A = b) B = - t an 150 - t an 250 t an 200 sin 730.cos30 - sin 870.cos170 sin 100.cos200 + sin 200.cos100 = c) C = d) D cos1320.cos130 + cos420.cos280 cos170 cos130 - sin 170.sin 130 e) E = sin2 200 + sin2 1000 + sin2 1400 f) F = cos2 100 + cos2 1100 + cos2 1300 g) G = t an 200 t an 800 + t an 800 t an 1400 + t an 1400 t an 200 h) H = t an 100 t an 700 + t an 700 t an 1300 + t an 1300 t an 1900 Bài Tính giá trị biểu thức sau: ỉ pư p ÷ a) A = cosỗ bit sin a = v < a < a+ ữ ỗ ữ ỗ ữ 3ứ ố ổp 12 3p ữ b) B = sin ỗỗ - a ÷ biết cos a = p < a < ữ ữ ỗ 13 ố3 ứ ổ c) C = t an ỗ a+ ỗ ỗ ố ổ ỗa d) D = cot ỗ ỗ ố pử ÷ p ÷ biết sin a = < a < p ÷ ÷ 3ø 3p pư ÷ ÷ biết sin a = p < a < ÷ ÷ 4ø , 00 < a < 900 A = cos(a + b ) B = sin(a - b ) Bài Biết sin a = ( ) sin b = , 17 (90 ) < b < 1800 Hãy tính giá trị biểu thức , t an b = a , b góc nhọn Hãy tính giá trị biểu thức A = sin(a - b ) , 17 12 B = cos(a + b ) C = t an(a + b ) Bài Rút gọn biểu thức sau: a) A = sin(x + y ) cos(x - y ) + sin(x - y ) cos(x + y ) Bài Biết sin a = b) B = cos(400 - x ) cos(x + 200 ) - sin(400 - x ) sin(x + 200 ) c) C = sin(x + 100 ) cos(2x - 800 ) + sin(x + 1000 ) cos(2x + 100 ) ổ pử ổp ổp ổ pử ữ ỗ - xữ ỗ - xữ ỗx - ữ ữcosỗ ữ+ sin ỗ ữcosỗ ữ d) D = sin ỗỗỗx - ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ÷ ø è4 3ø è ø è4 ø è ỉ pư ỉ pư ỉ pư ỉ 3p ÷ çx - ÷ çx + ÷ çx + ÷ çx + ữ ữ ữ ữ e) E = cosỗ + cos cos cos ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ è ø è ø è ø è ø ỉ pư ỉ9p ỉ5p ỉ5p ÷ ÷ ữ ữ f) F = sin ỗ cosỗ cosỗ - sin ỗ ỗx - ữ ỗ - xữ ỗ - xữ ỗ + xữ ữ ữ ữ ữ ữ ố ữ ữ ố ữ ỗ ỗ4 ỗ4 ỗ3 3ứ ố ø è ø ø Bài Chứng minh đẳng thức sau: DeThiMau.vn a) cosx + sin x = b) cosx - sin x = ỉ pư ỉ pư çx - ÷ çx + ÷ ÷= sin ç ữ cosỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ 4ứ 4ứ ố ố ổ pử ổ pử ữ ỗ ữ ữ + = cosỗ x sin x- ữ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 4ø è ø è c) sin(x + y ) sin(x - y ) = sin2 x - sin2 y = cos2 y - cos2 x d) cos(x + y ) cos(x - y ) = cos2 x - sin2 y = cos2 y - sin2 x Bài Chứng minh đẳng thức sau: ỉp ỉp ỉ pư ỉ pử ữ ỗx - ữ ữ ữ ữsin ỗ ữ= sin2 x - a) sin ỗỗ + x ữ b) sin ỗỗx + ữ - sin ỗ = sin x ỗ - xữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ 3ứ ố 3ø è4 ø è4 ø è ỉ pư ỉ pư ỉ 2p ỉ 2p ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ c) t an x t an ỗ + + + + + x x x x+ t an t an t an t an x = - ỗ ỗ ỗ ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ 3 3 è ø è ø è ø è ø ỉ pư ỉ pư ỉ pử ổ 3p ữ ỗỗx + ữ ỗỗx + ữ ỗỗx + ữ ữ ữ ữ + = cos cos cos 1- d) cosỗỗỗx - ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ 3ø 4ø 6ø 4ø è è è è Bài Chứng minh đẳng thức sau: cos(a - b) cot a cot b + sin(a - b) sin(b - c) sin(c - a) a) b) = + + = cos(a + b) cot a cot b - cosa cosb cosb cosc cosc cosa ( sin(a + b) sin(a - b) = t an2 a - t an2 b 2 cos a cos b Bài 10 Chứng minh biểu thức sau độc lập với biến x ổp ổp ữ ữ ỗ ữ ữ a) A = sin2 x + cosỗ + x cos x ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ3 ữ ố ữ è3 ø ø c) d) ) cos(a + b) cos(a - b) = - t an2 a t an2 b 2 cos a cos b ỉp ỉ ỗp ữ ữ ữ ữ b) B = cos2 x + cos2 ỗ b) cos + + x x ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ3 ữ ữ ố3 ø è ø ỉ2p ỉ2p ỉ 2p ổ 2p ữ ữ ỗx + ỗx ữ ữ ữ+ cos2 ỗ ữ c) C = sin2 x + sin2 ỗỗ - x ữ d) D = cos2 x + cos2 ỗ + sin2 ỗ ỗ + xữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ç 3ø 3ø è3 ø è3 ø è è Bài 11 Tính giá trị biểu thức sau (khơng dùng máy tính bỏ túi) p p p p 2p a) A = cos360 cos720 b) B = cos cos c) C = sin cos cos 8 5 p p p p 2p 4p d) D = sin cos cos e) E = sin 100 sin 500 sin 700 f) F = cos cos cos 16 16 7 p 4p 5p g) G = cos cos cos h) H = sin 60 cos120 cos240 cos480 7 Bài 12 Biến đổi thành tích biểu thức sau: a) + cosx + cos2x + cos3x b) sin x - sin 3x + sin 7x - sin 5x c) sin x - sin 2x + sin 5x + sin 8x d) cos10x - cos8x - cos6x + e) cos9x - cos7x + cos3x - cosx f) cos7x + sin 3x + sin 2x - cos3x DeThiMau.vn ... sin100.cos550 - cos100.sin 450 d) D = sin 2000.sin 3100 + cos3400.cos500 e) E = cos 110. cos 210 + cos690.cos790 - cos100 f) F = cos680.cos780 + cos220 cos120 - sin 100 0 Bài Tính giá trị biểu thức: ... - 12 3p Độ BIỂU DIỄN CUNG LƯỢNG GIÁC Bài Biểu diễn cung sau đường tròn lượng giác gốc A: 300 ; - 450 ; 7500 ; Bài Xác định điểm cuối cung có số đo: k 2p ; kp ; k Ð Bài Cho hai điểm M N cho sd... L + sin2 800 + sin2 900 i) I = cos2 100 + cos2 200 + cos2 300 + L + cos2 1700 + cos2 1800 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài Khơng dùng máy tính, tính giá trị biểu thức: a) A = sin 120.cos480 + cos120.sin